Oblikujte pravilo za povišanje stopnje na potenco. Potenciranje, pravila, primeri. Naloge za samostojno reševanje

Če ne bomo pozorni na osmo stopnjo, kaj vidimo tukaj? Oglejmo si program za 7. razred. Torej, se spomniš? To je skrajšana formula množenja, namreč razlika kvadratov! Dobimo:

Pazljivo pogledamo imenovalec. Izgleda zelo podobno kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Napačen vrstni red izrazov. Če bi bili zamenjani, bi lahko veljalo pravilo.

Toda kako to narediti? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Izrazi so čudežno zamenjali mesta. Ta »fenomen« velja za katerikoli izraz v celotni meri: znake v oklepaju lahko poljubno spreminjamo.

Vendar si je pomembno zapomniti: vsi znaki se spremenijo hkrati!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

cela imenujemo naravna števila, njihova nasprotja (to je vzeta z znakom "") in število.

pozitivno celo število, in se ne razlikuje od naravnega, potem je vse videti tako kot v prejšnjem razdelku.

Zdaj pa poglejmo nove primere. Začnimo z indikatorjem, ki je enak.

Vsako število na ničelno potenco je enako ena:

Kot vedno se sprašujemo: zakaj je tako?

Razmislite o moči z bazo. Vzemite na primer in pomnožite z:

Torej smo število pomnožili z in dobili enako, kot je bilo -. S katerim številom je treba pomnožiti, da se nič ne spremeni? Tako je, naprej. Pomeni.

Enako lahko storimo s poljubnim številom:

Ponovimo pravilo:

Vsako število na ničelno potenco je enako ena.

Vendar obstajajo izjeme od mnogih pravil. In tukaj je tudi tam - to je številka (kot osnova).

Po eni strani mora biti enako kateri koli stopinji - ne glede na to, koliko nič pomnožiš s samo seboj, še vedno dobiš nič, to je jasno. Po drugi strani pa mora biti enako kot vsako število do ničelne stopnje. Kaj je torej resnica tega? Matematiki so se odločili, da se ne bodo vpletali, in zavrnili dvig ničle na ničelno potenco. To pomeni, da zdaj ne moremo samo deliti z nič, ampak ga tudi dvignemo na ničelno potenco.

Gremo dalje. Cela števila vključujejo poleg naravnih števil in števil tudi negativna števila. Da bi razumeli, kaj je negativna stopnja, naredimo enako kot zadnjič: neko normalno število pomnožimo z enakim v negativni stopnji:

Od tu je že enostavno izraziti želeno:

Zdaj dobljeno pravilo razširimo na poljubno stopnjo:

Torej, oblikujmo pravilo:

Število na negativno potenco je obratno število istega števila na pozitivno potenco. Toda hkrati osnova ne more biti ničelna:(ker je nemogoče razdeliti).

Naj povzamemo:

I. Izraz ni definiran v primeru. Če, potem.

II. Vsako število na ničelno potenco je enako ena: .

III. Število, ki ni enako nič na negativno potenco, je obratna vrednost istega števila na pozitivno potenco: .

Naloge za samostojno reševanje:

No, kot običajno, primeri za neodvisno rešitev:

Analiza nalog za samostojno rešitev:

Vem, vem, številke so strašljive, a na izpitu moraš biti pripravljen na vse! Reši te primere ali analiziraj njihovo rešitev, če je nisi mogel rešiti, in naučil se boš, kako se z njimi zlahka spopasti na izpitu!

Nadaljujmo s širitvijo obsega števil, "primernih" kot eksponent.

Zdaj razmislite racionalna števila. Katera števila imenujemo racionalna?

Odgovor: vse, kar je mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila, poleg tega.

Da bi razumeli, kaj je "frakcijska stopnja" Razmislimo o ulomku:

Dvignimo obe strani enačbe na potenco:

Zdaj pa se spomnite pravila "stopnja do stopinje":

Katero število je treba dvigniti na potenco, da dobimo?

Ta formulacija je definicija korena th stopnje.

Naj vas spomnim: koren th potence števila () je število, ki je, če ga dvignete na potenco, enako.

To pomeni, da je koren th stopnje inverzna operacija potenciranja: .

Izkazalo se je, da. Očitno je ta poseben primer mogoče razširiti: .

Zdaj dodajte števec: kaj je to? Odgovor je enostavno dobiti s pravilom moči na moč:

Toda ali je lahko osnova poljubno število? Navsezadnje korena ni mogoče izvleči iz vseh števil.

nobene!

Zapomnite si pravilo: vsako število, povišano na sodo potenco, je pozitivno število. To pomeni, da je nemogoče izluščiti korenine sode stopnje iz negativnih števil!

In to pomeni, da takšnih števil ni mogoče dvigniti na ulomek s sodim imenovalcem, kar pomeni, da izraz nima smisla.

Kaj pa izražanje?

Tu pa nastane težava.

Število lahko predstavimo kot druge, zmanjšane ulomke, na primer ali.

In izkaže se, da obstaja, vendar ne obstaja, in to sta le dva različna zapisa iste številke.

Ali drug primer: enkrat, potem lahko zapišeš. Toda takoj, ko indikator zapišemo na drugačen način, spet dobimo težave: (torej, dobili smo popolnoma drugačen rezultat!).

Da bi se izognili takšnim paradoksom, razmislite le pozitivni osnovni eksponent z delnim eksponentom.

Torej če:

• - naravno število;
• je celo število;

Primeri:

Potence z racionalnim eksponentom so zelo uporabne za pretvorbo izrazov s koreni, na primer:

5 primerov iz prakse

Analiza 5 primerov za usposabljanje

1. Ne pozabite na običajne lastnosti stopinj:

2. . Tukaj se spomnimo, da smo se pozabili naučiti tabele stopinj:

konec koncev - ta oz. Rešitev se najde samodejno: .

No, zdaj - najtežje. Zdaj bomo analizirali stopnje z iracionalnim eksponentom.

Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnje z racionalnim eksponentom, z izjemo

Dejansko so po definiciji iracionalna števila števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to pomeni, da so iracionalna števila vsa realna števila razen racionalnih).

Pri preučevanju stopenj z naravnim, celoštevilskim in racionalnim indikatorjem smo vsakič sestavili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih.

Na primer, naravni eksponent je število, večkrat pomnoženo s samim seboj;

...ničelna moč- to je tako rekoč število, pomnoženo samo s seboj enkrat, to pomeni, da se še ni začelo množiti, kar pomeni, da se samo število še ni pojavilo - zato je rezultat le določeno "prazno število" , in sicer število;

...negativno celo število eksponent- kot da je prišlo do določenega "obratnega procesa", to je, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Mimogrede, znanost pogosto uporablja diplomo s kompleksnim eksponentom, torej eksponent sploh ni pravo število.

Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; te nove koncepte boste imeli priložnost razumeti na inštitutu.

KAMOR SMO PREPRIČANI, DA BOSTE ŠLI! (če se naučiš reševati take primere :))

Na primer:

Odločite se sami:

Analiza rešitev:

1. Začnimo z že običajnim pravilom za povišanje stopnje v stopnjo:

Zdaj pa poglejte rezultat. Vas na kaj spominja? Spomnimo se formule za skrajšano množenje razlike kvadratov:

V tem primeru,

Izkazalo se je, da:

odgovor: .

2. Ulomke v eksponentih spravimo v isto obliko: ali oba decimalna ali oba navadna. Dobimo na primer:

Odgovor: 16

3. Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

NAPREDNI NIVO

Opredelitev stopnje

Stopnja je izraz v obliki: , kjer je:

• — osnova diplome;
• - eksponent.

Stopnja z naravnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Dvig števila na naravno potenco n pomeni, da število pomnožimo s samim seboj krat:

Potenca s celim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Če je eksponent pozitivno celo številoštevilka:

erekcija na nič moči:

Izraz je nedoločen, ker je po eni strani na katerikoli stopnji to, na drugi strani pa je poljubno število na th stopnjo to.

Če je eksponent celo število negativnoštevilka:

(ker je nemogoče razdeliti).

Še enkrat o ničelnih vrednostih: izraz ni definiran v primeru. Če, potem.

Primeri:

Stopnja z racionalnim eksponentom

• - naravno število;
• je celo število;

Primeri:

Lastnosti stopnje

Za lažje reševanje težav poskusimo razumeti: od kod te lastnosti? Dokažimo jim.

Poglejmo: kaj je in?

Po definiciji:

Torej, na desni strani tega izraza dobimo naslednji produkt:

Toda po definiciji je to potenca števila z eksponentom, to je:

Q.E.D.

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : .

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : Pomembno je omeniti, da v našem pravilu nujno morajo imeti enako osnovo. Zato združujemo stopnje z osnovo, vendar ostajamo ločen faktor:

Druga pomembna opomba: to pravilo - samo za produkte moči!

Tega pod nobenim pogojem ne smem napisati.

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Preuredimo ga takole:

Izkazalo se je, da se izraz enkrat pomnoži sam s seboj, to je po definiciji to -ta potenca števila:

Pravzaprav lahko temu rečemo "oklepaj indikatorja". Ampak tega nikoli ne morete storiti v celoti:!

Spomnimo se formule za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati? Ampak to res ni res.

Moč z negativno osnovo.

Do te točke smo razpravljali le o tem, kar bi moralo biti kazalo stopnja. Toda kaj bi morala biti osnova? V stopinjah od naravno indikator osnova je lahko poljubno število .

Dejansko lahko katero koli število pomnožimo eno z drugim, ne glede na to, ali je pozitivno, negativno ali sodo. Pomislimo, kateri znaki (" " ali "") bodo imeli stopnje pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali bo število pozitivno ali negativno? AMPAK? ?

S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil pomnožimo med seboj, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Navsezadnje se spomnimo preprostega pravila iz 6. razreda: "minus krat minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo z (), dobimo -.

In tako naprej do neskončnosti: z vsakim naslednjim množenjem se bo predznak spremenil. Lahko oblikujete ta preprosta pravila:

1. celo stopnja, - št pozitivno.
2. Negativno število povišano na Čuden stopnja, - št negativno.
3. Pozitivno število na katero koli potenco je pozitivno število.
4. Nič na katero koli potenco je enako nič.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Vam je uspelo? Tukaj so odgovori:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: ni pomembno, čemu je osnova enaka - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven. No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost. Tukaj morate ugotoviti, kaj je manj: ali? Če se spomnite tega, postane jasno, da, kar pomeni, da je osnova manjša od nič. To pomeni, da uporabljamo pravilo 2: rezultat bo negativen.

In spet uporabimo definicijo stopnje:

Vse je kot običajno - zapišemo definicijo stopinj in jih razdelimo eno na drugo, razdelimo v pare in dobimo:

Preden analiziramo zadnje pravilo, rešimo nekaj primerov.

Izračunajte vrednosti izrazov:

Rešitve :

Če ne bomo pozorni na osmo stopnjo, kaj vidimo tukaj? Oglejmo si program za 7. razred. Torej, se spomniš? To je skrajšana formula množenja, namreč razlika kvadratov!

Dobimo:

Pazljivo pogledamo imenovalec. Izgleda zelo podobno kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Napačen vrstni red izrazov. Če bi bili obrnjeni, bi lahko uporabili pravilo 3. Toda kako to storiti? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Če pomnožite s, se nič ne spremeni, kajne? Zdaj pa izgleda takole:

Izrazi so čudežno zamenjali mesta. Ta »fenomen« velja za katerikoli izraz v celotni meri: znake v oklepaju lahko poljubno spreminjamo. Vendar si je pomembno zapomniti: vsa znamenja se spremenijo hkrati! Tega se ne da nadomestiti s spremembo samo enega za nas oporečnega minusa!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

Zdaj pa še zadnje pravilo:

Kako bomo to dokazali? Seveda, kot običajno: razširimo pojem diplome in poenostavimo:

No, zdaj pa odprimo oklepaje. Koliko črk bo? krat z množitelji - kako to izgleda? To ni nič drugega kot definicija operacije množenje: skupaj se je izkazalo, da so množitelji. To pomeni, da je po definiciji potenca števila z eksponentom:

primer:

Stopnja z iracionalnim eksponentom

Poleg informacij o stopnjah za povprečno stopnjo bomo analizirali stopnjo z iracionalnim indikatorjem. Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnjo z racionalnim eksponentom, z izjemo - navsezadnje so iracionalna števila po definiciji števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to je iracionalna števila so vsa realna števila razen racionalnih).

Pri preučevanju stopenj z naravnim, celoštevilskim in racionalnim indikatorjem smo vsakič sestavili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih. Na primer, naravni eksponent je število, večkrat pomnoženo s samim seboj; število do ničelne stopnje je tako rekoč število, ki je enkrat pomnoženo samo s seboj, to pomeni, da se še ni začelo množiti, kar pomeni, da se samo število še ni niti pojavilo - torej je rezultat samo določena »priprava številke«, namreč številka; stopnja s celim negativnim indikatorjem - kot da se je zgodil določen "obraten proces", to je, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Zelo težko si je predstavljati stopnjo z iracionalnim eksponentom (tako kot si je težko predstavljati 4-dimenzionalni prostor). Namesto tega gre za povsem matematični objekt, ki so ga matematiki ustvarili, da bi koncept stopnje razširili na celoten prostor števil.

Mimogrede, znanost pogosto uporablja diplomo s kompleksnim eksponentom, torej eksponent sploh ni pravo število. Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; te nove koncepte boste imeli priložnost razumeti na inštitutu.

Kaj torej naredimo, če vidimo iracionalen eksponent? Trudimo se ga znebiti! :)

Na primer:

Odločite se sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Zapomni si formulo razlike kvadratov. Odgovor: .
2. Ulomke spravimo v isto obliko: bodisi oba decimalna ali oba navadna. Dobimo na primer: .
3. Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

POVZETEK ODDELKA IN OSNOVNA FORMULA

stopnja se imenuje izraz v obliki: , kjer je:

Stopnja s celim eksponentom

stopnje, katere eksponent je naravno število (tj. celo in pozitivno).

Stopnja z racionalnim eksponentom

stopnje, katere indikator so negativna in delna števila.

Stopnja z iracionalnim eksponentom

eksponent, katerega eksponent je neskončen decimalni ulomek ali koren.

Lastnosti stopnje

Značilnosti diplom.

• Negativno število povišano na celo stopnja, - št pozitivno.
• Negativno število povišano na Čuden stopnja, - št negativno.
• Pozitivno število na katero koli potenco je pozitivno število.
• Nič je enaka kateri koli potenci.
• Vsako število na ničelno potenco je enako.

ZDAJ IMATE BESEDO ...

Kako vam je všeč članek? V spodnjih komentarjih mi sporočite, ali vam je bil všeč ali ne.

Povejte nam o svojih izkušnjah z lastnostmi moči.

Morda imate vprašanja. Ali predlogi.

Zapiši v komentarje.

Pa srečno pri izpitih!

primarni cilj

Učence seznaniti z lastnostmi stopinj z naravnimi indikatorji in jih naučiti izvajati dejanja s stopinjami.

Tema "Stopnja in njene lastnosti" vključuje tri vprašanja:

• Določitev stopnje z naravnim indikatorjem.
• Množenje in deljenje potenc.
• Potencevanje produkta in stopnje.

testna vprašanja

1. Oblikujte definicijo stopnje z naravnim eksponentom, večjim od 1. Navedite primer.
2. Oblikujte definicijo stopnje z indikatorjem 1. Navedite primer.
3. Kakšen je vrstni red operacij pri vrednotenju vrednosti izraza, ki vsebuje potence?
4. Formulirajte glavno lastnost diplome. Navedite primer.
5. Oblikujte pravilo za množenje potenc z isto osnovo. Navedite primer.
6. Oblikujte pravilo za deljenje potence z enakimi osnovami. Navedite primer.
7. Oblikujte pravilo za potenciranje produkta. Navedite primer. Dokaži istovetnost (ab) n = a n b n .
8. Oblikujte pravilo za povišanje stopnje na potenco. Navedite primer. Dokaži istovetnost (a m) n = a m n .

Opredelitev stopnje.

stopnja števila a z naravnim indikatorjem n, večji od 1, se imenuje produkt n faktorjev, od katerih je vsak enak a. stopnja števila a s eksponentom 1 se imenuje samo število a.

Stopnja z osnovo a in indikator n je napisano takole: a n. piše " a do te mere n”; “ n-ta potenca števila a ”.

Po definiciji stopnje:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Iskanje vrednosti stopnje se imenuje potenciranje .

1. Primeri potenciranja:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Poiščite vrednosti izraza:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Možnost 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Kvadrat številk:

3. Sestavite števila v kocko:

4. Poiščite vrednosti izraza:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Množenje potenc.

Za poljubno število a in poljubni števili m in n velja:

a m a n = a m + n.

Dokaz:

pravilo : Pri množenju potenc z isto osnovo ostanejo osnove enake, eksponenti pa se seštejejo.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Možnost 1

1. Predstavite kot diplomo:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Predstavite kot stopinjo in poiščite vrednost v tabeli:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Delitev stopinj.

Za poljubno število a0 in poljubni naravni števili m in n, tako da je m>n, velja:

a m: a n = a m - n

Dokaz:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

po definiciji zasebnega:

a m: a n \u003d a m - n.

pravilo: Pri deljenju potenc z isto osnovo ostane osnova enaka, eksponent delitelja pa se odšteje od eksponenta dividende.

definicija: Stopnja neničelnega števila z ničelnim eksponentom je enaka ena:

Ker a n: a n = 1 za a0.

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6

d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

v)

G)

e)

Možnost 1

1. Izrazi količnik kot potenco:

2. Poiščite vrednosti izrazov:

Dvig na moč izdelka.

Za poljubna a in b ter poljubno naravno število n:

(ab) n = a n b n

Dokaz:

Po definiciji stopnje

(ab) n =

Če ločeno združimo faktorje a in faktorje b, dobimo:

=

Dokazana lastnost stopnje produkta se razširi na stopnjo produkta treh ali več faktorjev.

Na primer:

(a b c) n = a n b n c n;

(a b c d) n = a n b n c n d n.

pravilo: Pri povišanju produkta na potenco se vsak faktor povzdigne na to potenco in rezultat se pomnoži.

1. Dvignite na potenco:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 \u003d (-5) 3 y 3 \u003d -125 y 3

e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 y 2 \u003d 0,04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Poiščite vrednost izraza:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

Možnost 1

1. Dvignite na potenco:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Poiščite vrednost izraza:

b) (5 7 20) 2

Potencevanje.

Za poljubno število a in poljubni naravni števili m in n:

(a m) n = a m n

Dokaz:

Po definiciji stopnje

(a m) n =

Pravilo: Pri dvigovanju potence na potenco ostane osnova enaka, eksponenti pa se pomnožijo.

1. Dvignite na potenco:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Poenostavite izraze:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

a)

b)

Možnost 1

1. Dvignite na potenco:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Poenostavite izraze:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y y 9) 2

3. Poiščite pomen izrazov:

Aplikacija

Opredelitev stopnje.

Možnost 2

1. Zmnožek zapišite v obliki stopnje:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Kvadrat številk:

3. Sestavite števila v kocko:

4. Poiščite vrednosti izraza:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Možnost 3

1. Zmnožek zapišite kot diplomo:

a) 0,5 0,5 0,5

c) c c c c c c c c c

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Prisoten v obliki kvadrata števila: 100; 0,49; .

3. Sestavite števila v kocko:

4. Poiščite vrednosti izraza:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Možnost 4

1. Zmnožek zapišite kot diplomo:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-а) (-а) (-а)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Kvadrat številk:

3. Sestavite števila v kocko:

4. Poiščite vrednosti izraza:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Množenje potenc.

Možnost 2

1. Predstavite kot diplomo:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Predstavite kot stopinjo in poiščite vrednost v tabeli:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Možnost 3

1. Predstavite kot diplomo:

a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Predstavite kot stopinjo in poiščite vrednost v tabeli:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Možnost 4

1. Predstavite kot diplomo:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Predstavite kot stopinjo in poiščite vrednost v tabeli:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Delitev stopinj.

Možnost 2

1. Izrazi količnik kot potenco:

2. Poiščite vrednosti izrazov:

Tema lekcije: Potencevanje produkta, količnika in stopnje

Vrsta lekcije: Lekcija posploševanja in sistematizacije znanja

Oblikovani rezultati:

predmet. Utrditi veščine uporabe lastnosti diplome z naravnim indikatorjem

Osebno. Oblikovati sposobnost načrtovanja svojih dejanj v skladu z nalogo usposabljanja

Metasubjekt. Razviti razumevanje bistva algebraičnih predpisov in sposobnost delovanja v skladu s predlaganim algoritmom

Pričakovani rezultati: Učenci se bodo naučili uporabiti lastnosti stopnje z naravnim eksponentom za izračun vrednosti izrazov in transformacijo izrazov, ki vsebujejo stopnje.

Oprema: karte, multimedijski projektor, signalne karte za refleksijo.

Organizacijska struktura pouka:

1 . Organiziranje časa.

Pozdravljeni dragi fantje! Zelo sem vesel, da te vidim. Začnimo z lekcijo matematike

Kakšne so bile težave pri izvajanju d/s?

Odsev.

Pred vsakim učencem so krogi treh barv: rdeča, zelena, modra.

Povejte mi o svojem razpoloženju z uporabo barvnih krogov (rdeča– vesela, prepričana sem, da se bom pri pouku naučila veliko novega, prepričana sem v svoje znanje.

Zelena -miren; Prepričan sem v svoje znanje.

Modra- zaskrbljen; Nisem prepričan).

Malce vas bom razveselil s Poissonovimi besedami: »Življenje krasita dve stvari: ukvarjanje z matematiko in poučevanje le-te.«

Okrasimo si življenje!

2. Sporočanje teme in namena lekcije.

Danes bomo nadaljevali s študijem teme: "Dvig produkta količnika in stopnje na potenco",

utrdite vsa preučena dejanja z diplomami,

Naučili se bomo sklepati, logično razmišljati in dokazovati svoje stališče.

3. Blitz anketa po pravilih teme.

Kako pomnožiti eksponente z isto osnovo? Navedite primere.

Kako deliti stopinje z isto osnovo?

Kolikšna je potenca neničelnega števila a z ničelnim eksponentom?

Kako dvigniti produkt na moč?

Kako povišati diplomo na diplomo?

4. Ustni obračun.

Komu pripadajo te besede?

"Med vsemi znanostmi, ki človeku odpirajo pot do spoznanja naravnih zakonov, je najmočnejša, največja znanost matematika."

/Sofja Vasiljevna Kovalevska/

Prva ženska je matematik.

Učili se boste z reševanjem nalog ustnega računanja.

K - Kolikšna je stranica kvadrata, če je njegova ploščina 49 cm 2. (7 cm)

O – Kvadrat katerega števila je enak? ()

B - x 3 x 4 (x 7)

A - x 6 : x 2 (x 4)

L - (x 3) 3 (x 9)

E -
(m 3 )

V -
(m 8 )

OD -
(m 10 )

K - (- 2) 3 (-8)

A - - 2 2 (-4)

jaz - 2 0 (1)

5. Utrjevanje naučenega.

Ponovili smo pravila za dvig produkta na potenco in potenco na potenco.

Zdaj pa to popravimo na praktičnih nalogah.

Več ljudi boraziskovanje. (Zdrs)

Delo v parih.

1) Dokaži, da sta kvadrata nasprotnih števil enaka.

2) Dokaži, da sta kocki nasprotnih števil nasprotni.

3) Kako se bo spremenila površina kvadrata, če se njegova stranica podvoji? 3-krat; 10-krat; n-krat?

4) Kako se bo spremenila prostornina kocke, če se njen rob podvoji; 3-krat; 10-krat; n-krat?

6. Razmislek: pokaži mi svoje razpoloženje.

7. Fizmunutka: "Strinjam se - ne strinjam se"

Pokimaj z glavo, če se strinjaš z mano ali ne.

1) (y 2) 3 \u003d y 5 (ne)

2) (-3) 3 = -27 (da)

3) (-x) 2 \u003d -x 2 (ne)

4) Graf funkcije y \u003d 1,3x poteka skozi izvor. (Da)

8.

3 · () 2 – 0,5 2

a) -1; b) - 1 ; v 1 ; d) 1

2) Poenostavite izraz:

a) m 10 ; b) m 4 ; c) m 2 ; d) m 8 .

3) Izračunaj:

A) 3; b) 9; c) :d)

4) Kateri izraz je treba zamenjati namesto (*), da dobimo identiteto:

X 8 : (*) = x 4

A) x 4; b) x 2; c) x 8; d) x 12

Preverjanje diapozitiva:

9. Igrajmo se "Poišči napako!"

1) a 15 : a 3 = a 5

2) -z · z5 · z 0 =-z 6 - prav

3)
=

4) (y 4 y) 2 \u003d y 10 - drži

Nepravilne naloge zapiši in reši pravilno.

10. Rezultat lekcije.

Kaj ste se naučili v lekciji?

11. D / s

št. 458, 457 (diapozitiv)

Poročila o S.V. Kovalevskaja.

12. Razmislek.

Pokažite, kako se počutite, ko zapustite razred.

Slide: Vso srečo!

FI:

Samostojno delo. (test)

1) Poiščite vrednost izraza:

3 () 2 – 0,5 2

a) -1; b) - 1 ; v 1 ; d) 1

2) Poenostavite izraz:

a) m 10 ; b) m 4 ; c) m 2 ; d) m 8 .

3) Izračunaj:

a) 3; b) 9; c) :d)

4) Kateri izraz je treba zamenjati namesto (*), da dobimo identiteto:

x 8 : (*) = x 4

a) x 4; b) x 2; c) x 8; d) x 12

Ocena:

Samostojno delo. (test)

1) Poiščite vrednost izraza:

3 () 2 – 0,5 2

a) -1; b) - 1 ; v 1 ; d) 1

2) Poenostavite izraz:

Upoštevajte, da ta razdelek obravnava koncept stopinj le z naravnim indikatorjem in nič.

Koncept in lastnosti stopenj z racionalnimi eksponenti (z negativnimi in ulomki) bodo obravnavani v učnih urah za 8. razred.

Torej, ugotovimo, kaj je stopnja števila. Za zapis zmnožka števila samega se večkrat uporabi skrajšan zapis.

Namesto množenja šestih enakih faktorjev 4 4 4 4 4 4 napišejo 4 6 in rečejo "štiri na šesto potenco."

4 4 4 4 4 4 = 4 6

Izraz 4 6 imenujemo potenca števila, kjer je:

• 4 — osnova diplome;
• 6 — eksponent.

Na splošno je stopnja z osnovo "a" in eksponentom "n" zapisana z izrazom:

Ne pozabite!

Stopnja števila "a" z naravnim eksponentom "n", večjim od 1, je produkt "n" enakih faktorjev, od katerih je vsak enak številu "a".

Zapis " a n"Gre se takole:" in na potenco n "ali" n-to potenco števila a".

Izjema so vnosi:

• a 2 - lahko se izgovori kot "a na kvadrat";
• a 3 - lahko se izgovori kot "a v kocki."

• a 2 - "in do druge stopnje";
• a 3 - "a do tretje stopnje."

Posebni primeri nastanejo, če je eksponent enak ena ali nič (n = 1; n = 0).

Ne pozabite!

Stopnja števila "a" z eksponentom n \u003d 1 je sama ta številka:
a 1 = a

Vsako število na ničelno potenco je enako ena.
a 0 = 1

Nič katera koli naravna moč je enaka nič.
0 n = 0

Ena na katero koli potenco je enako 1.
1n=1

Izraz 0 0 ( moč od nič do nič) velja za nesmiselno.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Pri reševanju primerov si morate zapomniti, da se povišanje na potenco imenuje iskanje številske ali dobesedne vrednosti po povišanju na potenco.

Primer. Dvignite na moč.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Potenciranje negativnega števila

Osnova potence (število, ki se dvigne na potenco) je lahko poljubno število — pozitivno, negativno ali nič.

Ne pozabite!

Če pozitivno število dvignemo na potenco, dobimo pozitivno število.

Dvig ničle na naravno stopnjo povzroči nič.

Pri povišanju negativnega števila na potenco je lahko rezultat bodisi pozitivno ali negativno število. Odvisno je od tega, ali je bil eksponent sodo ali liho število.

Razmislite o primerih dvigovanja negativnih števil na potenco.

Iz obravnavanih primerov je razvidno, da če negativno število dvignemo na liho potenco, dobimo negativno število. Ker je produkt lihega števila negativnih dejavnikov negativen.

Če negativno število dvignemo na sodo potenco, dobimo pozitivno število. Ker je produkt sodega števila negativnih faktorjev pozitiven.

Ne pozabite!

Negativno število, povišano na sodo potenco, je pozitivno število.

Negativno število, povišano na liho potenco, je negativno število.

Kvadrat poljubnega števila je pozitivno število ali nič, to je:

a 2 ≥ 0 za vsak a .

• 2 (−3) 2 = 2 (−3) (−3) = 2 9 = 18
• −5 (−2) 3 = −5 (−8) = 40

Opomba!

Pri reševanju primerov potenciranja pogosto pride do napak, pri čemer se pozabi, da sta vnosa (−5) 4 in −5 4 različna izraza. Rezultati dviga teh izrazov na potenco bodo različni.

Izračunaj (−5) 4 pomeni najti vrednost četrte potence negativnega števila.

(−5) 4 = (−5) (−5) (−5) (−5) = 625

Medtem ko iskanje "-5 4" pomeni, da je treba primer rešiti v 2 korakih:

1. Dvignite pozitivno število 5 na četrto potenco.
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. Pred dobljenim rezultatom postavite znak minus (to je, izvedite dejanje odštevanja).
   −5 4 = −625

Primer. Izračunaj: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) (−1) (−1) (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Postopek za primere z diplomami

Izračunavanje vrednosti se imenuje dejanje potenciranja. To je dejanje tretje stopnje.

Ne pozabite!

V izrazih s stopnjami, ki ne vsebujejo oklepajev, najprej izvedite potenciranje, potem množenje in deljenje, in na koncu seštevanje in odštevanje.

Če so v izrazu oklepaji, se najprej v zgoraj navedenem vrstnem redu izvedejo dejanja v oklepajih, nato pa preostala dejanja v istem vrstnem redu od leve proti desni.

Primer. Izračunajte:

Za lažje reševanje primerov je koristno poznati in uporabljati stopinjsko tabelo, ki jo lahko brezplačno prenesete na naši spletni strani.

Če želite preveriti svoje rezultate, lahko uporabite kalkulator na naši spletni strani "

Potenciranje je operacija, ki je tesno povezana z množenjem, ta operacija je rezultat večkratnega množenja števila samega s seboj. Predstavimo formulo: a1 * a2 * ... * an = an.

Na primer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Na splošno se potenciranje pogosto uporablja v različnih formulah v matematiki in fiziki. Ta funkcija ima bolj znanstveni namen kot štiri osnovne: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje.

Dvig števila na potenco

Dvig števila na potenco ni težka operacija. Povezan je z množenjem kot razmerje med množenjem in seštevanjem. Zapis an - kratek zapis n-tega števila števil "a", pomnoženih med seboj.

Razmislite o potenciranju na najpreprostejših primerih in preidite na zapletene.

Na primer, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Štiri na kvadrat (na drugo potenco) je enako šestnajst. Če ne razumete množenja 4 * 4, potem preberite naš članek o množenju.

Poglejmo še en primer: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pet kubičnih (na tretjo potenco) je enako sto petindvajset.

Drug primer: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devet kubnih je sedemsto devetindvajset.

Formule za potenciranje

Za pravilno povišanje na potenco si morate zapomniti in poznati spodnje formule. V tem ni nič drugega kot naravno, glavna stvar je razumeti bistvo in potem si jih ne bodo samo zapomnili, ampak se bodo tudi zdeli enostavni.

Dvig monoma na potenco

Kaj je monom? To je zmnožek števil in spremenljivk v kateri koli količini. Na primer, dva je monom. In ta članek govori o dvigu takšnih monomov na potenco.

S pomočjo formul za potenciranje ne bo težko izračunati stopnjevanja monoma na potenco.

na primer (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Če monom dvignemo na potenco, potem se vsaka komponenta monoma dvigne na potenco.

Ko spremenljivko, ki že ima stopnjo, dvignemo na potenco, se stopnje pomnožijo. Na primer, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Dvig na negativno potenco

Negativni eksponent je recipročna vrednost števila. Kaj je recipročnost? Za poljubno število X je recipročna vrednost 1/X. To je X-1=1/X. To je bistvo negativne stopnje.

Razmislite o primeru (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Zakaj? Ker je v stopnji minus, ta izraz preprosto prenesemo na imenovalec in ga nato dvignemo na tretjo potenco. Ravno prav?

Dvig na ulomek

Začnimo s konkretnim primerom. 43/2. Kaj pomeni moč 3/2? 3 - števec, pomeni dvig števila (v tem primeru 4) na kocko. Število 2 je imenovalec, to je ekstrakcija drugega korena števila (v tem primeru 4).

Nato dobimo kvadratni koren iz 43 = 2^3 = 8 . Odgovor: 8.

Torej je imenovalec ulomka stopnje lahko 3 ali 4 in do neskončnosti poljubno število, to število pa določa stopnjo kvadratnega korena, izvlečenega iz danega števila. Seveda imenovalec ne more biti nič.

Dvigovanje korena na moč

Če je koren dvignjen na potenco, ki je enaka potenci samega korena, potem je odgovor radikalni izraz. Na primer, (√x)2 = x. In tako v vsakem primeru enakosti stopnje korena in stopnje dviga korena.

Če (√x)^4. Potem (√x)^4=x^2. Za preverjanje rešitve prevedemo izraz v izraz z delno stopnjo. Ker je koren kvadraten, je imenovalec 2. In če koren dvignemo na četrto potenco, je števec 4. Dobimo 4/2=2. Odgovor: x = 2.

V vsakem primeru je najboljša možnost preprosto pretvoriti izraz v delni eksponent. Če se ulomek ne zmanjša, potem bo tak odgovor, pod pogojem, da koren danega števila ni dodeljen.

Potenciranje kompleksnega števila

Kaj je kompleksno število? Kompleksno število je izraz, ki ima formulo a + b * i; a, b sta realna števila. i je število, ki pri kvadriranju da število -1.

Razmislite o primeru. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Prijavite se na tečaj »Pospešite mentalno štetje, NE mentalno aritmetiko«, da se naučite hitro in pravilno seštevati, odštevati, množiti, deliti, kvadrirati števila in celo vaditi koren. V 30 dneh se boste naučili z enostavnimi triki poenostaviti aritmetične operacije. Vsaka lekcija vsebuje nove tehnike, jasne primere in uporabne naloge.

Potenciranje na spletu

S pomočjo našega kalkulatorja lahko izračunate potenciranje števila na potenco:

Potenciranje 7. razred

Dvig na moč začne prehajati šolarje šele v sedmem razredu.

Potenciranje je operacija, ki je tesno povezana z množenjem, ta operacija je rezultat večkratnega množenja števila samega s seboj. Predstavimo formulo: a1 * a2 * … * an=an .

na primer a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Primeri rešitev:

Predstavitev stopnjevanja

Predstavitev o potenciranju, namenjena sedmošolcem. Predstavitev bo morda razjasnila nekatere nerazumljive točke, vendar jih po zaslugi našega članka verjetno ne bo.

Izid

Upoštevali smo le vrh ledene gore, da bi bolje razumeli matematiko - prijavite se na naš tečaj: Pospešite mentalno štetje - NE mentalno aritmetiko.

Na tečaju se ne boste le naučili na desetine trikov za poenostavljeno in hitro množenje, seštevanje, množenje, deljenje, računanje odstotkov, ampak jih boste tudi izdelali v posebnih nalogah in izobraževalnih igrah! Tudi miselno štetje zahteva veliko pozornosti in koncentracije, ki se aktivno urita pri reševanju zanimivih problemov.