Главная » Двор и сад » Как решать матрицу 5 на 5. Понижение порядка определителя. Алгоритм нахождения определителя методом понижения порядка

Как решать матрицу 5 на 5. Понижение порядка определителя. Алгоритм нахождения определителя методом понижения порядка

Уважаемые друзья!

С 8 февраля 2018 года наш форум переходит в режим Элитарного Клуба.
Теперь незарегистрированным посетителям запрещено подглядывать и подслушивать наши тайные переговоры, а чтобы зарегистрироваться, нужно... впрочем, если вы действительно достойны стать членом Клуба, то вы наверняка разберётесь, как это сделать.

Возрадуйтесь, обладатели зарегистрированных аккаунтов! Обещаем вам чистки, репрессии и все остальные бонусы тоталитарного сообщества.

Всегда ваша,
Администрация Корума

Теоретический минимум
Определитель (детерминант) возникает во многих разделах математики естественным образом. Вводится он обычно в рамках алгебры.
Например, можно начинать с систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для простоты ограничимся случаем двух уравнений с
двумя переменными:
.
Решить эту систему легко, например, выражая одну из переменных через другую и выполняя подстановку во второе уравнение.

Решение удобно представить в другом виде, для чего вводится следующее обозначение:
.
Так вводится определитель второго порядка. В таких обозначениях получим из (1)
.
Это частный случай формул Крамера, предназначенных для решения СЛАУ, число уравнений в которых совпадает с числом переменных.
Мы не останавливаемся здесь подробно на вопросе решения СЛАУ. Заметим только, что понятие определителя обобщается для большего
количества элементов.
Обобщение такое может быть сделано не одним способом. Возможен индуктивный метод, когда определитель третьего порядка
вводится через определитель второго порядка, определитель четвёртого порядка - через определитель третьего порядка и т.д.
Например, для определителя третьего порядка вводится следующее правило:
.
Сформулировать правило можно следующим образом. Берётся первый элемент первой строки, вычёркивается строка и столбец, которым
этот элемент принадлежит - остаётся определитель второго порядка. Следующий элемент первой строки берётся со знаком минус, снова
вычёркивается строка и столбец, которым принадлежит элемент, остаётся определитель. Наконец, третий элемент первой строки берётся со
знаком плюс, опять вычёркиваются содержащие его строка и столбец. Соответственно, правило легко обобщить на определитель любого порядка.
Последовательно берутся элементы первой строки, причём знаки, с которыми они входят в определитель, должны чередоваться. Затем
вычёркивается строка и столбец, в которые входит выбранный элемент, остаётся определитель на единицу меньшего порядка.
С точки зрения вычислений этот метод введения определителя не так плох, но для доказательств свойств детерминанта это определение
неудобно, поэтому используется другое определение. Чтобы прийти к нему, выпишем явно определитель третьего порядка.

Обратите внимание: все слагаемые можно записать в общем виде . Индексы могут принимать
значения 1, 2 или 3. Фактически мы перебираем все возможных варианты расстановки трёх чисел. Таких вариантов шесть: 123, 132, 213, 231, 312, 321.
Слагаемых в определителе тоже шесть. Как определить знак, с которым войдёт в определитель слагаемое при данной расстановке индексов?
Возьмём за отправную точку слагаемое, в котором вторые индексы образуют последовательность 123 (элемент ).
Этот элемент входит со знаком плюс. Поменяем местами два вторых индекса, чтобы они образовали последовательность 213. Соответствующее
слагаемое входит в определитель со знаком минус. Если же мы в последовательности 123 дважды поменяем
местами индексы: , то получим слагаемое , входящее в определитель со знаком
плюс. Отсюда можно прийти к идее составления определителя на основе произведений его элементов, которые входят со знаком, определяемым
расстановкой индексов элементов в данном слагаемом. Сформулируем эту идею в общем виде для определителя порядка . Он будет состоять
из слагаемых вида , где индексы принимают значения от 1 до .
Вводится понятие перестановки индексов. Так называют упорядоченный набор чисел из чисел от 1 до без пропусков и повторений.
Два элемента перестановки образуют порядок, если при . В противном случае эти два элемента образуют инверсию.
Если в перестановке имеется чётное число инверсий, то она называется чётной, в противном случае - нечётной. Если мы меняем местами любые
два элемента перестановки, то это называется транспозицией. При транспозиции перестановка меняет свою чётность.
Теперь мы можем дать общее определение детерминанта. Введём в рассмотрение таблицу чисел (матрицу)
.
По определению её детерминантом называется число
,
где суммирование ведётся по всевозможным перестановкам , а - это число инверсий в перестановке .
Пример .
Определим, с каким знаком войдёт в определитель пятого порядка слагаемое .
Согласно общему определению нужно найти число инверсий в перестановке 34152. Удобнее всего делать это приведением перестановки к виду 12345,
считая при этом число транспозиций:
- 2 транспозиции
- 3 транспозиции
Итого 5 транспозиций, следовательно, перестановка была нечётная, и рассматриваемое слагаемое должно войти в определитель с минусом.
Переходим к свойствам определителя. Отметим, что здесь мы не останавливаемся на свойствах определителя, связанных с операциями над матрицами:
эти свойства обсудим позже.
1. При перестановке двух строк или столбцов определителя он меняет знак.
2. Определитель с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.
3. Если к строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец) определителя, умноженную на отличное от нуля число,
то определитель не изменится.
4. Из строки (столбца) определителя можно выносить множитель за знак определителя.
Следующие свойства приведут нас к тому определению детерминанта, с которого мы начали. Сначала введём терминологию. Минором
элемента называется определитель, полученный вычёркиванием из исходного определителя строки и столбца, содержащих элемент .
Алгебраическое дополнение элемента
.
Существует теорема разложения определителя по строке и по столбцу. Согласно этой теореме определитель равен сумме элементов одной строки
(одного столбца), умноженных на их алгебраические дополнения. Например,
.
Видно, что это и есть то индуктивное определение детерминанта, которое приводилось выше. Однако теорема о разложении определителя позволяет
вычислять детерминант разложение не только по первой строке, а по любой строке или любому столбцу - как удобнее.
Другое следствие теоремы о разложении определителя - теорема об определителе верхнетреугольной матрицы, т.е. матрицы вида
.
Детерминант такой матрицы равен произведению её диагональных элементов. Отсюда следует способ вычисления определителей высоких порядков.
Нужно допустимыми преобразованиями привести матрицу к верхнетреугольному виду и перемножить диагональные элементы. К преобразованиям
относится прибавление к строкам и столбцам определителя других строк и столбцов, умноженных на соответствующие числа. Проиллюстрируем это примерами.
Примеры вычисления определителей
Пример 1. Вычисление определителей матриц прямым разложением по строкам и столбцам .
Вычислить определитель
Один раз покажем вычисление по теореме разложения, однако на практике обычно лучше не применять такой способ к вычислению
определителей выше третьего порядка (если только в определителе нет большого количества нулей).
Во втором столбце есть два нуля, поэтому разложение проводим по второму столбцу:

Первый определитель третьего порядка вычисляем разложением по первой строке (впрочем, этот вариант ничем не лучше разложений по другим
строкам или столбцам). Второй определитель раскладываем по второй строке: там есть один нуль (с тем же успехом можно было раскладывать по
второму столбцу):

Пример 2. Простой пример вычисления определителя методом преобразований .
Вычислить определитель
.
В общем, ничто не мешает применить совсем простую формулу для определителя второго порядка, но хотелось бы сделать вычисления проще.
Для этого вычтем из второго столбца первый, вынесем из второго столбца 100:
.
Пример 3. Вычисление определителей матриц методом преобразований .
Вычислим тот же определитель, что и в первом примере, но с помощью допустимых преобразований. Совершённые преобразования будут
указываться после их проведения.

Из второй и четвёртой строк вычли первую строку, из третьей строки вычли первую, умноженную на 2. Затем вынесли из второй строки двойку.
Умножили вторую строку на 5, четвёртую строку - на 2. Чтобы определитель не изменился, разделили его на 10. Этими действиями мы приводим
определитель к ступенчатому виду.

Внесли дробь перед определителем во вторую строку, третью строку умножили на 12, четвёртую - на 7; прибавили к четвёртой строке третью,
разделили третью строку на 12. Домножения и деления строк определителя сопровождались изменением множителя перед определителем.
Перемножение диагональных элементов и деление результата на 7 приводит к ответу 46 - в согласии с результатом вычислений в первом примере.
Может показаться, что мы ничего не выгадали по сравнению с первым примером, пользуясь методом преобразований. Иногда, действительно, вычисления
и тем, и другим способами примерно одинаковы по сложности. Разница становится очевидна при вычислении определителей бòльших порядков
или при отсутствии нулей среди элементов матрицы (см. далее).
Пример 4. Определитель матрицы без нулевых элементов .
Вычислить определитель
Применяем метод преобразований.

Умножили вторую, третью, четвёртую строки на 3 и вычли из них первую строку; вынесли из второй, третьей и четвёртой строк 2.

Умножили третью и четвёртую строки на 4, вычли из них вторую строку; вынесли из третьей и четвёртой строк 3.

Четвёртую строку умножили на 5 и вычли из неё третью строку.
Вычисление расписано очень детально, поэтому может показаться, что оно очень длинно. Между тем непосредственное разложение по строке
не будет короче и к тому же может быть связано с чисто арифметическими вычислительными ошибками.
Пример 5. Вычисление определителя пятого порядка .
Вычислить определитель
.
Хотелось бы сразу пояснить, что раскладывать этот определитель по строкам или столбцам - значит иметь дело с слагаемыми.
Поэтому будем преобразовывать определитель. Выкладки не будут столь детальны, как прежде. Рекомендуется проделать вычисления самостоятельно,
а ответ сравнить с полученным здесь:

Нужно подчеркнуть, что показанный метод, конечно же, не единственный возможный. Необязательно упорно приводить матрицу к ступенчатому
виду. Можно комбинировать метод преобразований с разложением по строкам и столбцам, получая нули там, где это удобнее для вычислений.
Здесь продемонстрирован метод последовательного приведения к ступенчатому виду матрицы.
Замечания .
1. В высшей алгебре приводится ещё один способ определения детерминанта, имеющий значительные преимущества по сравнению с приведёнными здесь. Он основан на использовании т.н. внешних произведений.
2. Теорема разложения имеет очень сильное обобщение - теорему Лапласа. Она заключается в возможности разложения определителя не только по строке, но и по минорам. Мы здесь не останавливаемся
на этой теореме.
Попытки создания «чистой» дедуктивно-аксиоматической математики привели к отказу от обычной в физике схемы (наблюдение - модель - исследование модели - выводы - проверка наблюдениями) и замена её схемой: определение - теорема - доказательство. Понять немотивированное определение невозможно, но это не останавливает преступных алгебраистов-аксиоматизаторов. Например, они были бы готовы определить произведение натуральных чисел при помощи правила умножения «столбиком». Коммутативность умножения становится при этом трудно доказываемой, но все же выводимой из аксиом теоремой. Эту теорему и её доказательство можно затем заставить учить несчастных студентов (с целью повысить авторитет как самой науки, так и обучающих ей лиц). Понятно, что ни такие определения, ни такие доказательства, ни для целей преподавания, ни для практической деятельности, ничего, кроме вреда, принести не могут.
Понять коммутативность умножения можно, только либо пересчитывая выстроенных солдат по рядам и по шеренгам, либо вычисляя двумя способами площадь прямоугольника. Попытки обойтись без этого вмешательства физики и реальности в математику - сектанство и изоляционизм, разрушающие образ математики как полезной человеческой деятельности в глазах всех разумных людей.
Раскрою ещё несколько подобных секретов (в интересах несчастных студентов).
Определитель матрицы - это (ориентированный) объём параллелепипеда, рёбра которого - её столбцы. Если сообщить студентам эту тайну (тщательно скрываемую в выхолощенном алгебраическом преподавании), то вся теория детерминантов становится понятной главой теории полилинейных форм. Если же определять детерминанты иначе, то у каждого разумного человека на всю жизнь останется отвращение и к определителям, и к якобианам, и к теореме о неявной функции.
Нажмите, чтобы раскрыть...

http://www.ega-math.narod.ru/Arnold2.htm
Не возражая против слов процитированного В.И. Арнольда, замечу, что сейчас есть такое модное веяние - пытаться засунуть куда только
можно и нельзя теорию форм и всё тому подобное. Да, выделенное жирным шрифтом утверждение имеет место быть, с этим не поспоришь,
только вот вычислять детерминанты оно не поможет. А основной смысл приведённого выше текста сводился к мотивировке введения
детерминанта в том виде, в каком он вводится буквально с первых семинаров (делается это обычно без обоснования, а появляется оно
примерно полгода спустя). Также насколько возможно поясняется классическое определение, даваемое в алгебре, а акцент сделан на
вычислительной части - собственно на том, что нужнее всего студентам первого и второго семестров. Может быть со временем появится
набор тем, содержащих материал, который в МИФИ не дают.
С Арнольдом также не поспоришь в том, что геометрии сейчас уделяется слишком мало внимания, но это не значит, что некоторые чисто
алгебраические вещи должны извлекаться из процесса образования.
не хочется спорить, если честно, поэтому отвечу очень кратко
Меня учили (не в мифи), что определитель - это коэффициент преобразования объема под действием линейного оператора. Т.е., под действием линейного оператора А параллелепипед объемом X переходит в параллелепипед с (ориентированным) объемом det(A)*X
Из этого определения мгновенно (без приложения каких-либо умственных усилий) следует что определитель произведения матриц равен произведению определителей, а для суммы матриц например это уже не верно. Из вашего определения это можно вывести, но это уже нетривально. И главное вывод выглядит как бессмысленная возня с индексами, он скорее прячет ясный смысл равенства, а не проясняет его. Также скажем следует, опять же без каких либо вычислений, что определитель матрицы, у которой два столбца или две строки совпадают, равен 0, многое следует про якобиан, про то что не бывает определителя у неквадратной матрицы ну итд
То, что я услышал правильное определение на почти 2 года позже мифишного, отняло у меня очень много ценного времени, поэтому я теперь так нервно реагирую когда вижу мифишное.
И вообще, это очень характерная ситуация, которую я неоднократно встречал в жизни. Если вы видите человека, который очень хорошо знает математику, то скорее всего это не потому, что он прорешал всего демидовича, а потому что он читал правильные книжки/учился у правильных людей в то время как другие решали демидовича.
Если вы видите человека, который очень хорошо знает математику, то скорее всего это не потому, что он прорешал всего демидовича, а потому что он читал правильные книжки/учился у правильных людей в то время как другие решали демидовича.
Нажмите, чтобы раскрыть...

А это, простите, тривиальность.
Я за принципиальные вещи с Вами не спорю. Я согласен с тем, что определение, которое приводится в линейной алгебре, во многих
теоретических вопросах неудобно, очень неудобно. Более того, я упомянул о существовании хорошего определения, имеющего выходы на разные
интересные общетеоретические вопросы в примечании. Но понимаете, цель вот этой конкретной темы как раз прояснить определение, которое студент
узнаёт на первом семестре и которое ему может быть непонятно. Цель этой конкретной темы - показать методы вычисления определителей.
Могу повторить, что была у меня мысль со временем - когда основные темы будут готовы - обратить внимание и на темы, которые в МИФИ не освещают,
к сожалению. Я согласен, что в МИФИ не хватает современной математики.
"Возня с индексами" - говорите Вы. Но с индексами-то тоже нужно уметь работать. А навык приобретается на практике, в качестве которой можно
рассматривать и доказательство таких вот теорем.
Нажмите, чтобы раскрыть...

я наверное не сумел донести свою мысль. Алгебраическое определение - вредное, оно сильно затрудняет понимание (и не каких-то теоретических вопросов, а самых что ни на есть практических) и ничего не дает, кроме бессмысленного вычислительного рецепта. Бессмысленного потому, что он применим только для матриц от 2х2 до 4х4, как вы правильно написали 5x5 уже слишком много.
Кстати, считать определители выше 3x3 руками, если мне не изменяет память, мне не приходилось в мифи по-моему (понятно что это были определители как функции какого-то параметра) И вообще считать рукми определители "численные" размером выше 3х3 - анахронизм сродни использованию логарифмической линейки. Кстати и эти определители 3х3 были якобианами при замене переменных в каких-то интегралах, так что и тут правильное определение было бы более полезным.
Одним словом изучать определители, основываясь на "классическом определении" (на самом деле оно никаким классическим не является конечно) - вредно для мозгов. Наверное чуть лучше чем какие-нибудь подстановки Эйлера, но не сильно. Но я понимаю, что признать это вы не сможете, поэтому как говорят джентельмены let"s agree to disagree
А это, простите, тривиальность.
Нажмите, чтобы раскрыть...

рад, что наши мнения тут совпадают
Я за принципиальные вещи с Вами не спорю. Я согласен с тем, что определение, которое приводится в линейной алгебре, во многих
теоретических вопросах неудобно, очень неудобно. Более того, я упомянул о существовании хорошего определения, имеющего выходы на разные
интересные общетеоретические вопросы в примечании. Но понимаете, цель вот этой конкретной темы как раз прояснить определение, которое студент
узнаёт на первом семестре и которое ему может быть непонятно. Цель этой конкретной темы - показать методы вычисления определителей.
Могу повторить, что была у меня мысль со временем - когда основные темы будут готовы - обратить внимание и на темы, которые в МИФИ не освещают,
к сожалению. Я согласен, что в МИФИ не хватает современной математики.
"Возня с индексами" - говорите Вы. Но с индексами-то тоже нужно уметь работать. А навык приобретается на практике, в качестве которой можно
рассматривать и доказательство таких вот теорем.
А это, простите, тривиальность.

Инструкция

Для вычисления детерминанта (Det A) матрицы размерностью 5х5 проведите элементов по первой строке. Для этого возьмите первый элемент данной строки и вычеркните из матрицы строку и столбец, на пересечении которых он находится. Запишите формулу произведения первого и определителя полученной матрицы 4 порядка: a11*detM1 – это будет первое слагаемое для нахождения Det A. В оставшейся четырехразрядной матрице М1 вам будет позже так же найти определитель (дополнительный минор).

Аналогичным образом, последовательно вычеркивайте столбец и строку, содержащие 2, 3, 4 и 5 элемент первой строки начальной матрицы, и находите для каждого из них соответствующую матрицу 4х4. Запишите произведения этих элементов на дополнительные миноры: a12*detM2, a13*detM3, a14*detM4, a15*detM5.

Найдите определители полученных матриц 4 порядка. Для этого проведите тем же методом понижение размерности. Первый элемент b11 матрицы M1 умножьте на определитель оставшейся матрицы 3х3 (C1). Детерминант же трехмерной матрицы можно легко по формуле: detC1 = c11* c22*c33 + c13* c21*c32 + c12* c23*c31 - c21* c12*c33 - c13* c22*c31 - c11* c32*c23, где cij – элементы полученной матрицы C1.

Далее рассмотрите аналогично второй элемент b12 матрицы М1 и вычислите его с соответствующим дополнительным минором detC2 полученной трехмерной матрицы. Таким же образом найдите произведения для 3 и 4 элемента первой матрицы 4 порядка. После чего определите искомый дополнительный минор матрицы detМ1. Для этого, согласно формуле разложения по строке, : detМ1 = b11*detC1 - b12*detC2 + b13*detC3 - b14*detC4. Вы получили первое слагаемое, необходимое для нахождения Det A.

Вычислите остальные слагаемые определителя матрицы пятого порядка, аналогичным образом понижая размерность каждой матрицы 4 порядка. Окончательная так: Det A = a11*detM1 - a12*detM2 + a13*detM3 - a14*detM4 + a15*detM5.

Инструкция

Самая простая и краткая формулировка этой операции такова: матрицы перемножаются по алгоритму "строка на столбец".

Теперь подробнее об этом правиле, а также о возможных ограничениях и особенностях.

Умножение на единичную матриц переводит исходную матрицы саму в себя (эквивалентно умножению чисел, где один из элементов 1). Аналогично, умножение на нулевую матрицу даёт нулевую матрицу.

Главное условие, накладываемое на участвующие в операции матрицы вытекает из способа выполнения : строк в первой матрице должно быть столько же, сколько столбцов во второй. Нетрудно догадаться, что в противном просто не на что.

Также стоит отметить ещё один важный момент: у умножения матриц нет коммутативности (или "перестановочности"), иначе говоря, А умножить на B не равняется B умножить на А. Запомните это и не путайте с правилом для умножения чисел.

Теперь, собственно сам процесс умножения.

Пусть мы умножаем матрицу А на матрицу B справа.

Берём первую строчку матрицы А и ее i-ый элемент умножаем на i-ый элемент первого столцба матрицы B. Все полученные складываем и записываем на место а11 в итоговую матрицу.

Затем также поступаем с первой строкой матрицы А и 3-им, 4-ым и т.д. столбцами матрицы Б, заполнив, таким образом, первую строчку итоговой матрицы.

Теперь переходим ко второй строке и снова перемножаем её последовательно на все столбцы, начиная с первого. Записываем результат во вторую строку итоговой матрицы.

Затем к 3-ей, 4-ой и т.д.

Повторяем , пока не перемножим все строки в матрице А со всеми столбцами матрицы В.

Матрицы - это эффективный способ представления числовой информации. Решение любой системы линейных уравнений можно записать в виде матрицы (прямоугольника, составленного из чисел). Умение перемножать матрицы - один из самых важных навыков, которым обучают на курсе "Линейной алгебры" в высших учебных заведениях.

Вам понадобится

Калькулятор

Инструкция

Для проверки этого условия проще всего воспользоваться следующим алгоритмом - запишите размерность первой матрицы как (a*b). Дальше размерность второй - (c*d). Если b=c - матрицы соразмерны, их можно перемножать.

Дальше произведите само перемножение. Помните - при перемножении двух матриц получается матрица. То есть, задача перемножения сводится к задаче нахождения новой, с размерностью (a*d). На СИ задачи перемножения матрицы выглядит следующим образом:
void matrixmult(int m1[n], int m1_row, int m1_col, int m2[n], int m2_row, int m2_col, int m3[n], int m3_row, int m3_col)
{ for (int i = 0; i < m3_row; i++)
for (int j = 0; j < m3_col; j++)
m3[i][j]=0;
for (int k = 0; k < m2_col; k++)
for (int i = 0; i < m1_row; i++)
for (int j = 0; j < m1_col; j++)
m3[i][k] += m1[i][j] * m2[j][k];
}

Проще говоря, новой матрицы - это сумма произведений элементов строки первой матрицы на элементы столбца второй матрицы. Если вы элемент третьей матрицы с номером (1;2), то вы должны просто умножить первую строку первой матрицы на второй столбец второй. Для этого считаете начальную сумму равной нулю. Дальше умножаете первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца, значение добавляете в сумму. Делаете так: умножаете i-тый элемент первой строки на i-тый элемент второго столбца и добавляете результаты к сумме, пока не кончится строка. Итоговая сумма и будет искомым элементом.

После того, как вы нашли все элементы третьей матрицы, записываете ее. Вы нашли произведение матриц.

Источники:

Главный математический портал России в 2019
как находить произведение матриц в 2019

Определитель (детерминант) матрицы - одно из важнейших понятий линейной алгебры. Определитель матрицы представляет собой многочлен от элементов квадратной матрицы. Чтобы вычислить определитель четвертого порядка, нужно общим правилом вычисления определителя.

Вам понадобится

Инструкция

Квадратная матрица четвертого представляет из себя из четырех строк и четырех столбцов. Ее определитель считается по общей рекурсивной формуле, приведенной на рисунке. M с индексами является дополнительным минором этой матрицы. Минор квадратной матрицы порядка n M с индексом 1 вверху и индексами от 1 до n внизу, - это определитель матрицы, который получается из исходной вычеркиванием первой строки и j1...jn столбцов (j1...j4 столбцов в случае квадратной матрицы четвертого порядка).

Из этой следует, что в результате для определителя квадратной матрицы четвертого порядка представит из себя сумму из четырех слагаемых. Каждое слагаемой будет являться произведением ((-1)^(1+j))aij, то есть одного из членов перовой строки матрицы, взятого с положительным или знаком, на квадратную третьего порядка (минор квадратной матрицы).

Получившиеся миноры, которые представляют из себя матрицы третьего порядка, можно уже по известной частной формуле, без использования новых миноров. Определители квадратной матрицы третьего порядка можно рассчитать по так называемому «правилу треугольника». Формулу для расчета определителя в этом случае выводить не нужно, а можно запомнить ее геометрическую схему. Эта изображена на приведенном рисунке. В результате |А| = a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a11*a23*a32-a12*a21*a33-a13*a22*a31.
Следовательно, миноры вычислены и определитель квадратной матрицы четвертого порядка может быть посчитан.

Источники:

как рассчитать определитель

Вам понадобится

- программа Microsoft Office Excel.

Инструкция

Запустите программу Microsoft Office Excel. В меню ввода данных впишите данную вам матрицу для последующего вычисления ее определителя. Выделите одну из незанятых ячеек таблицы, после чего введите следующую формулу: “=МОПРЕД(ak:fg)”. В данном случае ak будет означать координаты, соответствующие левому верхнему углу заданной матрицы, а fg – нижнему правому. Для получения определителя нажмите клавишу Enter. Нужное значение будет отображено в выбранной вами пустой ячейке.

Используйте функционал Excel для вычисления и других значений. В случае если вы не умеете использовать формулы в Microsoft Office Excel, скачайте специальную тематическую литературу, и после прочтения вам будет достаточно легко сориентироваться по данной программе.

Внимательно изучите наименования значений формул в данном программном обеспечении, поскольку при неправильном их вводе у вас могут испортиться сразу все результаты, в особенности это касается тех, кто выполняет сразу несколько одинаковых вычислений по одной одновременно.

Время от времени выполняйте проверку полученных в Microsoft Office Excel результатов вычисления. Это связано с тем, что в системе могли произойти какие-либо изменения со временем, в частности это относится к тем, кто выполняет работу по шаблона. Всегда нелишним будет лишний раз сверить результаты сразу нескольких текущих вычислений.

Также при работе с формулами будьте крайне осторожны и не допускайте появления в вашем компьютере вирусов. Даже в случае если операции с формулами в Microsoft Office Excel понадобится вам единоразово, изучите функционал данной программы в большей степени, поскольку эти навыки помогут вам в дальнейшем лучше понимать автоматизацию учета и применять Excel для выполнения определенных заданий.

Определитель – одно из понятий матричной алгебры. Это квадратная матрица, состоящая из четырех элементов, а чтобы вычислить определитель второго порядка , нужно воспользоваться формулой разложения по первой строке.

Инструкция

Определитель квадратной – это , которое используется в различных расчетах. Он незаменим при нахождении обратной матрицы, миноров, алгебраических дополнений, операции деления , но чаще всего необходимость перехода к определителю возникает при решении систем линейных уравнений.

Матрица второго порядка представляет собой совокупность четырех элементов, расположенных на двух строках и столбцах. Эти числа соответствуют коэффициентам системы уравнений неизвестными, которые применяются при рассмотрении множества прикладных задач, например, экономических.

Переход к компактным матричным вычислениям помогает быстро две вещи: во-первых, имеет ли эта решение, во-вторых, найти его. Достаточным условием решения является

Равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. , где i 0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i 0 .

Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для нахождения определителя матрицы в онлайн режиме с оформлением всего хода решения в формате Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.

Вычислить определитель можно будет двумя способами: по определению и разложением по строке или столбцу . Если требуется найти определитель созданием нулей в одной из строк или столбцов, то можно использовать этот калькулятор .

Алгоритм нахождения определителя

Для матриц порядка n=2 определитель вычисляется по формуле: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
Для матриц порядка n=3 определитель вычисляется через алгебраические дополнения или методом Саррюса .
Матрица, имеющая размерность больше трех, раскладывается на алгебраические дополнения, для которых вычисляются свои определители (миноры). Например, определитель матрицы 4 порядка находится через разложение по строкам или столбцам (см. пример).

Для вычисления определителя, содержащего в матрице функции, применяются стандартные методы. Например, вычислить определитель матрицы 3 порядка:

Используем прием разложения по первой строке.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Методы вычислений определителей

Нахождение определителя через алгебраические дополнения является распространенным методом. Его упрощенным вариантом является вычисление определителя правилом Саррюса . Однако при большой размерности матрицы, используют следующие методы:

вычисление определителя методом понижения порядка
вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду).

В Excel для расчета определителя используется функция =МОПРЕД(диапазон ячеек) .

Прикладное использование определителей

Вычисляют определители, как правило, для конкретной системы, заданной в виде квадратной матрицы. Рассмотрим некоторые виды задач на нахождение определителя матрицы .

Иногда требуется найти неизвестный параметр a , при котором определитель равнялся бы нулю. Для этого необходимо составить уравнение определителя (например, по правилу треугольников ) и, приравняв его к 0 , вычислить параметр a .
разложение по столбцам (по первому столбцу):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 .

Определим минор для (2,1): для этого вычеркиваем из матрицы вторую строку и первый столбец.

Найдем определитель для этого минора. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Главный определитель равен: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Найдем определитель, использовав разложение по строкам (по первой строке):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.

Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 . Минор для (1,2): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец. Вычислим определитель для этого минора. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7 . И чтобы найти минор для (1,3) вычеркиваем из матрицы первую строку и третий столбец. Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Находим главный определитель: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

Назначение сервиса . Данный калькулятор предназначен для нахождения определителя матрицы методом понижения порядка в онлайн режиме с оформлением решения в Word (см. пример решения). Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.

Алгоритм нахождения определителя методом понижения порядка

Методом Гаусса обнуляется текущий столбец текущей матрицы A .
Полученная матрица раскладывается по элементам первого столбца. Получается новая матрица A .
Если размерность матрицы A больше двух, то переходим на шаг №1, иначе находим определитель матрицы ∆ 22 .
Определитель исходной матрицы A равен произведению элементов матрицы a ij на ∆ 22 .

Методы вычислений определителей

Нахождение определителя методом приведения к треугольному виду .

Пример №1 . Найти определитель матрицы: Запишем матрицу в виде:

Работаем со столбцом №1
Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Полученную матрицу разложим по элементам первого столбца и преобразуем ее:

Преобразуем 1-ый столбец таким образом, чтобы в нем оказалось максимальное количество нулей.
Умножим 3-ую строку на (k = -2 / 6 = -1 / 3) и добавим к 4-ой: