Совпадение прямых. Взаимное расположение двух прямых. Параллельные прямые – основные сведения

Для двух прямых в пространстве возможны четыре случая:

Прямые совпадают;

Прямые параллельны (но не совпадают);

Прямые пересекаются;

Прямые скрещиваются, т.е. не имеют общих точек и непараллельны.

Рассмотрим два способа описания прямых: каноническими уравнениями и общими уравнениями . Пусть прямые L 1 и L 2 заданы каноническими уравнениями:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1 , L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

Для каждой прямой из ее канонических уравнений сразу определяем точку на ней M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1 , M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) ∈ L 2 и координаты направляющих векторов s 1 = {l 1 ; m 1 ; n 1 } для L 1 , s 2 = {l 2 ; m 2 ; n 2 } для L 2 .

Если прямые совпадают или параллельны, то их направляющие векторы s 1 и s 2 коллинеарны, что равносильно равенству отношений координат этих векторов:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2 . (6.10)

Если прямые совпадают, то направляющим векторам коллинеарен и вектор M 1 M 2 :

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1 . (6.11)

Это двойное равенство также означает, что точка М 2 принадлежит прямой L 1 . Следовательно, условием совпадения прямых является выполнение равенств (6.10) и (6.11) одновременно.

Если прямые пересекаются или скрещиваются, то их направляющие векторы неколлинеарны, т.е. условие (6.10) нарушается. Пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и, следовательно, векторы s 1 , s 2 и M 1 M 2 являются компланарными определителя третьего порядка , составленного из их координат (см. 3.2):

Условие (6.12) выполняется в трех случаях из четырех, поскольку при Δ ≠ 0 прямые не принадлежат одной плоскости и потому скрещиваются.

Сведем все условия воедино:

Взаимное расположение прямых характеризуется количеством решений у системы (6.13). Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений. Если прямые пересекаются, то эта система имеет единственное решение. В случае параллельных или скрещивающихся прямых решений нет. Последние два случая можно разделить, если найти направляющие векторы прямых. Для этого достаточно вычислить два векторных произведения n 1 × n 2 и n 3 × n 4 , где n i = {A i ; B i ; C i }, i = 1, 2, 3,4. Если полученные векторы коллинеарны, то данные прямые параллельны. Иначе они скрещивающиеся.

Пример 6.4.

Направляющий вектор s 1 прямой L 1 находим по каноническим уравнениям этой прямой: s 1 = {1; 3; -2}. Направляющий вектор s 2 прямой L 2 вычисляем с помощью векторного произведения нормальных векторов плоскостей, пересечением которых она является:

Поскольку s 1 = -s 2 , то прямые параллельны или совпадают. Выясним, какая из этих ситуаций реализуется для данных прямых. Для этого подставим координаты точки M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 в общие уравнения прямой L 2 . Для первого из них получаем 1 = 0. Следовательно, точка М 0 не принадлежит прямой L 2 и рассматриваемые прямые параллельны.

Угол между прямыми . Угол между двумя прямыми можно найти, используя направляющие векторы прямых. Острый угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами (рис. 6.5) или является дополнительным к нему, если угол между направляющими векторами тупой. Таким образом, если для прямых L 1 и L 2 известны их направляющие векторы s x и s 2 , то острый угол φ между этими прямыми определяется через скалярное произведение:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Например, пусть s i = {l i ; m i ; n i }, i = 1, 2. Используя формулы (2.9) и (2.14) для вычисления длины вектора и скалярного произведения в координатах, получаем

Кстати, последнее неравенство как раз и говорит о непараллельности их нормальных векторов.

Если прямые параллельны, то система решения не имеет. Аналитически это будет выглядеть так:

Но если все три дроби равны, то прямые совпадают друг с другом, и поэтому система имеет бесконечное множество решений.

Угол между двумя прямыми можно найти по двум формулам.

Если прямые заданы общими уравнениями, то угол между ними совпадает с углом между их нормальными векторами. Его вычисляют по формуле (6.9) из предыдущей лекции. Для нашего случая она будет иметь вид:

. (7.7)

Условие параллельности прямых:

;

Условие перпендикулярности:

.

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами вида:

и ,

то тангенс угла между ними определится по формуле:

. (7.8)

Условие параллельности:

Условие перпендикулярности:

.

Пример 7.4 . Найти точку пересечения прямых и и угол между ними.

Решени е. Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений методом Крамера:

, , ,

Угол между прямыми определим, как угол между их нормальными векторами (2, 5) и (5, –2). По формуле (7.7) имеем:

.

О чем говорит этот ответ? Прямые перпендикулярны, т.к. .

Пример 7.5 . При каком значении параметров a и b прямые и : а ) пересекаются, б ) параллельны, в ) совпадают?

Решени е. Две прямые пересекаются, если выполняется условие . В нашем случае

.

Прямые параллельны, если , т.е.

.

И, последнее, две прямые совпадают при условии, что , т.е. если .

Пример 7.6 . Дана точка и прямая . Написать уравнения прямых L 1 и L 2 , проходящих через точку A , причем и .

Решени е. Сделаем схематичный рисунок.

Рис. 7.6

Угловой коэффициент исходной прямой L равен k = –2. По условию , следовательно . По формуле (7.4) находим уравнение прямой L 1:

, или .

Поскольку , то . Тогда уравнение прямой L 2 будет иметь вид:

, или .

7.4. Определение кривой второго порядка

Определение 7.1. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат. В общем случае это уравнение имеет вид:

где все числа А , В , С , и т.д. – действительные числа, и, кроме того, по крайней мере одно из чисел А , В , С – отлично от нуля.

До введения декартовой системы координат все кривые описывались словесно, исходя из геометрических свойств рассматриваемой кривой. Так, определение окружности читалось так:

Определение 7.2. Окружность – это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Уравнение окружности , с центром в точке (а, b ) и радиусом R в декартовой системе координат, полученное вами в школе, выглядит так:

Если раскрыть скобки, то получим уравнение, схожее с уравнением (7.9), в котором отсутствует член, содержащий произведение текущих координат, и коэффициенты при старших степенях равны между собой.

Вывод всех уравнений второго порядка аналогичен выводу уравнений прямой и проходит по тому же алгоритму.

Выведем уравнение параболы, исходя из ее определения.

7.5. Каноническое уравнение параболы

Определение 7.3. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки F , называемой фокусом , и данной прямой, называемой директрисой.

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p . Эта величина называется параметром параболы.

1. Расположим ось абсцисс так, чтобы она проходила через фокус, перпендикулярно директрисе и имела положительное направление от директрисы к фокусу.

2. Начало координат поместим в середину этого перпендикуляра. Тогда координаты точки будут F (p /2, 0), а уравнение директрисы: .

3. Возьмем текущую точку на параболе М (х, у ).

4. По определению параболы, расстояние М N от точки М до директрисы равно ее расстоянию М F от фокуса: MF = MN . Как видно из чертежа (рис. 7.7), координаты точки N (–p /2, y ). Найдем эти расстояния по формуле расстояния между двумя точками из п. 1 предыдущей лекции.

, .

Приравняв правые части этих выражений и возведя обе части равенства в квадрат, получим:

,

или после сокращений

. (7.11)

Уравнение (7.11) называется каноническим уравнением параболы . Ему будут удовлетворять только точки, лежащие на кривой, а остальные – не будут. Исследуем форму ее графика по каноническому уравнению.

Поскольку y входит в четной степени, то ось ОХ будет являться осью симметрии, т.е. одному значению Х будет соответствовать два значения Y – положительное и отрицательное. Т.к. правая часть неотрицательна у , то и левая – тоже. Так как р – расстояние между фокусом и директрисой, всегда больше нуля, то и х . Если х =0, то у =0, т.е. парабола проходит через начало координат. При неограниченном возрастании x абсолютная величина у также будет неограниченно возрастать.

График параболы, определяемой уравнением (7.11) приведен на рис. 7.7.

Рис. 7.7 рис. 7.8

Ось симметрии параболы называется фокальной осью, т.к. на ней лежит фокус. Если фокальную ось параболы принять за ось ординат, то ее уравнение примет вид:

.

Ее чертеж показан на рис. 7.8. В этом случае фокус будет находиться в точке F (0, p /2), а уравнение директрисы будет иметь вид у = –р /2.

Таким образом, мы рассмотрели параболу, нашли ее уравнение и показали возможные расположения относительно начала координат.

Если вершина параболы смещена в точку , то каноническое уравнение будет выглядеть так:

.

Выводом остальных кривых второго порядка мы заниматься не будем. Желающие могут найти все выкладки в рекомендуемой литературе.

Ограничимся их определениями и уравнениями.

О-о-о-о-о… ну и жесть, словно вам сам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа.

Взаимное расположение двух прямых

Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут :

1) совпадать;

2) быть параллельными: ;

3) или пересекаться в единственной точке: .

Справка для чайников : пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке .

Как определить взаимное расположение двух прямых?

Начнём с первого случая:

Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны , то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.

Действительно, если все коэффициенты уравнения умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: .

Второй случай, когда прямые параллельны:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но .

В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :

Однако совершенно очевидно, что .

И третий случай, когда прямые пересекаются:

Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны , то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Так, для прямых составим систему:

Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.

Вывод: прямые пересекаются

В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов . Но существует более цивилизованная упаковка:

Пример 1

Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:

а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: .

, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.

На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями:

Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =)

б) Найдем направляющие векторы прямых :

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.

Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом .

Выясним, справедливо ли равенство :

Таким образом,

в) Найдем направляющие векторы прямых :

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.

Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, его можно найти и через коэффициенты самих уравнений: .

Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:

Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).

Таким образом, прямые совпадают.

Ответ :

Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент:

Как построить прямую, параллельную данной?

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.

Пример 2

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .

Решение : Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Ответ :

Геометрия примера выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны).

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.

Пример 3

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока.

С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы:

Как найти точку пересечения двух прямых?

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

Пример 4

Найти точку пересечения прямых

Решение : Существуют два способа решения – графический и аналитический.

Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:

Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение прямой, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений с двумя уравнениями, двумя неизвестными.

Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.

Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:

Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений?

Ответ :

Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Пример 5

Найти точку пересечения прямых в том случае, если они пересекаются.

Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение прямой .
2) Составить уравнение прямой .
3) Выяснить взаимное расположение прямых .
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.

Полное решение и ответ в конце урока:

Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока:

Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми

Начнём с типовой и очень важной задачи. В первой части мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, а сейчас избушка на курьих ножках развернётся на 90 градусов:

Как построить прямую, перпендикулярную данной?

Пример 6

Прямая задана уравнением . Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .

Решение : По условию известно, что . Неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Поскольку прямые перпендикулярны, фокус прост:

Из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .

Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ :

Развернём геометрический этюд:

М-да… Оранжевое небо, оранжевое море, оранжевый верблюд.

Аналитическая проверка решения:

1) Из уравнений вытаскиваем направляющие векторы и с помощью скалярного произведения векторов приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны: .

Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Проверку, опять же, легко выполнить устно.

Пример 7

Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение и точка .

Это пример для самостоятельного решения. В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.

Наше увлекательное путешествие продолжается:

Расстояние от точки до прямой

Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.

Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Расстояние от точки до прямой выражается формулой

Пример 8

Найти расстояние от точки до прямой

Решение : всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ :

Выполним чертёж:

Найденное расстояние от точки до прямой – это в точности длина красного отрезка. Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед. = 1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой.

Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу:

Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой . Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами:

1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой .

2) Находим точку пересечения прямых: .

Оба действия подробно разобраны в рамках данного урока.

3) Точка является серединой отрезка . Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим .

Не лишним будет проверить, что расстояние тоже равно 2,2 единицам.

Трудности здесь могут возникнуть в вычислениях, но в вышке здорово выручает микрокалькулятор, позволяющий считать обыкновенные дроби. Неоднократно советовал, посоветую и снова.

Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?

Пример 9

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Это очередной пример для самостоятельного решения. Немного подскажу: тут бесконечно много способов решения. Разбор полётов в конце урока, но лучше постарайтесь догадаться сами, думаю, вашу смекалку удалось неплохо разогнать.

Угол между двумя прямыми

Что ни угол, то косяк:


В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный «малиновый» угол .

Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4 углов.

Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если .

Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке).

Как найти угол между двумя прямыми? Существуют две рабочие формулы:

Пример 10

Найти угол между прямыми

Решение и Способ первый

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:

Если прямые не перпендикулярны , то ориентированный угол между ними можно вычислить с помощью формулы:

Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведение направляющих векторов прямых:

Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке.

Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:

1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Угол между прямыми найдём по формуле:

С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса (см. Графики и свойства элементарных функций ):

Ответ :

В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.

Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация:

Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё.

Если очень хочется получить положительный угол, нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты взять из второго уравнения , а коэффициенты взять из первого уравнения . Короче говоря, начать необходимо с прямой .

Если две прямые l 1 и l 2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.

Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

Если прямые l 1 и l 2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l 1 и l 2 , надо решить систему уравнений (12):
1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l 1 и l 2 пересекаются;
2) если система (12) не имеет решения, то прямые l 1 и l 2 параллельны;
3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l 1 и l 2 совпадают.

Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

Пример 10. Пересекаются ли прямые 3х+4у-1=0 и 2х+3у-1=0 ?

Решение: Решим систему уравнений: система имеет единственное решение, следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет координаты (-1;1).

Пример 11. Параллельны, ли прямые 2х-у+2=0 и 4х-2у-1=0?

Решение: Решим систему уравнений
Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны.

Пример 12. Совпадают ли прямые х+у+1=0 и 3х+3у+3=0?

Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны.

Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х+у-1=0, х-у+2=0 и через точку (2,1).

Решение: Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2х+1=0, откуда
Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2у-3=0, откуда . Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум точками () и (2;1)
Искомое уравнение будет , или или откуда или x+5y-7=0