Главная » Советы » Как решать квадратный трехчлен и его корни. Квадратный трехчлен и его корни. II. Устная работа

Как решать квадратный трехчлен и его корни. Квадратный трехчлен и его корни. II. Устная работа

Квадратным трехчленом называют трехчлен вида a*x 2 +b*x+c, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. Причем число а не должно равняться нулю.

Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а – называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.

Корнем квадратного трехчлена a*x 2 +b*x+c называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x 2 +b*x+c обращается в нуль.

Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена необходимо решить квадратное уравнение вида a*x 2 +b*x+c=0.

Как найти корни квадратного трехчлена

Для решения можно использовать один из известных способов.

1 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.

1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b 2 -4*a*c.

2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня.

x = -b±√D / 2*a

Если D < 0, то квадратный трехчлен имеет один корень.

Если дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет корней.

2 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата. Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение, уравнение у которого на старший коэффициент равен единице.

Найдем корни квадратного трехчлена x 2 +2*x-3. Для этого решим следующее квадратное уравнение: x 2 +2*x-3=0;

Преобразуем это уравнение:

В левой части уравнения стоит многочлен x 2 +2*x, для того чтобы представить его в виде квадрата суммы нам необходимо чтобы там был еще один коэффицент равный 1. Добавим и вычтем из этого выражения 1, получим:

(x 2 +2*x+1) -1=3

То, что в скобках можно представить в виде квадрата двучлена

Данное уравнение распадается на два случая либо x+1=2 , либо х+1=-2.

В первом случае получаем ответ х=1, а во втором, х=-3.

Ответ: х=1, х=-3.

В результате преобразований нам необходимо получить в левой части квадрат двучлена, а в правой части некоторое число. В правой части не должна содержаться переменная.

Описание видеоурока

Каждое из выражений три икс пятой степени минус икс четвертой степени плюс три икс куб минус шесть икс плюс два; пять игрек четвертой степени минус игрек куб плюс пять игрек квадрат минус три игрек плюс восемнадцать; три зет шестой степени минус зет четвертой степени плюс зет квадрат минус зет плюс два является многочленом с одной переменной.

Значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль, называют корнем многочлена.

Найдем, например, корни многочлена икс куб минус четыре икс. Для этого решим уравнение икс куб минус четыре икс равно нулю. Разложив левую часть уравнения на множители, получим произведение из трех множителей: икс, икс минус два и икс плюс два, равное нулю. Отсюда икс первое равно нулю, икс второе равно два, икс третье равно минус два.

Таким образом, числа нуль, два и минус два - являются корнями многочлена икс куб минус четыре икс…

Многочлен второй степени с одной переменной называют квадратным трехчленом.

Квадратным трехчленом называется многочлен вида а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ, где икс -переменная, ..а, бэ и цэ -некоторые числа, причем а не равно нулю.

Коэффициент а называют старшим коэффициентом, цэ - свободным членом квадратного трехчлена.

Примерами квадратных трехчленов являются многочлены два икс квадрат минус икс минус пять; икс квадрат плюс семь икс минус восемь. В первом из них а равно два, бэ равно минус один, цэ равно минус пять, во втором а равно один, бэ равно семь, цэ равно минус восемь. К квадратным трехчленам относятся также и такие многочлены второй степени, у которых один из коэффициентов бэ либо цэ или даже оба равны нулю. Так, многочлен пять икс квадрат минус два икс считают квадратным трехчленом. Коэффициент а равен пяти, бэ равно минус двум, цэ равно нулю.

Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ, нужно решить квадратное уравнение а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равно нулю.

Пример первый. Найдем корни квадратного трехчлена икс квадрат минус три икс минус четыре.

Для этого приравняем данное выражение к нулю и решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант в нем равен двадцати пяти, первый корень равен четырем, второй корень равен минус одному.

Таким образом, квадратный трехчлен икс квадрат минус три икс минус четыре имеет два корня: четыре и минус один.

Так как квадратный трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ имеет те же корни, что и уравнение а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, то он может, как и квадратное уравнение иметь два корня, один корень или не иметь корней вообще. Это зависит от значения дискриминанта квадратного уравнения, который также называют дискриминантом квадратного трехчлена.. Если дискриминант больше нуля, то квадратный трехчлен имеет два корня; если дискриминант равен нулю, то квадратный трехчлен имеет один корень; если дискриминант меньше нуля, то квадратный трехчлен не имеет корней.

При решении задач иногда бывает удобно представить квадратный трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ в виде суммы а умноженного на квадрат разности а и эм…и числа эн, где эм и эн - некоторые числа. Такое преобразование называется выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Покажем на примере, как выполняется такое преобразование.

Второй пример. Выделить из трехчлена два икс квадрат минус четыре икс плюс шесть… квадрат двучлена.

Вынесем за скобки множитель два,.. затем преобразуем выражение в скобках, для чего прибавим и отнимем единицу… В итоге получим сумму удвоенного квадрата разности чисел икс и один… И числа четыре.

Таким образом, два икс квадрат минус четыре икс плюс шесть равно сумме удвоенного квадрата разности чисел икс и один.. И числа четыре…

Рассмотрим задачу, при решении которой используется выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Задача. Докажем, что из всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть одна сторона прямоугольника равна икс сантиметров. Тогда длина второй будет десять минус икс сантиметров, а площадь прямоугольника равна произведению этих сторон.

Раскрыв скобки в выражении икс умноженное на разность десять и икс, получим десять икс минус икс квадрат. Выражение минус икс квадрат плюс десять икс представляет собой квадратный трехчлен, в котором коэффициент А равен минус один, бэ равно десяти, цэ равно нулю. Выделим квадрат двучлена и получим выражение минус квадрат разности икс и пять.. плюс двадцать пять.

Так как выражение минус квадрат разности икс и пять при любом икс не равном пяти отрицательно, то и всё выражение минус квадрат разности икс и пять… плюс двадцать пять принимает наибольшее значение при икс равном пяти.

Значит, площадь будет наибольшей, когда одна из сторон прямоугольника равна 5 см. В этом случае другая сторона также равна 5 см. Это означает, что данный прямоугольник является квадратом.

Тема «Квадратный трехчлен и его корни» изучается в курсе алгебры 9 класса. как и любой другой урок математики, урок по этой теме требует иособых средств и методов обучения. Необходима наглядность. К таковой можно отнести данный видеоурок, который разработан специально для того, чтобы облегчить труд учителя.

Данный урок длится 6:36 минут. За это время автор успевает раскрыть тему полностью. Учителю останется только подобрать задания по теме, чтобы закрепить материал.

Урок начинается с демонстрации примеров многочленов с одной переменной. Затем на экране появляется определение корня многочлена. Это определение подкрепляется примером, где необходимо найти корни многочлена. Решив уравнение, автор получает корни многочлена.

Далее следует замечание, что к квадратным трехчленам относятся и такие многочлены второй степени, у которых второй, третий или оба коэффициента, кроме старшего, равны нулю. Эта информация подкрепляется примером, где свободный коэффициент равен нулю.

Затем автор поясняет, как найти корни квадратного трехчлена. Для этого необходимо решить квадратное уравнение. И проверить это автор предлагает на примере, где дан квадратный трехчлен. Нужно найти его корни. Решение строится на основе решения квадратного уравнения, полученного из данного квадратного трехчлена. Решение расписано на экране подробно, четко и понятно. По ходу решения данного примера автор вспоминает, как решается квадратное уравнение, записывает формулы, и получает результат. На экране записывается ответ.

Нахождение корней квадратного трехчлена автор объяснил на основе примера. Когда обучающиеся поймут суть, то можно переходить к более общим моментам, что автор и делает. Поэтому он далее обобщает все вышесказанное. Общими словами на математическом языке автор записывает правило нахождения корней квадратного трехчлена.

Далее следует замечание, что в некоторых задачах удобнее квадратный трехчлен записывать немного иначе. На экране дается эта запись. То есть получается, что из квадратного трехчлена можно выделить квадрат двучлена. Такое преобразование предлагается рассмотреть на примере. Решение данного примера приводится на экране. Как и в прошлом примере, решение строится подробно со всеми необходимыми пояснениями. Затем автор рассматривает задачу, где используется только что выданная информация. Это геометрическая задача на доказательство. В решении присутствует иллюстрация в виде чертежа. Решение задачи расписано подробно и понятно.

На этом урок завершается. Но учитель может подобрать по способностям обучающихся задания, которые будут соответствовать данной теме.

Данный видеоурок можно использовать в качестве объяснения нового материала на уроках алгебры. Он отлично подойдет для самостоятельной подготовки обучающихся к уроку.

Нахождение корней квадратного трехчлена

Цели: ввести понятие квадратичного трехчлена и его корней; формировать умение находить корни квадратного трехчлена.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Какие из чисел: –2; –1; 1; 2 – являются корнями уравнений?

а) 8х + 16 = 0; в) х 2 + 3х – 4 = 0;

б) 5х 2 – 5 = 0; г) х 3 – 3х – 2 = 0.

III. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала проводить по следующей с х е м е:

1) Ввести понятие корня многочлена.

2) Ввести понятие квадратного трехчлена и его корней.

3) Разобрать вопрос о возможном количестве корней квадратного трехчлена.

Вопрос о выделении квадрата двучлена из квадратного трехчлена лучше разобрать на следующем уроке.

На каждом этапе объяснения нового материала необходимо предлагать учащимся устное задание на проверку усвоения основных моментов теории.

З а д а н и е 1. Какие из чисел: –1; 1; ; 0 – являются корнями многочлена х 4 + 2х 2 – 3?

З а д а н и е 2. Какие из следующих многочленов являются квадратными трехчленами?

1) 2х 2 + 5х – 1; 6) х 2 – х – ;

2) 2х – ; 7) 3 – 4х + х 2 ;

3) 4х 2 + 2х + х 3 ; 8) х + 4х 2 ;

4) 3х 2 – ; 9) + 3х – 6;

5) 5х 2 – 3х ; 10) 7х 2 .

Какие из квадратных трёхчленов имеют корень 0?

З а д а н и е 3. Может ли квадратный трехчлен иметь три корня? Почему? Сколько корней имеет квадратный трехчлен х 2 + х – 5?

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 55, № 56, № 58.

2. № 59 (а, в, д), № 60 (а, в).

В этом задании не нужно искать корни квадратных трехчленов. Достаточно найти их дискриминант и ответить на поставленный вопрос.

а) 5х 2 – 8х + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, значит, данный квадратный трехчлен имеет два корня.

б) 9х 2 + 6х + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, значит, квадратный трехчлен имеет один корень.

в) –7х 2 + 6х – 2 = 0;

7х 2 – 6х + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Если останется время, можно выполнить № 63.

Р е ш е н и е

Пусть ax 2 + bx + c – данный квадратный трехчлен. Поскольку a + b +
+ c = 0, то один из корней этого трехчлена равен 1. По теореме Виета второй корень равен . Согласно условию, с = 4а , поэтому второй корень данного квадратного трехчлена равен
.

О т в е т: 1 и 4.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что такое корень многочлена?

– Какой многочлен называют квадратным трехчленом?

– Как найти корни квадратного трехчлена?

– Что такое дискриминант квадратного трехчлена?

– Сколько корней может иметь квадратный трехчлен? От чего это зависит?

Домашнее задание: № 57, № 59 (б, г, е), № 60 (б, г), № 62.

Учитель высшей категории: Минайченко Н.С., гимназия №24, г.Севастополь

Урок в 8 классе: «Квадратный трёхчлен и его корни»

Тип урока : урок новых знаний.

Цель урока:

организовать деятельность учащихся по закреплению и развитию знаний о разложении квадратного трехчлена на линейные множители, сокращении дробей;

развивать навыки в применении знаний всех способов разложения на множители: вынесение за скобки, с помощью формул сокращенного умножения и способа группировки с целью подготовки к успешной сдаче экзамена по алгебре;

создать условия для развития познавательного интереса к предмету, формирования логического мышления и самоконтроля при использовании разложения на множители.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, презентация: «Корни квадратного трехчлена», кроссворд, тест, раздаточный материал.

Основные понятия . Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Самостоятельная деятельность учащихся. Применение теоремы о разложении квадратного трёхчлена на множители при решении задач.

План урока

Решение задач.

Ответы на вопросы учащихся

IV. Первичная проверка усвоения знаний. Рефлексия

Сообщение учителя.

Сообщение учащихся

V. Домашнее задание

Запись на доске

Методический комментарий:

Эта тема является основополагающей в разделе «Тождественные преобразования алгебраических выражений». Поэтому важно, чтобы учащиеся автоматически умели не только видеть в примерах формулы разложения на множители, но и применять их в других заданиях: в таких как решение уравнений, преобразование выражений, доказательство тождеств.

В этой теме основное внимание уделяется разложению квадратного трёхчлена на множители:

ax + bx + c = a(x – x )(x – x ),

где x и x– корни квадратного уравнения ax + bx + c = 0.

Это позволяет расширить поле зрения учащегося, научить его мыслить в нестандартной ситуации, используя при этом изучаемый материал, т.е. используя формулу разложения квадратного трёхчлена на множители:

умение сокращать алгебраические дроби;

умение упрощать алгебраические выражения;

умение решать уравнения;

умение доказывать тождества.

Основное содержание урока:

а) 3x + 5x – 2;

б) –x + 16x – 15;

в) x – 12x + 24;

г) –5x + 6x – 1.

№2. Сократите дробь:

№3. Упростите выражение:

№4. Решите уравнение:

б)

Ход урока:

I. Этап актуализации знаний.

Мотивация учебной деятельности.

а) из истории:

б) кроссворд:

Разминка-тренировка ума – кроссворд:

По горизонтали:

1) Корень второй степени называется…. (квадратный)

2) Значения переменной, при котором уравнение становится верным равенством (корни)

3) Равенство, содержащее неизвестное называется… (уравнение)

4) Индийский ученый , который изложил общее правило решения квадратных уравнений (Брахмагупта)

5) Коэффициенты квадратного уравнения - это… (числа)

6) Древнегреческий ученый, придумавший геометрический метод решения уравнений (Евклид)

7) Теорема, связывающая коэффициенты и корни квадратного уравнения (Виета)

8) «различающий», определяющий корни квадратного уравнения – это… (дискриминант)

Дополнительно:

Если Д>0, сколько корней? (два)

Если Д=0, сколько корней? (один)

Если Д<0, сколько корней? (нет действительных корней)

По горизонтали и вертикали тема урока: «Квадратный трехчлен»

б) мотивация:

Эта тема является основополагающей в разделе «Тождественные преобразования алгебраических выражений». Поэтому важно, чтобы вы автоматически умели не только видеть в примерах формулы разложения на множители, но и применять их в других заданиях: таких как сокращение дробей, решение уравнений, преобразование выражений, доказательство тождеств.

Сегодня мы основное внимание уделим разложению квадратного трёхчлена на множители:

II. Изучение нового материала.

Тема: Квадратный трёхчлен и его корни.

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

Корнем многочлена называется значение переменной, при котором значение многочлена равно нулю. Значит, чтобы найти корни многочлена, надо приравнять его к нулю, т.е. решить уравнение.

Корень многочлена первой степени
легко найти
. Проверка:
.