Kaj imenujemo tangens kota alfa. Sinus, kosinus, tangens: kaj je to? Kako najti sinus, kosinus in tangens? Univerzalne trigonometrične substitucijske formule

Predavanje: Sinus, kosinus, tangens, kotangens poljubnega kota

Sinus, kosinus poljubnega kota

Da bi razumeli, kaj so trigonometrične funkcije, se obrnemo na krog z enoto polmera. Ta krog ima središče v izhodišču na koordinatni ravnini. Za določitev danih funkcij bomo uporabili radius vektor ALI, ki se začne v središču kroga, in točko R je točka na krogu. Ta polmerni vektor z osjo tvori kot alfa OH. Ker ima krog polmer enak ena, torej ALI = R = 1.

Če iz točke R spustite navpično na os OH, potem dobimo pravokotni trikotnik s hipotenuzo enako ena.

Če se vektor radija premika v smeri urinega kazalca, se imenuje ta smer negativno, če pa se premika v nasprotni smeri urinega kazalca - pozitivno.

Sinus kota ALI, je ordinata točke R vektorji na krogu.

To pomeni, da je za pridobitev vrednosti sinusa danega kota alfa potrebno določiti koordinato pri na površini.

Kako je bila pridobljena ta vrednost? Ker vemo, da je sinus poljubnega kota v pravokotnem trikotniku razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo, dobimo, da

In odkar R=1, potem sin(α) = y 0 .

V enotskem krogu ordinatna vrednost ne more biti manjša od -1 in večja od 1, kar pomeni, da

Sinus je pozitiven v prvi in ​​drugi četrtini enotskega kroga ter negativen v tretji in četrti.

Kosinus kota dani krog, ki ga tvori vektor radij ALI, je abscisa točke R vektorji na krogu.

To pomeni, da je za pridobitev vrednosti kosinusa danega kota alfa potrebno določiti koordinato X na površini.

Kosinus poljubnega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo, dobimo to

In odkar R=1, potem cos(α) = x 0 .

V enotskem krogu vrednost abscise ne more biti manjša od -1 in večja od 1, kar pomeni, da

Kosinus je pozitiven v prvem in četrtem kvadrantu enotskega kroga ter negativen v drugem in tretjem.

tangentapoljuben kot izračuna se razmerje med sinusom in kosinusom.

Če upoštevamo pravokotni trikotnik, potem je to razmerje med nasprotno nogo in sosednjo. Če govorimo o enotskem krogu, potem je to razmerje med ordinato in absciso.

Sodeč po teh razmerjih je mogoče razumeti, da tangenta ne more obstajati, če je vrednost abscise enaka nič, to je pod kotom 90 stopinj. Tangens lahko sprejme vse druge vrednosti.

Tangenta je v prvi in ​​tretji četrtini enotskega kroga pozitivna, v drugi in četrti pa negativna.

Kot lahko vidite, je ta krog zgrajen v kartezičnem koordinatnem sistemu. Polmer kroga je enak ena, medtem ko je središče kroga v izhodišču, začetni položaj vektorja radija je fiksiran vzdolž pozitivne smeri osi (v našem primeru je to polmer).

Vsaka točka kroga ustreza dvema številoma: koordinati vzdolž osi in koordinati vzdolž osi. Kakšne so te koordinatne številke? In sploh, kaj imajo z obravnavano temo? Če želite to narediti, se spomnite obravnavanega pravokotnega trikotnika. Na zgornji sliki lahko vidite dva cela pravokotna trikotnika. Razmislite o trikotniku. Pravokotna je, ker je pravokotna na os.

Čemu je enako iz trikotnika? Tako je. Poleg tega vemo, da je to polmer enotskega kroga, zato je . Nadomestite to vrednost v našo kosinusno formulo. Takole se zgodi:

In kaj je enako iz trikotnika? No, seveda! Nadomestite vrednost polmera v to formulo in dobite:

Torej, mi lahko poveste, kakšne so koordinate točke, ki pripada krogu? No, nikakor? In če se tega zavedaš in so samo številke? Kateri koordinati ustreza? No, seveda, koordinata! Kateri koordinati ustreza? Tako je, uskladite! Torej bistvo.

In kaj sta potem enaka in? Tako je, uporabimo ustrezne definicije tangensa in kotangensa in dobimo to, a.

Kaj pa, če je kot večji? Tukaj, na primer, kot na tej sliki:

Kaj se je v tem primeru spremenilo? Ugotovimo. Da bi to naredili, se spet obrnemo na pravokotni trikotnik. Razmislite o pravokotnem trikotniku: kotu (kot sosednjem kotu). Kakšna je vrednost sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa kota? Tako je, držimo se ustreznih definicij trigonometričnih funkcij:

No, kot lahko vidite, vrednost sinusa kota še vedno ustreza koordinati; vrednost kosinusa kota - koordinata; in vrednosti tangensa in kotangensa na ustrezna razmerja. Tako so te relacije uporabne za vse rotacije vektorja radija.

Omenili smo že, da je začetni položaj radijnega vektorja vzdolž pozitivne smeri osi. Doslej smo ta vektor vrteli v nasprotni smeri urinega kazalca, kaj pa se zgodi, če ga zavrtimo v smeri urinega kazalca? Nič izjemnega, dobili boste tudi kot določene velikosti, a le ta bo negativen. Tako dobimo pri vrtenju vektorja polmera v nasprotni smeri urinega kazalca pozitivni koti, in pri vrtenju v smeri urinega kazalca - negativno.

Torej, vemo, da je cel obrat vektorja radija okoli kroga oz. Ali je možno zasukati radijski vektor za ali za? No, seveda lahko! V prvem primeru bo torej radius vektor naredil en popoln obrat in se ustavil na položaju oz.

V drugem primeru, torej bo radius vektor naredil tri popolne obrate in se ustavil na položaju oz.

Tako lahko iz zgornjih primerov sklepamo, da koti, ki se razlikujejo za ali (kjer je poljubno celo število), ustrezajo istemu položaju vektorja radija.

Spodnja slika prikazuje kot. Ista slika ustreza kotu itd. Ta seznam se lahko nadaljuje za nedoločen čas. Vse te kote lahko zapišemo s splošno formulo ali (kjer je poljubno celo število)

Zdaj, ko poznate definicije osnovnih trigonometričnih funkcij in uporabite enotski krog, poskusite odgovoriti, čemu so vrednosti enake:

Tukaj je enotski krog, ki vam bo v pomoč:

Kakšne težave? Potem ugotovimo. Torej vemo, da:

Od tu določimo koordinate točk, ki ustrezajo določenim meram kota. No, začnimo po vrsti: kot pri ustreza točki s koordinatami, torej:

Ne obstaja;

Nadalje, z upoštevanjem iste logike, ugotovimo, da vogali ustrezajo točkam s koordinatami. Če vemo to, je enostavno določiti vrednosti trigonometričnih funkcij na ustreznih točkah. Najprej poskusite sami, nato preverite odgovore.

odgovori:

Ne obstaja

Ne obstaja

Ne obstaja

Ne obstaja

Tako lahko naredimo naslednjo tabelo:

Vseh teh vrednosti si ni treba zapomniti. Dovolj je, da se spomnimo korespondence med koordinatami točk na enotskem krogu in vrednostmi trigonometričnih funkcij:

Toda vrednosti trigonometričnih funkcij kotov v in, podane v spodnji tabeli, je treba zapomniti:

Ne bojte se, zdaj bomo pokazali enega od primerov precej preprosto pomnjenje ustreznih vrednosti:

Za uporabo te metode je nujno, da si zapomnite vrednosti sinusa za vse tri mere kota (), kot tudi vrednost tangensa kota v. Če poznate te vrednosti, je povsem enostavno obnoviti celotno tabelo - vrednosti kosinusa se prenesejo v skladu s puščicami, to je:

Če to veste, lahko obnovite vrednosti za. Števec " " se bo ujemal in imenovalec " " se bo ujemal. Vrednosti kotangensa se prenesejo v skladu s puščicami, prikazanimi na sliki. Če to razumete in si zapomnite diagram s puščicami, potem bo dovolj, da si zapomnite celotno vrednost iz tabele.

Koordinate točke na krožnici

Ali je mogoče najti točko (njene koordinate) na krogu, poznavanje koordinat središča kroga, njegovega polmera in rotacijskega kota?

No, seveda lahko! Pripeljimo ven splošna formula za iskanje koordinat točke.

Tukaj imamo na primer tak krog:

Podano nam je, da je točka središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem točke za stopinje.

Kot je razvidno iz slike, koordinata točke ustreza dolžini segmenta. Dolžina segmenta ustreza koordinati središča kroga, torej je enaka. Dolžino segmenta lahko izrazimo z definicijo kosinusa:

Potem imamo to za koordinato točke.

Po isti logiki najdemo vrednost koordinate y za točko. V to smer,

Torej, na splošno so koordinate točk določene s formulami:

koordinate središča kroga,

polmer kroga,

Kot zasuka vektorja radija.

Kot lahko vidite, so za enotski krog, ki ga obravnavamo, te formule znatno zmanjšane, saj so koordinate središča enake nič, polmer pa je enak eni:

No, poskusimo te formule za okus, vadimo iskanje točk na krogu?

1. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vklopom točke.

2. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke na.

3. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vklopom točke.

4. Točka - središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.

5. Točka - središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.

Imate težave z iskanjem koordinat točke na krogu?

Rešite teh pet primerov (ali dobro razumejte rešitev) in naučili se boste, kako jih najti!

1.

Vidi se, da. In vemo, kaj ustreza polnemu obratu začetne točke. Tako bo želena točka v istem položaju kot pri obračanju. Če to vemo, najdemo želene koordinate točke:

2. Krog je enota s središčem v točki, kar pomeni, da lahko uporabimo poenostavljene formule:

Vidi se, da. Vemo, kaj ustreza dvema popolnima rotacijama začetne točke. Tako bo želena točka v istem položaju kot pri obračanju. Če to vemo, najdemo želene koordinate točke:

Sinus in kosinus sta tabelarični vrednosti. Zapomnimo si njihove vrednosti in dobimo:

Tako ima želena točka koordinate.

3. Krog je enota s središčem v točki, kar pomeni, da lahko uporabimo poenostavljene formule:

Vidi se, da. Upodabljamo obravnavani primer na sliki:

Polmer tvori kote z osjo, ki je enaka in. Če vemo, da sta tabelarični vrednosti kosinusa in sinusa enaki, in ko ugotovimo, da ima kosinus tukaj negativno vrednost, sinus pa pozitiven, imamo:

Podobni primeri so podrobneje analizirani pri preučevanju formul za zmanjšanje trigonometričnih funkcij v temi.

Tako ima želena točka koordinate.

4.

Kot zasuka vektorja radija (po pogoju)

Za določitev ustreznih predznakov sinusa in kosinusa sestavimo enotski krog in kot:

Kot lahko vidite, je vrednost, tj., pozitivna, vrednost, tj., pa negativna. Če poznamo tabelarične vrednosti ustreznih trigonometričnih funkcij, dobimo, da:

Nadomestimo dobljene vrednosti v našo formulo in poiščemo koordinate:

Tako ima želena točka koordinate.

5. Za rešitev tega problema uporabljamo formule v splošni obliki, kjer

Koordinate središča kroga (v našem primeru

Polmer kroga (glede na pogoje)

Kot zasuka vektorja radija (po pogoju).

Nadomestite vse vrednosti v formulo in dobite:

in - tabele vrednosti. Zapomnimo si jih in jih nadomestimo v formulo:

Tako ima želena točka koordinate.

POVZETEK IN OSNOVNA FORMULA

Sinus kota je razmerje med nasprotnim (skrajnim) krakom in hipotenuzo.

Kosinus kota je razmerje med sosednjim (bližnjim) krakom in hipotenuzo.

Tangens kota je razmerje med nasprotnim (daljnim) krakom in sosednjim (bližnjim).

Kotangens kota je razmerje med sosednjim (bližnjim) krakom in nasprotnim (daljnim).

UPORABA za 4? Ali ne pokate od sreče?

Vprašanje je, kot pravijo, zanimivo ... Lahko, lahko preneseš 4! In hkrati ne počite ... Glavni pogoj je redno vaditi. Tukaj je osnovna priprava na izpit iz matematike. Z vsemi skrivnostmi in skrivnostmi enotnega državnega izpita, o katerih ne boste brali v učbenikih ... Preučite ta razdelek, rešite več nalog iz različnih virov - in vse se bo izšlo! Predvideva se, da osnovni razdelek "Dovolj zate in tri!" vam ne povzroča nobenih težav. Če pa nenadoma ... Sledite povezavam, ne bodite leni!

In začeli bomo z veliko in grozno temo.

Trigonometrija

Pozor!
Obstajajo dodatni
material v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki močno "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Ta tema povzroča študentom veliko težav. Velja za enega najhujših. Kaj je sinus in kosinus? Kaj je tangens in kotangens? Kaj je številski krog? Vredno je postaviti ta neškodljiva vprašanja, ko oseba bledi in poskuša preusmeriti pogovor na stran ... Toda zaman. To so preprosti pojmi. In ta tema ni nič težja od drugih. Samo odgovore na ta vprašanja morate jasno razumeti že od samega začetka. Je zelo pomembno. Če ste ugotovili, vam bo trigonometrija všeč. Torej,

Kaj je sinus in kosinus? Kaj je tangens in kotangens?

Začnimo od davnih časov. Brez skrbi, v 15 minutah bomo šli skozi vseh 20 stoletij trigonometrije in neopazno za sebe ponovili delček geometrije iz 8. razreda.

Nariši pravokoten trikotnik s stranicami a, b, c in kot X. Tukaj je ena.

Naj vas spomnim, da strani, ki tvorita pravi kot, imenujemo noge. a in c- drsalke. Dva sta. Druga stran se imenuje hipotenuza. z- hipotenuza.

Trikotnik in trikotnik, pomisli! Kaj storiti z njim? Toda stari ljudje so vedeli, kaj storiti! Ponovimo njihova dejanja. Izmerimo stran v. Na sliki so celice posebej narisane, kot se to dogaja pri nalogah na izpitu. Stran v je enako štirim celicam. V REDU. Izmerimo stran a. Tri celice.

Zdaj pa razdelimo dolžino stranice a na stransko dolžino v. Ali, kot pravijo, vzemimo razmerje a do v. klimatska naprava= 3/4.

Lahko pa delite v na a. Dobimo 4/3. Lahko v deli z z. hipotenuza z ne štejemo po celicah, ampak je enako 5. Dobimo klimatska naprava= 4/5. Skratka, dolžine stranic lahko razdelite eno z drugo in dobite nekaj številk.

Pa kaj? Kakšen je pomen te zanimive dejavnosti? Zaenkrat nobena. Neumno delo, če sem iskren.)

In zdaj naredimo to. Povečajmo trikotnik. Razširimo stranice do in od, vendar tako, da trikotnik ostane pravokoten. Kotiček X, se seveda ne spremeni. Če ga želite videti, premaknite miško nad sliko ali se je dotaknite (če imate tablico). Stranke a, b in c spremeniti se v m, n, k, in seveda se bodo spremenile dolžine stranic.

Toda njuno razmerje ni!

Odnos klimatska naprava Bilo je: klimatska naprava= 3/4, postal m/n= 6/8 = 3/4. Tudi odnosi drugih relevantnih strank ne bo spremenila . Dolžine stranic pravokotnega trikotnika lahko poljubno spreminjate, povečujete, manjšate, brez spreminjanja kota x – odnos zadevnih strank se ne bo spremenil . Lahko preverite ali pa verjamete na besedo starodavnih ljudi.

Zdaj je to zelo pomembno! Razmerja stranic v pravokotnem trikotniku niso v ničemer odvisna od dolžin stranic (za isti kot). To je tako pomembno, da so si odnosi strank pridobili posebna imena. Tako rekoč njihova imena.) Spoznajte se.

Kolikšen je sinus kota x ? To je razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo:

sinx = klima

Kolikšen je kosinus kota x ? To je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:

zosx= klimatska naprava

Kolikšen je tangens kota x ? To je razmerje med nasprotno nogo in sosednjo:

tgx=klimatska naprava

Kolikšen je kotangens kota x ? To je razmerje med sosednjo nogo in nasprotno:

ctgx = in/a

Vse je zelo preprosto. Sinus, kosinus, tangens in kotangens so nekatera števila. Brez dimenzij. Samo številke. Za vsak kotiček - svoje.

Zakaj se tako dolgočasno ponavljam? Kaj je potem treba zapomniti. Ironično se spomnite. Pomnjenje je lahko lažje. Stavek "Začnimo od daleč ..." je znan? Začnite torej od daleč.

Sinus kot je razmerje oddaljena od kota kraka do hipotenuze. Kosinus je razmerje med najbližjo hipotenuzo.

Tangenta kot je razmerje oddaljena od kota katetra do najbližjega. Kotangens- obratno.

Že lažje, kajne?

No, če se spomnite, da samo noge sedijo v tangenti in kotangensu, hipotenuza pa se pojavi v sinusu in kosinusu, potem bo vse postalo precej preprosto.

Celotna ta slavna družina - sinus, kosinus, tangens in kotangens se tudi imenuje trigonometrične funkcije.

In zdaj vprašanje za razmislek.

Zakaj rečemo sinus, kosinus, tangens in kotangens? kotiček? Govorimo o razmerju strank, kot ... Kaj ima to opraviti kotiček?

Poglejmo drugo sliko. Popolnoma enak kot prvi.

Z miško se pomaknite nad sliko. Spremenil sem zorni kot X. ga je povečal iz x do x. Vsi odnosi so se spremenili! Odnos klimatska naprava je bil 3/4 in ustrezno razmerje kositer postal 6/4.

In vsi drugi odnosi so postali drugačni!

Razmerja stranic torej niso v ničemer odvisna od njihovih dolžin (pod enim kotom x), temveč močno odvisna prav od tega kota! In samo od njega. Zato se izrazi sinus, kosinus, tangens in kotangens nanašajo na kotiček. Kotiček je tukaj glavni.

Ironično je treba razumeti, da je kot neločljivo povezan s svojimi trigonometričnimi funkcijami. Vsak kot ima svoj sinus in kosinus. In skoraj vsak ima svoj tangens in kotangens. Je pomembno. Menijo, da če nam je dan kot, potem njegov sinus, kosinus, tangens in kotangens vemo ! In obratno. Če imamo sinus ali katero koli drugo trigonometrično funkcijo, poznamo kot.

Obstajajo posebne tabele, kjer so za vsak kot zapisane njegove trigonometrične funkcije. Bradyjeve tabele se imenujejo. Nastajajo že zelo dolgo. Ko še ni bilo kalkulatorjev ali računalnikov...

Seveda si trigonometričnih funkcij vseh kotov ni mogoče zapomniti. Poznati jih morate le iz nekaj zornih kotov, več o tem kasneje. Ampak urok Poznam kot, zato poznam njegove trigonometrične funkcije" - vedno deluje!

Tako smo ponovili delček geometrije iz 8. razreda. Ali ga potrebujemo za izpit? Nujno. Tukaj je tipična naloga iz izpita. Za rešitev katerega zadostuje 8. razred. Dana slika:

Vse. Podatkov ni več. Najti moramo dolžino kraka BC.

Celice malo pomagajo, trikotnik je nekako napačno lociran .... Namenoma, mislim ... Iz informacij je dolžina hipotenuze. 8 celic. Iz nekega razloga je podan kot.

Tukaj se moramo takoj spomniti na trigonometrijo. Obstaja kot, zato poznamo vse njegove trigonometrične funkcije. Katero funkcijo od štirih je treba udejanjiti? Poglejmo, kaj vemo, kajne? Poznamo hipotenuzo, kot, vendar moramo najti sosednji do te kotne mačke! Jasno je, da je treba kosinus uporabiti! Tukaj začenjamo. Samo pišemo, po definiciji kosinusa (razmerje sosednji krak na hipotenuzo):

cosC = BC/8

Kot C je 60 stopinj in njegov kosinus je 1/2. To morate vedeti, brez kakršnih koli tabel! To je:

1/2 = sonce/8

Elementarna linearna enačba. neznano - sonce. Kdor je pozabil reševati enačbe, se sprehodi po povezavi, ostali rešujte:

sonce = 4

Ko so starodavni ljudje ugotovili, da ima vsak kot svoj nabor trigonometričnih funkcij, so imeli razumno vprašanje. Ali niso sinus, kosinus, tangens in kotangens med seboj nekako povezani? Torej, če poznate eno funkcijo kota, lahko najdete ostale? Brez izračuna samega kota?

Tako so bili nemirni ...)

Povezava med trigonometričnimi funkcijami enega kota.

Seveda so sinus, kosinus, tangens in kotangens istega kota povezani. Vsaka povezava med izrazi je v matematiki podana s formulami. V trigonometriji obstaja ogromno formul. Tukaj pa si bomo ogledali najosnovnejše. Te formule se imenujejo: osnovne trigonometrične identitete. Tukaj so:

Te formule morajo poznati železo. Brez njih v trigonometriji sploh ni kaj početi. Iz teh osnovnih identitet sledijo še tri pomožne identitete:

Takoj vas opozorim, da zadnje tri formule hitro padejo iz spomina. Iz neznanega razloga.) Te formule lahko seveda izpeljete iz prvih treh. Toda v težkem trenutku ... Razumete.)

Pri standardnih opravilih, kot so ta spodaj, obstaja način, kako zaobiti te pozabljive formule. in drastično zmanjšati napake iz pozabljivosti in tudi v izračunih. Ta praksa je v razdelku 555, lekcija "Razmerje med trigonometričnimi funkcijami enega kota."

Pri katerih nalogah in kako se uporabljajo osnovne trigonometrične identitete? Najbolj priljubljena naloga je najti neko funkcijo kota, če je podana druga. Na izpitu je taka naloga prisotna iz leta v leto.) Npr.

Poiščite vrednost sinx, če je x oster kot in cosx=0,8.

Naloga je skoraj elementarna. Iščemo formulo, kjer sta sinus in kosinus. Tukaj je ta formula:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Tukaj nadomestimo znano vrednost, in sicer 0,8 namesto kosinusa:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

No, upoštevamo, kot običajno:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x \u003d 1 - 0,64

Tukaj skoraj vse. Izračunali smo kvadrat sinusa, še izvlečemo kvadratni koren in odgovor je pripravljen! Koren iz 0,36 je 0,6.

Naloga je skoraj elementarna. Toda beseda "skoraj" tukaj ni zaman ... Dejstvo je, da je primeren tudi odgovor sinx = - 0,6 ... (-0,6) 2 bo tudi 0,36.

Dobita se dva različna odgovora. In potrebujete eno. Drugi je napačen. Kako biti!? Ja, kot ponavadi.) Pozorno preberi nalogo. Iz nekega razloga piše ... če je x oster kot... In v nalogah ima vsaka beseda pomen, ja ... Ta fraza je dodatna informacija za rešitev.

Ostri kot je kot, manjši od 90°. In pod takimi koti vse trigonometrične funkcije - sinus in kosinus ter tangens s kotangensom - pozitivno. Tisti. tukaj preprosto zavržemo negativni odgovor. Imamo pravico.

Pravzaprav osmošolci ne potrebujejo takšnih razlik. Delajo samo s pravokotnimi trikotniki, kjer so vogali lahko samo ostri. In ne vedo, srečni, da obstajajo negativni koti in koti 1000 ° ... In vsi ti koti nočne more imajo svoje trigonometrične funkcije s plusom in minusom ...

Toda za srednješolce brez upoštevanja znaka - nikakor. Veliko znanja množi žalost, ja...) In za pravilno rešitev mora naloga vsebovati dodatne podatke (če je treba). Na primer, lahko se poda kot:

Ali kako drugače. Videli boste v spodnjih primerih.) Če želite rešiti takšne primere, morate vedeti v katero četrtino pade dani kot x in kakšen predznak ima v tej četrtini želena trigonometrična funkcija.

Te osnove trigonometrije se obravnavajo v lekcijah, kaj je trigonometrični krog, štetje kotov na tem krogu, radianska mera kota. Včasih morate poznati tudi tabelo sinusov kosinusov tangentov in kotangensov.

Torej, poudarimo najpomembnejše:

Praktični nasveti:

1. Zapomnite si definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Zelo uporabno.

2. Jasno asimiliramo: sinus, kosinus, tangens in kotangens so trdno povezani s koti. Vemo eno, zato vemo nekaj drugega.

3. Jasno asimiliramo: sinus, kosinus, tangens in kotangens enega kota so med seboj povezani z osnovnimi trigonometričnimi identitetami. Poznamo eno funkcijo, kar pomeni, da lahko (če imamo potrebne dodatne informacije) izračunamo vse ostale.

In zdaj se odločimo, kot običajno. Najprej naloge v zvezku 8. razreda. Lahko pa tudi srednješolci ...)

1. Izračunajte vrednost tgA, če je ctgA = 0,4.

2. β - kot v pravokotnem trikotniku. Poiščite vrednost tgβ, če je sinβ = 12/13.

3. Določite sinus ostrega kota x, če je tgx \u003d 4/3.

4. Poiščite vrednost izraza:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Poiščite vrednost izraza:

(1-cosx)(1+cosx), če je sinx = 0,3

Odgovori (ločeni s podpičji, v neredu):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Se je zgodilo? odlično! Osmošolci lahko že sledijo svojim A.)

Se ni vse izšlo? Nalogi 2 in 3 nekako nista ravno ...? Brez problema! Za take naloge obstaja ena lepa tehnika. Vse se odloča praktično brez formul! In torej brez napak. Ta tehnika je opisana v lekciji: "Razmerje med trigonometričnimi funkcijami enega kota" v razdelku 555. Tam se razstavijo tudi vse druge naloge.

To so bile težave, kot je enotni državni izpit, vendar v skrajšani različici. UPORABA - svetloba). In zdaj skoraj enake naloge, vendar v polnopravni obliki. Za z znanjem obremenjene srednješolce.)

6. Poiščite vrednost tgβ, če je sinβ = 12/13 in

7. Določite sinx, če je tgx = 4/3 in x pripada intervalu (- 540°; - 450°).

8. Poiščite vrednost izraza sinβ cosβ, če je ctgβ = 1.

Odgovori (v neredu):

0,8; 0,5; -2,4.

Tukaj je v nalogi 6 kot podan nekako ne zelo enoznačno ... V nalogi 8 pa sploh ni nastavljen! Namenoma je). Dodatne informacije se vzamejo ne samo iz naloge, ampak tudi iz glave.) Če pa se odločite, je ena pravilna naloga zagotovljena!

Kaj pa, če se niste odločili? Hm... No, razdelek 555 bo pomagal tukaj. Tam so rešitve vseh teh nalog podrobno opisane, težko je ne razumeti.

V tej lekciji je podan zelo omejen koncept trigonometričnih funkcij. V 8. razredu. Starejši imajo vprašanja...

Na primer, če je kot X(glej drugo sliko na tej strani) - naj bo neumno!? Trikotnik bo razpadel! In kako biti? Nobene noge ne bo, hipotenuze ... Sinusa ni več ...

Če starodavni ljudje ne bi našli izhoda iz te situacije, zdaj ne bi imeli mobilnih telefonov, televizije ali elektrike. Da Da! Teoretična osnova vseh teh stvari brez trigonometričnih funkcij je nič brez palice. Toda stari ljudje niso razočarali. Kako so prišli ven - v naslednji lekciji.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)

se lahko seznanite s funkcijami in odpeljankami.

Ta članek je zbral tabele sinusov, kosinusov, tangensov in kotangensov. Najprej podajamo tabelo osnovnih vrednosti trigonometričnih funkcij, to je tabelo sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov kotov 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stopinj ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Po tem bomo dali tabelo sinusov in kosinusov ter tabelo tangentov in kotangensov V. M. Bradisa in pokazali, kako te tabele uporabiti pri iskanju vrednosti trigonometričnih funkcij.

Navigacija po straneh.

Tabela sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov za kote 0, 30, 45, 60, 90, ... stopinj

Bibliografija.

• Algebra: Proc. za 9 celic. povpr. šola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Razsvetljenje, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra in začetek analize: Uč. za 10-11 celic. povpr. šola - 3. izd. - M .: Razsvetljenje, 1993. - 351 str .: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 celic. Splošna izobrazba institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Razsvetljenje, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovič A. G. Matematika (priročnik za kandidate za tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.
• Bradis V. M.Štirimestne matematične tabele: Za splošno izobraževanje. učbenik ustanove. - 2. izd. - M.: Bustard, 1999.- 96 str .: ilustr. ISBN 5-7107-2667-2

V tem članku si bomo podrobno ogledali. Osnovne trigonometrične identitete so enakosti, ki vzpostavljajo razmerje med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota in vam omogočajo, da poiščete katero koli od teh trigonometričnih funkcij prek znanega drugega kota.

Takoj naštejemo glavne trigonometrične identitete, ki jih bomo analizirali v tem članku. Zapišemo jih v tabelo, spodaj pa podajamo izpeljavo teh formul in podajamo potrebna pojasnila.

Navigacija po straneh.

Razmerje med sinusom in kosinusom enega kota

Včasih ne govorijo o glavnih trigonometričnih identitetah, navedenih v zgornji tabeli, ampak o eni sami osnovna trigonometrična identiteta prijazen . Razlaga tega dejstva je precej preprosta: enačbe dobimo iz osnovne trigonometrične istovetnosti, potem ko oba njena dela delimo z oz. in enakosti in izhajajo iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. O tem bomo podrobneje razpravljali v naslednjih odstavkih.

To pomeni, da je posebno zanimiva enakost, ki je dobila ime glavna trigonometrična identiteta.

Preden dokažemo osnovno trigonometrično istovetnost, podamo njeno formulacijo: vsota kvadratov sinusa in kosinusa enega kota je identično enaka ena. Zdaj pa dokažimo.

Osnovna trigonometrična identiteta se zelo pogosto uporablja v transformacija trigonometričnih izrazov. Omogoča, da se vsota kvadratov sinusa in kosinusa enega kota nadomesti z ena. Nič manj pogosto se osnovna trigonometrična identiteta uporablja v obratnem vrstnem redu: enota se nadomesti z vsoto kvadratov sinusa in kosinusa katerega koli kota.

Tangens in kotangens skozi sinus in kosinus

Identitete, ki povezujejo tangens in kotangens s sinusom in kosinusom enega kota oblike in neposredno izhajajo iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Dejansko je po definiciji sinus ordinata od y, kosinus je abscisa od x, tangens je razmerje med ordinato in absciso, to je , kotangens pa je razmerje med absciso in ordinato, to je .

Zaradi te očitnosti identitet in pogosto definicije tangensa in kotangensa niso podane z razmerjem med absciso in ordinato, temveč z razmerjem med sinusom in kosinusom. Torej je tangens kota razmerje med sinusom in kosinusom tega kota, kotangens pa je razmerje med kosinusom in sinusom.

Za zaključek tega razdelka je treba omeniti, da sta identiteti in veljajo za vse take kote, za katere so trigonometrične funkcije v njih smiselne. Torej je formula veljavna za vse razen (sicer bo imenovalec enak nič, deljenja z nič pa nismo definirali) in formula - za vse , drugačen od , kjer je z kateri koli .

Razmerje med tangensom in kotangensom

Še bolj očitna trigonometrična identiteta od prejšnjih dveh je identiteta, ki povezuje tangens in kotangens enega kota oblike . Jasno je, da poteka za vse kote, razen , sicer niti tangenta niti kotangens nista definirana.

Dokaz formule zelo preprosto. Po definiciji in od kod . Dokaz bi lahko izvedli na nekoliko drugačen način. Ker in , potem .

Torej, tangens in kotangens enega kota, pri katerem sta smiselna, je.