Соотношение объемов конуса. Конус. Усеченный конус
Уравнения и системы уравнений первой степени
Два числа или какие-нибудь выражения, соединенные знаком « = », образуют равенство . Если данные числа или выражения при любых значениях букв равны, то такое равенство называют тождеством .
Например, когда утверждают, что при любом а действительном:
а + 1 = 1 + а , здесь равенство является тождеством.
Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Эти буквы называют неизвестными . Неизвестных в уравнении может быть несколько.
Например, в уравнении 2х + у = 7х – 3 два неизвестных: х и у .
Выражение, стоящее в уравнении слева (2х + у ) называют левой частью уравнения, а выражение, стоящее в уравнении справа (7х – 3), называют правой его частью.
Значение неизвестного, при котором уравнение становится тождеством, называется решением или корнем уравнения.
Например, если в уравнение 3х + 7=13 вместо неизвестного х подставить число 2, получим тождество . Следовательно, значение х = 2 удовлетворяет данному уравнению и число 2 есть решение или корень данного уравнения.
Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными ), если все решения первого уравнения являются решениями второго и наоборот, все решения второго уравнения являются решениями первого. К равносильным уравнениям относятся также уравнения, не имеющие решений.
Например, уравнения 2х – 5 = 11 и 7х + 6 = 62 равносильны, так как они имеют один и тот же корень х = 8; уравнения х + 2 = х + 5 и 2х + 7 = 2х равносильны, потому что оба не имеют решений.
Свойства равносильных уравнений
К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.
Пример. Уравнение 2х – 1 = 7 имеет корень х = 4. Прибавив к обеим частям по 5, получим уравнение 2х – 1 + 5 = 7 + 5 или 2х + 4 = 12, которое имеет тот же корень х = 4.
2. Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.
Пример. Уравнение 9х + 5х = 18 + 5х имеет один корень х = 2. Опустив в обеих частях 5х , получим уравнение 9х = 18, которое имеет тот же корень х = 2.
3. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Пример. Уравнение 7х - 11 = 3 имеет один корень х = 2. Если перенести 11 в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение 7х = 3 + 11, которое имеет то же решение х = 2.
4. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение (число), имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному.
Пример. Уравнение 2х - 15 = 10 – 3х имеет корень х = 5. Умножив обе части на 3, получим уравнение 3(2х – 15) = 3(10 – 3х ) или 6х – 45 =30 – 9х , которое имеет тот же корень х = 5.
5. Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей на (-1)).
Пример. Уравнение – 3х + 7 = – 8 после умножения обеих частей на (-1) примет вид 3х - 7 = 8. Первое и второе уравнения имеют единственный корень х = 5.
6. Обе части уравнения можно разделить на одно и тоже число, отличное от нуля (то есть, не равное нулю).
Пример. Уравнение
имеет два корня:
и
.
Разделив все его члены на 3, получим
уравнение
,
равносильное данному, так как оно имеет
те же два корня:
и
.
7. Уравнение, в котором коэффициенты всех или нескольких членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами, для этого обе части уравнения надо умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффициентов.
Пример. Уравнение
после умножения обеих частей на 14 примет
вид:
Легко убедиться в том, что первое и последнее уравнения имеют корень х = 10.
Уравнения первой степени
Уравнение с одним неизвестным,
которое после раскрытия скобок и
приведения подобных членов принимает
вид
,
где
произвольные
числа, х
–
неизвестное, называется уравнением
первой степени с одним неизвестным
(или линейным
уравнением с одним неизвестным).
Пример. 2х + 3 = 7 – 0,5х ; 0,3х = 0.
Уравнение первой степени с одним
неизвестным всегда имеет одно решение;
линейное уравнение может не иметь
решений (
)
или иметь их бесконечное множество (
).
Пример. Решить уравнение .
Решение. Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.
После сокращения получим: . Раскроем скобки, чтобы отделить члены, содержащие неизвестное и свободные члены:
Сгруппируем в одной части (левой) члены, содержащие неизвестное, а в другой части (правой) - свободные члены:
Приведем подобные члены:
.
Разделив обе части на (-22), получим х
= 7.
Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
Уравнение вида
,
где
называется уравнением
первой степени с двумя неизвестными х
и у
.
Если находят общие решения двух и более
уравнений то говорят, что эти уравнения
образуют систему, их записывают обычно
одно под другим и объединяют фигурной
скобкой, например
.
Каждая пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы . Решить систему – это значит найти все решения этой системы или показать, что она их не имеет. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ), если все решения одной из них являются решениями другой и наоборот, все решения другой являются решениями первой.
Например, решением системы
является пара чисел х
= 4 и у
=
3. Эти числа являются также единственным
решением системы
.
Следовательно, эти системы уравнений
равносильны.
Способы решения систем уравнений
1. Способ алгебраического сложения. Если коэффициенты при каком-нибудь неизвестном в обоих уравнениях равны по абсолютной величине, то складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным. Решая это уравнение, определяют одно неизвестное, а подставляя его в одно из уравнений системы, находят второе неизвестное.
Примеры: Решить системы уравнений: 1) .
Здесь коэффициенты при у
по абсолютной величине равны между
собой, но противоположны по знаку. Для
получения уравнения с одним неизвестным
уравнения системы почленно складываем:
Полученное значение х
= 4 подставляем в какое-нибудь уравнение
системы, например в первое, и находим
значение у
:
.
Ответ: х = 4; у = 3.
2)
.
Уравняем коэффициенты при х . Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на (– 2) и сложим полученные уравнения.
Ответ:
.
2. Способ подстановки. Из любого уравнения системы одну из неизестных выражаем через остальные, а затем подставляем значение этой неизвестной в остальные уравнения. Рассмотрим этот способ на конкретных примерах:
1) Решим систему уравнений
.
Выразим из первого уравнения одно из
неизвестных, например х
:
и подставим полученное значение х
во второе уравнение системы, получим
уравнение с одним неизвестным у
:
Подставим у
= 1 в выражение для х
,
получим
.
Ответ:
.
2)
.
В этом случае удобно выразить у
из второго уравнения:
Полученное значение у подставляем в первое уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным х :
Подставим значение х = 5 в выражение для у , получим .
Ответ:
.
3) Решим систему уравнений
.
Из первого уравнения находим
.
Подставив это значение во второе
уравнение, получим уравнение с одним
неизвестным у
:
Подставим у
= 5 в выражение для х
,
получим
Ответ:
.
3. Способ замены. К cистемам двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно приводить некоторые нелинейные системы. Это можно осуществлять способом замены.
Пример. Решить систему.
.
Перепишем систему в виде:
.
Заменим неизвестные, положив
,
получим линейную систему
.
Из первого уравнения выразим неизвестное
.
Подставим значение
во второе уравнение, получим уравнение
с одним неизвестным:
.
Подставив значение v
в выражение для t
,
получим:
.
Из соотношений
находим
.
Исследование системы уравнений
Исследуем сколько решений может
иметь система уравнений
,
где
- коэффициенты при неизвестных,
- свободные члены.
А) Если
,
то система имеет единственное
решение.
Б) Если
,
то система не имеет
решений.
Программа единого элективного курса по математике для 9-11 классов
Программа9,10,11 классов. Первая часть курса (17 ... . Повторить с учащимися свойства степени ; действия вещественными числами. с/р... Иррациональные уравнения и системы уравнений . Повторить с учащимися способы решения иррациональных уравнений и систем уравнений . с/р...
Ответы на экзаменационные вопросы интернет-курсов интуит (intuit): Автоматизированное проектирование промышленных изделий
Экзаменационные вопросы... система уравнений Дана система уравнений Дана система уравнений Дана система уравнений Дана система уравнений регрессии. В результате её решения находят: Дана система уравнений ... целью образования первой части. Далее... ограничением на степени вершин? Когда...
Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.
Число c является n -ной степенью числа a когда:
Операции со степенями.
1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:
a m ·a n = a m + n .
2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:
(a/b) n = a n /b n .
5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:
(a m) n = a m n .
Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.
Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .
Операции с корнями.
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:
3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:
5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:
Формулу a m :a n =a m - n можно использовать не только при m > n , но и при m < n .
Например . a 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Чтобы формула a m :a n =a m - n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.
Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .