Главная » Ремонт и отделочные материалы » Время при движении под углом к горизонту. Изучение движения тела, брошенного под углом к горизонту. Дальность броска тела, брошенного под углом к горизонту

Время при движении под углом к горизонту. Изучение движения тела, брошенного под углом к горизонту. Дальность броска тела, брошенного под углом к горизонту

Пусть тело брошено под углом α к горизонту со скоростью . Как и в предыдущих случаях, будем пренебрегать сопротивлением воздуха. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат - Ох и Оу (рис. 29).

Рис.29

Начало отсчета совместим с начальным положением тела. Проекции начальной скорости на оси Оу и Ох: , . Проекции ускорения: ,

Тогда движение тела будет описываться уравнениями:

(8)

(9)

Из этих формул следует, что в горизонтальном направлении тело движется равномерно, а в вертикальном - равноускоренно.

Траекторией движения тела будет парабола. Учитывая, что в верхней точке параболы , можно найти время подъема тела до верхней точки параболы:

Подставив значение t 1 в уравнение (8), найдем максимальную высоту подъема тела:

Максимальная высота подъема тела.

Время полета тела находим из условия, что при t=t 2 координата у 2 =0. Следовательно, . Отсюда, - время полета тела. Сравнивая эту формулу с формулой (10), видим, что t 2 =2t 1 .

Время движения тела с максимальной высоты t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 =t 1 . Следовательно, сколько времени тело поднимается на максимальную высоту, столько времени оно опускается с этой высоты. Подставляя в уравнение координаты х (6) значение времени t 2 , найдем:

- дальность полета тела.

Мгновенная скорость в любой точке траектории направлена по касательной к траектории (см. рис. 29), модуль скорости определяется по формуле

Таким образом, движение тела, брошенного под углом к горизонту или в горизонтальном направлении, можно рассматривать как результат двух независимых движений - горизонтального равномерного и вертикального равноускоренного (свободного падения без начальной скорости или движения тела, брошенного вертикально вверх).

Рассмотрим, что может быть целью кинематических задач.

1. Нас может интересовать изменение кинематических величин в процессе движения , т.е. получение сведений об изменении координат, скорости, ускорения, а также соответствующих угловых величин.

2. В ряде задач, например, в задаче о движении тела под углом к горизонту, требуется узнать о значениях физических величин в конкретных состояниях : дальности полета, наибольшей величине подъема и т.д.

3. В случаях, когда тело одновременно участвует в нескольких движениях (например, качение шара) или рассматривается относительное движение нескольких тел, возникает необходимость установить соотношения между перемещениями, скоростями и ускорениями (линейными и угловыми), т.е. найти уравнения кинематической связи .

Несмотря на большое разнообразие задач по кинематике, можно предложить следующий алгоритм их решения:

1. Сделать схематический рисунок, изобразив начальное положение тел и их начальное состояние, т.е. и .

2. Выбрать систему отсчета на основании анализа условия задачи. Для этого нужно выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат, указав начало отсчета координат, направление осей координат, момент начала отсчета времени. При выборе положительных направлений руководствуются направлением движения (скорости) или направлением ускорения.

3. Составить на основании законов движения систему уравнений в векторном виде для всех тел, а затем в скалярной форме, спроецировав на координатные оси эти векторные уравнения движения. При записи этих уравнений следует обратить внимание на знаки "+" и "-" проекций входящих в них векторных величин.

4. Ответ необходимо получить в виде аналитической формулы (в общем виде), а в конце произвести числовые расчеты.

Пример 4. Сколько времени пассажир, сидящий у окна поезда, который идет со скоростью 54 км/ч, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого 36 км/ч, а длина 250 м?

Решение. Неподвижную систему отсчета свяжем с Землей, подвижную – с поездом, в котором находится пассажир. Согласно закону сложения скоростей , где - скорость встречного поезда относительно первого. В проекциях на ось Ох:

Так как путь, пройденный встречным поездом относительно первого, равен длине поезда, то время

Пример 5. Пароход идет от Нижнего Новгорода до Астрахани 5,0 суток, а обратно - 7,0 суток. Как долго будет плыть плот от Нижнего Новгорода до Астрахани? Стоянки и задержки в движении исключить.

Дано: t 1 =5 сут, t 2 =7 сут.

Решение. Неподвижную систему отсчета свяжем с берегом, подвижную – с водой. Будем считать, что скорость воды на всем пути одинакова и скорость парохода относительно воды постоянна и равна модулю мгновенной скорости парохода относительно воды.

Так как плот движется относительно берега со скоростью течения реки , то время его движения , где s – расстояние между городами. При движении парохода по течению его скорость согласно закону сложения скоростей , или в проекциях на ось Ох:

где - скорость парохода относительно берега, - скорость парохода относительно реки.

Зная время движения, можно найти скорость:

Из формул (1) и (2) имеем:

При движении парохода против течения , или в проекциях на ось Ох , где - скорость парохода относительно берега.

С другой стороны, . Тогда

Решая систему уравнений (3) и (4) относительно , получим:

Найдем время движения плота:

Пример 6. При равноускоренном движении тело проходит за два первых равных последовательных промежутка времени по 4,0 с каждый пути s 1 = 24 м и s 2 =64 м соответственно. Определите начальную скорость и ускорение тела.

Дано: t 1 =t 2 = 4,0 с, s 1 =24 м, s 2 = 64 м.

Решение. Запишем уравнения пути для s 1 и (s 1 +s 2) соответственно. Так как начальная скорость в этом случае одинакова, то

Так как t1=t2, то

Выразив из (1) и подставив ее в (2), получим:

Тогда начальная скорость

Пример 7. Автомобиль, двигаясь по прямолинейной траектории равноускоренно с начальной скоростью 5,0 м/с, прошел за первую секунду путь, равный 6,0 м. Найдите ускорение автомобиля, мгновенную скорость в конце второй секунды и перемещение за 2,0 с.

Решение. Зная путь, пройденный телом за первую секунду, можно найти ускорение:

Скорость в конце второй секунды найдем по формуле

Пример 8. х ) имеет вид x = A + Bt + Ct 3 , где А=4 м, В=2м/с, С=-0,5 м/с 3 .

Для момента времени t 1 =2 c определить: 1) координату точки х 1 точки; 2) мгновенную скорость v 1 ; 3) мгновенное ускорение а 1 .

Дано: x = A + Bt + Ct 3 , А=4 м, В=2 м/с, С=-0,5 м/с 3 , t 1 =2 c.

Найти: х 1 ; v 1 ; а 1 .

Решение. 1.Подставим в уравнение движения вместо t заданное значение времени t 1: x 1 = A + Bt 1 + Ct 1 3 . Подставим в это выражение значения А, В, С, t 1 и произведем вычисления: х 1 = 4 м.

2. Мгновенная скорость: Тогда в момент времени t 1 мгновенная скорость v 1 = B + 3Ct 1 2 . Подставим сюда значения В,С, t 1: v 1 = – 4 м/с. Знак минус указывает на то, что в момент времени t 1 =2 c точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение: Мгновенное ускорение в момент времени t 1 равно а 1 = 6Сt 1 . Подставим значения С, t 1: а 1 = –6 м/с 2 . Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

Пример 9. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х ) имеет вид х = A + Bt + Ct 2 , где А=5 м, В=4м/с, С= -1м/с 2 . Определить среднюю скорость v хср за интервал времени от t 1 =1 c до t 2 =6 c.

Дано: х = A + Bt + Ct 2 , А=5м, В=4м/с, С=- 1м/с 2 , t 1 =1 c , t 2 =6 c.

Найти: v хср -? а хср -?

Решение. Средняя скорость за интервал времени t 2 -t 1 определяется выражением v ср =(х 2 -х 1)/(t 2 - t 1).

х 1 = A + Bt 1 + Ct 1 2 = 8 м, х 2 = A + Bt 2 + Ct 2 2 = –7 м.

Подставим значения х 1 , х 2 , t 1 , t 2 и произведем вычисления: v хср = -3 м/с.

Пример 10. Из вертолета, находящегося на высоте h = 300 м, сбросили груз. Через какое время груз достигнет земли, если: а) вертолет неподвижен; б) вертолет опускается со скоростью v 0 =5 м/с; 3) вертолет поднимается со скоростью v 0 =5 м/с. Описать графически соответствующие движения груза в осях s(t), v(t) и a(t).

Решение. а) Груз, покинувший неподвижный вертолет, свободно падает, т.е. движется равноускоренно с ускорением свободного падения g. Время движения найдем из соотношения Откуда Графики движение объекта отмечены 1 на рисунке.

б) Движение груза, покинувшего вертолет, который опускается с постоянной скоростью v 0 =5 м/с, является равноускоренным движением с постоянным ускорением g и описывается уравнением

Подстановка численных значений дает уравнение 9,8t 2 +10t-600=0.

Отрицательный результат не имеет физического смысла, поэтому время движения t=7,57 с.

Графики движение объекта отмечены 2 на рисунке.

3) Движение груза, покинувшего вертолет, который поднимается с постоянной скоростью v 0 =5 м/с, cостоит из двух этапов. На первом этапе – груз движется равнозамедленно с постоянным ускорениемg, направленным противоположно скорости, и описывается уравнениями

В верхней точке траектории скорость становится равной нулю, поэтому

Подставляя второе уравнение системы в первое, получим

На втором этапе – свободное падение с высоты h 0 =h+h 1 =300+1,28=301,28 м.

Поскольку

Графики движение объекта отмечены 3 на рисунке.

Пример 11. С воздушного шара, опускающегося вниз с постоянной скоростью 2 м/с, бросили вертикально вверх груз со скоростью 18 м/c относительно земли. Определить расстояние между шаром и грузом в момент, когда груз достигает высшей точки своего подъема. Через какое время груз пролетит мимо шара, падая вниз.

Дано: v 01 = 2 м/с, v 02 =18 м/c

Найти: s-? τ -?

Решение. Направим ось 0Y вертикально вверх, начало совместим с точкой 0, в которой находился шар в момент бросания груза.

Тогда уравнения движения груза и воздушного шара:

Скорость движения груза изменяется по закону v 2 =v 02 – gt.

В наивысшей точке В подъема груза v 2 =0. Тогда время подъема до этой точки Координата груза в точке В

За это время воздушный шар опустился до точки А; его координата

Расстояние между точками А и В:

Через промежуток времени τ, когда камень пролетит мимо шара, координаты тел будут одинаковы: у 1С =у 2С;

Пример 12. С какой скоростью и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за два часа пролететь на север 300 км, если во время полета дует северо-западный ветер под углом 30 о к меридиану со скоростью 27 км/ч?

Дано: t=7,2∙10 3 c; l =3∙10 5 м; α=30° ≈ 0,52 рад; v 2 ≈7,2 м/с.

Найти: v 2 -? φ -?

Решение. Рассмотрим движение самолета в системе отсчета, связанной с землей.

Проведем ось ОХ в направлении на восток, а ось OY - на север. Тогда скорость движения самолета в выбранной системе отсчета

где v=l /t (2)

Уравнение (1) в проекции на оси

ОХ: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;

OY: v= v 2 ∙cosφ - v 1 ∙cosα, или v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinφ, v 2 ∙cosφ=v 1 ∙cosα + v (3)

Разделив эти уравнения почленно, получим tgφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v),

или с учетом (2)

tgφ=v 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l /t);

φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l /t) ≈0,078 рад.

Возводя в квадрат правые и левые части уравнений (3) и складывая полученные уравнения, находим

v 2 2 ∙sin 2 φ + v 2 2 ∙cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,

откуда , или с учетом (2)

Пример 13. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через t=3 с. Найти высоту подъема тела и его начальную скорость.

Решение. Движение тела вверх является равнозамедленным с ускорением - g и происходит в течение времени t 1 , а движение вниз – равноускоренным с ускорением g и происходит в течение времениt 2 . Уравнения, описывающие движение на участках АВ и ВА, образуют систему:

Поскольку v B =0, то v 0 =gt 1 . Подставив v 0 в первое уравнение системы, получим . Если сравнить это выражение с третьим уравнением системы, то можно сделать вывод о том, что время подъема равно времени спуска t 1 =t 2 =t/2=1,5с. Начальная скорость и скорость при приземлении равны друг другу и составляют v 0 =v A =gt 1 =9,8∙1,5=14,7 м/с.

Высота подъема тела

Пример 14. Свободно падающее тело в последнюю секунду движения прошло половину пути. Найти высоту, с которой оно брошено и время движения.

Решение. Зависимость пройденного пути от времени для свободно падающего тела . Поскольку участок ВС, составляющие половину всего пути, пройден за время, равное 1 с, то первая половина пути АВ пройдена за время (t-1) с. Тогда движение на участке ВС может быть описано как .

Решая систему

получим t 2 -4t+2=0. Корни этого уравнения t 1 =3,41 с и t 2 =0,59 с. Второй корень не подходит, т.к. время движения, исходя из условия задачи, должно превышать одну секунду. Следовательно, тело падало в течение 3,41 с и прошло за это время путь

Пример 15. С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с.

Найти: 1) сколько времени камень будет в движении, 2) на каком расстояниион упадет на землю, 3) с какой скоростью он упадет на землю, 4) какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю. Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано: Н=25 м, v o =15 м/с

Найти: t-? s x - ? v - ? φ- ?

Решение. Перемещение брошенного горизонтально камня можно разложить на два: горизонтальное s x и вертикальное s y :

где t - время движения.

2) s x =v o t= 33,9 м;

3) v y =gt=22,1м/с;

4) sinφ= v y /v=0,827;

Пример 16. С башни высотой 25 м горизонтально со скоростью v x =10 м/c брошено тело.

Найти: 1) время t падения тела, 2) на каком расстоянии l от основания башни оно упадет, 3) скорость v в конце падения, 4) угол, который составит траектория тела с землей в точке его приземления.

Решение. Движение тела является сложным. Оно участвует в равномерном движении по горизонтали и равноускоренном с ускорением g по вертикали. Поэтому участок АВ описывается уравнениями:

Для точки А эти уравнения принимают вид:

Тогда l =10∙2,26=22,6 м, а v y =9,8∙2,26=22,15 м/с.

Поскольку , то

Угол, который траектория составляет с землей, равен углу φ в треугольнике скоростей в т. А, тангенс которого , поэтому φ=68,7°.

Пример 17. Для тела, брошенного с горизонтальной скоростью v x =10 м/с, через время t=2 с после начала движения найти: нормальное, тангенциальное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории в этой точке.

Решение. Вертикальная составляющая скорости v y =gt=9,8∙2=19,6 м/с

Скорость в точке А:

Векторы образуют треугольник скоростей, а векторы - треугольник ускорений. Как видно из рисунка, эти треугольники подобны, а это означает, что их стороны пропорциональны: .

Нормальное ускорение , поэтому радиус кривизны траектории

Пример 18. Мяч бросили со скоростью 10 м/с под углом 40 о к горизонту.

Найти: 1) на какую высоту поднимется мяч; 2) на каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю, 3) сколько времени он будет в движении.

Дано: v o =10 м/с, α=40 о.

Найти: s y - ? s x - ? t - ?

Решение. 1) Найдем наибольшую высоту s y max , на которую поднимается тело, брошенное со скоростью v o подуглом α к горизонту. Имеем (см. рис.):

v y =v o sinα – gt; (1)

s y =v o t∙sinα – gt 2 /2. (2)

В верхней точке v y = 0 и из (1) получим v o ∙sin𝛼 = gt 1 , отсюда время подъема мяча t 1 =v o ∙sinα/g. Подставляя t 1 в (2), получим

s y max = v o 2 ∙sin 2 α/(2g)= 2,1 м.

2) Найдем дальность полета s x max тела, брошенного под углом к горизонту.

Имеем: v x =v o ∙cosα, (3)

s x =v x t=v o t∙cosα. (4)

Тело упадет на горизонтальную плоскость через время t 2 =2t 1 =2v o sinα/g.

Подставляя t 2 в (4), получим s xmax = v о 2 sin2α/g= 10,0 м.

3) t 2 =2t 1 =2v o sinα/g=1,3 с.

Пример 19. Тело брошено со скоростью v 0 =10 м/с 2 под углом α=30° к горизонту. На какую высоту тело поднимется. На каком расстоянии от места бросания оно упадет на землю? Какое время он будет в движении?

Решение. Горизонтальная и вертикальная составляющие начальной скорости

Движение на участке ОА можно разложить на два простых движения: равномерное по горизонтали и равнозамедленное по вертикали:

В точке А

Тогда и

Если тело участвует одновременно в нескольких движениях, то в каждом из них оно участвует независимо от другого, следовательно, время движения на участке АВ определяется временем движения вниз – t 2 . Время движения вверх равно времени движения вниз, а, значит,

При равномерном движении по горизонтали за равные промежутки времени тело проходит равные участки пути, следовательно,

Дальность полета

Высота подъема тела

Пример 20. Точка движется прямолинейно на плоскости по закону x=4(t-2) 2 . Каковы начальная скорость v 0 и ускорение точки a ? Найти мгновенную скорость точки v t =5 в начале пятой секунды движения.

Решение.

1) Т.к. v=x’, то v 0 =(4∙(t-2) 2)’=(4∙(t 2 -4t+4))’=(4t 2 -16t+16)’=8t-16

при t=0 v 0 =-16 м/с.

2) Т.к. a= , то a=(8t-16)’=8 м/с.

3) При t=4, т.к. до начала 5 с прошло 4 с.

v t =5 =8t-16=8∙4-16=32 м/с.

Ответ: Начальная скорость точки v 0 =-16 м/с, ускорение a=8 м/с, скорость точки в начале пятой секунды движения v t =5 =32 м/с.

Пример 21. Движение материальной точки описывается уравнениями: а) s=αt 3 ; б) s=αt 2 +βt. Сравните среднюю скорость и среднеарифметическую начальной и конечной скоростей v ср в интервале времени 0 - t. Здесь α и β - положительные постоянные.

Решение. Вспомним определения средней и мгновенной скорости:

Выражения для мгновенной скорости получаются путем дифференцирования уравнения движения.

Выражения для средней скорости находятся как отношение изменения криволинейной координаты к времени:

Получим выражения для среднеарифметической скорости:

Ответим на вопрос условия задачи. Видно, что в случае “а” средняя и среднеарифметическая скорости не совпадают, а в случае “б” - совпадают.

Пример 22. Материальная точка движется равномерно по криволинейной траектории. В какой точке траектории ускорение максимально?

Решение. При движении по криволинейной траектории ускорение складывается из тангенциального и нормального. Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения величины (модуля) скорости. Если величина скорости не изменяется, тангенциальное ускорение равно нулю. Нормальное ускорение зависит от радиуса кривизны траектории a n =v 2 /R. Ускорение максимально в точке с наименьшим радиусом кривизны, т.е. в точке С.

Пример 23. Материальная точка движется согласно закону:

1) Определить начальную координату, начальную скорость и ускорение путем сравнения с законом движения с постоянным ускорением. Записать уравнение для проекции скорости.

Решение. Закон движения с постоянным ускорением имеет вид

Сравнивая это уравнение с уравнением условия задачи, получаем

x 0 = - 1 м,

v 0 x = 1 м/с,

a x = - 0,25 м/с 2 .

Возникает вопрос: какой смысл имеет знак “минус”? Когда проекция вектора отрицательна? Только в том случае, когда вектор направлен против оси координат.

Изобразим на рисунке начальную координату, векторы скорости и ускорения.

Запишем уравнение для скорости в виде

и подставим в него полученные данные (начальные условия)

2) Найти зависимость скорости и ускорения от времени, применяя определения этих величин.

Решение. Применим определения для мгновенных значений скорости и ускорения:

Производя дифференцирование, получим v x =1-0,25t, a x = - 0,25 м/с 2 .

Видно, что ускорение не зависит от времени.

3) Построить графики v х (t) и a х (t). Охарактеризовать движение на каждом участке графика.

Решение. Зависимость скорости от времени - линейная, график представляет собой прямую линию.

При t = 0 v х = 1 м/с. При t = 4 с v х = 0.

Из графика видно, что на участке “а” проекция скорости положительная, а ее величина убывает, т.е. точка движется замедленно в направлении оси х. На участке “b” проекция скорости отрицательная, а ее модуль возрастает. Точка движется ускоренно в направлении, противоположном оси х. Следовательно, в точке пересечения графика с осью абсцисс происходит поворот, изменение направления движения.

4) Определить координату точки поворота и путь до поворота.

Решение. Еще раз отметим, что в точке поворота скорость равна нулю. Для этого состояния из уравнений движения получаем:

Из второго уравнения получаем t пов = 4 с. (Видно, чтобы получить это значение не обязательно строить и анализировать график). Подставим это значение в первое уравнение: x пов =-1+4-4 2 /8 = 1 м. Изобразим, как двигалась точка.

Путь до поворота, как видно из рисунка, равен изменению координаты: s пов =x пов -x 0 =1-(-1)=2 м.

5) В какой момент времени точка проходит через начало координат?

Решение. В уравнении движения следует положить х = 0. Получаем квадратное уравнение 0=-1+t-t 2 /8 или t 2 -8t+8=0. У этого уравнения два корня: . t 1 = 1,17 с, t 2 = 6,83 с. Действительно, точка проходит через начало координат два раза: при движении “туда” и “обратно”.

6) Найти путь, пройденный точкой за 5 секунд после начала движения, и перемещение за это время, а также среднюю путевую скорость на этом участке пути.

Решение. Прежде всего найдем координату, в которой оказалась точка после 5 секунд движения и отметим ее на рисунке.

x(5)=-1+5-5 2 /8= 0,875 м.

Поскольку в данном состоянии точка находится после поворота, то пройденный путь уже не равняется изменению координаты (перемещению), а складывается из двух слагаемых: пути до поворота

s 1 = x пов - x 0 = 1 - (-1) = 2 м

и после поворота

s 2 = x пов - x(5) = 1 - 0,875 = 0,125 м,

s = s 1 + s 2 = 2,125 м.

Перемещение точки равно

s х = x(5) - x 0 = 0,875 - (-1) = 1,875 м

Средняя путевая скорость вычисляется по формуле

В рассмотренной задаче описан один из наиболее простых видов движения - движение с постоянным ускорением. Тем не менее, данный подход к анализу характера движения является универсальным.

Пример 24. При одномерном движении с постоянным ускорением зависимости координаты и скорости частицы от времени описываются соотношениями:

Установить связь между координатой частицы и ее скоростью.

Решение. Из этих уравнений исключаем время t. Для этого используем метод подстановки. Из второго уравнения выражаем время и подставляем в первое уравнение:

Если движение начинается из начала координат (х 0 =0) из состояния покоя (v 0 x =0), то полученная зависимость принимает вид

хорошо знакомый из школьного курса физики.

Пример 25. Движение материальной точки описывается уравнением: , где i и j - орты осей х и у, α и β - положительные постоянные. В начальный момент времени частица находилась в точке х 0 =у 0 =0. Найти уравнение траектории частицы у(х).

Решение. Условие задачи сформулировано с применением векторного способа описания движения. Перейдем к координатному способу. Коэффициенты при единичных векторах представляют собой проекции вектора скорости, а именно:

Вначале получим зависимости x(t) и y(t), решая задачу первого класса.

Пример 28. С башни высотой h бросили камень со скоростью v 0 под углом α к горизонту. Найти:

1) какое время камень будет в движении;

2) на каком расстоянии s он упадет на землю;

3) с какой скоростью он упадет на землю;

4) какой угол β составит траектория камня с горизонтом в точке его падения;

5) нормальное и тангенциальное ускорения камня в этой точке, а также радиус кривизны траектории;

6) наибольшую высоту подъема камня.

Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. На примере этой задачи покажем, как в обобщенном виде можно установить приведенный алгоритм решения любой задачи данного класса.

1. В задаче рассматривается движение материальной точки (камня) в поле силы тяжести Земли. Следовательно, это движение с постоянным ускорением свободного падения g, направленным вертикально вниз.

Свободное падение представляет собой частный случай равномерно ускоренного движения без начальной скорости. Ускорение этого движения равно ускорению свободного падения, называемого также ускорением силы тяжести. Для этого движения справедливы формулы:

u t
g
h - высота с которой падает тело
t - время, в течение которого продолжалось падение

Примечание:

Сопротивление воздуха в данных формулах не учитывается.
Ускорение свободного падения имеет приведенное значение (9.81 (м/с?)) вблизи земной поверхности. Значение g на других расстояниях от поверхности Земли изменяется!

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Тело, брошенное вертикально вверх, движется равномерно замедленно с начальной скоростью u0 и ускорением a = -g . Перемещение тела за время t представляет собой высоту подъема h .Для этого движения справедливы формулы:

U0 - начальная скорость движения тела
U - скорость падения тела спустя время t
g - ускорение свободного падения, 9.81 (м/с?)
h - высота на которую поднимется тело за время t
t - время

Скорость тела на некоторой высоте:

Максимальная высота подъёма тела:

Время подъёма на максимальную высоту:

Сложение движений, направленных под углом друг к другу.

Тело может одновременно участвовать в нескольких поступательных движениях. Поскольку ускорение, скорость и перемещение являются векторными величинами, их можно складывать по законам векторного (геометрического) сложения. Т.е. по правилу параллелограмма.

Величину результирующей любой характеристики движения можно вычислить.

Если:
Up - результирующая мгновенная скорость,
U1 - мгновенная скорость первого движения,
U2 - мгновенная скорость второго движения,
? - угол, образуемый векторами скоростей u1 и u2 ,
То по теореме косинусов получим:

Если движения 1 и 2 происходят под прямым углом друг к другу, то формула упрощается поскольку

Движение тела, брошенного горизонтально.

Движение тела, брошенного горизонтально, представляет собой комбинацию двух движений, взаимно перпендикулярных друг другу:
- горизонтального (равномерного) движения,
- вертикального (свободного падения)

Уравнение траектории тела, брошенного горизонтальн

Если построить траекторию движения тела, брошенного горизонтально, в системе координат xy , приняв за начало отсчета координат точку бросания, а направление оси ординат совпадающим с направлением вектора ускорения свободного падения , то координаты каждой точки траектории представляют собой перемещение тела в горизонтальном направлении (движение с постоянной скоростью U0 ) и в вертикальном направлении (равномерно ускоренное движение с ускорением g )

x, y - координаты тела,
u0
g
t - время движения (c)

Уравнение траектории тела, брошенного горизонтально выглядит следующим образом:

g и начальная скорость тела u0 - постоянные величины, то координата y пропорциональна квадрату x , т.е. траектория движения представляет собой параболу, вершина которой находится в начальной точке движения.

Вектор положения тела брошенного горизонтально, формула

Положение каждой точки траектории тела брошенного горизонтально можно задать вектором положения r , который представляет собой результирующее перемещение:

или Вектор положения:

Координата по оси x:

Координата по оси y:

Примечание: Сопротивление воздуха в формулах не учитывается.

Уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Координаты точки траектории описываются уравнениями:

x, y - координаты тела
U0 - начальная скорость тела (м/с)
? - угол, под которым брошено тело к горизонту (°)
g - ускорение свободного падения 9.81 (м/c2)
t - время движения (c)

Из формул через параметр t выводится общее уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту

Так как ускорение свободного падения g , ? - угол, под которым брошено тело к горизонту и начальная скорость тела u0 -постоянные величины, то координата y пропорциональна квадрату x , т.е. траектория движения представляет собой параболу, начальная точка находится на одной из ее ветвей, а вершина параболы, есть точка максимального подъема тела.

Время подъема на максимальную высоту, тела, брошенного под углом к горизонту.

Время подъема на максимальную высоту определяется из условия, что вертикальная составляющая мгновенной скорости равна нулю

из этого уравнения получаем:

U0 - начальная скорость тела (м/с),
?
g - ускорение свободного падения 9.81 (м/c2),
thmax - время подъема на максимальную высоту (c)

Дальность броска тела, брошенного под углом к горизонту.

Дальность броска или радиус поражения определяется по формулам общего времени движения и формулы координат тела

подставив tsmax в выражение и упростив получим:

U0 - начальная скорость тела (м/с),
? - угол, под которым брошено тело к горизонту (°),
g - ускорение свободного падения 9.81 (м/c2),
tsmax - общее время движения(c)

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально и движущегося под действием одной только силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Например, представим себе, что шару, лежащему на столе, сообщают толчок, и он докатывается до края стола и начинает свободно падать, имея начальную скорость , направленную горизонтально (рис. 174).

Спроектируем движение шара на вертикальную ось и на горизонтальную ось . Движение проекции шара на ось - это движение без ускорения со скоростью ; движение проекции шара на ось - это свободное падение с ускорением бее начальной скорости под действием силы тяжести. Законы обоих движений нам известны. Компонента скорости остается постоянной и равной . Компонента растет пропорционально времени: . Результирующую скорость легко найти по правилу параллелограмма, как показано на рис. 175. Она будет наклонена вниз, и ее наклон будет расти с течением времени.

Рис. 174. Движение шара, скатившегося со стола

Рис. 175. Шар, брошенный горизонтально со скоростью имеет в момент скорость

Найдем траекторию тела, брошенного горизонтально. Координаты тела в момент времени имеют значения

Чтобы найти уравнение траектории, выразим из (112.1) время через и подставим это выражение в (112.2). В результатё получим

График этой функции показан на рис. 176. Ординаты точек траектории оказываются пропорциональными квадратам абсцисс. Мы знаем, что такие кривые называются параболами. Параболой изображался график пути равноускоренного движения (§ 22). Таким образом, свободно падающее тело, начальная скорость которого горизонтальна, движется по параболе.

Путь, проходимый в вертикальном направлении, не зависит от начальной скорости. Но путь, проходимый в горизонтальном направлении пропорционален начальной скорости. Поэтому при большой горизонтальной начальной скорости парабола, по которой падает тело, более вытянута в горизонтальном направлении. Если из расположенной горизонтально трубки выпускать струю воды (рис. 177), то отдельные частицы воды будут, так же как и шарик, двигаться по параболе. Чем больше открыт кран, через который поступает вода в трубку, тем больше начальная скорость воды и тем дальше от крана попадает струя на дно кюветы. Поставив позади струи экран с заранее начерченными на нем параболами, можно убедиться, что струя воды действительно имеет форму параболы.

Пусть тело брошено под углом α к горизонту со скоростью \(~\vec \upsilon_0\). Как и в предыдущих случаях, будем пренебрегать сопротивлением воздуха. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат - Ox и Oy (рис. 1). Начало отсчета совместим с начальным положением тела. Проекции начальной скорости на оси Oy и Ox \[~\upsilon_{0y} = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_{0x} = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Проекции ускорения: g x = 0; g y = -g .

Тогда движение тела будет описываться уравнениями:

\(~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)\) \(~y = \upsilon_0 \sin \alpha t - \frac{gt^2}{2}; \qquad (3)\) \(~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)\)

Из этих формул следует, что в горизонтальном направлении тело движется равномерно со скоростью \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha\), а в вертикальном - равноускоренно.

Траекторией движения тела будет парабола. Учитывая, что в верхней точке параболы υ y = 0, можно найти время t 1 подъема тела до верхней точки параболы:

\(~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac{\upsilon_0 \sin \alpha}{g}. \qquad (5)\)

Подставив значение t 1 в уравнение (3), найдем максимальную высоту подъема тела:

\(~h_{max} = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac{\upsilon_0 \sin \alpha}{g} - \frac{g}{2} \frac{\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha}{g^2},\) \(~h_{max} = \frac{\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha}{2g}\) - максимальная высота подъема тела.

Время полета тела находим из условия, что при t = t 2 координата y 2 = 0. Следовательно, \(~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac{gt^2_2}{2} = 0\). Отсюда, \(~t_1 = \frac{2 \upsilon_0 \sin \alpha}{g}\) - время полета тела. Сравнивая эту формулу с формулой (5), видим, что t 2 = 2 t 1 . Время движения тела с максимальной высоты t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t 1 . Следовательно, сколько времени тело поднимается на максимальную высоту, столько времени оно опускается с этой высоты. Подставляя в уравнение координаты x (1) значение времени t 2 , найдем:

\(~l = \frac{2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha}{g} = \frac{\upsilon^2_0 \sin 2\alpha}{g}\) - дальность полета тела.

Мгновенная скорость в любой точке траектории направлена по касательной к траектории (см. рис. 1). модуль скорости определяется по формуле

\(~\upsilon = \sqrt{\upsilon^2_x + \upsilon^2_y} = \sqrt{\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)} = \sqrt{\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2} .\)

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 16-17.

Теория

Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила – сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения ; проекции ускорения на координатные оси равны а х = 0, а у = -g.

Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).

Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:

где – начальная скорость, α – угол бросания.

Координаты тела, следовательно, изменяются так:

При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) Тогда

Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.

Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета – это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный t 0 . Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:

(3)

Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.

Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем

Напечатать