С2 теория и задания. Решение заданий С2 по математике

Считается, что задача по стереометрии на Профильном ЕГЭ по математике - только для отличников. Что для ее решения необходимы особые таланты и загадочное «пространственное мышление», которым обладают с рождения лишь редкие счастливчики.

Так ли это?

К счастью, всё значительно проще. То, что так красиво называют «пространственным мышлением», чаще всего означает знание основ стереометрии и умение строить чертежи.

Во-первых, необходимо знание формул стереометрии. В наших таблицах «Многогранники » и «Тела вращения » приведены все формулы, по которым вычисляются объемы и площади поверхности трехмерных тел.

Во-вторых - уверенное решение задач по геометрии, представленных в части 1 (первые 12 задач ЕГЭ). Это и планиметрические задачи, и стереометрические .

И главное - для решения задачи 14 вам понадобятся основные аксиомы и теоремы стереометрии. Лучше всего, если вы приобретете учебник по геометрии для 10-11 класса (автор - А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян), и ответите на вопросы, список которых приведен ниже. Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Работая над этим заданием, сформулируйте для себя - чем отличаются определение и признак . Есть, например, определение параллельности прямой и плоскости - и признак параллельности прямой и плоскости. В чем разница между ними?

Очень хорошо, если вы сделаете задание самостоятельно, а затем сверите с ответами. Все ответы можно найти на нашем сайте, в этом разделе.

Программа по стереометрии .

1. Плоскость в пространстве .Закончите фразу: Плоскость можно провести через...

   (Дайте четыре варианта ответа).

2. Расположение плоскостей в пространстве.Закончите фразу: Если две плоскости имеют общую точку, то они...
3. Параллельность прямой и плоскости. Определение и признак .
4. Что такое наклонная и проекция наклонной . Рисунок.
5. Угол между прямой и плоскостью.
6. Перпендикулярность прямой и плоскости. Определение и признак.
7. Скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми .
8. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости.
9. Параллельность плоскостей. Определение и признак.
10. Перпендикулярность плоскостей. Определение и признак.
11. Закончите фразу:а) Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью...

    б) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями...

Приведем несколько простых правил для решения задач по стереометрии:

Есть два основных способа решения задач по стереометрии на ЕГЭ по математике. Первый - классический: применение на практике определений, теорем и признаков, список которых приведен выше. Второй -

Решение задания С 2 по математике.

C2 ЕГЭ по математике.

Решение C2 ЕГЭ по математике.

C2 ЕГЭ по математике.

Задание С2 Условие:

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
сторона основания AB=√3, боковое ребро SA = √7. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCS.

Решение:

Заметим, что AD параллельно BC, а значит, и всей плоскости BCS.
Это значит, что все точки прямой AD равноудалены от плоскости BCS.

Пусть SH — высота треугольника BCS, SO — перпендикуляр, опущенный из точки S к плоскости основания пирамиды, при этом точка O принадлежит AD. Искомым расстоянием будет длина высоты OM прямоугольного треугольника SOH.

1) Найдём OH из равностороннего треугольника OBC: OH = BC*sqrt(3)/2 = 3/2

2) Найдём SH из прямоугольного треугольника BHS: SH = sqrt(SB^2-BH^2) = sqrt(sqrt(7)^2-(sqrt(3)/2)^2) = 5/2

3) Найдём SO из прямоугольного треугольника SOH: SO = sqrt(SH^2-OH^2) = 4/2

4) Искомое расстояние OM, зная все стороны прямоугольного треугольника SOH, можно, например, найти, записав выражение для его площади двумя разными способами:

S = SO*OH/2 = SH*OM/2,

Откуда OM = SO*OH/SH = 4*3/5 = 6/5

Ответ: 6/5

Задание С2 Условие:

В правильной треугольной пирамиде АВСS с основанием АВС известны ребра: АВ= 5 корней из 3, SC= 13.
Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середину ребер АS и ВС.

Решение:

1. Поскольку SABC - правильная пирамида, то ABC - равносторонний треугольник, а остальные грани - равные между собой равнобедренные треугольники.
То есть все стороны основания равны 5*sqrt(3), а все боковые ребра равны 13.

2. Пусть D - середина BC, E - середина AS, SH - высота, опущенная из точки S к основанию пирамиды, Ep - высота, опущенная из точки E к основанию пирамиды.

3. Найдем AD из прямоугольного треугольника CAD по теореме Пифагора. Получится 15/2 = 7.5.

4. Поскольку пирамида правильная, точка H - это точка пересечения высот/медиан/биссектрис треугольника ABC, а значит, делит AD в отношении 2:1 (AH=2*AD).

5. Найдем SH из прямоугольного треугольника ASH. AH=AD*2/3 = 5, AS = 13, по теореме Пифагора SH = sqrt(13^2-5^2) = 12.

6. Треугольники AEp и ASH оба прямоугольные и имеют общий угол A, следовательно, подобные. По условию, AE = AS/2, значит, и Ap = AH/2, и Ep = SH/2.

7. Осталось рассмотреть прямоугольный треугольник EDp (нас как раз интересует угол EDp).
Ep = SH/2 = 6;
Dp = AD*2/3 = 5;

Тангенс угла EDp = Ep/Dp = 6/5,
Угол EDp = arctg(6/5)

Ответ:

Задание С2 Условие:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике один из катетов лежит в плоскости a, а другой образует с ней угол 45 градусов. Найдите угол между гипотенузой данного треугольника и данной плоскостью.

Решение:

Треугольник ABC, угол C - прямой, BC принадлежит плоскости.
AC = BC = x, AB = x*sqrt(2)
Опустим перпендикуляр AA1 к плоскости a.

Искомый угол - угол A1BA.

Угол A1CA равен 45 градусов, угол AA1C - прямой. AA1 = AC*sin(45 градусов) = x/sqrt(2).

sin(A1BA) = AA1/AB = (x/sqrt(2))/(x*sqrt(2)) = 1/2

Угол A1BA = arcsin(1/2) = 30 градусов.

Название: ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2.

Пособия по математике серии «ЕГЭ 2011. Математика» ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике. В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению задачи С2.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по стереометрии.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение. 3
Диагностическая работа. 5
Решения задач 1.1-1.3 диагностической работы. 11
Тренировочная работа 1. Угол между прямыми. 14
Решения задач 2.1-2.3 диагностической работы. 17
Тренировочная работа 2. Угол между прямой и плоскостью. 19
Решения задач 3.1-3.3 диагностической работы. 22
Тренировочная работа 3. Угол между двумя плоскостями. 24
Решения задач 4.1-4.3 диагностической работы. 27
Тренировочная работа 4. Расстояние от точки до прямой. 29
Решения задач 5.1-5.3 диагностической работы. 32
Тренировочная работа 5. Расстояние от точки до плоскости. 35
Решения задач 6.1-6.3 диагностической работы. 38
Тренировочная работа 6. Расстояние между двумя прямыми. 40
Диагностическая работа 1. 43
Диагностическая работа 2. 49
Диагностическая работа 3. 55
Ответы . 61

Введение .
Данное пособие предназначено для подготовки к выполнению задания С2 ЕГЭ по математике. Его целями являются:
- показ примерной тематики и уровня трудности геометрических задач, включенных в содержание ЕГЭ;
- проверка качества знаний и умений учащихся по геометрии, их готовность к сдаче ЕГЭ;
- развитие представлений учащихся об основных геометрических фигурах и их свойствах, формирование навыков работы с рисунком, умений проводить дополнительные построения;
- повышение вычислительной культуры учащихся.

Пособие содержит задачи на нахождение углов между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью, двумя плоскостями; нахождение расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя прямыми. Наличие рисунков помогает лучше понять условия задач, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, провести дополнительные построения и вычисления.

Для решения предлагаемых задач требуются знание определений тригонометрических функций, формул для нахождения элементов треугольника, теоремы Пифагора, теоремы косинусов, умение проводить дополнительные построения, владение координатным и векторным методами геометрии.
Каждая задача оценивается исходя из двух баллов. Один балл начисляется за правильное построение или описание искомого угла или расстояния. Также один балл начисляется за правильно проведенные вычисления и правильный ответ.

Вначале предлагается диагностическая работа на нахождение углов и расстояний для различных многогранников. Для тех, кто хочет проверить правильность решения предложенных задач или убедиться в верности полученного ответа, приводятся решения задач, как правило, двумя различными способами и даются ответы. Затем, для закрепления рассмотренных методов решения задач, предлагаются тренировочные работы на нахождение углов и расстояний для каждого из рассмотренных в диагностической работе видов фигур.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Смирнов В.А. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

Примеры решения задач С 2 на ЕГЭ по математике.

Задача С2 относится к задачам повышенного уровня сложности с развернутым ответом.

При выполнении задачи в бланке ответов № 2 должно быть записано полное обоснованное решение и ответ. Требуется, чтобы сделанные выкладки были последовательны и логичны, ключевые моменты решения обоснованы, а математические термины и символы использованы корректно. Задача С2 является стереометрической задачей средней сложности, посильной для большинства успевающих выпускников. Полное правильное решение задачи С2 оценивается 2 баллами.

Оценка выполнения задач второй части проводится экспертами на основе специально разработанной системы критериев, базирующейся на следующих требованиях. Метод и форма записи решения могут быть произвольными, но решение должно быть математически грамотным, полным и обоснованным. При этом оцениваются продвижения выпускника в решении задачи. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, допущенных или рекомендованных Министерством образования и науки РФ.

Построить чертеж, соответствующий условию (по возможности, наиболее наглядный),

Дать характеристику фигуре, вспомнить определение, свойства, признаки,

Определить зависимости между элементами,

Рассуждать от вопроса задачи, постепенно используя данные условия.

В последние годы при решении задач С2 часто требуется найти расстояние:

От точки до прямой;

От точки до плоскости;

Между скрещивающимися прямыми, или найти угол между:

Прямой и плоскостью;

Плоскостями.

Нахождение расстояний при решении задач С2

DEF А1В1С1 D 1 E 1 F стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 1, найти расстояние от точки В до прямой F 1 E 1.

Решение.

Точка В лежит на прямой АВ, АВ║D 1 Е 1 . Расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра. Построим его.

Т.к. призма прямая, ВD (DD 1 Е 1), DD 1 D 1 Е 1 , тогда ВD 1 D 1 Е 1 , значит, искомое расстояние от точки В до прямой D 1 Е 1 равно отрезку ВD 1.

Рассмотрим Δ АD Е, ∟D = 90º, D Е = 4, ВЕ = 8 (в правильном 6-угольнике главная диагональ равна удвоенной стороне) ВD =

Из прямоугольного Δ АDD 1 по теореме Пифагора ВD 1 = 7.

В правильной 6-угольной призме АВС DEF А1В1С1 D 1 E 1 F стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 3, найти расстояние от точки В до прямой С 1 D 1.

В правильной 6-угольной призме в основаниях лежат правильные 6-угольники, сторона равна 4, боковые ребра перпендикулярны основаниям, основания параллельны.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Проведем плоскость через точку В и прямую С 1 D 1, В сечении призмы плоскостью мы получим равнобедренную трапецию ВС 1 D 1 Е, высота этой трапеции С 1 К – искомое расстояние.

Из Δ ВС 1 С ВС 1 = 5

Рассмотрим Δ ВС 1 К, ∟К = 90º,

Ответ:

3. Длина ребра куба АС 1 равна 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости АСД 1 .

АС 1 – куб, значит, все грани квадраты со стороной 1.

Плоскость АСD 1 – правильный треугольник со стороной

Искомое расстояние – это высота пирамиды ВАСD 1 , опущенная из точки В на плоскость АD С 1 = d .

Найдем объем этой пирамиды двумя способами.

,
или

Ответ:

В правильной 3-угольной пирамиде сторона основания равна 12см. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при ребре основания равен π/3.

Решение.

Т.к. пирамида SABCD правильная, в основании лежит правильный треугольник АВС, АВ = 12см, высота SO пирамиды проектируется в центр основания. Боковые грани – равные равнобедренные треугольники, образующие равные двугранные углы при основании.

Построим линейный угол двугранного угла при основании. Проведем ВК АС,

SK AC , тогда ∟SKB линейный угол двугранного угла при основании пирамиды,

∟SKB = π/3 . ОК – радиус вписанной окружности в правильный Δ АВС,

ОК =
.

Плоскость SKO перпендикулярна плоскости ASB , т.к. она проходит через две прямые, SK и КВ, перпендикулярные прямой АС, лежащей в плоскостиASB .

Построим линейный угол двугранного угла между плоскостями СДВ и АВС. Проведем ДК перпендикулярно ВС, к – середина СВ (Δ СD В равнобедренный с основанием СВ), тогда КА перпендикулярно СВ (Δ САВ равнобедренный с основанием СВ), ∟АКD – линейный угол двугранного угла.

В плоскости АКD проведем КМ перпендикулярно АD , КМ – искомое расстояние от D А до СВ.

Т.к. Δ САВ = Δ СD В по трем сторонам, АК = D К. т.е. Δ АD К равнобедренный с основанием АD , значит, КМ – высота и медиана Δ АD К.

АМ = МD = 3см, (из Δ АСК)

Из Δ АМК .