Площадь треугольника если известна высота. Как рассчитать площадь треугольника? По двум сторонам и углу

Тангенс угла – это число, которое определяется соотношением противолежащего и прилежащего к этому углу катетов в треугольнике. Зная только это соотношение дозволено узнать величину угла, скажем, воспользовавшись тригонометрической функцией, обратной тангенсу – арктангенсом.

Инструкция

1. Если у вас есть под рукой таблицы Брадиса в бумажном либо электронном виде, то определение угла сведется к поиску значения в таблице тангенсов. Ему будет сопоставлена величина угла – то есть то, что и требуется обнаружить.

2. Если таблиц нет, то придется вычислять значение арктангенса. Дозволено применять для этого, скажем, типовой калькулятор из состава ОС Windows. Раскройте основное меню, щелкнув кнопку «Пуск» либо нажав клавишу WIN, перейдите в раздел «Все программы», после этого в подраздел «Типовые» и выберите пункт «Калькулятор». Это же дозволено сделать через диалог запуска программ – нажмите сочетание клавиш WIN + R либо выберите в основном меню строку «Исполнить», наберите команду calc и нажмите клавишу Enter либо щелкните кнопку «OK» .

3. Переключите калькулятор в режим, тот, что разрешает вычислять тригонометрические функции. Для этого раскройте в его меню раздел «Вид» и выберите пункт «Инженерный» либо «Ученый» (в зависимости от версии применяемой операционной системы).

4. Введите знаменитое значение тангенса. Это дозволено сделать как с клавиатуры, так и щелкая надобные кнопки интерфейса калькулятора.

5. Удостоверитесь, что в поле «Градусы» стоит отметка, дабы получить итог вычисления именно в градусах, а не в радианах либо градах.

6. Поставьте отметку в чекбоксе с надписью Inv – этим вы инвертируете значения вычисляемых функций, обозначенные на кнопках калькулятора.

7. Щелкните кнопку с надписью tg (тангенс) и калькулятор вычислит значение функции обратной тангенсу – арктангенс. Оно и будет являться желанным углом.

8. Все это же дозволено проделать и с применением онлайн-калькуляторов тригонометрических функций. Обнаружить такие сервисы в интернете довольно легко с подмогой поисковых систем. Да и некоторые из поисковиков (скажем, Google) сами имеют встроенные калькуляторы.

Сайты имеют настоль трудную систему, что порой бывает сложно обнаружить его главное меню . Почаще каждого такой пункт бывает расположен в «шапке» сайта для стремительного перехода к нему. В некоторых случаях переход осуществляется посредством открытия основной страницы, тут все зависит от типа сайта.

Вам понадобится

• – браузер;
• – подключение к интернету.

Инструкция

1. Зайдите на основную страницу сайта и обнаружьте на ней ссылку на меню . Также оно может располагаться прямо на ней. Изредка главное меню может быть спрятано в выпадающем списке, для его просмотра вам нужно будет щелкнуть по ссылке для его раскрытия. Изредка оно имеет вид обыкновенного проводника Windows, и для перехода по его пунктам либо для просмотра оглавления вам нужно будет щелкнуть по плюсику рядом с наименованием директории.

2. Если вы находитесь на определенной странице сайта и не можете обнаружить ссылку для перехода к основной странице, наблюдательно посмотрите на его оглавление и обнаружьте ссылку в виде логотипа либо обыкновенного текстового наименования источника. Также вы можете перейти к основной странице при помощи ввода основного адреса сайта в соответствующую строку вашего обозревателя.

3. Обратите внимание, многие сайты могут содержать несколько меню , скажем, меню настройки профиля пользователя, где указывается его персональная информация и данные для входа, и меню сайта для перехода по его содержимому. В первом случае это может быть ссылка на управление профилем либо редактирование личных данных, параметры учетной записи и так дальше. Во втором – обыкновенное меню , которое упорядочивает содержимое, обеспечивающее переход по разделам согласно их назначению.

4. Если вам нужно обнаружить карту сайта, просмотрите основную страницу на присутствие ссылки на нее. Многие из них легко не содержат карты сайта, от того что ими дюже редко пользуются. Для перехода к основному меню сайта также обращайте внимание на основные его функции, ссылки на которые сохраняются при переходе по страницам. Находясь в определенной ветке какого-нибудь форума, вы можете перейти по ссылкам вверху либо низу блока с темами, обыкновенно там прописывается дерево папок подфорума, в котором вы находитесь.

Полезный совет
Пользуйтесь меню на основной странице.

Тангенс угла, как и другие тригонометрические функции, выражает связанность между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Использование тригонометрических функций дозволяет заменить в расчетах величины в градусном измерении на линейные параметры.

Инструкция

1. При наличии транспортира данный угол треугольника дозволено измерить и по таблице Брадиса обнаружить значение тангенса. Если нет вероятности определить градусную величину угла, определите его тангенс с поддержкой замеров линейных величин фигуры. Для этого сделайте вспомогательные построения: из произвольной точки на одной из сторон угла опустите перпендикуляр на иную сторону. Измерьте расстояние между концами перпендикуляра на сторонах угла, запишите итог измерения в числитель дроби. Сейчас измерьте расстояние от вершины заданного угла до вершины прямого угла, т. е. до точки на стороне угла, в которую был опущен перпендикуляр. Полученное число запишите в знаменатель дроби. Составленная по итогам измерений дробь равна тангенсу угла.

2. Тангенс угла дозволено определить расчетным путем как отношение противолежащего ему катета к прилежащему. Также дозволено вычислить тангенс через прямые тригонометрические функции рассматриваемого угла - синус и косинус. Тангенс угла равен отношению синуса этого угла к его косинусу. В различие от постоянных функций синуса и косинуса, тангенс имеет обрыв и не определен при величине угла 90 градусов. При нулевом значении угла его тангенс равен нулю. Из соотношений прямоугольного треугольника видимо, что угол 45 градусов имеет тангенс, равный единице, от того что катеты такого прямоугольного треугольника равны.

3. При значениях угла от 0 до 90 градусов его тангенс имеет позитивное значение, от того что синус и косинус в этом промежутке позитивны. Пределы метаморфозы тангенса на этом участке – от нуля до беспредельно крупных значений при углах, близких к прямому. При негативных значениях угла его тангенс также меняет знак. График функции Y=tg(x) на промежутке -90°

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол - это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол - меньший 90 градусов.

Тупой угол - больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» - не оскорбление, а математический термин:-)

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты - стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим .

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов - свое соотношение, для сторон - свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс - их еще называют тригонометрическими функциями угла - дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку , .

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Найдем по теореме Пифагора.

Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы .

Треугольник с углами и - равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников - то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника . Об этом - в следующей статье.

В этой статье мы разберем такое понятие, как тангенс угла . Начнем с понятия прямого угла. Прямым углом называется угол равный 90 0 . Угол в котором меньше 90 градусов - называется острым. Угол в котором больше 90 градусов - называется тупым. В развернутом угле 180 градусов.

Изображаем треугольник с прямым углом С, при этом противолежащая сторона будет имеет такое же обозначение (с -будет гипотенузой), аналогично поступаем и с другими углами. Сторона находящаяся противоположно от острого угла - называется катетом.

Синус и косинус находятся с помощью катета и гипотенузы, а именно:
sinA = a/c
cosA = b/c

Формула тангенса

tg A = a/b

другими словами определение тангенса - это деление противоположного катета на прилежащий
Существует ещё одна равносильная формула тангенса

tg A = sinA/cosA

расшифровывается как деление sin на cos.

Котангенс находится практически аналогично, лишь значения поменяются местами.

ctg A = cosA/sinA

Внимание! В помощь родителям и учителям гдз по математики 5 класс (http://spisaly.ru/gdz/5_klass/math). Все предложенные на сайте книги можно скачать или изучить онлайн. Перейдите по ссылке и узнайте подробнее.

Данные тригонометрические функции, значительно облегчают вычисление углов. Благодаря синусу, косинусу и тангенсу стало возможным, определение всех неизвестных углов в треугольнике, с одним известным.

Обозначения для основных углов:
тангенс 30 - 0,577
тангенс 45 - 1,000
тангенс 60 - 1,732

Существуют специальная , значения которой можно получить при помощи деления значений таблиц синуса и косинуса, но так как это достаточно трудоемкий процесс и нужна данная таблица тангенсов.

Есть очень много задач в которых у треугольника углы равны 90, 30, 60 градусам. либо 90, 45, 45 градусам. Для таких фигур лучше заучить их соотношение, что бы потом было проще.

В первом случае катет противоположный 30 градусам равняется 1/2 от гипотенузы.
Во втором случае гипотенуза превышает катет в?2 раз.

Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение

|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .

Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .

Тангенс

Где n - целое.

В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.

График функции тангенс, y = tg x

Котангенс

Где n - целое.

В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

График функции котангенс, y = ctg x

Свойства тангенса и котангенса

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .

Четность

Функции тангенс и котангенс - нечетные.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).

Формулы

Выражения через синус и косинус

; ;
; ;
;

Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности

Остальные формулы легко получить, например

Произведение тангенсов

Формула суммы и разности тангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; .

.
Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >

Интегралы

Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.

При .

при .
где B n - числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:

Обратные функции

Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.

Арктангенс, arctg

, где n - целое.

Арккотангенс, arcctg

, где n - целое.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.