Решение простых линейных уравнений. Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками
Недавно звонит мама школьника, с которым я занимаюсь и просит объяснить математику ребёнку, т.к он не понимает, а она не него кричит и разговор с сыном не выходит.
У меня не математический склад ума, творческим людям это не свойственно, но я сказала, что посмотрю что они проходят и попробую. И вот что получилось.
Я взяла лист бумаги формата А4, обычный белый, фломастеры, карандаш в руки и начала выделять, то что стоит понять, запомнить, обратить внимание. И чтобы было видно, куда эта цифра переходит и как меняется.
Объяснение примеров с левой стороны, на правую сторону.
Пример № 1
Пример уравнения для 4 класса со знаком плюс.
Самым первым действием смотрим, что мы можем сделать в этом уравнении? Тут мы можем выполнить умножение. Умножаем 80*7 получаем 560. Переписываем ещё раз.
Х + 320 = 560 (выделила цифры зеленым маркером).
Х = 560 – 320. Минус ставим потому что при переносе числа, знак что перед ним меняется на противоположный. Выполняем вычитание.
Х = 240 Обязательно делаем проверку. Проверка покажет правильно ли мы решили уравнение. Вместо х вставляем число, которое получили.
Проверка:
240 + 320 = 80*7 Складываем числа, с другой стороны умножаем.
Всё верно! Значит мы решили уравнение правильно!
Пример № 2
Пример уравнения для 4 класса со знаком минус.
Х – 180 = 240/3
Первым действием смотрим, что мы можем сделать в этом уравнении? В данном примере мы можем разделить. Производим деление 240 разделить на 3 получаем 80. Переписываем уравнение ещё раз.
Х – 180 = 80 (выделила цифры зеленым маркером).
Теперь мы видим, что у нас есть х (неизвестное) и числа, только не рядом, а разделяет их знак равно. Х в одну сторону, цифры в другую.
Х = 80 + 180 Знак плюс ставим потому что при переносе числа, знак что был перед цифрой меняется на противоположный. Считаем.
Х = 260 Выполняем проверочную работу. Проверка покажет правильно ли мы решили уравнение. Вместо х вставляем число, которое получили.
Проверка:
260 – 180 = 240/3
Всё верно!
Пример № 3
400 – х = 275 + 25 Складываем числа.
400 – х = 300 Числа разделены знаком равенства, х является отрицательным. Чтобы сделать его положительным, нам нужно перенести его через знак равно, собираем числа в одной стороне, х в другой.
400 - 300 = х Цифра 300 была положительной, при переносе в другую сторону поменяла знак и стал минус. Считаем.
Т.к не принято так писать, а первым в уравнении должен быть х, просто меняем их местами.
Проверка:
400 – 100 = 275 + 25 Считаем.
Всё верно!
Пример № 4
Пример уравнения для 4 класса со знаком минус, где х в середине, другими словами пример уравнения, где х отрицательный в середине.
72 – х = 18 * 3 Выполняем умножение. Переписываем пример.
72 – х = 54 Выстраиваем числа в одну сторону, х в другую. Цифра 54 меняет знак на противоположный, т.к перепрыгивает через знак равно.
72 – 54 = х Считаем.
18 = х Меняем местами, для удобства.
Проверка:
72 – 18 = 18 * 3
Всё верно!
Пример № 5
Пример уравнения с х с вычитанием и сложением для 4 класса.
Х – 290 = 470 + 230 Складываем.
Х – 290 = 700 Выставляем числа с одной стороны.
Х = 700 + 290 Считаем.
Проверка:
990 – 290 = 470 + 230 Выполняем сложение.
Всё верно!
Пример № 6
Пример уравнения с х на умножение и деление для 4 класса.
15 * х = 630/70 Выполняем деление. Переписываем уравнение.
15 * х = 90 Это тоже самое, что 15х = 90 Оставляем х с одной стороны, числа с другой. Данное уравнение принимает следующий вид.
Х = 90/15 при переносе цифры 15 знак умножения меняется на деление. Считаем.
Проверка:
15*6 = 630 / 7 Выполняем умножение и вычитание.
Всё верно!
Теперь озвучиваем основные правила:
- Умножаем, складываем, делим или вычитаем;
Выполняем то, что можно сделать, уравнение станет немного короче.
- Х в одну сторону, цифры в другую.
Неизвестную переменную в одну сторону (не всегда это х, может быть и другая буква), числа в другую.
- При переносе х или цифры через знак равенства, их знак меняется на противоположный.
Если было число положительным, то при переносе перед цифрой ставим знак минус. И наоборот, если число или х было со знаком минус, то при переносе через равно ставим знак плюс.
- Если в конце уравнение начинается с числа, то просто меняем местами.
- Всегда делаем проверку!
При выполнении домашнего задания, классной работы, тестов, всегда можно взять лист и написать вначале на нём и сделать проверку.
Дополнительно находим подобные примеры в интернете, дополнительных книгах, методичках. Проще не менять цифры, а брать уже готовые примеры.
Чем больше ребёнок будет решать сам, заниматься самостоятельно, тем быстрее усвоит материал.
Если ребенок не понимает примеры с уравнением, стоит объяснить пример и сказать, чтобы остальные делал по образцу.
Данное подробное описание, как объяснить уравнения с х школьнику для:
- родителей;
- школьников;
- репетиторов;
- бабушек и дедушек;
- учителей;
Детям нужно все делать в цвете, разными мелками на доске, но увы не все так делают.
Из своей практики
Мальчик писал так, как хотел, вопреки существующим правилам по математике. При проверке уравнения были разные цифры и одно число (с левой стороны) не равнялось другому (то что с правой стороны), он тратил время на поиски ошибки.
При вопросе, почему он так делает? Был ответ, что он пытается угадать и думает, а вдруг сделает правильно.
В данном случае нужно каждый день (через день) решать подобные примеры. Довести действия до автоматизма и конечно все дети разные, дойти может не с первого занятия.
Если у родителей нет времени, а часто это так, потому что родители зарабатывают денежные средства, то лучше найти репетитора в своём городе, который сможет объяснить пройденный материал ребёнку.
Сейчас век ЕГЭ, тестов, контрольных работ, есть дополнительные сборники и методички. Делая за ребёнка домашние задания, родители должны помнить, что на экзамене в школе их не будет. Лучше объяснить доходчиво ребёнку 1 раз, чтобы ребёнок смог самостоятельно решать примеры.
Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.
Yandex.RTB R-A-339285-1
В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.
Определение 1В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:
- Все действия выполняются слева направо.
- В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.
Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.
Пример 1
Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .
Решение
В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:
7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10
Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .
Пример 2
Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?
Решение
Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.
Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.
Пример 3
Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .
Решение
Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:
17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2
Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .
Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:
Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.
Что такое действия первой и второй ступени
Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.
К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.
Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:
Определение 2
В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:
Определение 3
Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.
Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.
Пример 4
Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .
Решение
В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:
7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1
Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .
Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:
5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2
Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:
5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6
На этом вычисления можно закончить.
Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .
Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.
Пример 5
Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .
Решение
У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .
Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .
Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.
Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 - 1 , результатом которой будет 7 .
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.
Разберем пример такого вычисления.
Пример 6
Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .
Решение
У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .
(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13
Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .
В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.
В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.
А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?
Давайте проверим
Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4
Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.
Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).
Рис. 1. Порядок действий
В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.
Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.
Видим, что значения выражений получаются разные.
Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .
Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.
Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.
Потренируемся.
Рассмотрим выражение
В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени .
Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).
Рис. 2. Порядок действий
Рассмотрим второе выражение
В этом выражении имеются только действия умножения и деления - это действия второй ступени.
Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).
Рис. 3. Порядок действий
В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?
Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
Рассмотрим выражение.
Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.
Вычислим значение выражения.
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?
Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.
Рассмотрим выражение.
30 + 6 * (13 - 9)
Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.
30 + 6 * (13 - 9)
Вычислим значение выражения.
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?
Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:
1. действия, записанные в скобках;
2. умножение и деление;
3. сложение и вычитание.
Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).
Рис. 4. Порядок действий
Потренируемся.
Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
Будем действовать по правилу. В выражении 43 - (20 - 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
В выражении 32 + 9 * (19 - 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие - умножение, второе - деление, третье - вычитание.
2*9-18:3=18-6=12
Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
Рассуждаем так.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие - деление, второе - умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое - вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.
Найдем значение данного выражения.
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
Продолжаем рассуждать.
Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие - в скобках, второе - деление, третье - сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие - в скобках, второе - умножение, третье - вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
Выполним задание.
Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).
Рис. 5. Порядок действий
Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.
Действуем по алгоритму.
В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.
Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого - вычитание.
Проверим себя (рис. 6).
Рис. 6. Порядок действий
Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.
Список литературы
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
- Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
- «Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
- С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
- В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.
- Festival.1september.ru ().
- Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
- Openclass.ru ().
Домашнее задание
1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.
2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:
1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.
3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:
1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание
1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение
1. умножение; 2. деление; 3. сложение
Найди значение этих выражений.
Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).
Свойство № 1
или
правило переноса
При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.
Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.
Перенесем число « 3 » из левой части уравнения в правую.
Так как в левой части уравнения у числа « 3 » был знак « + », значит в правую часть уравнения « 3 » перенесется со знаком « − ».
Полученное числовое значение « x = 2 » называют корнем уравнения.
Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.
Рассмотрим другое уравнение.
По правилу переноса перенесем « 4x » из левой части уравнения в правую, поменяв знак на противоположный.
Несмотря на то, что перед « 4x » не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед « 4x » стоит знак « + ».
Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.
Свойство № 2
или
правило деления
В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.
Но нельзя делить на неизвестное!
Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.
Число « 4 », которое стоит при « x », называют числовым коэффициентом при неизвестном.
Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.
Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при « x » стоял коэффициент « 1 ».
Давайте зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « 4 », чтобы
получить « 1 »?». Ответ очевиден, нужно разделить на « 4 ».
Используем правило деления и разделим левую и правую части уравнения на « 4 ». Не забудьте, что делить нужно и левую, и правую части.
Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.
Как решить уравнение, если « x » отрицательное
Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при « x » стоит отрицательный коэффициент. Как, например, в уравнении ниже.
Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « −2 », чтобы получить « 1 »?». Нужно разделить на « −2 ».
Линейные уравнения. Начальный уровень.
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
1. Линейное уравнение
Это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна.
2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:
Где и – любые числа;
3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:
Где, и – любые числа.
4. Тождественные преобразования
Чтобы определить является ли уравнение линейным или нет, необходимо произвести тождественные преобразования:
Что такое «линейные уравнения»
или в устной форме – трем друзьям дали по яблок из расчета, что всего в наличии у Васи яблок.
И вот ты уже решил линейное уравнение
Теперь дадим этому термину математическое определение.
Линейное уравнение – это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна . Оно выглядит следующим образом:
Где и – любые числа и
Для нашего случая с Васей и яблоками мы запишем:
— «если Вася раздаст всем троим друзьям одинаковое количество яблок, у него яблок не останется»
«Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований
Несмотря на то, что на первый взгляд все предельно просто, при решении уравнений необходимо быть внимательным, потому что линейными уравнениями называются не только уравнения вида, но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. Например:
Мы видим, что справа стоит, что, по идее, уже говорит о том, что уравнение не линейное. Мало того, если мы раскроем скобки, то получим еще два слагаемых, в которых будет, но не надо торопиться с выводами ! Прежде, чем судить, является ли уравнение линейным, необходимо произвести все преобразования и таким образом, упростить исходный пример. При этом преобразования могут изменять внешний вид, но никак не саму суть уравнения.
Иными словами данные преобразования должны быть тождественными или равносильными . Таких преобразований всего два, но они играют очень, ОЧЕНЬ важную роль при решении задач. Рассмотрим оба преобразования на конкретных примерах.
Перенос влево — вправо.
Допустим, нам необходимо решить такое уравнение:
Еще в начальной школе нам говорили: «с иксами – влево, без иксов – вправо». Какое выражение с иксом стоит справа? Правильно, а не как не. И это важно, так как при неправильном понимании этого, казалось бы простого вопроса, выходит неверный ответ. А какое выражение с иксом стоит слева? Правильно, .
Теперь, когда мы с этим разобрались, переносим все слагаемые с неизвестными в левую сторону, а все, что известно – в правую, помня, что если перед числом нет никакого знака, например, то значит число положительно, то есть перед ним стоит знак « ».
Перенес? Что у тебя получилось?
Все, что осталось сделать – привести подобные слагаемые. Приводим:
Итак, первое тождественное преобразование мы успешно разобрали, хотя уверена, что ты и без меня его знал и активно использовал. Главное – не забывай про знаки при числах и меняй их на противоположные при переносе через знак равенства!
Умножение-деление.
Начнем сразу же с примера
Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Неизвестное все в одной части, известные – в другой, но что-то нам мешает… И это что-то – четверка, так как если бы ее не было, все было бы идеально – икс равен числу – именно так, как нам и нужно!
Как можно от неё избавиться? Перенести вправо мы не можем, так как тогда нам нужно переносить весь множитель (мы же не можем ее взять и оторвать от), а переносить весь множитель тоже не имеет смысла…
Пришло время вспомнить про деление, в связи с чем разделим все как раз на! Все – это означает и левую, и правую часть. Так и только так! Что у нас получается?
Посмотрим теперь другой пример:
Догадываешься, что нужно сделать в этом случае? Правильно, умножить левую и правую части на! Какой ты получил ответ? Правильно. .
Наверняка все про тождественные преобразования ты и так уже знал. Считай, что мы просто освежили эти знания в твоей памяти и настало время для нечто большего — Например, для решения нашего большого примера:
Как мы уже говорили ранее, глядя на него, не скажешь, что данное уравнение является линейным, но нам необходимо раскрыть скобки и осуществить тождественные преобразования. Так что начнем!
Для начала вспоминаем формулы сокращенного умножения, в частности, квадрат суммы и квадрат разности. Если ты не помнишь, что это такое и как раскрываются скобки, настоятельно рекомендую почитать тему «Формулы сокращенного умножения», так как эти навыки пригодятся тебе при решении практически всех примеров, встречающихся на экзамене.
Раскрыл? Сравниваем:
Теперь пришло время привести подобные слагаемые. Помнишь, как нам в тех же начальных классах говорили «не складываем мухи с котлетами»? Вот напоминаю об этом. Складываем все отдельно – множители, у которых есть, множители, у которых есть и остальные множители, в которых нет неизвестных. Как приведешь подобные слагаемые, перенеси все неизвестные влево, а все, что известно вправо. Что у тебя получилось?
Как ты видишь, иксы в квадрате исчезли, и мы видим совершенно обычное линейное уравнение . Осталось только найти!
И напоследок скажу еще одну очень важную вещь про тождественные преобразования – тождественные преобразования применимы не только для линейных уравнений, но и для квадратных, дробных рациональных и других. Просто нужно запомнить, что при переносе множителей через знак равенства мы меняем знак на противоположный, а при делении или умножении на какое-то число, мы умножаем/делим обе части уравнения на ОДНО и то же число.
Что еще ты вынес из этого примера? Что глядя на уравнение не всегда можно прямо и точно определить, является ли оно линейным или нет. Необходимо сначала полностью упростить выражение, и лишь потом судить, каким оно является.
Линейные уравнения. Примеры.
Вот тебе еще пару примеров для самостоятельной тренировки – определи, является ли уравнение линейным и если да, найди его корни:
Ответы:
1. Является.
2. Не является.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Произведем тождественное преобразование – разделим левую и правую часть на:
Мы видим, что уравнение не является линейным, так что искать его корни не нужно.
3. Является.
Произведем тождественное преобразование – умножим левую и правую часть на, чтобы избавиться от знаменателя.
Подумай, почему так важно, чтобы? Если ты знаешь ответ на этот вопрос, переходим к дальнейшему решению уравнения, если нет – обязательно загляни в тему «ОДЗ», чтобы не наделать ошибок в более сложных примерах. Кстати, как ты видишь, ситуация, когда невозможна. Почему?
Итак, продолжаем и преобразовываем уравнение:
Если ты без труда со всем справился, поговорим о линейных уравнениях с двумя переменными.
Линейные уравнения с двумя переменными
Теперь перейдем к чуть более сложному — линейным уравнениям с двумя переменными.
Линейные уравнения с двумя переменными имеют вид:
Где, и – любые числа и.
Как ты видишь, вся разница только в том, что в уравнение добавляется еще одна переменная. А так все то же самое – здесь нет иксов в квадрате, нет деления на переменную и т.д. и т.п.
Какой бы привести тебе жизненный пример. Возьмем того же Васю. Допустим, он решил, что каждому из 3-ех друзей он даст одинаковое количество яблок, а яблока оставит себе. Сколько яблок нужно купить Васе, если каждому другу он даст по яблоку? А по? А если по?
Зависимость количества яблок, которое получит каждый человек к общему количеству яблок, которое необходимо приобрести будет выражена уравнением:
- – количество яблок, которое получит человек (, или, или);
- – количество яблок, которое Вася возьмет себе;
- – сколько всего яблок нужно купить Васе с учетом количества яблок на человека.
Решая эту задачу, мы получим, что если одному другу Вася даст яблоко, то ему необходимо покупать штук, если даст яблока – и т.д.
И вообще. У нас две переменные. Почему бы не построить эту зависимость на графике? Строим и отмечаем значение наших, то есть точки, с координатами, и!
Как ты видишь, и зависят друг от друга линейно , отсюда и название уравнений – «линейные ».
Абстрагируемся от яблок и рассмотрим графически различные уравнения. Посмотри внимательно на два построенных графика – прямой и параболы, заданными произвольными функциями:
Найди и отметь на обоих рисунках точки, соответствующие.
Что у тебя получилось?
Ты видишь, что на графике первой функции одному соответствует один , то есть и линейно зависят друг от друга, что не скажешь про вторую функцию. Конечно, ты можешь возразить, что на втором графике так же соответствует икс — , но это только одна точка, то есть частный случай, так как ты все равно можешь найти такой, которому соответствует не только один. Да и построенный график никак не напоминает линию, а является параболой.
Повторюсь, еще раз: графиком линейного уравнения должна быть ПРЯМАЯ линия .
С тем, что уравнение не будет линейным, если у нас идет в какой-либо степени – это понятно на примере параболы, хотя для себя ты можешь построить еще несколько простых графиков, например или. Но я тебя уверяю — ни один из них не будет представлять собой ПРЯМУЮ ЛИНИЮ.
Не веришь? Построй, а затем сравни с тем, что получилось у меня:
А что будет, если мы разделим что-то на, например, какое-то число? Будет ли линейная зависимость и? Не будем рассуждать, а будем строить! Например, построим график функции.
Как-то не выглядит построенное прямой линией… соответственно, уравнение не линейное.
Подведем итоги:
- Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна.
- Линейное уравнение
с одной переменной имеет вид:
, где и – любые числа;
Линейное уравнение с двумя переменными:
, где, и – любые числа. - Не всегда сразу можно определить, является ли уравнение линейным или нет. Иногда, чтобы понять это, необходимо произвести тождественные преобразования перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак, или умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
- Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».
- Мультимедиа
- Интерактивная доска
- Корень уравнения - это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
- Решить уравнение - значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
- Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».
- Выделяю целое и части.
- Что неизвестно?
- Применяю правило.
- Нахожу неизвестное х.
- Что в этом алгоритме вам явно не подходит? (1 пункт)
- Когда у вас были уравнения на сложение, вы их компоненты соотносили с частями и целым, используя отрезки. А с чем вы соотносили компоненты умножения? (С площадью)
- Что будете использовать вместо отрезка? (Моделью прямоугольника)
- Характеристики
- Описание
- Задать вопрос
- Оставить отзыв
- Общие
- Торговая марка Атмосфера праздника
- Артикул 1060173
- Сертификат Не подлежит сертификации
- Страна Россия
- Упаковка и фасовка
- В боксе 2000 шт
- Фасовка по 20 шт
- Индивидуальная упаковка Без упаковки
- Размер упаковки 0,1 см × 6 см × 13 см
- Габариты и вес
- Размер 0,1 см × 7 см × 13 см
- Вес 3 г
- Особенности
- Плотность, г/м² 190
- Отделка Без отделки
- Для кого Унисекс
- Тематика праздника Без повода
- Адресат Без адресата
- Материал Картон
- Школьный предмет Математика
- не относятся к тематике работы магазина, осуществлению покупок в нём;
- содержат ненормативную лексику, высказывания оскорбительного характера;
- ссылки на другие веб-сайты, а также упоминания конкретных продавцов и импортёров товаров;
- не относятся к реальному опыту использования данного товара;
- не содержат полезной информации для других пользователей;
- содержат ссылки на другие веб-сайты.
- ссылки на другие веб-сайты в тексте подборки и обзора, а также упоминания конкретных продавцов и импортёров товаров;
- утверждения, порочащие честь, достоинство и деловую репутацию третьих лиц (в том числе магазинов, производителей и импортёров товаров);
- материалы (в том числе в виде текста, видео, графических изображений, кода), нарушающие права третьих лиц, в том числе права на результаты интеллектуальной деятельности и средства индивидуализации.
- Программа летнего оздоровительного лагеря с дневным пребыванием детей Составители: Пилипей О.Н. (1 кв.категория) Мелентьева И.Н. (1 кв. категория) Демидова О.Б. (1 кв. категория) Возраст детей: 5 -15 лет Срок […]
- Как в налоговом учете отразить продажу основных средств При продаже основных средств оформите первичные учетные документы, утвержденные постановлением Госкомстата России от 21 января 2003 г. № 7 (ст. 2, 5, […]
- Налог на проценты по вкладам: придется платить? Налоги на проценты по вкладам физических лиц в России действуют и сегодня. В каких случаях клиент должен заплатить налоги с процентных доходов по депозитам? С […]
Комментарии
Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.
Политика конфиденциальности
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Спасибо за сообщение!
Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.
Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail
Уравнение - это равенство, содержащее букву, знамение которой нужно найти. Решение уравнения - это тот набор значений букв, при котором уравнение превращается в верное равенство:
Напомним, что для решения уравнении надо слагаемые с неизвестным перенести в одну часть равенства, а числовые слагаемые в другую, привести подобные и получить такое равенство:
Из последнего равенства определим неизвестное по правилу: «один из множителей равен частному, деленному на второй множитель».
Так как рациональные числа а и Ь могут иметь одинаковые и разные знаки, то знак неизвестного определяется по правилам деления рациональных чисел.
Порядок решения линейных уравнений
Линейное уравнение необходимо упростить, раскрыв скобки и выполнив действия второй ступени (умножение и деление).
Перенести неизвестные в одну сторону от знака равенства, а числа - в другую сторону от знака равенства, получив тождественное заданному равенство,
Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b .
Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a ),
Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.
Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.
Особые случаи решения уравнений
27 (x
- 3) = 0
27 не равно 0, значит x
- 3 = 0
У второго примера два решения уравнения, так как
это уравнение второй степени:
Если коэффициенты уравнения являются обыкновенными дробями, то прежде всего надо избавиться от знаменателей. Для этого:
Найти общий знаменатель;
Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;
Умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить);
Перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые - в другую от знака равенства, получив равносильное равенство;
Привести подобные члены;
Основные свойства уравнений
В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.
Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.
В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.
Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.
Правило переноса слагаемого.
При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения. Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус». Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный. Кроме того, правило работает и для неравенств.
Примеры переноса слагаемого:
Сначала переносим 5x
Обратите внимание, что знак «+» изменился на «-», а знак «-» на «+». При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение.
Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения. Получаем:
Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3x 2 (2+7x)) . Поэтому нельзя отдельно переносить (−3x 2) и (2+7x) , так как это составляющие слагаемого. Именно поэтому не переносят (−3x 2 ⋅ 2) и (7x) . Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑ ⋅ 2) и (−3×2 ⋅ 7x) . Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга.
Таким же образом преобразовывают неравенства:
Собираем каждое число с одной стороны. Получаем:
2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным. Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было. А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-».
Это правило зачастую используется для решения линейных уравнений. Для решения систем линейных уравнений используются другие методы.
Основы алгебры/Правило переноса слагаемого
Перенесём первое слагаемое в правую сторону уравнения. Получим:
Перенесём все числа в одну сторону. В итоге имеем:
Примеры, иллюстрирующие доказательство Править
Для уравнений Править
Допустим мы хотим перенести все иксы из левой части уравнения в правую. Вычтем из обеих частей 5 x
Теперь нужно проверить, совпадают ли левая и правая части уравнения. Заменим неизвестную переменную получившимся результатом:
Теперь можно привести подобные слагаемые:
Перенесём сначала 5x из левой части уравнения в правую:
Теперь перенесём число (−6) из правой части в левую:
Заметьте, знак плюс поменялся на минус, а знак минус - на плюс. Причём неважно, является ли переносимое слагаемое числом, переменной или же целым выражением.
Две части уравнения по определению равны, поэтому можно вычесть из обеих частей уравнения одинаковое выражение, и равенство останется верным. По одну сторону знака «равно» оно сократится с тем, что было. По другую сторону равенства, выражение, которое мы вычли, появится со знаком «минус».
Правило для уравнений доказано.
Для неравенств Править
Следовательно, 4 - корень уравнения 5x+2=7x-6. Так как для него тождество доказано, то и для неравенств тоже, по определению.
Решение уравнений, правило переноса слагаемых
Цель урока
Образовательные задачи урока :
— Уметь применять правило переноса слагаемых при решении уравнений;
Развивающие задачи урока:
— развивать самостоятельную деятельность учащихся;
— развивать речь (давать полные ответы грамотным, математическим языком);
Воспитательные задачи урока:
— воспитывать умение правильно делать записи в тетрадях и на доске;
?Оборудование:
Просмотр содержимого документа
«урок Решение уравнений 6 кл»
УРОК МАТЕМАТИКИ 6 КЛАСС
Учитель: Тимофеева М. А.
Цель урока : изучение правила переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.
Образовательные задачи урока :
Уметь применять правило переноса слагаемых при решении уравнений;
Развивающие задачи урока:
развивать самостоятельную деятельность учащихся;
развивать речь (давать полные ответы грамотным, математическим языком);
Воспитательные задачи урока:
воспитывать умение правильно делать записи в тетрадях и на доске;
Основные этапы урока
1. Оргмомент, сообщение цели урока и формы работы
«Если Вы хотите научиться плавать,
то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать уравнения,
2. Сегодня мы начинаем изучать тему: «Решение уравнений» (Слайд 1)
Но вы уже учились решать уравнения! Тогда что же мы будем изучать?
— Новые способы решения уравнений.
3. Повторим пройденный материал (Устная работа) (Слайд 2)
3). 7m + 8n – 5 m – 3n
4). – 6a + 12 b – 5a – 12b
5). 9x – 0,6y – 14x + 1,2y
Уравнение пришло,
тайн немало принесло
Какие выражения являются уравнениями? (Слайд 3)
4. Что называется уравнением?
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число. (Слайд 4)
Что значит решить уравнение?
Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.
Решим устно уравнения. (Слайд 5)
Какое правило мы используем при решении?
— Нахождение неизвестного множителя.
Запишем несколько уравнений в тетрадь и решим их используя правила нахождения неизвестного слагаемого и уменьшаемого: (Слайд 7)
А как решить такое уравнение?
х + 5 = — 2х – 7 (Слайд 8)
Упростить мы не можем, т. к. подобные слагаемые находятся в разных частях уравнения, следовательно, необходимо их перенести.
Горят причудливо краски,
И как ни мудра голова,
Вы все-таки верьте в сказки
Сказка всегда права.
Давным-давно жили-были 2 короля: черный и белый. Черный король жил в Черном королевстве на правом берегу реки, а Белый король – в Белом на левом берегу. Между королевствами протекала очень бурная и опасная река. Переправиться через эту реку ни вплавь, ни на лодке было невозможно. Нужен был мост! Строительство моста шло очень долго, и вот, наконец, мост построили. Всем бы радоваться и общаться друг с другом, но вот беда: Белый король не любил черный цвет, все жители его королевства носили светлые одежды, а Черный король не любил белый цвет и, жители его королевства носили одежды темного цвета. Если кто-то из Черного королевства переходил в Белое, то сразу попадал в немилость Белого короля, а, если кто-то из Белого королевства переходил в Черное, то попадал в немилость Черного короля. Жителям королевств надо было что-то придумать, чтобы не гневить своих королей. Как вы считаете, что они придумали?
Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
В уравнениях неизвестное обычно обозначается строчной латинской буквой. Чаще всего используют буквы « x » [икс] и « y » [игрек].
Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.
Информация для родителей
Уважаемые родители, обращаем ваше внимание на то, что в начальной школе и в 5 классе дети НЕ знают тему «Отрицательные числа».
Поэтому они должны решать уравнения, используя только свойства сложения, вычитания, умножения и деления. Методы решения уравнений для 5 класса приведены ниже.
Не пытайтесь объяснить решение уравнений через перенос чисел и букв из одной части уравнения в другую с изменением знака.
Освежить знания по понятиям, связанным со сложением, вычитанием, умножением и делением вы можете в уроке «Законы арифметики».
Решение уравнений на сложение и вычитание
Как найти неизвестное
слагаемое
Как найти неизвестное
уменьшаемое
Как найти неизвестное
вычитаемое
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.
x + 9 = 15
x = 15 − 9
x = 6
Проверка
x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Проверка
16 − 2 = 14
14 = 14
5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Проверка
Решение уравнений на умножение и деление
Как найти неизвестный
множитель
Как найти неизвестное
делимое
Как найти неизвестный
делитель
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
y · 4 = 12
y = 12: 4
y = 3
Проверка
y: 7 = 2
y = 2 · 7
y = 14
Проверка
8: y = 4
y = 8: 4
y = 2
Проверка
Уравнение - это равенство, содержащее букву, знамение которой нужно найти. Решение уравнения - это тот набор значений букв, при котором уравнение превращается в верное равенство:
Напомним, что для решения уравнении надо слагаемые с неизвестным перенести в одну часть равенства, а числовые слагаемые в другую, привести подобные и получить такое равенство:
Из последнего равенства определим неизвестное по правилу: «один из множителей равен частному, деленному на второй множитель».
Так как рациональные числа а и Ь могут иметь одинаковые и разные знаки, то знак неизвестного определяется по правилам деления рациональных чисел.
Порядок решения линейных уравнений
Линейное уравнение необходимо упростить, раскрыв скобки и выполнив действия второй ступени (умножение и деление).
Перенести неизвестные в одну сторону от знака равенства, а числа - в другую сторону от знака равенства, получив тождественное заданному равенство,
Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b .
Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a ),
Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.
Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.
Особые случаи решения уравнений
27 (x
- 3) = 0
27 не равно 0, значит x
- 3 = 0
У второго примера два решения уравнения, так как
это уравнение второй степени:
Если коэффициенты уравнения являются обыкновенными дробями, то прежде всего надо избавиться от знаменателей. Для этого:
Найти общий знаменатель;
Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;
Умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить);
Перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые - в другую от знака равенства, получив равносильное равенство;
Привести подобные члены;
Основные свойства уравнений
В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.
Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.
В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.
Уравнения на умножение
1) Формировать умение строить алгоритм на примере построения алгоритма решения простых уравнений на умножение, формировать умение использовать построенный алгоритм при решении уравнения.
2) Тренировать вычислительный навык, решать текстовые задачи.
Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: анализ, синтез, сравнение, аналогия.
1 этап. Мотивация к учебной деятельности
1) мотивировать учащихся к учебной деятельности,
2) определить содержательные рамки урока.
Организация учебного процесса на этапе 1:
— Какую тему мы сейчас изучаем на уроках математики? (Умножение и деление)
— В каких заданиях применяем эти действия? (В решении примеров, задач)
— Хотите узнать, какие еще есть задания, в которых мы можем использовать эти действия? (Да)
Ребята, посмотрите, кто сегодня пришел к нам на урок? Вы их узнали? Что вы знаете об этих героях? (…)
(Появляются знаки вопроса). Что происходит? Колобки озадачены и расстроены. Они хотели выполнить задание, а у них впервые не получилось. Они не знают, как открывать новые знания. Поможем? (…)
А можно ли приниматься за работу с таким настроением, как у колобков? (Нельзя, не будет результата)
Давайте улыбнемся друг другу и пожелаем удачи! Ну что же, будем действовать по плану открытия нового знания. Вам он хорошо знаком.
2 этап. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии
1) актуализация изученных способов действий, достаточных для построения, их вербальная и знаковая фиксация и обобщение;
2) актуализация мыслительных и познавательных процессов, достаточных для построения нового знания;
3) мотивация к пробному учебному действию и его самостоятельному осуществлению;
4) фиксация учащимися индивидуальных затруднений в выполнении пробного учебного действия или его обосновании.
Организация учебного процесса на этапе 2:
1) Актуализация формул нахождения площади и неизвестной стороны прямоугольника.
С чего начнем? (С повторения). Мы должны повторить все, что знаем? (Нет, только то, что нам пригодится для открытия нового знания)
— Что нужно найти в этом задании? (Площадь прямоугольника)
— Как найти площадь прямоугольника? (Чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину)
Появляется формула площади.
Учащиеся выполняют задание.
— Чему равна площадь? (18 кв. м)
— Кто получил другой ответ?
— В чем ваша ошибка?
— Как найти неизвестную сторону прямоугольника? (Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника надо площадь разделить на известную сторону)
— Появляется формула нахождения неизвестной стороны прямоугольника.
— Составьте обратную задачу, в которой нужно найти длину прямоугольника (…)
— Запишем решение обратной задачи.
Ученик, составивший обратную задачу, решает ее на доске: 18:3=6(м) – длина
— Теперь составьте другую обратную задачу.
Ученик, составивший обратную задачу, решает ее на доске: 18:6=3 (м) – ширина
У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с повторением. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +).
2) Актуализация алгоритма решения уравнений на сложение и вычитание.
— Запишите: сумма Х + 5 равна 7. Как можно назвать эту запись? (Уравнение)
— Что такое уравнение? (Равенство, в котором есть неизвестное число, называют уравнением)
— Что поможет нам решить это уравнение? (Эталон решения уравнений на сложение)
Один ученик у доски с комментированием. (Обозначу компоненты уравнения, подчеркну части, целое (сумму) обведу. Вижу, что неизвестна часть. Чтобы найти неизвестную часть, надо из суммы вычесть известную часть.
У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с повторением. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (- и +).
— Почему мы повторили именно это? (Это пригодится нам для открытия нового знания)
— Какой следующий шаг? (Пробное действие) Для чего оно нужно? (Чтобы понять, чего мы не знаем)
Учитель раздает учащимся карточки с заданием для пробного действия:
— Какое задание нужно выполнить? (Решить уравнение)
— С каким действием? (С умножением)
— А что нового в этом задании? (Мы не решали уравнения на умножение)
Попробуйте выполнить это задание. (30 сек.)
— Кто не выполнил задание?
Что вы не смогли сделать? (Мы не смогли решить уравнение)
— Кто нашел корень уравнения? Какие результаты у вас получились?
Учитель фиксирует результаты на доске рядом с пробным действием
— Обоснуйте свое мнение.
Что вы не можете сделать? (Мы не можем обосновать свой ответ.)
У вас возникло. (затруднение). Поставим… (знак вопроса) рядом с пробным действием на маршрутном листе.
— Какой следующий шаг на уроке? (Разобраться, в чем у нас затруднение)
— А раз возникло затруднение, надо…(Остановиться и подумать)
3 этап. Выявление места и причины затруднения
1) восстановить выполненные операции и зафиксировать место затруднения;
2) соотнести свои действия с используемым способом действий и на этой основе выявить и зафиксировать во внешней речи причину затруднения.
Организация учебного процесса на этапе 3:
— Какое задание вы должны были выполнить? (Мы должны были решить уравнение на умножение)
— Как рассуждали, выполняя пробное действие? (Пытались воспользоваться известным алгоритмом решения уравнений …)
— В чем затруднение? (Алгоритм не подходит)
Почему же возникло затруднение? (У нас нет способа для решения уравнений на умножение)
Вы поняли, чего вы не знаете? (Да). Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с третьим шагом.
4 этап. Построение проекта выхода из затруднения
1) согласовать и зафиксировать цель и тему урока;
2) построить план и определить средства достижения цели.
Организация учебного процесса на этапе 4:
— Мы поняли, чего мы не знаем, теперь можем… (Сами открывать способ)
Сначала нужно поставить цель. Если вы не знаете способа решения уравнений на умножение, значит, ваша цель… (Открыть способ решения таких уравнений)
— Сформулируйте тему нашего урока (…)
Написать тему на доске:
— Будем действовать, как настоящие сыщики. Составим план действий. Слайд
— Давайте подумаем, что нам может помочь. Вспомните, вы повторили в самом начале урока. (Алгоритм решения уравнений на сложение, формулу нахождения площади)
— Какая формула может нам помочь? (Формула нахождения площади и неизвестной стороны прямоугольника)
— Пробуем применить формулу площади прямоугольника.
— Предлагаю воспользоваться известным вам алгоритмом решения уравнений на сложение.
Алгоритм.
Заменим п.1 на Обозначим компоненты уравнения на модели прямоугольника.
— Остальные пункты алгоритма вам подходят?
— Используя этот алгоритм, можно попробовать решить уравнение?
— Что сделаем, чтобы было удобно пользоваться этим правилом всегда? (Запишем правило в общем виде)
Запишем правило в общем виде.
— Какими средствами будем пользоваться?
Пробуем применить формулу площади прямоугольника…
Средства: модель прямоугольника, алгоритм.
5 этап. Реализация построенного проекта
1) реализовать построенный проект в соответствии с планом;
2) зафиксировать способы записи выражений на эталоне;
3) организовать фиксацию преодоления затруднения;
4) организовать уточнение общего характера нового знания.
Организация учебного процесса на этапе 5:
Я предлагаю поработать вам в группах. Назовите правила работы в группах.
Правила работы в группах
1. В группе должен быть ответственный.
2. Один говорит, другие слушают.
3. Свое несогласие высказывать вежливо..
4. Работать должны все.
Учащиеся объединяются в группы.
— Выполните план в группах.
Ответственный от каждой группы получает задание.
1. Воспользуюсь моделью прямоугольника, нанесу компоненты уравнения на модель.
2. Применю правило площади прямоугольника. (Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника надо площадь разделить на известную сторону)
3. Найду корень уравнения
Мы обозначили на модели прямоугольника числа. Видно, что неизвестна сторона прямоугольника. Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника, надо площадь разделить на известную сторону. Выполнили вычисления и нашли корень уравнения, х=5.
— Что осталось сделать по плану? (Записать уравнение в общем виде)
— Как записать уравнение в общем виде? (С помощью букв латинского алфавита)
— Как обозначите в уравнении числа, которые являются сторонами прямоугольника? (Подчеркнем)
— Число, которое является площадью, предлагаю взять в прямоугольник, почему это удобно? (Напоминает о формуле, которой мы пользуемся)
— Нужно ли будет составлять другой эталон для случая, где х стоит на месте другого множителя? (Нет)
— Почему? (Можно воспользоваться переместительным свойством умножения)
— Как проверить свое открытие? Какие ключи к знаниям у нас есть? (Посмотреть в учебнике)
Откройте учебники на стр.1. Прочитайте правило.
Молодцы! Вы помогли колобкам. Слайд (аплодисменты).
Давайте теперь вернемся к пробному действию.
Дописать необходимое на доске.
Смогли вы преодолеть затруднение? (Да). Поставим себе знак + на маршрутном листе.
На обычной доске под шагом “Сам найду способ” прикрепить новые эталоны.
Что вы теперь сможете делать с помощью новых знаний? (Решать уравнения)
6 этап. Первичное закрепление
1) организовать усвоение детьми нового способа действий при решении уравнений на умножение с их проговариванием во внешней речи.
Организация учебного процесса на этапе 6:
1) Фронтальная работа. На доске левая часть-алгоритм, правая – уравнение+модель.
2) 4 · х=8; 3 · х=9; х · 4=12.
3) Учитель открывает на доске задание на закрепление. Учащиеся по цепочке выходят к доске и выполняют задание с комментированием. Вариант комментирования:
— Сначала обозначу площадь прямоугольника квадратом, а стороны подчеркну. В данном уравнении неизвестна сторона прямоугольника. Значит, надо площадь прямоугольника разделить на известную сторону. Восемь разделить на 4 будет 2, х равен 2.
Дальнейшее выполнение задания комментируется аналогично.
Физминутка гимнастика для глаз.
Мы немного отдохнём. и на всё ответ найдём.
На носочки встанем, руки вверх потянем.
Руки на пояс, наклоны вперёд.
Теперь попрыгаем, и сядем на места!
Сейчас все отдохнули, и новая забота:
Нужно сделать на “отлично” парную работу.
Учитель раздает карточки с заданием для работы в парах.
Учащиеся выполняют задания в парах с комментированием. Проверка организуется по образцу Д-7.
— Проверьте свои результаты.
Исправьте ошибки. У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с 5-м шагом. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +)
— Какой следующий шаг на уроке? (Проверить себя, справимся ли мы самостоятельно)
7 этап. Самоконтроль с самопроверкой по эталону
1) тренировать способность к самоконтролю и самооценке;
2) проверить умение решать уравнения на умножение.
Организация учебного процесса на этапе 7:
— Выполните данные уравнения самостоятельно. Учащиеся выполняют самостоятельную работу на карточках
— Проверка организуется по эталону Д-8.
— Сделайте вывод. (Нужно еще потренироваться.)
— Сделайте вывод. (Мы все хорошо усвоили.)
— У кого в этом задании не было ошибок? Поставьте себе знак + на маршрутном листе рядом с 5-м шагом. Кто допустил ошибку? Почему возникла ошибка? Вы поняли ее причину? Исправьте ошибку. Что вы себе поставите? (? и +).
8 этап. Включение в систему знаний и повторение
1) включить новое знание в систему знаний;
2) тренировать умение решать задачи.
Организация учебного процесса на этапе 8:
— Что нужно знать, чтобы правильно решать уравнения на умножение? (Таблицу умножения и деления, формулу площади). Предлагаю вам решить задачу №4 стр.2.
Учащиеся выполняют задание. Проверка организуется по образцу Д-9.
— Кто из вас ошибся?
— В чем ошибка? (В выборе правила, в вычислениях, …)
9 этап. Рефлексия учебной деятельности на уроке
Цели:
1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;
2) оценить свою работу и работу класса на уроке;
4) наметить направления будущей учебной деятельности;
3) обсудить домашнее задание.
Организация учебного процесса на этапе 9:
— Какую цель вы перед собой ставили? (…)
— Достигли ли вы цели? (Докажите)
— Я предлагаю вам оценить свою работу на уроке. Посмотрите еще раз на свои планы урока, посмотрите, сколько у вас плюсов.
— На обычной доске изображение колобков по отдельности. Один улыбается. Те из вас, кто считает, что понял и запомнил новую тему, возьмите восклицательные знаки и прикрепите их рядом с улыбающимся Колобком. Те, кто в чем-то еще не уверен, у кого остались вопросы, кто допустил ошибки в самостоятельной работе – прикрепите вопросительный знак рядом с серьезным Колобком. Вы потренируетесь и обязательно преодолеете свое затруднение.
— Вы сегодня очень хорошо поработали, но значит ли это, что больше не надо тренироваться? (Надо выполнить домашнюю работу)
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Решение уравнений умножением
Неизвестная величина может быть связана с известной величиной не только знаком + или -, но может быть разделена на какую-нибудь величину, как в этом уравнении: $\frac = b$.
Здесь решение не может быть найдено, как в предыдущих примерах, переносом члена уравнения. Но если оба члена уравнения умножить
на a, уравнение примет вид
$x = ab.$
То есть, знаменатель дроби в левой части сокращается. Это может быть доказано свойствами дробей.
Когда неизвестная величина разделена на известную величину, уравнение решается путем умножения каждой стороны на эту известную величину.
Те же самые переносы должны быть сделаны в этом случае, как и в предыдущих примерах. Однако надо помнить, что умножать необходимо каждый член уравнения.
Пример 1. Решите уравнение $\frac + a = b + d$
Умножаем обе стороны на $c$
Произведение будет $x + ac = bc + cd$
И $x = bc + cd — ac$.
Пример 1. Решите уравнение $\frac + d = h$
Умножаем на $a + b$ $x + ad + bd = ah + bh$.
И $x = ag + bh — ad — bd.$
Когда неизвестное значение находится в знаменателе дроби, уравнение решается похожим способом, то есть умножением уравнения на знаменатель.
Пример 3. Решите уравнение $\frac + 7 = 8$
Умножая на $10 — x$ $6 + 70 — 7x = 80 — 8x$
Тогда $x = 4$.
Хотя это и не обязательно , но часто очень удобно избавиться от знаменателя дроби, состоящего только из известных величин. Это можно сделать, похожим способом, когда избавляются от знаменателя, включающего в себя неизвестную величину.
Возьмем для примера $\frac = \frac + \frac $
Умножаем на a $x = \frac + \frac $
Умножаем на b $bx = ad + \frac $
Умножаем на c $bcx = acd + abh$.
Или, мы можем умножить на произведение всех знаменателей сразу.
В этом же самом уравнении $\frac = \frac + \frac $
Умножаем члены на abc $\frac = \frac + \frac $
После сокращения каждого одинакового значения в одной дроби, получим $bcx = acd + abh$, как и в предыдущем варианте. Отсюда,
В уравнении можно избавиться от дробей , умножая каждую сторону уравнения на все знаменатели .
При избавлении от дробей в уравнении необходимо соблюдать правильность написания знаков и коэффициентов каждой дроби в процессе раскрытия скобок
Карточка-шпаргалка «Решение уравнений. Как найти неизвестное», умножение и деление, 11х20 см
Россия входит в десятку самых читающих стран мира! Интерес к чтению у наших соотечественников растёт из года в год, что не может не радовать, ведь это прекрасная и очень полезная привычка.
Изучая различную литературу, вы можете получить очень много ценной информации, расширить кругозор, словарный запас и стать эрудированным. Кроме того, книга - это отличный способ расслабиться и с удовольствием провести время. Пусть Карточка-шпаргалка «Решение уравнений. Как найти неизвестное», умножение и деление, 11х20 см станет очередным полезным изданием в вашей коллекции.
Сима-ленд вправе самостоятельно и без уведомления пользователей отбирать вопросы для публикации. Мы не размещаем вопросы, которые:
Мы не публикуем вопросы, в которых содержатся:
Сима-ленд оставляет за собой право удалить опубликованный вопрос в любое время, а также самостоятельно определять срок, в течение которого вопросы считаются актуальными и на который они публикуются в рамках сайта Сима-ленд.
Мы не принимаем на себя обязательств сообщать пользователям о причинах отклонения вопросов и удаления ранее опубликованных вопросов.
Если пользователь задаёт вопрос, он соглашается получать уведомления от сайта Сима-ленд о новых ответах на свои вопросы.
Сима-ленд вправе самостоятельно и без уведомления пользователей отбирать отзывы для публикации. Мы не размещаем отзывы, которые:
Мы не публикуем подборки и обзоры товаров, в которых содержатся:
Сима-ленд оставляет за собой право удалить опубликованный отзыв, подборку и обзор товаров в любое время, а также самостоятельно определять срок, в течение которого отзывы считаются актуальными и на который они публикуются в рамках сайта Сима-ленд.
Мы не принимаем на себя обязательств сообщать пользователям о причинах отклонения публикации и удаления ранее опубликованных отзывов, оценок, подборок и обзоров товаров.
Если пользователь отвечает на отзыв или вопрос к нему, он соглашается получать уведомления от сайта Сима-ленд о новых ответах на свои комментарии.
www.sima-land.ru
