Как правильно переносить запятые в десятичных дробях. Действия с десятичными дробями

Конспект урока с презентацией по теме "Перенос запятой в положительной десятичной дроби". В процессе урока осуществляется переход от умений учащихся умножать и делить десятичные дроби на обыкновенные к умению умножать и делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Урок построен так, что учащиеся правила выводят самостоятельно.

Просмотр содержимого документа
«Перенос запятой в положительной десятичной дроби. Математика 6 класс.»

Урок математики в 6 классе.

Тема урока: Перенос запятой в положительной десятичной дроби.

Цели урока:

образовательная – формирование знаний учащихся правил умножения и

деления десятичной дроби на разрядную единицу 10,

100, 1000 и т. д. и умений использовать знания при

решении упражнений;

развивающая – развитие устной и письменной математической речи,

логического мышления, памяти учащихся;

воспитательная - воспитание дисциплины, трудолюбия и

организованности.

Задачи урока:

1. В итоге решения примеров на умножение и деление десятичной дроби на разрядную единицу 10, 100, 1000 и т. д., учащиеся самостоятельно выводят правила;

2. Используя правила учащиеся закрепляют знания решением примеров по теме.

Оборудование, используемое на уроке:

Компьютер, проектор, экран.

К ведению урока:

1. Организация начала урока

Тема урока, цель урока

2. Проверка домашней работы

№ 626 (на повторение)

Домашняя работа проверяется фронтальным опросом учащихся.

3. Актуализация знаний по теме

Учащиеся решают упражнение на доске по одному примеру.

1 Вычислить, представив десятичную дробь в виде обыкновенной

(слайд1 ):

а) 5,6 = б) 7,2: = в) 2,07 10 =

г) 2,07 100 = д) 5,31: 10 = е) 5,31: 100 =

4. Изложение нового материала

Решение четырех последних примеров является темой сегодняшнего

Теперь выпишем начало примера и конечный результат в примерах

в,г,д,е (слайд2 )

Какой можно сделать вывод?

Что получаем при умножении десятичной дроби на 10?

Что получаем при умножении десятичной дроби на 100? А на 1000?

Учащимся предлагается вывести правило умножения положительной десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Какой можно сделать вывод?

Что получаем при делении десятичной дроби на 10?

Что получаем при делении десятичной дроби на 100? А на 1000?

Учащимся предлагается вывести правило деления положительной десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

После того, как учащиеся расскажут правило, каким они его видят, весь класс записывает правила со слайда 3

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., нужно в записи дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей в разрядной единице. Если необходимо, то приписать нули справа.
34,8 ∙ 100 =

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., нужно в записи дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей в разрядной единице. Если необходимо, то приписать нули слева.

647,5: 100=

5. Первичное закрепление знаний (по резерву времени) (слайд 4 )

№213°. Чему равно произведение:
а) 9,54 ∙ 10; в) 9,54 ∙ 1000;
б) 9,54 ∙ 100; г) 9,54 ∙ 10000;
№221°. Чему равно частное:
а) 65,78: 10; г) 12,43: 100;
б) 87: 10; д) 0,056: 100;
в) 8: 10 ; е) 54: 1000.

Проверим результаты (слайд 5 )

6. Домашнее задание №777; № 778; №779; №780

Рассмотрим примеры деления десятичных дробей в этом свете.

Пример.

Выполните деление десятичной дроби 1,2 на десятичную дробь 0,48 .

Решение.

Ответ:

1,2:0,48=2,5 .

Пример.

Разделите периодическую десятичную дробь 0,(504) на десятичную дробь 0,56 .

Решение.

Переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную : . Также переведем конечную десятичную дробь 0,56 в обыкновенную, имеем 0,56=56/100 . Теперь мы можем перейти от деления исходных десятичных дробей к делению обыкновенных дробей и закончить вычисления: .

Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную дробь, выполнив деление числителя на знаменатель столбиком:

Ответ:

0,(504):0,56=0,(900) .

Принцип деления бесконечных непериодических десятичных дробей отличается от принципа деления конечных и периодических десятичных дробей, так как непериодические десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби. Деление бесконечных непериодических десятичных дробей сводится к делению конечных десятичных дробей, для чего проводится округление чисел до некоторого разряда. Причем, если одним из чисел, с которыми проводится деление, является конечная или периодическая десятичная дробь, то она тоже округляются до того же разряда, что и непериодическая десятичная дробь.

Пример.

Разделите бесконечную непериодическую десятичную дробь 0,779… на конечную десятичную дробь 1,5602 .

Решение.

Сначала нужно округлить десятичные дроби, чтобы от деления бесконечной непериодической десятичной дроби перейти к делению конечных десятичных дробей. Мы можем провести округление до сотых: 0,779…≈0,78 и 1,5602≈1,56 . Таким образом, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Ответ:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Деление натурального числа на десятичную дробь и наоборот

Суть подхода к делению натурального числа на десятичную дробь и к делению десятичной дроби на натуральное число ничем не отличается от сути деления десятичных дробей. То есть, конечные и периодические дроби заменяются обыкновенными дробями, а бесконечные непериодические дроби округляются.

Для иллюстрации рассмотрим пример деления десятичной дроби на натуральное число.

Пример.

Выполните деление десятичной дроби 25,5 на натуральное число 45 .

Решение.

Заменив десятичную дробь 25,5 обыкновенной дробью 255/10=51/2 , деление сводится к делению обыкновенной дроби на натуральное число : . Полученная дробь в десятичной записи имеет вид 0,5(6) .

Ответ:

25,5:45=0,5(6) .

Деление десятичной дроби на натуральное число столбиком

Деление конечных десятичных дробей на натуральные числа удобно проводить столбиком по аналогии с делением столбиком натуральных чисел . Приведем правило деления.

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число столбиком , надо:

• дописать справа в делимой десятичной дроби несколько цифр 0 , (в процессе деления при необходимости можно дописать еще любое количество нулей, но эти нули могут и не понадобиться);
• выполнить деление столбиком десятичной дроби на натуральное число по всем правилам деления столбиком натуральных чисел, но когда закончится деление целой части десятичной дроби, то в частном нужно поставить запятую и продолжить деление.

Сразу скажем, что в результате деления конечной десятичной дроби на натуральное число может получиться или конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая десятичная дробь. Действительно, после того, как закончится деление всех отличных от 0 десятичных знаков делимой дроби, может получиться либо остаток 0 , и мы получим конечную десятичную дробь, либо остатки начнут периодически повторяться, и мы получим периодическую десятичную дробь.

Разберемся со всеми тонкостями деления десятичных дробей на натуральные числа столбиком при решении примеров.

Пример.

Разделите десятичную дробь 65,14 на 4 .

Решение.

Выполним деление десятичной дроби на натуральное число столбиком. Допишем пару нулей справа в записи дроби 65,14 , при этом получим равную ей десятичную дробь 65,1400 (смотрите равные и неравные десятичные дроби). Теперь можно приступать к делению столбиком целой части десятичной дроби 65,1400 на натуральное число 4 :

На этом деление целой части десятичной дроби закончено. Здесь в частном нужно поставить десятичную запятую и продолжить деление:

Мы пришли к остатку 0 , на этом этапе деление столбиком заканчивается. В итоге имеем 65,14:4=16,285 .

Ответ:

65,14:4=16,285 .

Пример.

Выполните деление 164,5 на 27 .

Решение.

Проведем деление десятичной дроби на натуральное число столбиком. После деления целой части получаем следующую картину:

Теперь ставим в частном запятую и продолжаем деление столбиком:

Сейчас хорошо видно, что начали повторяться остатки 25 , 7 и 16 , при этом в частном повторяются цифры 9 , 2 и 5 . Таким образом, деление десятичной дроби 164,5 на 27 приводит нас к периодической десятичной дроби 6,0(925) .

Ответ:

164,5:27=6,0(925) .

Деление десятичных дробей столбиком

К делению десятичной дроби на натуральное число столбиком можно свести деление десятичной дроби на десятичную дробь. Для этого делимое и делитель нужно умножить на такое число 10 , или 100 , или 1 000 , и т.д., чтобы делитель стал натуральным числом, после чего выполнить деление на натуральное число столбиком. Это мы можем делать в силу свойств деления и умножения, так как a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) и так далее.

Иными словами, чтобы разделить конечную десятичную дробь на конечную десятичную дробь , нужно:

• в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе, если при этом в делимом не хватает знаков для переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа;
• после этого провести деление столбиком десятичной дроби на натуральное число.

Рассмотрим при решении примера применение этого правила деления на десятичную дробь.

Пример.

Выполните деление столбиком 7,287 на 2,1 .

Решение.

Перенесем запятую в данных десятичных дробях на одну цифру вправо, это нам позволит от деления десятичной дроби 7,287 на десятичную дробь 2,1 перейти к делению десятичной дроби 72,87 на натуральное число 21 . Выполним деление столбиком:

Ответ:

7,287:2,1=3,47 .

Пример.

Выполните деление десятичной дроби 16,3 на десятичную дробь 0,021 .

Решение.

Перенесем вправо на 3 знака запятую в делимом и делителе. Очевидно, в делителе не хватает цифр для переноса запятой, поэтому допишем необходимое количество нулей справа. Теперь выполним деление столбиком дроби 16300,0 на натуральное число 21 :

С этого момента начинают повторяться остатки 4 , 19 , 1 , 10 , 16 и 13 , а значит, будут повторяться и цифры 1 , 9 , 0 , 4 , 7 и 6 в частном. В результате мы получаем периодическую десятичную дробь 776,(190476) .

Ответ:

16,3:0,021=776,(190476) .

Заметим, что озвученное правило позволяет делить столбиком натуральное число на конечную десятичную дробь.

Пример.

Разделите натуральное число 3 на десятичную дробь 5,4 .

Решение.

После переноса запятой на 1 цифру вправо, приходим к делению числа 30,0 на 54 . Выполним деление столбиком:
.

Это правило можно применять и при делении бесконечных десятичных дробей на 10, 100, … . К примеру, 3,(56):1 000=0,003(56) и 593,374…:100=5,93374… .

Деление десятичных дробей на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.

Так как 0,1=1/10 , 0,01=1/100 и т.д., то из правила деления на обыкновенную дробь следует, что разделить десятичную дробь на 0,1 , 0,01 , 0,001 и т.д. это все равно, что умножить данную десятичную дробь на 10 , 100 , 1 000 и т.д. соответственно.

Другими словами, чтобы разделить десятичную дробь на 0,1, 0,01, … нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифр, при этом если цифр в записи десятичной дроби недостаточно для переноса запятой, то справа нужно дописать необходимое количество нулей.

Например, 5,739:0,1=57,39 и 0,21:0,00001=21 000 .

Это же правило можно применять при делении бесконечных десятичных дробей на 0,1 , 0,01 , 0,001 и т.д. При этом следует быть очень внимательным с делением периодических дробей, чтобы не ошибиться с периодом дроби, которая получается в результате деления. К примеру, 7,5(716):0,01=757,(167) , так как после переноса запятой в записи десятичной дроби 7,5716716716… на два знака вправо, имеем запись 757,167167… . С бесконечными непериодическими десятичными дробями все проще: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Деление обыкновенной дроби или смешанного числа на десятичную дробь и наоборот

Деление обыкновенной дроби или смешанного числа на конечную или периодическую десятичную дробь, а также деление конечной или периодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число сводится к делению обыкновенных дробей. Для этого десятичные дроби заменяются соответствующими обыкновенными дробями, а смешанное число представляется в виде неправильной дроби.

При делении бесконечной непериодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число и наоборот следует перейти к делению десятичных дробей, заменив обыкновенную дробь или смешанное число соответствующей десятичной дробью.

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Математика 6

УРОК № 109. Глава 4 . Десятичные дроби (35 часов )

Тема 1. Десятичные дроби произвольного знака (19 часов)

Тема . Перенос запятой в положительной десятичной дроби . С/р.

Цель . П роверить знания учащихся по теме «Сложение и вычитание положительной десятичной дроби». Объяснить правило переноса запятой в положительных десятичных дробях; формирование навыков учащихся в переносе запятой в положительных десятичных дробях.

Ход урока.

Организационный момент.

Проверка домашнего задания.

Вариант 1.

Вычислите:

1) 3,54 + 2,31 = 5,85; 2) 6,09 + 7,38 = 13,47; 3) 15,7 + 1,57 = 17,27;

4) 3,29 – 1,8 = 1,49; 5) 5,4 – 1,28 = 4,12; 6) 7 – 3,54 = 3,46.

Вариант 2.

Вычислите:

1) 2,73 + 3,24 = 5,97; 2) 7,25 + 2,08 = 9,33; 3) 35,4 + 3,54 = 38,94;

4) 5,37 – 2,9 = 2,47; 5) 3,2 – 1,36 = 1,84; 6) 6 – 2,45 = 3,55.

Объяснение нового материала.

Перенос запятой в положительной десятичной дроби.

Дано число 65,482.

Рассмотрим, что будет происходить с ним, если запятую будем двигать вправо. Число будет увеличиваться или уменьшаться?

Вывод: При переносе запятой вправо в положительной десятичной дроби, дробь будет увеличиваться.

Если запятую перенесем на одну цифру вправо и поставим после 4, то во сколько раз увеличится число? (в 10)

Если запятую перенесем на две цифры вправо и поставим после 8, то во сколько раз увеличится число? (в 100)

Правило переноса запятой вправо в положительной десятичной дроби это и есть правило умножения

Чтобы умножить десятичную дробь на разрядную единицу 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей в записи разрядной единицы.

Пример 1 . Чему равно произведение:

1) 6,58  10 = 65,8; 3) 6,58  1000 = 6580 ;

2) 6,58  100 = 658; 4) 6,58  10000 = 65800.

Дано число 78653,24.

Рассмотрим, что будет происходить с ним, если запятую будем двигать влево. Число будет увеличиваться или уменьшаться?

Вывод: При переносе запятой влево в положительной десятичной дроби, дробь будет уменьшаться.

Если запятую перенесем на одну цифру влево и поставим перед 5, то во сколько раз уменьшится число? (в 10)

Если запятую перенесем на две цифры влево и поставим перед 6, то во сколько раз уменьшится число? (в 100)

Правило переноса запятой влево в положительной десятичной дроби это и есть правило деления дробей на разрядную единицу 10, 100, 1000 и т.д:

Чтобы разделить десятичную дробь на разрядную единицу 10, 100, 1000 и т.д. надо в десятичной дроби перенести запятую влево на столько цифр , сколько нулей содержит разрядная единица.

Пример 1. Чему равно частное:

1) 36,2: 10 = 3,62; 3) 216,7: 1000 = 0,2167;

2) 8,54: 100 = 0,0854; 4) 0,13: 100 = 0,0013.

Решение упражнений.

1. Чему равно произведение:

1) 9,54  10 = 95,4; 3) 9,54  1000 = 9540;

2) 9,54  100 = 954; 4) 9,54  10 000 = 9540 0 .

2. Чему равно частное:

1) 65,78 : 10 = 6,578; 4) 12,43 : 100 = 0,1243;

2) 8: 10 = 0,8; 5) 54: 1000 = 0,054 .

Уч.с.152 № 777(а) . В какую сторону и на сколько цифр надо перенести запятую, чтобы увеличить десятичную дробь: а) в 10 раз.

а) Т.к. д.д. надо увеличить в 10 раз, то запятую переносим вправо на 1 цифру.

Уч.с.152 № 778(а) . В какую сторону и на сколько цифр надо перенести запятую, чтобы уменьшить десятичную дробь: а) в 10 раз.

а) Т.к. д.д. надо уменьшить в 10 раз, то запятую переносим влево на 1 цифру.

Уч.с.152 № 780(а) . Как изменится дробь, если:

а) запятую в ее десятичной записи перенести сначала на 2 цифры вправо, а затем на 3 цифры влево.

а) Т.к. в д.д. запятую перенести сначала на 2 цифры вправо, а затем на 3 цифры влево, то она уменьшится в 10 раз.

Уч.с.152 № 782(а) . Какое число больше и во сколько раз:

а) 32,549 или 325, 49.

а) 325, 49 больше в 10 раз числа 32,549.

Уч.с.152 № 783(а) . Какое число меньше и во сколько раз:

а) 0,4853 или 4853.

а) 0,4853 меньше в 10000 раз числа 4853.

Подведение итогов урока.

Увеличивается или уменьшается д.д. при переносе запятой влево?

Увеличивается или уменьшается д.д. при переносе запятой вправо?

Как умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д.?

Как разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д.?

Домашнее задание. п. 4.4 (выучить теорию). № 777(б,в), 778(б,в), 780(б), 782(б,в), 783(б,в) .

Математика 6

Самостоятельная работа по теме «Сложение и вычитание положительной десятичной дроби».

Вариант 1.

Вычислите:

Вариант 2.

Вычислите:

Математика 6

Самостоятельная работа по теме «Сложение и вычитание положительной десятичной дроби».

Вариант 1.

Вычислите:

1) 3,54 + 2,31; 2) 6,09 + 7,38; 3) 15,7 + 1,57;

4) 3,29 – 1,8; 5) 5,4 – 1,28; 6) 7 – 3,54.

Вариант 2.

Вычислите:

1) 2,73 + 3,24; 2) 7,25 + 2,08; 3) 35,4 + 3,54;

4) 5,37 – 2,9; 5) 3,2 – 1,36; 6) 6 – 2,45.

Математика 6

Самостоятельная работа по теме «Сложение и вычитание положительной десятичной дроби».

Вариант 1.

Вычислите:

1) 3,54 + 2,31; 2) 6,09 + 7,38; 3) 15,7 + 1,57;

4) 3,29 – 1,8; 5) 5,4 – 1,28; 6) 7 – 3,54.

Вариант 2.

Вычислите:

1) 2,73 + 3,24; 2) 7,25 + 2,08; 3) 35,4 + 3,54;

4) 5,37 – 2,9; 5) 3,2 – 1,36; 6) 6 – 2,45.