Горизонтальный пружинный маятник изображенный на рисунке 49. Пружинный маятник
Вопросы.
1. Как меняются скорость и кинетическая энергия маятника (см. рис. 49) при приближении шарика к положению равновесия? Почему?
2. Что можно сказать о полной механической энергии колеблющегося маятника в любой момент времени, если допустить, что потерь энергии нет? Согласно какому закону это можно утверждать?
Если потерь энергии нет, то согласно закону сохранения полной механической энергии она остается постоянной и равна той, которая была у колебательной системы в начале.
3. Может ли тело, находясь в реальных условиях, совершать колебательное движение без потерь энергии?
В реальных условиях тело не может совершать колебательные движения без потерь энергии, часть её расходуется на преодоления сил трения, преобразуясь во внутреннюю энергию (нагревается).
4. Как меняется с течением времени амплитуда затухающих колебаний?
Амплитуда затухающих колебаний с течением времени уменьшается.
5. Где быстрее прекратятся колебания маятника: в воздухе или в воде? (Начальный запас энергии в обоих случаях одинаков).
В воде сила сопротивления больше чем в воздухе (т.к. вода плотнее), поэтому в ней быстрее прекратятся колебания маятника.
Упражнения.
1. Горизонтальный пружинный маятник, изображенный на рисунке 49, отвели в сторону и отпустили. Как меняются перечисленные в таблице величины, характеризующие колебательное движение этого маятника, на указанных участках его пути? Перечертите таблицу 1 в тетрадь и заполните её.
2. На рисунке 63 изображен шарик на нити, колеблющийся без трения между точками А и В. Находясь в точке В, этот маятник обладает потенциальной энергией, равной 0,01 Дж относительно горизонтали 1, принятой за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии. Чему равна: а) потенциальная энергия шарика в точках А и О; б) кинетическая энергия шарика в точках В, О и А; в) полная механическая энергия шарика в точках В, D, О, С и А?
Пружинный маятник представляет собой материальную точку массой , прикрепленную к абсолютно упругой невесомой пружине с жесткостью . Различают два наиболее простых случая: горизонтальный (рис.15,а ) и вертикальный (рис.15, б ) маятники.
а)
Горизонтальный
маятник
(рис.
15,а). При смещении груза
из
положения равновесия
на величину
на него действует в горизонтальном
направлениивозвращающая
упругая сила
(закон
Гука).
Предполагается,
что горизонтальная опора, по которой
скользит груз
при своих колебаниях, абсолютно гладкая
(трения нет).
б) Вертикальный маятник (рис.15, б ). Положение равновесия в этом случае характеризуется условием:
где
- величина упругой силы, действующей на
груз
при статическом растяжении пружины на
под действием силы тяжести груза
.
а |
Рис.15. Пружинный маятник: а – горизонтальный и б – вертикальный
Если
растянуть пружину и отпустить груз, то
он начнет совершать вертикальные
колебания. Если смещение в какой-то
момент времени будет
,
то сила упругости запишется теперь как
.
В обоих рассмотренных случаях пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом
(27)
и циклической частотой
. (28)
На
примере рассмотрения пружинного маятника
можно сделать вывод о том, что гармонические
колебания – это движение, вызванное
силой, возрастающей пропорционально
смещению
.
Таким образом, если
возвращающая сила по виду напоминает
закон Гука
(она
получила название
квазиупругой
силы
),
то система должна совершать гармонические
колебания.
В момент прохождения положения равновесия
на тело не действует возвращающая сила,
однако, тело по инерции проскакивает
положение равновесия и возвращающая
сила меняет направление на противоположное.
Математический маятник
Рис.16.
Математический маятник
Колебания
такого маятника при малых углах отклонения
(не превышающих 5º) можно считать
гармоническими, и циклическая частота
математического маятника:
, (29)
а период:
. (30)
2.3. Энергия тела при гармонических колебаниях
Энергия, сообщенная колебательной системе при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия деформированной пружины будет переходить в кинетическую энергию движущегося груза и обратно.
Пусть
пружинный маятник совершает гармонические
колебания с начальной фазой
,
т.е.
(рис.17).
Рис.17. Закон сохранения механической энергии
при колебаниях пружинного маятника
При
максимальном отклонении груза от
положения равновесия полная механическая
энергия маятника (энергия деформированной
пружины с жесткостью
)
равна
.
При прохождении положения равновесия
(
)
потенциальная энергия пружины станет
равной нулю, и полная механическая
энергия колебательной системы определится
как
.
На рис.18 представлены графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергии в случаях, когда гармонические колебания описываются тригонометрическими функциями синуса (пунктирная линия) или косинуса (сплошная линия).
Рис.18. Графики временной зависимости кинетической
и потенциальной энергии при гармонических колебаниях
Из графиков (рис.18) следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза выше собственной частоты гармонических колебаний.
Пружинный маятник - это колебательная система, состоящая из материальной точки массой т и пружины. Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник (рис. 1, а). Он представляет собой массивное тело, просверленное посередине и надетое на горизонтальный стержень, вдоль которого оно может скользить без трения (идеальная колебательная система). Стержень закреплен между двумя вертикальными опорами.
К телу одним концом прикреплена невесомая пружина. Другой ее конец закреплен на опоре, которая в простейшем случае находится в покое относительно инерциальной системы отсчета, в которой происходят колебания маятника. В начале пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия С. Если, растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, то со стороны деформированной пружины на него начнет действовать сила упругости, всегда направленная к положению равновесия.
Пусть мы сжали пружину, переместив тело в положение А, и отпустили . Под действием силы упругости оно станет двигаться ускоренно. При этом в положении А на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение x m пружины наибольшее. Следовательно, в этом положении ускорение максимальное. При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины уменьшается, а следовательно, уменьшается ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение при данном движении сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия она будет максимальна.
Достигнув положения равновесия С, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована, и сила упругости равна нулю), а обладая скоростью, будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D скорость тела окажется равной нулю, а ускорение максимально, тело на мгновение остановится, после чего под действием силы упругости начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки А (так как трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение тела будет повторяться в описанной последовательности. Итак, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.
По закону Гука F x = -kx. По второму закону Ньютона F x = ma x . Следовательно, ma x = -kx. Отсюда
Динамическое уравнение движения пружинного маятника.
Видим, что ускорение прямопропорционально смешению и противоположно ему направлено. Сравнивая полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний , видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой