Главная » Советы » L sin 2t p преобразование лапласа. Преобразование лапласа

L sin 2t p преобразование лапласа. Преобразование лапласа

Определение. Функцией - оригиналом называется любая комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:

1 0 f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;

2 0 для всех отрицательных t: f (t)=0;

3 0 f (t) возрастает не быстрее показательной функции, то есть существуют такие постоянные и, что для всех t имеет место равенство

Например, показать, что функция является функцией оригиналом.

В самом деле, функция f (t) локально интегрируема, то есть

Условие 2 0 также выполнимо.

Условие 3 0: .

Простейшей функцией - оригиналом является так называемая единичная функция Хевисайда

Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция, функция единичного скачка, включенная единица) -- кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единицы - для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например:

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Определение. Изображением функции f (t) по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного, определенная равенством

Если F(p) есть изображение функции f (t), то пишут так:

Найти F(p) для:

Аналогично

Основные свойства преобразования Лапласа

1 0 . Свойство линейности.

Для любых комплексных постоянных и

20. Теорема подобия.

Находим изображение функции f (at), где a >0

Например,

Аналогично,

3 0 . Дифференцирование оригинала.

Если функции является функциями - оригиналами и, то

Докажем, что.

В самом деле,

Аналогично доказывается для остальных производных.

4 0 . Дифференцирование изображения.

Дифференцирование изображения сводится к умножению на (- t) оригинала

Обратное преобразование Лапласа

Для восстановления оригинала f (t) по заданному изображению F (p) в простейших случаях используется таблица изображений (смотрите таблицу 1). Дополнительное применение свойств изображений позволяет существенно расширить возможности восстановления оригинала по заданному изображению.

Теорема (Римана-Меллина). Пусть функция f (t) оригинал с показателем роста, а F (p) - ее изображение. Тогда в любой точке t непрерывность оригинала f (t) справедлива формула Римана-Меллина является обратной к формуле и называется обратным преобразованием Лапласа.

В точке являющиеся точкой разрыва 1-го рода функции f (t), правая часть формулы Римана-Меллина равна

Непосредственное применение формулы обращения для восстановления оригинала f (t) по изображению F (p) затруднительно. Для нахождения оригинала обычно пользуются теоремами разложения.

Теорема (первая теорема разложения). Если функция F (p) в окрестности точки может быть представлена в виде ряда Лорана

то функция, является оригиналом, имеющим изображение F (p):

Вторую теорему разложения можно сформулировать следующим образом.

Теорема (вторая теорема разложения). Если рациональная правильная несократимая дробь, простые или кратные нули знаменателя Q (p), то оригинал f (t), соответствующий изображению F (p), определяется формулой

В частности, если знаменатель простые полюса, то функция

является оригиналом, имеющим изображение F (p).

Теорема. Пусть F (p) - функция комплексной переменной p, обладающая свойствами:

1) функция F (p), первоначально заданная в полуплоскости и удовлетворяющая в ней условиям:

а) F (p) - аналитическая функция в полуплоскости;

б) в области функция F (p) стремится к нулю при равномерно относительно;

в) для всех, сходится несобственный интеграл;

г) может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость.

2) аналитическое продолжение функции F (p) в полуплоскости удовлетворяет условиям леммы Жордана.

Тогда имеет место следующее соотношение:

где t >0 и особые точки (полюсы, существенно особые точки) функции, являющейся аналитическим продолжением F (p) в полуплоскость, .

Пусть функция f (t) является оригиналом с показателем роста и имеет конечное число экстремумов. Тогда для нее можно записать интеграл Фурье. При этом имеет место формула:

Учитывая, что в интеграле Лапласа параметр, и для сходимости интеграла выбирается, то можно записать:

Сравнивая полученный интеграл Лапласа с преобразованием Фурье, видно, что изображение есть прямое преобразование Фурье для функции.

Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления, поскольку позволяет от решения ДУ перейти к решению алгебраических уравнений. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

и , (2.2)

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a 2 s 2 Y(s) + a 1 s Y(s) + a 0 Y(s) = b 1 X(s) + b 0 X(s).

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа , формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа , а полученное уравнение - операторным уравнением .

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторы s n , знаков интегралов на множители , а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

Таблица 1.1 - Преобразования Лапласа

Оригинал x(t)	Изображение X(s)
d-функция

t
t 2
t n
e - a t
a . x(t)	a . X(s)

x(t - a)	X(s) . e - a s
	s n. X(s)

Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)

Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа . Общая формула обратного преобразования Лапласа:

, (2.3)

где f(t) - оригинал, F(jw) - изображение при s = jw, j - мнимая единица, w - частота.

Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. таблицы 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3). Более полные таблицы преобразований Лапласа можно найти, например, в .

Существует несколько теорем преобразования Лапласа.

Теорема 1. Теорема линейности. Изображение суммы функций равно сумме изображений, то есть, если f 1 имеет изображение F 1 (s) (или более кратко f 1 « F 1 (s)), f 2 « F 2 (s) и т.д., то

a 1 . f 1 + a 2 . f 2 + … + a n . f n « a 1 . F 1 (s) + a 2 . F 2 (s) + … + a n . F n (s).

Теорема 2. Теорема дифференцирования. Если f(t) имеет изображение F(s), то при нулевых начальных условиях (т.е. при f(0) = 0, f’(0) = 0 и т.д.) производные f(t) будут иметь изображения:

f’(t) « s . F(s) – для первой производной,

f ”(t) « s 2. F(s) – для второй производной,

f (n) (t) « s n . F(s) – для n-й производной.

При ненулевых начальных условиях:

f’(t) « s . F(s) – f(0) – для первой производной,

f ”(t) « s 2. F(s) – s . f(0) – f’(0) – для второй производной,

f (n) (t) « s n. F(s) – s n-1. f(0) - s n-2. f’(0) - … - f (n-1) (0) – для n-й.

Теорема 3. Теорема смещения.

f(t) . e a × t « F(s - a).

Например, если 1(t) « (см. таблицу 1.1), то 1 . e a × t « .

Теорема 4. Теорема запаздывания.

f(t - t) « F(s) . e - t × s ,

где t - запаздывание по времени.

Например, если 1(t) « , то 1(t - t) « .

Теорема 5. Теорема интегрирования.

Теорема 6 . О начальных и конечных значениях.

где f(0) – начальное значение функции (при t = 0),

f уст – конечное (значение в установившемся режиме).

Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения:

единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = ,

дельта-функция X(s) = 1,

линейное воздействие X(s) = .

Пример . Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала, согласно таблице 1.1, имеет вид X(s) = .

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

s 2 ×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s×X(s) + 12×X(s),

s 2 ×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s + 12 ,

Y(s)×(s 3 + 5s 2 + 6s) = 2×s + 12.

Определяется выражение для Y:

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):

= = - + .

Теперь, используя табличные функции (см. таблицы 1.1 и 1.2), определяется оригинал выходной функции:

y(t) = 2 - 4 . e -2 t + 2 . e -3 t . ¨

При решении ДУ с использованием преобразований Лапласа часто встает промежуточная задача разбиения дроби на сумму простых дробей. Существуют два пути решения этой задачи:

Путем решения системы уравнений относительно коэффициентов числителей,

Путем расчета коэффициентов числителей по известным формулам.

Общий алгоритм разбиения дроби на сумму простых дробей:

шаг 1 – определяются корни знаменателя s i (знаменатель дроби приравниватся к нулю и решается полученное уравнение относительно s);

шаг 2 – каждому корню ставится в соответствие простая дробь вида , где М i – неизвестный коэффициент; если имеет место кратный корень с кратностью k, то ему ставится в соответствие k дробей вида ;

шаг 3 – определяются коэффициенты M i по одному из вариантов расчета.

Первый вариант. Определение M i с помощью системы уравнений.

Все дроби приводятся к одному знаменателю, затем путем сравнения коэффициентов при равных степенях s числителя полученной дроби и числителя исходной определяется система из n уравнений, где n – степень знаменателя (количество корней s i и коэффициентов M i). Решение системы относительно M i дает искомые коэффициенты.

Пример. Декомпозиция дроби из предыдущего примера. В исходной дроби n = 3, поэтому решение уравнения s 3 + 5s 2 + 6s = 0 дает 3 корня: s 0 = 0, s 1 = -2 и s 2 = -3, которым соответствуют знаменатели простых дробей вида s, (s – s 1) = (s + 2) и (s – s 2) = (s + 3). Исходная дробь декомпозируется на три дроби:

= = + + .

Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными (при 2-й степени s в исходной дроби стоит 0, при 1-й стоит 2, свободный член равен 12):

М 0 + М 1 + М 2 = 0 M 0 = 2

5 . М 0 + 3 . М 1 + 2 . М 2 = 2 à M 1 = -4

6 . М 0 = 12 M 2 = 2

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

= - + .¨

Второй вариант . Определение коэффициентов M i по формулам.

Также как и в 1-м варианте необходимо найти корни знаменателя исходной дроби вида . Для определения M i существуют формулы для каждого вида корней:

Для нулевого корня s i = 0 знаменатель исходной дроби можно записать в виде A(s) = s . A 1 (s); тогда коэффициент M i можно определить как .

Для ненулевого некратного корня (действительного или комплексного) s i.

и
, (2.2)

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a 2 s 2 Y(s) + a 1 s Y(s) + a 0 Y(s) = b 1 X(s) + b 0 X(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторыs n , знаков интегралов
на множители, а самихx(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

Таблица 1.1 - Преобразования Лапласа

Оригинал x (t )	Изображение X (s )
-функция







	X(s) . e -  s

Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)

, (2.3)

где f(t) - оригинал, F(j) - изображение при s = j, j - мнимая единица,  - частота.

Существует несколько теорем преобразования Лапласа.

Теорема 1. Теорема линейности. Изображение суммы функций равно сумме изображений, то есть, если f 1 имеет изображение F 1 (s) (или более кратко f 1  F 1 (s)), f 2  F 2 (s) и т.д., то

a 1 . f 1 + a 2 . f 2 + … + a n . f n  a 1 . F 1 (s) + a 2 . F 2 (s) + … + a n . F n (s).

f’(t)  s . F(s) – для первой производной,

f ”(t)  s 2. F(s) – для второй производной,

f (n) (t)  s n . F(s) – для n-й производной.

При ненулевых начальных условиях:

f’(t)  s . F(s) – f(0) – для первой производной,

f ”(t)  s 2. F(s) – s . f(0) – f’(0) – для второй производной,

f (n) (t)  s n. F(s) – s n-1. f(0) - s n-2. f’(0) - … - f (n-1) (0) – для n-й.

Теорема 3. Теорема смещения.

f(t) . e  t  F(s - ).

Например, если 1(t)  (см. таблицу 1.1), то 1 . e  t  .

Теорема 4. Теорема запаздывания.

f(t - )  F(s) . e -  s ,

где  - запаздывание по времени.

Например, если 1(t)  , то 1(t - ) 
.

Теорема 5. Теорема интегрирования.

Теорема 6 . О начальных и конечных значениях.

где f(0) – начальное значение функции (при t = 0),

f уст – конечное (значение в установившемся режиме).

единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = ,

дельта-функция X(s) = 1,

линейное воздействие X(s) = .

Пример . Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

s 2 Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2sX(s) + 12X(s),

s 2 Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2s + 12,

Y(s)(s 3 + 5s 2 + 6s) = 2s + 12.

Определяется выражение для Y:

=
=-+.

Теперь, используя табличные функции (см. таблицы 1.1 и 1.2), определяется оригинал выходной функции:

y(t) = 2 - 4 . e -2 t + 2 . e -3 t . 

Путем решения системы уравнений относительно коэффициентов числителей,

Путем расчета коэффициентов числителей по известным формулам.

Общий алгоритм разбиения дроби на сумму простых дробей:

шаг 3 – определяются коэффициенты M i по одному из вариантов расчета.

Первый вариант. Определение M i с помощью системы уравнений.

=
=++.

М 0 + М 1 + М 2 = 0 M 0 = 2

5 . М 0 + 3 . М 1 + 2 . М 2 = 2  M 1 = -4

6 . М 0 = 12 M 2 = 2

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

=-+.

Второй вариант . Определение коэффициентов M i по формулам.

Также как и в 1-м варианте необходимо найти корни знаменателя исходной дроби вида
. Для определенияM i существуют формулы для каждого вида корней:

Для ненулевого некратного корня (действительного или комплексного) s i:

где A’(s) – производная знаменателя по s.

Примечание - Комплексные корни при решении уравнений появляются комплексно-сопряженными парами вида s i =  i  j i , где  i – действительныя часть корня,  i – мнимая часть, j – мнимая единица. Поэтому коэффициенты для этих корней также будут комплексно-сопряженными: M i = c i  d i . То есть достаточно определить коэффициент только для одного корня, для парного корня он будет комплексно-сопряженным.

Для корня s i кратности k исходная дробь может быть представлена в виде

;

данному корню соответствуют k дробей вида

коэффициенты которых определяются по формуле

Пример. Декомпозиция дроби. Рассматривается та же дробь, имеющая три корня: s 0 = 0, s 1 = -2 и s 2 = -3.

Для корня s 0 = 0 имеем B(s) = 2 . s + 12, A 1 (s) = s 2 + 5s + 6 ,

Для корня s 1 = -2 имеем A’(s) = 3 . s 2 + 10 . s + 6 и

Для корня s 2 = -3 имеем аналогично

Видно, что коэффициенты M i , полученные разными методами, совпадают.

Пример. Случай обратного преобразования Лапласа при наличии комплексных корней.

Изображение выходного сигнала имеет вид

Корни знаменателя включают нулевой корень, действительный и пару комплексных корней: s 0 = 0; s 1 = - 2,54; s 2,3 = - 0,18  j*1,20.

Изображение Y(s) разбивается на сумму четырех дробей:

Тогда оригинал y(t), согласно таблицам 1.1 и 1.2, имеет вид

y(t) = y 0 (t) + y 1 (t) + y 2,3 (t) = M 0 +
+ 2 е  t ,

где  и  - действительная и мнимая части пары комплексных корней s 2,3 , C и D – действительная и мнимая части пары коэффициентов М 2 и М 3 .

Для корня s 0 = 0:

y 0 (t) = M 0 = 0,85.

Для корня s 1 = -2,54:

Для корней s 2,3 = -0,18  j*1,20:

y 2,3 (t) =2 е -0,18t [-0,34 cos(1,20 t) - 0,24 sin(1,20 t)].

В итоге получаем оригинал:

y(t) = 0,85 – 0,18 е -2,54 t – 2 е -0,18 t .

Ранее мы рассмотрели интегральное преобразование Фурье с ядром K(t, О = е Преобразование Фурье неудобно тем, что должно быть выполнено условие абсолютной интегрируемости функции f(t) на всей оси t, Преобразование Лапласа позволяет освободиться от этого ограничения. Определение 1. Функцией-оригиналом будем называтьвсякую комплекснозначную функцию f(t) действитсл ьного аргумента t, удовлетворя юшую следующим условиям: 1. f(t) непрерывна на всей оси t, кроме отдельных точек, в которых f(t) имеет разрыв 1-го рода, причем накаждом конечном интервалеоси *такихточек можетбыть лишь конечное число; 2. функция f(t) равна нулю при отрицательных значениях t, f(t) = 0 при 3. при возрастании t модуль f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют числа М > 0 и s такие, что для всех t Ясно, что если неравенство (1) выполняется при некотором s = aj, то оно будет ВЫПОЛНЯТЬСЯ и при ВСЯКОМ 82 > 8]. Точная нижняя грань s0 всех чисел з, «о = infs, для которых выполняется неравенство (1), называется показателем роста функции f(t). Замечание. В общем случае неравенство не имеет места, но справедлива оценка где е > 0 - любое. Так, функция имеет показатель роста в0 = Для нее неравенство \t\ ^ М V* ^ 0 не выполняется, но верно неравенство |f| ^ Меи. Условие (1) гораздо менее ограничительное, чем условие (*). Пример 1. функция не удовлетворяет условию (»), но условие (1) выполнено при любом s ^ I и А/ ^ I; показатель роста 5о = Так что является функцией-оригиналом. С другой стороны, функция не является функцией-оригиналом: она имеет бесконечный порядок роста, «о = +оо. Простейшей функцией-оригиналом является так называемая единичная функция Если некоторая функция удовлетворяет условиям 1 и 3 определения 1, но не удовлетворяет условию 2, то произведение уже является функцией-оригиналом. Для простоты записи мы будем, как правило, множитель rj(t) опускать, условившись, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю для отрицательных t, так что если речь идет о какой-то функции f(t), например, о sin ty cos t, el и т. д., то всегда подразумеваются следующие функции (рис. 2): п=п(0 Рис. 1 Определение 2. Пусть f{t) есть функция-оригинал. Изображением функции f(t) по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного, определяемая формулой ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Основные определения Свойства Свертка функций Теорема умножения Отыскание оригинала по изображению Использование теоремы обращения операционного исчисления Формула Дюамеля Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение интегральных уравнений где интеграл берется по положительной полуоси t. Функцию F(p) называют также преобразованием Лапласа функции /(/); ядро преобразования K(t} р) = e~pt. Тот факт, что функция имеет своим изображением F(p), будем записывать Пример 2. Найти изображение единичной функции r)(t). Функция является функцией-оригиналом с показателем роста в0 - 0. В силу формулы (2) изображением функции rj(t) будет функция Если то при интеграл в правой части последнего равенства будет сходящимся, и мы получим так что изображением функции rj(t) будет функция £. Как мы условились, будем писать, что rj(t) = 1, и тогда полученный результат запишется так: Теорема 1. Лгя всякой функции-оригинала f(t) с показателем роста з0 изображение F(p) определено в полуплоскости R ер = s > s0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией (рис. 3). Пусть Для доказательства существования изображения F(p) в указанной полуплоскости достаточно установить, что несобственный интеграл (2) абсолютно сходится при a > Используя (3), получаем что и доказывает абсолютную сходимость интеграла (2). Одновременно мы получили оценку преобразования Лапласа F(p) в полуплоскости сходимости Дифференцируя выражение (2) формально под знаком интеграла по р, находим Существование интеграла (5) устанавливается так же, как было установлено существование интеграла (2). Применяя для F"(p) интегрирование по частям, получаем оценку откуда следует абсолютная сходимость интеграла (5). (Внеинтегральное слагаемое,0.,- при t +оо имеет предел, равный нулю). В любой полуплоскости Rep ^ sj > «о интеграл (5) сходится равномерно относительно р, поскольку он мажорируется сходящимся интегралом не зависящим от р. Следовательно, дифференцированиепо р законно и равенство (5) справедливо. Поскольку производная F"(p) существует, преобразование Лапласа F(p) всюду в полуплоскости Rep = 5 > 5о является аналитической функцией. Из неравенства (4) вытекает Следствие. Если тонка р стремится к бесконечности так, что Re р = s неограниченно возрастает, то Пример 3. Найдем еще изображение функции любое комплексное число. Показатель росга «о функции /(() равен а. 4 Считая Rep = я > а, получим Таким образом, При а = 0 вновь получаем формулу Обратим внимание на то, что изображение функции eat является аналитической функцией ар1умента р не только в полуплоскости Rep > а, но и во всех точках р, кроме точки р = а, где это изображение имеет простой полюс. В дальнейшем мы не раз встретимся с подобной ситуацией, когда изображение F(p) будет аналитической функцией во всей плоскости комплексного переменного р, за исключением изолированных особых точек. Противоречия с теоремой 1 нет. Последняя утверждает лишь, что в полуплоскости Rep > «о функция F(p) не имеет особых точек: все они оказываются лежащими или левее прямой Rep = so, или на самой этой прямой. Замечай не. В операционном исчислении иногда пользуются изображением функции /(f) по Хевисайду, определяемым равенством и отличающимся от мображения по Лапласу множителем р. §2. Свойства преобразования Лапласа В дальнейшем через будем обозначать функции-оригиналы, а через - их изображения по Лапласу, Из определения изображения следует, что если Теорема 2 (единстве* мости). £biw dee непрерывные функции) имеют одно и тоже изображение, то они тождественно равны. Teopewa 3 (п«иейиост* преобраэдоияя Лапласа). Если функции-оригиналы, то для любых комплексных постоянных аир Справедливость утверждения вытекает из свойства линейности интеграла, определяющего изображение: , - показатели роста функций соответственно). На основании этогосвойства получаем Аналогично находим, что и, далее, Теорема 4 (подобия). Если f(t) - функция-оригинал и F(p) - ее изображение по Лапласу, то для любого постоянного а > О Полагая at = т, имеем Пользуясь этой теоремой, из формул (5) и (6) получаем Теорема 5 (о дифференцировании оригинала). Пусть является функцией-оригиналом с изображением F(p) и пусть - также функции-оригиналы, а где - показатель роста функции Тогда и вообще Здесь под понимается правое предельное значение Пусть. Найдем изображение Имеем Интегрируя по частям, получаем Внеинтегральное слагаемое в правой части (10) обращается в нуль при к. при Rc р = s > з имеем подстановка t = Одает -/(0). Второе слагаемое справа в (10) равно pF{p). Таким образом, соотношение (10) принимает вид и формула (8) доказана. В частности, если Для отыскания изображения f(n\t) запишем откуда, интегрируя п раз по частям, получи м Пример 4. Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение функции f(t) = sin2 t. Пусть Следовательно, Теорема 5 устанавливает замечательное свойство интегрального преобразования Лапласа: оно (как и преобразование Фурье) переводит операцию дифференцирования в алгебраическую операцию умножения на р. Формула включения. Если являются функциями-оригиналами, то В самом деле, В силу следствия из теоремы 1, всякое изображение стремится к нулю при. Значит, откуда вытекает формула включения (Теорема 6 (о дифференцировании изображения). Дифференцирование изображения сводится к умножению на оригинала, Так как функция F(p) в полуплоскости so является аналитической, то ее можно дифференцировать по р. Имеем Последнее как раз и означает, что Пример 5. Пользуясь теоремой 6, найти изображение функции 4 Как известно, Отсюда (Вновь применяя теорему 6, найдем, вообще Теорема 7 (интегрирование оригинала). Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на Положим Нетрудно проверить, что если есть функция-оригинал, то и будет функцией-оригиналом, причем. Пусть. В силу так что С другой стороны, откуда F= Последнее равносильно доказываемому соотношению (13). Пример 6. Найти изображение функции M В данном случае, так что. Поэтому Теорема 8 (интегрирование изображения). Если и интеграл сходится, то он служит изображением функции ^: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Основные определения Свойства Свертка функций Теорема умножения Отыскание оригинала по изображению Использование теоремы обращения операционного исчисления Формула Дюамеля Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение интегральных уравнений Действительно, Предполагая, что путь интегрирования лежите полуплоскости so, мы можем изменить порядок интегрирования Последнее равенство означает, что является изображением функции Пример 7. Найти изображение функции М Как известно, . Поэтому Так как Положим получаем £ = 0, при. Поэтому соотношение (16) принимает вид Примере. Найти изображение функции f(t), заданной графически (рис.5). Запишем выражение для функции f(t) в следующем виде: Это выражение можно получить так. Рассмотрим функцию и вычтем из нее функцию Разность будет равна единице для. К полученной разности прибавим функцию В результате получим функцию f(t) (рис. 6 в), так что Отсюда, пользуясь теоремой запаздывания, найдем Теорема 10 (смещения). то для любого комплексного числа ро В самом деле, Теорема позволяет по известным изображениям функций находить изображения тех же функций, умноженных на показательную функцию, например, 2.1. Свертка функций. Теорема умножения Пусть функции /(£) и определены и непрерывны для всех t. Сверткой этих функций называется новая функция от t, определяемая равенством (если этот интеграл существует). Для функций-оригиналов операция свертим всегда выполнима, причем (17) 4 В самом деле, произведение функций-оригиналов как функция от т, является финитной функцией, т.е. обращается в нуль вне некоторого конечного промежутка (в данном случае вне отрезка. Для финитных непрерывных функций операция свертки выполнима, и мы получаем формулу Нетрудно проверить, что операциясвертки коммутативна, Теорема 11 (умножения). Если, то свертка t) имеет изображение Нетрудно проверить, что свертка (функций-оригиналов есть функция-оригинал с показателем роста » где, - показатели роста функций соответственно. Найдем изображение свертки, Воспользовавшись тем, что будем иметь Меняя порядок интегрирования в интеграле справа (такая операция законна) и применяя теорему запаздывания, получим Таким образом, из (18) и (19) находим - умножению изображений отвечает свертывание оригиналов, Пртер 9. Найти изображение функции А функция V(0 ость свортка функций. В силу теоремы умножения Задача. Пусть функция /(£), пориодическая с периодом Т, есгъ функция-оригинал. Показать, что ее изображение по Лапласу F(p) дается формулой 3. Отыскание оригинала по изображению Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /(<)> изображением которой является F(p). Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением. Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости so функция F(p) 1) стремится к нулю при в любой полуплоскости R s0 равномерно относительно arg р; 2) интеграл сходится абсолютно, то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала Задача. Может ли функция F(p) = служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению. 3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) - дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа. Пример 1. Найти оригинал для Запишем функцию F{p) в виде Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем Пример 2. Найти оригинал для функции 4 Запишем F(p) в виде Отсюда 3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее Теорема 13 (обращения). Если функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) - ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина. В самом деле, пусть, например, f(t) - кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке }

Напечатать