Главная » Ремонт и отделочные материалы » Применение поправочных коэффициентов в эконометрике. Эконометрика временных рядов. Процесс скользящего среднего

Применение поправочных коэффициентов в эконометрике. Эконометрика временных рядов. Процесс скользящего среднего

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждое значение (уровень) временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые можно условно разделить на три группы:

1) факторы, формирующие тенденцию ряда;
2) факторы, формирующие циклические колебания ряда;
3) случайные факторы.

Тенденция характеризует долговременное воздействие факторов на динамику показателя. Тенденция может быть возрастающей (рис. 4.1,а) или убывающей (рис. 4.1,6).

Циклические колебания могут носить сезонный характер или отражать динамику конъюнктуры рынка (рис. 4.2), а также фазу бизнес- цикла, в которой находится экономика страны.

Рис. 4.1. Тенденции временного ряда: а -возрастающая; б - убывающая

Рис. 4.2.

Реальные данные часто содержат все три компоненты. В большинстве случаев временной ряд можно представить как сумму или произведение трендовой Т, циклической S и случайной Е компонент. В случае их суммы имеет место аддитивная модель временного ряда:

в случае произведения - мультипликативная модель:

Основные задачи эконометрического исследования отдельного временного ряда - получение количественного выражения каждой из компонент и использование этой информации для прогноза будущих значений ряда или построение модели взаимосвязи двух или более временных рядов.

Сначала рассмотрим основные подходы к анализу отдельного временного ряда. Такой ряд помимо случайной составляющей может содержать либо только тенденцию, либо только сезонную (циклическую) компоненту, либо все компоненты вместе. Для того чтобы выявить наличие той или иной неслучайной компоненты, исследуется корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда, или автокорреляция уровней ряда. Основная идея такого анализа заключается в том, что при наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих.

Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка позволяет измерить зависимость между соседними уровнями ряда tut - 1, т.е. при лаге 1, и вычисляется по следующей формуле:

где в качестве средних величин берутся значения:

В первом случае в формуле (4.4) усредняются значения ряда, начиная со второго до последнего, во втором - значения ряда с первого до предпоследнего.

Формулу (4.3) можно представить как формулу выборочного коэффициента корреляции:

где в качестве переменной х берется ряд у { , у 2 , ..., у„, а в качестве переменной у - ряду ь у2. -,Уп- 1 -

Если значение коэффициента (4.3) (или (4.5)) близко к единице, это указывает на очень тесную зависимость между соседними уровнями временного ряда и наличие во временном ряде сильной линейной тенденции.

Аналогично определяются коэффициенты автокорреляции более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка, который характеризует тесноту связи между уровнями у, иу,_ 2 , определяется по формуле:

В качестве одной средней величины в (4.6) берут среднюю уровней ряда с третьего до последнего, а в качестве другой - среднюю всех уровней ряда, кроме последних двух:

Величина сдвига между уровнями ряда, относительно которой рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом. С возрастанием лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Для обеспечения статистической достоверности максимальный лаг, как считают некоторые известные эконометристы, не должен превышать четверти общего объема выборки.

Коэффициент автокорреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции, и поэтому он характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. По нему можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции. Однако для некоторых временных рядов с сильной нелинейной тенденцией (например, параболической или экспоненциальной), коэффициент автокорреляции уровней ряда может приближаться к нулю.

Кроме того, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных имеют положительную автокорреляцию уровней, однако при этом не исключается убывающая тенденция.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней различных порядков, начиная с первого, называется автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы помогает выявить структуру ряда. Здесь уместно привести следующие качественные рассуждения.

Если наиболее высоким является коэффициент автокорреляции первого порядка, очевидно, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка т, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в т моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то ряд либо не содержит тенденции и циклические колебания и имеет только случайную составляющую, либо содержит сильную нелинейную тенденцию, для исследования которой нужно провести дополнительный анализ.

Пример (И.И. Елисеева ). Пусть имеются данные об объеме потребления электроэнергии жителями района у, (млн кВт-ч) за период t (квартал) (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Исходный временной ряд потребления электроэнергии

Нанесем эти значения на график (рис. 4.3).

Рис. 4.3.

Определим автокорреляционную функцию данного временного ряда. Рассчитаем коэффициент автокорреляции первого порядка. Для этого определим средние значения:

С учетом этих значений построим вспомогательную таблицу (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Вспомогательные расчеты при вычислении коэффициента автокорреляции

У,-Ух	У,-Уг	(У,-Ух?	(У,-Ух)

С помощью итоговых сумм подсчитаем величину коэффициента автокорреляции первого порядка:

Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих. Однако из графика очевидно наличие возрастающей тенденции уровней ряда, на которую накладываются циклические колебания.

Продолжая аналогичные расчеты для второго, третьего и т.д. порядков, получим автокорреляционную функцию, значения которой сведем в таблицу (табл. 4.3) и построим по ней коррелограмму (рис. 4.4).

Таблица 4.3

Значения автокорреляционной функции временного ряда

Рис. 4.4.

Из коррелограммы видно, что наиболее высокий коэффициент корреляции наблюдается при значении лага, равном четырем, следовательно, ряд имеет циклические колебания периодичностью в четыре квартала. Это подтверждается и графическим анализом структуры ряда.

В случае если при анализе структуры временного ряда обнаружена только тенденция и отсутствуют циклические колебания (случайная составляющая присутствует всегда), следует приступать к моделированию тенденции. Если же во временном ряде имеют место и циклические колебания, прежде всего следует исключить именно циклическую составляющую и лишь затем приступать к моделированию тенденции. Выявление тенденции состоит в построении аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Зависимость от времени может принимать разные формы, поэтому для ее формализации используют различные виды функций:

линейный тренд: у, =а + Ы
гиперболу: у, = a + b /1;
экспоненциальный тренд: у,=е а ~ ь " (или y t =ab")
степенной тренд: y,=at b ;
параболический тренд второго и более высоких порядков:

Параметры каждого из трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1,2, «,

а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда у, (или уровни за вычетом циклической составляющей, если таковая была обнаружена). Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Существует несколько способов определения типа тенденции. Чаще всего используют качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни у, и у, _ i тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения, в случае если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R 2 и выбора уравнения тренда с максимальным значением этого коэффициента. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.

При анализе временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания, наиболее простым подходом является расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда в форме (4.1) или (4.2).

Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель (4.1), в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель (4.2), которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение модели (4.1) или (4.2) сводится к расчету значений Т, S или Е для каждого уровня ряда. Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты S.
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Т + Е) в аддитивной или (Т х Е) в мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или (Тх Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений (Т + S) или (Тх S).
6. Расчет абсолютных и относительных ошибок.

Пример. Построение аддитивной модели временного ряда. Рассмотрим данные об объеме потребления электроэнергии жителями района из ранее приведенного примера. Результаты анализа автокорреляционной функции показали, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью в четыре квартала. Объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (И и III кварталы). По графику этого ряда можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это говорит о возможном наличии аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней.

Поскольку циклические колебания имеют периодичность в четыре квартала, просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (колонка 3 в табл. 4.4).

Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (колонка 4 табл. 4.4). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

Поскольку скользящие средние получены осреднением четырех соседних уровней ряда, т.е. четного числа значений, они соответствуют серединам подынтервалов, состоящих из четверок чисел, т.е. должны располагаться между третьим и четвертым значениями четверок исходного ряда. Для того чтобы скользящие средние располагались на одних временных отметках с исходным рядом, пары соседних скользящих средних еще раз усредняются и получаются центрированные скользящие средние (колонка 5 табл. 4.4). При этом теряются первые две и последние две отметки временного ряда, что связано с осреднением по четырем точкам.

Таблица 4.4

Расчет оценок сезонных компонент

квартала	Потребление электроэнергии (у,)	Итого за четыре квартала	Центрированная скользящая	сезонной компоненты

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда (колонка 2 табл. 4.4) и центрированными скользящими средними (колонка 5). Эти значения помещаем в колонку 6 табл. 4.4 и используем для расчета значений сезонной компоненты (табл. 4.5), которые представляют собой средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S,. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период (в данном случае за год) взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем точкам (здесь - по четырем кварталам) должна быть равна нулю.

Таблица 4.5

Корректировка сезонной компоненты

Для данной модели сумма средних оценок сезонной компоненты будет:

Эта сумма оказалась не равной нулю, поэтому каждую оценку уменьшим на величину поправки, равной одной четверти полученного значения:

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты (они записаны в последней строке табл. 4.5):

Эти значения при суммировании уже равны нулю:

Шаг 3. Исключаем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значения из каждого уровня исходного временного ряда. Получаем величины:

Эти значения рассчитываются в каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту (колонка 4 табл. 4.6).

Таблица 4.6

Расчет сезонной, трендовой и случайной компонент временного ряда

			Т+Е = у,- S,			E = y,-(T+S)

Шаг 4. Определим трендовую компоненту данной модели. Для этого проведем выравнивание ряда (Т + Е) с помощью линейного тренда:

Подставляя в это уравнение значения / = 1, 2,..., 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (колонка 5 табл. 4.6).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов, т.е. к значениям в колонке 5 табл. 4.6 прибавим значения в колонке 3. Результаты операции представлены в колонке 6 там же.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производим по формуле:

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в колонке 7 табл. 4.6.

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59, эта величина составляет чуть более 1,5%. Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.

Пример (И.И. Елисеева ). Построение мультипликативной модели временного ряда. Пусть имеются поквартальные данные о прибыли компании за последние четыре года (табл. 4.7).

Таблица 4.7

Исходные данные временного ряда с мультипликативной моделью

График временного ряда свидетельствует о наличии сезонных колебаний периодичностью четыре квартала и обшей убывающей тенденции уровней ряда (рис. 4.5).

Рис.

Прибыль компании в весенне-летний период выше, чем в осенне- зимний. Поскольку амплитуда сезонных колебаний уменьшается, можно предположить существование мультипликативной модели. Определим ее компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в табл. 4.8.

Таблица 4.8

Расчет оценок сезонной компоненты

квартала	компании	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	сезонной компоненты

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (колонка 6 табл. 4.8). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты 5,. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна равняться числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно четырем кварталам. Результаты расчетов сведем в табл. 4.9.

Здесь сумма средних оценок сезонных компонент по всем четырем кварталам будет

т.е. не равна четырем. Чтобы эта сумма равнялась четырем, умножим каждое слагаемое на поправочный коэффициент

Таблица 4.9

Корректировка сезонных коэффициентов мультипликативной модели

Значения скорректированных сезонных компонент записаны в последней строке табл. 4.9. Теперь их сумма равна четырем. Занесем эти значения в новую таблицу (колонка 3 табл. 4.10).

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым мы получим величины

Шаг 4. Определим трендовую компоненту в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т+ Е). Уравнение тренда имеет вид:

Подставляя в это уравнение значения /= 1, 2,..., 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (колонка 5 табл. 4.10).

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (колонка 6 табл. 4.10).

Таблица 4.10

Расчет компонент мультипликативной модели

Шаг 6. Расчет ошибок в мультипликативной модели произведем по формуле:

Численные значения ошибок приведены в колонке 7 таблицы. Для того чтобы сравнить мультипликативную модель и другие модели временного ряда, можно по аналогии с аддитивной моделью использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как:

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 207,4. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней этого ряда от среднего значения равна 5023. Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда составляет 95,9%.

Прогнозирование по аддитивной или мультипликативной модели временного ряда сводится к расчету будущего значения временного ряда по уравнению модели без случайной составляющей в виде:

Для аддитивной

или у, = TS

Для мультипликативной модели.

Аннотация: Под временными рядами понимают экономические величины, зависящие от времени. При этом время предполагается дискретным, в противном случае говорят о случайных процессах, а не о временных рядах.

Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация

Пусть Рассмотрим временной ряд . Пусть сначала временной ряд принимает числовые значения. Это могут быть, например, цены на батон хлеба в соседнем магазине или курс обмена доллара на рубли в ближайшем обменном пункте. Обычно в поведении временного ряда выявляют две основные тенденции - тренд и периодические колебания.

При этом под трендом понимают зависимость от времени линейного, квадратичного или иного типа, которую выявляют тем или иным способом сглаживания (например, экспоненциального сглаживания) либо расчетным путем, в частности, с помощью метода наименьших квадратов . Другими словами, тренд - это очищенная от случайностей основная тенденция временного ряда.

Временной ряд обычно колеблется вокруг тренда , причем отклонения от тренда часто обнаруживают правильность. Часто это связано с естественной или назначенной периодичностью, например, сезонной или недельной, месячной или квартальной (например, в соответствии с графиками выплаты заплаты и уплаты налогов). Иногда наличие периодичности и тем более ее причины неясны, и задача эконометрика - выяснить, действительно ли имеется периодичность .

Элементарные методы оценки характеристик временных рядов обычно достаточно подробно рассматриваются в курсах "Общей теории статистики" (см., например, учебники ), поэтому нет необходимости подробно разбирать их здесь. (Впрочем, о некоторых современных методах оценивания длины периода и самой периодической составляющей речь пойдет ниже.)

Характеристики временных рядов . Для более подробного изучения временных рядов используются вероятностно-статистические модели. При этом временной ряд рассматривается как случайный процесс (с дискретным временем) основными характеристиками являются математическое ожидание , т.е.

Дисперсия , т.е.

и автокорреляционная функция временного ряда

т.е. функция двух переменных, равная коэффициенту корреляции между двумя значениями временного ряда и .

В теоретических и прикладных исследованиях рассматривают широкий спектр моделей временных рядов. Выделим сначала стационарные модели. В них совместные функции распределения для любого числа моментов времени , а потому и все перечисленные выше характеристики временного ряда не меняются со временем . В частности, математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, автокорреляционная функция зависит только от разности . Временные ряды, не являющиеся стационарными, называются нестационарными .

Линейные регрессионные модели с гомоскедастичными и гетероскедастичными, независимыми и автокоррелированными остатками . Как видно из сказанного выше, основное - это "очистка" временного ряда от случайных отклонений, т.е. оценивание математического ожидания. В отличие от простейших моделей регрессионного анализа , рассмотренных в , здесь естественным образом появляются более сложные модели. Например, дисперсия может зависеть от времени. Такие модели называют гетероскедастичными , а те, в которых нет зависимости от времени - гомоскедастичными. (Точнее говоря, эти термины могут относиться не только к переменной "время", но и к другим переменным.)

Замечание . Как уже отмечалось в "Многомерный статистический анализ" , простейшая модель метода наименьших квадратов допускает весьма далекие обобщения, особенно в области системам одновременных эконометрических уравнений для временных рядов. Для понимания соответствующей теории и алгоритмов необходимо профессиональное владение матричной алгеброй. Поэтому мы отсылаем тех, кому это интересно, к литературе по системам эконометрических уравнений и непосредственно по временным рядам , в которой особенно много интересуются спектральной теорией, т.е. выделением сигнала из шума и разложением его на гармоники. Подчеркнем в очередной раз, что за каждой главой настоящей книги стоит большая область научных и прикладных исследований, вполне достойная того, чтобы посвятить ей много усилий. Однако из-за ограниченности объема книги мы вынуждены изложение сделать конспективным.

Системы эконометрических уравнений

Пример модели авторегрессии . В качестве первоначального примера рассмотрим эконометрическую модель временного ряда, описывающего рост индекса потребительских цен (индекса инфляции). Пусть - рост цен в месяц (подробнее об этой проблематике см. "Эконометрический анализ инфляции"). Тогда по мнению некоторых экономистов естественно предположить, что

(6.1)

где - рост цен в предыдущий месяц (а - некоторый коэффициент затухания, предполагающий, что при отсутствии внешний воздействий рост цен прекратится), - константа (она соответствует линейному изменению величины со временем), - слагаемое, соответствующее влиянию эмиссии денег (т.е. увеличения объема денег в экономике страны, осуществленному Центральным Банком) в размере и пропорциональное эмиссии с коэффициентом , причем это влияние проявляется не сразу, а через 4 месяца; наконец, - это неизбежная погрешность .

Модель (1), несмотря на свою простоту, демонстрирует многие характерные черты гораздо более сложных эконометрических моделей. Во-первых, обратим внимание на то, что некоторые переменные определяются (рассчитываются) внутри модели, как . Их называют эндогенными (внутренними) . Другие задаются извне (это экзогенные переменные). Иногда, как в теории управления, среди экзогенных переменных , выделяют управляемые переменные - те, с помощью которых менеджер может привести систему в нужное ему состояние.

Во-вторых, в соотношении (1) появляются переменные новых типов - с лагами, т.е. аргументы в переменных относятся не к текущему моменту времени, а к некоторым прошлым моментам.

В-третьих, составление эконометрической модели типа (1) - это отнюдь не рутинная операция. Например, запаздывание именно на 4 месяца в связанном с эмиссией денег слагаемом - это результат достаточно изощренной предварительной статистической обработки. Далее, требует изучения вопрос зависимости или независимости величин и . От решения этого вопроса зависит, как выше уже отмечалось, конкретная реализация процедуры метода наименьших квадратов .

С другой стороны, в модели (1) всего 3 неизвестных параметра, и постановку метода наименьших квадратов выписать нетрудно:

Проблема идентифицируемости . Представим теперь модель тапа (6.1) с большим числом эндогенных и экзогенных переменных , с лагами и сложной внутренней структурой. Вообще говоря, ниоткуда не следует, что существует хотя бы одно решение у такой системы. Поэтому возникает не одна, а две проблемы. Есть ли хоть одно решение (проблема идентифицируемости)? Если да, то как найти наилучшее решение из возможных? (Это - проблема статистической оценки параметров.)

И первая, и вторая задача достаточно сложны. Для решения обоих задач разработано множество методов, обычно достаточно сложных, лишь часть из которых имеет научное обоснование. В частности, достаточно часто пользуются статистическими оценками, не являющимися состоятельными (строго говоря, их даже нельзя назвать оценками).

Коротко опишем некоторые распространенные приемы при работе с системами линейных эконометрических уравнений.

Система линейных одновременных эконометрических уравнений . Чисто формально можно все переменные выразить через переменные, зависящие только от текущего момента времени. Например, в случае уравнения (6.1) достаточно положить

Тогда уравнение пример вид

(6.2)

Отметим здесь же возможность использования регрессионных моделей с переменной структурой путем введения фиктивных переменных. Эти переменные при одних значениях времени (скажем, начальных) принимают заметные значения, а при других - сходят на нет (становятся фактически равными 0). В результате формально (математически) одна и та же модель описывает совсем разные зависимости.

Косвенный, двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов . Как уже отмечалось, разработана масса методов эвристического анализа систем эконометрических уравнений. Они предназначены для решения тех или иных проблем, возникающих при попытках найти численные решения систем уравнений.

Одна из проблем связана с наличием априорных ограничений на оцениваемые параметры. Например, доход домохозяйства может быть потрачен либо на потребление, либо на сбережение. Значит, сумма долей этих двух видов трат априори равна 1. А в системе эконометрических уравнений эти доли могут участвовать независимо. Возникает мысль оценить их методом наименьших квадратов , не обращая внимания на априорное ограничение, а потом подкорректировать. Такой подход называют косвенным методом наименьших квадратов .

Двухшаговый метод наименьших квадратов состоит в том, что оценивают параметры отдельного уравнения системы, а не рассматривают систему в целом. В то же время трехшаговый метод наименьших квадратов применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Сначала к каждому уравнению применяется двухшаговый метод с целью оценить коэффициенты и погрешности каждого уравнения, а затем построить оценку для ковариационной матрицы погрешностей, После этого для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов .

Менеджеру и экономисту не следует становиться специалистом по составлению и решению систем эконометрических уравнений, даже с помощью тех или иных программных систем, но он должен быть осведомлен о возможностях этого направления эконометрики, чтобы в случае производственной необходимости квалифицированно сформулировать задание для специалистов-эконометриков.

От оценивания тренда (основной тенденции) перейдем ко второй основной задаче эконометрики временных рядов - оцениванию периода ( цикла ).

Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация

Дисперсия , т.е.

и автокорреляционная функция временного ряда

т.е. функция двух переменных, равная коэффициенту корреляции между двумя значениями временного ряда и .

Системы эконометрических уравнений

(6.1)

Тогда уравнение пример вид

(6.2)

Большинство эконометрических моделей строится как динамические эконометрические модели. Это означает, что моделирование причинно-следственных связей между переменными осуществляется во времени, а исходные данные представлены в форме временных рядов.

Временной ряд х t (t=1; n ) – ряд значений какого-либо показателя за несколько последовательных промежутков времени.

Каждый временной ряд х t складывается из следующих основных составляющих (компонентов):

Тенденции, характеризующей общее направление динамики изучаемого явления. Аналитически тенденция выражается некоторой функцией времени, называемой трендом (Т ).
Циклической или периодической составляющей, характеризующей циклические или периодические колебания изучаемого явления. Колебания представляют собой отклонения фактических уровней ряда от тренда. Объем продаж некоторых товаров подвержен сезонным колебаниям. Сезонные колебания (S ) – периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период равный годовому промежутку. Конъюнктурные колебания (К) связаны с большими экономическими циклами, период таких колебаний – несколько лет.
Случайной составляющей, которая является результатом воздействия множества случайных факторов (Е ).

Тогда уровень ряда можно представить как функцию от этих составляющих (компонентов): =f(T, K, S, E).

В зависимости от взаимосвязи между составляющими может быть построена либо аддитивная модель : =T+K+S+E, либо мультипликативная модель : =T·K·S·E ряда динамики.

Для определения состава компонентов (структуры временного ряда) в модели временного ряда строят автокорреляционную функцию.
Автокорреляция – корреляционная связь между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L - лаг). То есть, автокорреляция - это связь между рядом: x 1 , x 2 , ... x n-l и рядом x 1+l , x 2+l , ...,x n , где L - положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции:
,
где ,
– средний уровень ряда (x 1+L , x 2+L ,...,x n ),
средний уровень ряда (x 1 , x 2 ,..., x n-L),
s t , s t-L – средние квадратические отклонения, для рядов (x 1+L , x 2+L ,..., x n ) и (x 1 , x 2 ,..., x n-L ) соответственно.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L =1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-ого порядка r t,t-1 , если L =2, то коэффициент автокорреляции 2-ого порядка r t,t- 2 и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции равный n /4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (L), при котором автокорреляция (r t,t-L ) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда .

Если наиболее высоким оказывается значение коэффициента автокорреляции первого порядка r t,t- 1 , то исследуемый ряд содержит только тенденцию.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции r t,t-L порядка L , то ряд содержит колебания периодом L .
Если ни один из r t,t-L не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:
- либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
- либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой .

Для выявления закономерных колебаний внутри года при выполнении контрольной работы рекомендуется рассчитывать не меньше 4-х уровней коэффициентов автокорреляции.
Рассмотрим на примере как построить коррелограмму, чтобы определяется структуру временного ряда.
Пусть нам даны поквартальные данные об объеме выпуска некоторого товара некоторой фирмой –х (усл.ед.) за 3 года:

1993				1994				1995
1	2	3	4	1	2	3	4	1	2	3	4
410	560	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	900

Чтобы построить коррелогорамму для нашего примера, исходный ряд динамики дополним рядами из уровней этого ряда, сдвинутыми во времени (таблица 6).
Таблица 6

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
х t	-	560	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-1 =0,537
x t-1	-	410	560	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	r t,t-1 =0,537
х t	-	-	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-2 =0,085
х t-2	-	-	410	560	715	500	520	740	975	670	705	950	r t,t-2 =0,085
х t	-	-	-	500	520	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-3 =0,445
х t-3	-	-	-	410	560	715	500	520	740	975	670	705	r t,t-3 =0,445
х t	-	-	-	-	520	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-4 =0,990
х t-4	-	-	-	-	410	560	715	500	520	740	975	670	r t,t-4 =0,990
х t	-	-	-	-	-	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-5 =0,294
х t-5	-	-	-	-	-	410	560	715	500	520	740	975	r t,t-5 =0,294

Рассчитаем коэффициенты корреляции:
1-ого порядка для рядов х t и х t -1 ,
2-ого порядка для рядов х t и х t -2 ,
3-его порядка для рядов х t и х t -3 ,
4-ого порядка для рядов х t и х t -4,
5-ого порядка для рядов х t и х t -5

Результаты расчетов представлены в таблице 7.
Таблица 7

Лаг (порядок) – L	r t,t-L	Коррелограмма
1	0,537	****
2	0,085	*
3	0,445	***
4	0,990	*****
5	0,294	**

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция (т.к. r t,t-1 =0,537 →1) и периодические колебания с периодом (L) равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания (т.к. r t,t-4 =0,99 →1).

Построение модели временного ряда с сезонными колебаниями (аддитивная модель ).
Процесс построения модели временного ряда (х ), содержащего n уровней некоторого показателя за Z лет, с L сезонными колебаниями включает следующие шаги:
1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней (х c ). Произведем выравнивание исходного ряда взятого из примера, рассмотренного выше, методом скользящей средней с периодом усреднения равным 3. Результаты представлены в таблице 9 (столбец 4).
2) Расчет значений сезонной составляющейS i , i=1;L , где L – число сезонов в году. Для нашего примера L =4 (сезоны - кварталы).
Расчет значений сезонных составляющих осуществляется после устранения тенденции из исходных уровней ряда: x-x c (столбец 5, таблица 9). Для дальнейшего расчета S i построим отдельную таблицу. Строки данной таблицы соответствуют сезонам, столбцы - годам. В теле таблицы находятся значения: x -x c . По этим данным рассчитываются средние оценки сезонных составляющих каждой строке (S c i) . Если сумма всех средних оценок равна нулю (), то данные средние и будут окончательными значениями сезонных составляющих (S i =S c i ). Если их сумма не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных составляющих вычитанием из средней оценки величины равной отношению суммы средних оценок к их общему числу (). Для нашего примера расчет значений S i представлен в таблице 8.
Таблица 8

Номер сезона	Год 1	Год 2	Год 3	Средняя оценка сезонной составляющей	Скорректированная оценка сезонной составляющей S i
1	-	-66,67	-70,00	-68,33	-67,15
2	-1,67	-5,00	-1,67	-2,78	-1,60
3	123,33	180 ,00	183,33	162,22	163,40
4	-78,33	-113,33	-	-95,83	-94,66
Итого				-4, 72	0

3) Устранение влияния сезонной составляющей из исходного ряда динамики : x S = x-S i . Результаты расчета x S для нашего примера представлены в столбце 6 таблицы 9.
4) Аналитическое выравнивание уровней x S (построение тренда): .
Расчет параметров при аналитическом выравнивании чаще всего производится с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом поиск параметров для линейного уравнения тренда можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю. Для этого вводится новая условная переменная времени t y , такая, что åt y =0. Уравнение тренда при этом будет следующим:

.
При нечетном числе уровней ряда динамики для получения å t y =0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (периоду или моменту времени, соответствующему данному уровню присваивается нулевое значение). Даты времени, расположенные левее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1 –2 –3 ...), а даты времени, расположенные правее этого уровня – натуральными числами со знаком плюс (1 2 3 ...).
Если число уровней ряда четное, периоды времени левой половины ряда (до середины) нумеруются –1, -3, -5 и т.д. А периоды правой половины - +1, +3, +5 и.т.д. При этом åt y будет равна 0.
Система нормальных уравнений (соответствующих МНК) преобразуется к виду:

Отсюда параметры уравнения рассчитываются по формулам:

.
Интерпретация параметров линейного уравнения тренда

:
- уровень ряда за период времени t у =0;
- средний абсолютный прирост уровня ряда за единичный промежуток времени.
В нашем примере четное число уровней ряда: n=12. Следовательно, условная переменная времени для 6-ого элемента ряда будет равна –1, а для 7-ого +1. Значения переменной i y содержатся во 2-ом столбце таблицы 9.
Параметры линейного тренда будут: =14257,5/572=24,93; =8845/12=737,08. Это значит, что с каждым кварталом объем выпуска товара в среднем увеличивается на 2∙28,7 усл.ед. А средний за период с 1993 по 1995гг объем выпуска составил 738,75 усл.ед.
Рассчитаем значения трендовой компоненты по формуле

(столбец 7 таблицы 9).
5) Учет сезонной составляющей в выровненных уровнях ряда (=T+S ). Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 8 таблицы 9.
6) Расчет абсолютной ошибки временного ряда (Е= x- ) осуществляется для оценки качества полученной модели. Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 9 таблицы 9.
Таблица 9

T	t у	x	x c	x- x c	x s		T		E
1	2	3	4	5	6		7	8	9
1	-11	410	-	-		477,15	462,9 0	395,75	14,25
2	-9	560	561,67	-1,67		561,60	512,75	511,15	48,85
3	-7	715	591,67	123,33		551,60	562,60	726,00	-11,01
4	-5	500	578,33	-78,33		594,65	612,45	517,80	-17,80
5	-3	520	586,67	-66,67		587,15	662,31	595,15	-75,15
6	-1	740	745 ,00	-5 ,00		741,60	712,16	710,56	29,44
7	1	975	795 ,00	180 ,00		811,60	762,00	925,41	49,59
8	3	670	783,33	-113,33		764,65	811,86	717,21	-47,21
9	5	705	775 ,00	-70 ,00		772,15	861,71	794,56	-89,56
10	7	950	951,67	-1,67		951,60	911,56	909,97	40,03
11	9	1200	1016,67	183,33		1036, 60	961,41	1124,82	75,18
12	11	900	-	-		994,65	1011,27	916,61	-16,61
Итого		8845				8845 ,00	8845 ,00	8845 ,00	16,61

Значимость параметров линейного уравнения тренда (Т ) определяется на основе t -критерия Стьюдента также как и в линейном парном регрессионном анализе.

Прогнозирование по аддитивной модели .
Пусть требуется дать прогноз уровня временного ряда на период (n +1). Точечный прогноз значения уровня временного ряда х n+1 в аддитивной модели есть сумма трендовой компоненты и сезонной компоненты (соответствующей i –ому сезону прогноза): =T n+1 +S i .
Для построения доверительного интервала прогноза нужно рассчитать среднюю ошибку прогноза:
m р = ,
где h - число параметров в уравнении тренда;
t yp – значение условной переменной времени для периода прогнозирования.
Затем рассчитаем предельную ошибку прогноза: D р =t a · m р ,
где t a - коэффициент доверия, определяемый по таблицам Стьюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы равным (n-h ).
Окончательно получим: (-D р; +D р).

При построении эконометрической модели используются два типа данных:

1) данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент времени;
2) данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.

Временной ряд (ряд динамики) - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

1) факторы, формирующие тенденцию ряда;
2) факторы, формирующие циклические колебания ряда;
3) случайные факторы.

Рассмотрим воздействие каждого фактора на временной ряд в отдельности.

Большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Все эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 4.1 показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.

Также изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка. На рис. 4.2 представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис. 4.3.

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Напечатать