Множество значений переменной х. Функция: область определения и область значений функций

Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

• область определения функции
• область значений функции
• нули функции
• промежутки возрастания и убывания
• точки максимума и минимума
• наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса - это координата точки по горизонтали.
Ордината - координата по вертикали.
Ось абсцисс - горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат - вертикальная ось, или ось .

Аргумент - независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .

Область определения функции - множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .

На нашем рисунке область определения функции - это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции - это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок - от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции - точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия - возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции .

Точка максимума - это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума - такая точка, значение функции в которой больше , чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке - точка максимума.

Точка минимума - внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума - такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке - точка минимума.

Точка - граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции . В нашем случае это и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции - это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение:

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

Способы задания функции.

1. аналитический способ (с помощью математической формулы);
2. табличный способ (с помощью таблицы);
3. описательный способ (с помощью словесного описания);
4. графический способ (с помощью графика).

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1

Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1 f(x 2) .

4. Экстремумы

Точка Х max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х max , выполнено неравенство f(х) f(X max).

Значение Y max =f(X max) называется максимумом этой функции.

Х max – точка максимума
У max – максимум

Точка Х min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х min , выполнено неравенство f(х) f(X min).

Значение Y min =f(X min) называется минимумом этой функции.

X min – точка минимума
Y min – минимум

X min , Х max – точки экстремума
Y min , У max – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х 1 ,Х 2 ,Х 3 – нули функции y = f(x).

Задачи и тесты по теме "Основные свойства функции"

• Свойства функций - Числовые функции 9 класс

  Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1

• Свойства логарифмов - Показательная и логарифмическая функции 11 класс

  Уроков: 2 Заданий: 14 Тестов: 1

• Функция квадратного корня, его свойства и график - Функция квадратного корня. Свойства квадратного корня 8 класс

  Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1

• Степенные функции, их свойства и графики - Степени и корни. Степенные функции 11 класс

  Уроков: 4 Заданий: 14 Тестов: 1

• Функции - Важные темы для повторения ЕГЭ по математике

  Заданий: 24

Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.

Примеры.

1. Найти область определения функции.

Решение: область определения функции находится из условия

1) Область определения функции и область значений функции .

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции .

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции .

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции .

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции .

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции .

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.

Основные элементарные функции. Их свойства и графики

1. Линейная функция.

Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.

Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.

Свойства линейной функции

1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R

2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R

3. Функция принимает нулевое значение при или.

4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.

5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .

2. Квадратичная функция.

Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.

Сегодня на уроке мы обратимся к одному из основных понятий математики - понятию функции; более детально рассмотрим одно из свойств функции - множество ее значений.

Ход урока

Учитель. Решая задачи, мы замечаем, что подчас именно нахождение множества значений функции ставит нас в затруднительные ситуации. Почему? Казалось бы, изучая функцию с 7-го класса, мы знаем о ней достаточно много. Поэтому у нас есть все основания сделать упреждающий ход. Давайте сегодня сами «поиграем» с множеством значений функции, чтобы снять многие вопросы этой темы на предстоящем экзамене.

Множества значений элементарных функций

Учитель. Для начала необходимо повторить графики, уравнения и множества значений основных элементарных функций на всей области определения.

На экран проецируются графики функций: линейной, квадратичной, дробно-рациональной, тригонометрических, показательной и логарифмической, для каждой из них устно определяется множество значений. Обратите внимание учащихся на то, что у линейной функции E(f) = R или одно число, у дробно-линейной

Это наша азбука. Присоединив к ней наши знания о преобразованиях графиков: параллельный перенос, растяжение, сжатие, отражение, мы сможем решить задачи первой части ЕГЭ и даже чуть сложнее. Проверим это.

Самостоятельная работа

Условия задач и системы координат напечатаны для каждого ученика .

1. Найдите множество значений функции на всей области определения:

а) y = 3 sin х ;
б) y = 7 – 2 х ;
в) y = –arccos (x + 5):
г) y = | arctg x |;
д)

2. Найдите множество значений функции y = x 2 на промежутке J , если:

а) J = ;
б) J = [–1; 5).

3. Задайте функцию аналитически (уравнением), если множество ее значений:

1) E (f (x )) = (–∞ ; 2] и f (x ) - функция

а) квадратичная,
б) логарифмическая,
в) показательная;

2) E (f (x )) = R \{7}.

При обсуждении задания 2 самостоятельной работы обратите внимание учащихся на то, что, в случае монотонности и непрерывности функции y = f (x ) на заданном промежутке [a ; b ], множество ее значений - промежуток , концами которого являются значения f (a ) и f (b ).

Варианты ответов к заданию 3.

1.
а) y = –x 2 + 2 , y = –(x + 18) 2 + 2,
y = a (x – x в) 2 + 2 при а < 0.

б) y = –| log 8 x | + 2,

в) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.

2.
а) б)

в) y = 12 – 5x , где x ≠ 1 .

Нахождение множества значений функции с помощью производной

Учитель. В 10-м классе мы знакомились с алгоритмом нахождения экстремумов непрерывной на отрезке функции и отыскания ее множества значений, не опираясь на график функции. Вспомните, как мы это делали? (С помощью производной .) Давайте вспомним этот алгоритм.

1. Убедиться, что функция y = f (x ) определена и непрерывна на отрезке J = [a ; b ]. 2. Найти значения функции на концах отрезка: f(a) и f(b). Замечание . Если мы знаем, что функция непрерывна и монотонна на J , то можно сразу дать ответ: E (f ) = [f (a ); f (b )] или E (f ) = [f (b ); f (а )]. 3. Найти производную, а затем критические точки x k J . 4. Найти значения функции в критических точках f (x k ). 5. Сравнить значения функции f (a ), f (b ) и f (x k ), выбрать наибольшее и наименьшее значения функции и дать ответ: E (f )= [f наим; f наиб ].

Задачи на применение данного алгоритма встречаются в вариантах ЕГЭ. Так, например, в 2008 году была предложена такая задача. Вам предстоит решить ее дома .

Задание С1. Найдите наибольшее значение функции

f (x ) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

при | x + 1| ≤ 3.

Условия домашних задач распечатаны для каждого ученика .

Нахождение множества значений сложной функции

Учитель. Основную часть нашего урока составят нестандартные задачи, содержащие сложные функции, производные от которых являются очень сложными выражениями. Да и графики этих функций нам неизвестны. Поэтому для решения мы будем использовать определение сложной функции, то есть зависимость между переменными в порядке их вложенности в данную функцию, и оценку их области значений (промежутка изменения их значений). Задачи такого вида встречаются во второй части ЕГЭ. Обратимся к примерам.

Задание 1. Для функций y = f (x ) и y = g (x ) записать сложную функцию y = f (g (x )) и найти ее множество значений:

а) f (x ) = –x 2 + 2x + 3, g (x ) = sin x ;
б) f (x ) = –x 2 + 2x + 3, g (x ) = log 7 x ;
в) g (x ) = x 2 + 1;
г)

Решение. а) Сложная функция имеет вид: y = –sin 2 x + 2sin x + 3.

Вводя промежуточный аргумент t , мы можем записать эту функцию так:

y = –t 2 + 2t + 3, где t = sin x .

У внутренней функции t = sin x аргумент принимает любые значения, а множество ее значений - отрезок [–1; 1].

Таким образом, для внешней функции y = –t 2 +2t + 3 мы узнали промежуток изменения значений ее аргумента t : t [–1; 1]. Обратимся к графику функции y = –t 2 +2t + 3.

Замечаем, что квадратичная функция при t [–1; 1] принимает наименьшее и наибольшее значения на его концах: y наим = y (–1) = 0 и y наиб = y (1) = 4. А так как эта функция непрерывна на отрезке [–1; 1], то она принимает и все значения между ними.

Ответ : y .

б) Композиция этих функций приводит нас к сложной функции которая после введения промежуточного аргумента, может быть представлена так:

y = –t 2 + 2t + 3, где t = log 7 x ,

У функции t = log 7 x

x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

У функции y = –t 2 + 2t + 3 (см. график) аргумент t принимает любые значения, а сама квадратичная функция принимает все значения не больше 4.

Ответ : y (–∞ ; 4].

в) Сложная функция имеет следующий вид:

Вводя промежуточный аргумент, получаем:

где t = x 2 + 1.

Так как для внутренней функции x R , а t .

Ответ : y (0; 3].

г) Композиция двух данных функций дает нам сложную функцию

которая может быть записана как

Заметим, что

Значит, при

где k Z , t [–1; 0) (0; 1].

Нарисовав график функции видим, что при этих значениях t

y (–∞ ; –4] c ;

б) на всей области определения.

Решение. Вначале исследуем данную функцию на монотонность. Функция t = arcctg x - непрерывная и убывающая на R и множество ее значений (0; π). Функция y = log 5 t определена на промежутке (0; π), непрерывна и возрастает на нем. Значит, данная сложная функция убывает на множестве R . И она, как композиция двух непрерывных функций, будет непрерывна на R .

Решим задачу «а».

Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то она непрерывна и на любой ее части, в частности, на данном отрезке. А тогда она на этом отрезке имеет наименьшее и наибольшее значения и принимает все значения между ними:

f (4) = log 5 arcctg 4.

Какое из полученных значений больше? Почему? И каким же будет множество значений?

Ответ:

Решим задачу «б».

Ответ: у (–∞ ; log 5 π) на всей области определения.

Задача с параметром

Теперь попробуем составить и решить несложное уравнение с параметром вида f (x ) = a , где f (x ) - та же функция, что и в задании 4.

Задание 5. Определите количество корней уравнения log 5 (arcctg x ) = а для каждого значения параметра а .

Решение. Как мы уже показали в задании 4, функция у = log 5 (arcctg x ) - убывает и непрерывна на R и принимает значения меньше log 5 π. Этих сведений достаточно, чтобы дать ответ.

Ответ: если а < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

если а ≥ log 5 π, то корней нет.

Учитель. Сегодня мы рассмотрели задачи, связанные с нахождением множества значений функции. На этом пути мы открыли для себя новый метод решения уравнений и неравенств - метод оценки, поэтому нахождение множества значений функции стало средством решения задач более высокого уровня. При этом мы увидели, как конструируются такие задачи и как свойства монотонности функции облегчают их решение.

И мне хочется надеяться, что та логика, которая связала рассмотренные сегодня задачи, вас поразила или хотя бы удивила. Иначе и быть не может: восхождение на новую вершину никого не оставляет равнодушным! Мы замечаем и ценим красивые картины, скульптуры и т.д. Но и в математике есть своя красота, притягивающая и завораживающая - красота логики. Математики говорят, что красивое решение - это, как правило, правильное решение, и это не просто фраза. Теперь Вам самим предстоит находить такие решения и один из путей к ним мы указали сегодня. Удачи вам! И помните: дорогу осилит идущий!

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ САХАЛИНСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ «СТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»

Практические работы

По дисциплине «Математика»

Раздел: « Функции, их свойства и графики».

Тема: Функции. Область определения и множество значений функции. Четные и нечетные функции.

(дидактический материал)

Составила:

Преподаватель

Казанцева Н.А.

Южно-сахалинск-2017

Практические работы по математике по разделу « и методические указания по их выполнению предназначены для студентов ГБПОУ «Сахалинский строительный техникум»

Составител ь : Казанцева Н. А., преподаватель математики

Материал содержит практические работы по математике « Функции, их свойства и графики» и указания по их выполнению. Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по математике и предназначены для студентов Сахалинского строительного техникума , обучающихся по программам общего образования.

1)Практическое занятие №1. Функции. Область определения и множество значений функции.……………………………………………………………...4

2)Практическое занятие №2 . Четные и нечетные функции……………….6

Практическое занятие №1

Функции. Область определения и множество значений функции.

Цели: закрепить умения и навыки решения задач по теме: «Область определения и множество значений функции.

Оборудование:

Указание. Сначала следует повторить теоретический материал по теме: «Область определения и множество значений функции», после чего можно приступать к выполнению практической части.

Методические указания:

Определение : Область определения функции – это множество всех значений аргумента х, на котором задается функция (или множество х при которых функция имеет смысл).

Обозначение: D (у), D ( f )- область определения функции.

Правило: Для нахождения о бласти определения функции по графику необходимо график спроектировать на ОХ.

Определение: Область значения функции – это множество у, при которых функция имеет смысл.

Обозначение: Е(у), Е(f )- область значения функции.

Правило: Для нахождения о бласти значения функции по графику необходимо график спроектировать на ОУ.

№ 1.Найдите значения функции:

a ) f (x ) = 4 x + в точках 2;20 ;

б) f (x ) = 2 · cos (x ) в точках; 0;

в) f (x ) = в точках 1;0; 2;

г) f (x ) = 6 sin 4 x в точках; 0;

е) f (x ) = 2 9 x + 10 в точках 2; 0; 5.

№ 2.Найдите область определения функции:

a) f(x) = ; б ) f(x) = ; в ) f(x) = ;

г) f (x ) = ; д) f (x ) = ; е) f (x ) = 6 x +1;

ж) f (x ) = ; з) f (x ) = .

№3. Найдите область значений функции:

а) f (x ) = 2+3 x ; б) f (x ) = 2 7 x + 3.

№ 4.Найдите область определения и область значения функции, график которой изображен на рисунке:

Практическое занятие №2

Четные и нечетные функции.

Цели: закрепить умения и навыки решения задач по теме: «Четные и нечетные функции».

Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы

Указание. Сначала следует повторить теоретический материал по теме: «Четные и нечетные функции», после чего можно приступать к выполнению практической части.

Не забывайте о правильном оформлении решения.

Методические указания:

К важнейшим свойствам функций относится четность и нечетность.

Определение: Функция называется нечетной меняет свое значение на противоположное,

т.е. f (х )= f (х ) .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0;0).

Примеры : нечетными функциями являются у=х, у= , у= sin х и др.

Например, график у= действительно обладает симметричностью относительно начала координат (см. рис.1):

Рис.1. Г рафик у= (кубическая парабола)

Определение: Функция называется четной , если при изменении знака аргумента, она не меняет свое значение, т.е. f (х )= f (х ) .

График четной функции симметричен относительно оси ОУ.

Примеры : четными функциями являются функции у= , у= ,

у= cos x и др.

Например, покажем симметричность графика у= относительно оси ОУ:

Рис.2. Г рафик у=

Задания для практической работы:

№1. Исследуйте функцию на четность или нечетность аналитическим путем:

1) f (х ) = 2 х 3 – 3; 2) f (х ) = 5 х 2 + 3;

3) g (х ) = – + ; 4) g (х ) = –2 х 3 + 3;

5) у(х)= 7хс tg x ; 6) у(х)= + cos x ;

7) t (х)= tg x 3; 8) t (х)= + sin x .

№2. Исследуйте функцию на четность или нечетность аналитическим путем:

1) f (х ) = ; 2) f (х ) = 6 + · sin 2 x · cos x ;

3) f (х ) = ; 4) f (х ) = 2 + · cos 2 x · sin x ;

5) f (х ) = ; 6) f (х ) = 3 + · sin 4 x · cos x ;

7) f (х ) = ; 8) f (х ) = 3 + · cos 4 x · sin x .

№3. Исследуйте функцию на четность или нечетность по графику:

№4. Проверьте, является ли четной или нечетной функция?