Главная » Ремонт и отделочные материалы » Периметр и площадь параллелограмма. Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки

Периметр и площадь параллелограмма. Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел параллелограмм). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Теоретический материал

Пояснения к формулам нахождения площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними

Задачи на нахождение площади параллелограмма

Задача .
В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и корню из 82 соответственно.Большая диагональ 15 см.Найти площадь параллелограмма.

Решение .
Обозначим меньшую высоту параллелограмма ABCD, опущенную из точки B на большее основание AD как BK.
Найдем значение катета прямоугольного треугольника ABK, образованного меньшей высотой, меньшей стороной и частью большего основания. По теореме Пифагора:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1

Продлим верхнее основание параллелограмма BC и опустим на него высоту AN из его нижнего основания. AN = BK как стороны прямоугольника ANBK. У получившегося прямоугольного треугольника ANC найдем катет NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC = 12

Теперь найдем большее основание BC параллелограмма ABCD.
BC = NC - NB
Учтем, что NB = AK как стороны прямоугольника, тогда
BC = 12 - 1 = 11

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту к этому основанию.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Ответ : 99 см 2 .

Задача

В параллелограмме АВСД на диагональ АС опущен перпендикуляр ВО. Найдите площадь параллелограмма, если АО=8, ОС=6 и ВО=4.

Решение .
Опустим на диагональ АС дополнительно еще один перпендикуляр DK.
Соответственно, треугольники AOB иDKC, COB и AKD попарно равны. Одна из сторон является противолежащей стороной параллелограмма, один из углов - прямой, так как является перпендикуляром к диагонали, а один из оставшихся углов является внутренним накрест лежащим для параллельных сторон параллелограмма и секущей диагонали.

Таким образом, площадь параллелограмма равна площади указанных треугольников. То есть
Sпаралл = 2S AOB +2S BOC

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Откуда
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 см 2
Ответ : 56 см 2 .

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
S = 1 2
2

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника

Формулы площади параллелограмма

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
a · b · sin α

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

Формулы площади трапеции

Формула Герона для трапеции
Где S - Площадь трапеции,
- длины основ трапеции,
- длины боковых сторон трапеции,

Точнее по планиметрии и тригонометрии, иногда требуется найти высоту параллелограмма, исходя из заданных значений сторон, углов, диагоналей и т.п.

Чтобы найти высоту параллелограмма, зная его площадь и длину основания, необходимо воспользоваться правилом площади параллелограмма. Площадь параллелограмма, как известно, равняется произведению высоты на длину основания:

S - площадь параллелограмма,

а - длина основания параллелограмма,

h - длина опущенной на сторону а высоты, (или на ее продолжение).

Отсюда получаем, что высота параллелограмма будет площади, разделенной на длину основания:

Например,

дано: площадь параллелограмма равняется 50 кв.см., основание - 10 см.;

найти: высоту параллелограмма.

h=50/10=5 (см).

Так как высота параллелограмма, часть основания и прилежащая к основанию сторона образуют прямоугольный , то для высоты параллелограмма можно использовать некоторые соотношения сторон и углов прямоугольных .

Если известны прилежащая к высоте h (DE) сторона параллелограмма d (AD) и противоположный высоте угол A (BAD), то расчета высоты параллелограмма нужно умножить длину прилежащей стороны на синус противоположного угла:

например, если d=10 см, а угол А=30 градусов, то

H=10*sin(30º)=10*1/2=5 (см).

Если в задачи заданы длина прилежащей к высоте h (DE) параллелограмма d (AD) и длина отсекаемой высотой основания (АЕ), то высоту параллелограмма можно найти воспользовавшись теоремой Пифагора:

|AE|^2+|ED|^2=|AD|^2, откуда определяем:

h=|ED|=√(|AD|^2-|AE|^2),

т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей стороны и отсекаемой высотой части основания.

Например, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 3 см, то длина высоты будет:

h=√(5^2-3^2)=4 (см).

Если известны длина прилежащей к высоте диагональ (DВ) параллелограмма и длина отсекаемой высотой части основания (ВЕ), то высоту параллелограмма можно также найти воспользовавшись теоремой Пифагора:

|ВE|^2+|ED|^2=|ВD|^2, откуда определяем:

h=|ED|=√(|ВD|^2-|ВE|^2),

т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей диагонали и отсекаемой высотой (и ) части основания.

Например, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 4 см, то длина высоты будет:

h=√(5^2-4^2)=3 (см).

Видео по теме

Источники:

что такое высота параллелограмма

Высотой многоугольника называют перпендикулярный одной из сторон фигуры отрезок прямой, который соединяет ее с вершиной противолежащего угла. Таких отрезков в плоской выпуклой фигуре существует несколько, и длины их не одинаковы, если хоть одна из сторон многоугольника имеет отличную от других величину. Поэтому в задачах из курса геометрии иногда требуется определить длину большей высоты, например, треугольника или параллелограмма.

Инструкция

Если кроме длины самой короткой из сторон треугольника (a) в условиях приведена (S) фигуры, большей из высот (Hₐ) будет достаточно проста. Удвойте площадь и разделите полученное значение на длину короткой - это и будет искомая высота: Hₐ = 2*S/a.

Не зная площади, но имея длины треугольника (a, b и c), тоже можно найти самую длинную из его высот, однако математических операций будет значительно больше. Начните с вычисления вспомогательной величины - полупериметра (р). Для этого сложите длины всех сторон и разделите результат

Напечатать