Примеры решения пределов стремящихся к бесконечности. Как решать пределы для чайников? Что принципиально важно в оформлении решения

Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения $ x $ в функцию получаются неопределенности трёх видов:

1. $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $
2. $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $
3. $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи

Тип 1 $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $

Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.

Пример 1

Найти предел с корнем $$ \lim \limits_{x \to 4} \frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}} $$

Решение

Подставляем $ x \to 4 $ в подпределельную функцию: $$ \lim \limits_{x \to 4} \frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}} = \frac{0}{0} = $$ Получаем неопределенность $ [\frac{0}{0}] $. Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень: $ 4+\sqrt{x+12} $ $$ = \lim \limits_{x \to 4} \frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{(4-\sqrt{x+12})(4+\sqrt{x+12})} = $$ Используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ приведем предел к следующему виду: $$ = \lim \limits_{x \to 4} \frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{16-(x+12)} = $$ Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его: $$ = \lim \limits_{x \to 4} \frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{4-x} = $$ Сокращам функцию в пределе на $ x-4 $, имеем: $$ = -\lim \limits_{x \to 4} (4+\sqrt{x+12}) = -(4+\sqrt{4+12}) = -8 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ \lim \limits_{x \to 4} \frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}} = -8 $$

Тип 2 $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $

Пределы с корнем такого типа, когда $ x \to \infty $ вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.

Тип 3 $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.

Пример 3

Вычислить предел корня $$ \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt{x^2-3x}-x $$

Решение

При $ x \to \infty $ в пределе видим: $$ \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt{x^2-3x}-x = [\infty - \infty] = $$ После домножения и разделения на сопряженное имеем предел: $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-3x}-x)(\sqrt{x^2-3x}+x)}{\sqrt{x^2-3x}+x} = $$ Упростим числитель, используя формулу разности квадратов: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ $$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{(x^2-3x)-x^2}{\sqrt{x^2-3x}+x} = $$ После раскрытия скобок и упрощения получаем: $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-3x}{\sqrt{x^2-3x}+x} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-3x}{x(\sqrt{1-\frac{3}{x}}+1)} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-3}{\sqrt{1-\frac{3}{x}}+1} = $$ Снова подставляем $ x \to \infty $ в предел и вычисляем его: $$ = \frac{-3}{\sqrt{1-0}+1} = -\frac{3}{2} $$

Ответ

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt{x^2-3x}-x = -\frac{3}{2} $$

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши , а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Любой предел состоит из трех частей :

1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое . Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают .

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию .

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ?
, , , …

Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности :

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ .

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать до бесконечности и смотрим на поведение функции:

Вывод: при функция неограниченно возрастает :

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .

! Примечание : строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом .

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций . После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует !

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже:

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени .

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 3

Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число , ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу .

Пример 4

Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило : если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители .

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики . Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни:

Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

Пример 5

Вычислить предел

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:



,

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела . Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

! Важно
В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя . Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела . Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

\begin{equation} a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end{equation}

Пример №4

Найти $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}}{16-x^2}$.

Так как $\lim_{x\to 4}\left(\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}\right)=0$ и $\lim_{x\to 4}(16-x^2)=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac{0}{0}$. Чтобы избавиться от иррациональности, вызвавшей эту неопределенность, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю. здесь уже не поможет, ибо домножение на $\sqrt{5x-12}+\sqrt{x+4}$ приведёт к такому результату:

$$ \left(\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}\right)\left(\sqrt{5x-12}+\sqrt{x+4}\right)=\sqrt{(5x-12)^2}-\sqrt{(x+4)^2} $$

Как видите, такое домножение не избавит нас от разности корней, вызывающей неопределённость $\frac{0}{0}$. Нужно домножить на иное выражение. Это выражение должно быть таким, чтобы после домножения на него исчезла разность кубических корней. А кубический корень может "убрать" только третья степень, посему нужно использовать . Подставив в правую часть этой формулы $a=\sqrt{5x-12}$, $b=\sqrt{x+4}$, получим:

$$ \left(\sqrt{5x-12}- \sqrt{x+4}\right)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)=\\ =\sqrt{(5x-12)^3}-\sqrt{(x+4)^3}=5x-12-(x+4)=4x-16. $$

Итак, после домножения на $\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2}$ разность кубических корней исчезла. Именно выражение $\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2}$ будет сопряжённым к выражению $\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}$. Вернемся к нашему пределу и осуществим умножение числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое числителю $\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}$:

$$ \lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}}{16-x^2}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{\left(\sqrt{5x-12}- \sqrt{x+4}\right)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)}{(16-x^2)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)}=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{4x-16}{(16-x^2)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)} $$

Задача практически решена. Осталось лишь учесть, что $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (см. ). Кроме того $4x-16=4(x-4)$, поэтому последний предел перепишем в такой форме:

$$ \lim_{x\to 4}\frac{4x-16}{(16-x^2)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)}=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{4(x-4)}{-(x-4)(x+4)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)}=\\ =-4\cdot\lim_{x\to 4}\frac{1}{(x+4)\left(\sqrt{(5x-12)^2}+\sqrt{5x-12}\cdot \sqrt{x+4}+\sqrt{(x+4)^2} \right)}=\\ =-4\cdot\frac{1}{(4+4)\left(\sqrt{(5\cdot4-12)^2}+\sqrt{5\cdot4-12}\cdot \sqrt{4+4}+\sqrt{(4+4)^2} \right)}=-\frac{1}{24}. $$

Ответ : $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{5x-12}-\sqrt{x+4}}{16-x^2}=-\frac{1}{24}$.

Рассмотрим ещё один пример (пример №5) в данной части, где применим . Принципиально схема решения ничем не отличается от предыдущих примеров, - разве что сопряжённое выражение будет иметь иную структуру. Кстати, стоит отметить, что в типовых расчётах и контрольных работах часто встречаются задачи, когда, например, в числителе размещены выражения с кубическим корнем, а в знаменателе - с корнем квадратным. В этом случае приходится домножать и числитель и знаменатель на различные сопряжённые выражения. Например, для при вычислении предела $\lim_{x\to 8}\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x+1}-3}$, содержащего неопределённость вида $\frac{0}{0}$, домножение будет иметь вид:

$$ \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x+1}-3}=\left|\frac{0}{0}\right|= \lim_{x\to 8}\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\cdot \left(\sqrt{x^2}+2\sqrt{x}+4\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)}{\left(\sqrt{x+1}-3\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)\cdot\left(\sqrt{x^2}+2\sqrt{x}+4\right)}=\\= \lim_{x\to 8}\frac{(x-8)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)}{\left(x-8\right)\cdot\left(\sqrt{x^2}+2\sqrt{x}+4\right)}= \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt{x+1}+3}{\sqrt{x^2}+2\sqrt{x}+4}=\frac{3+3}{4+4+4}=\frac{1}{2}. $$

Все преобразования, применённые выше, уже были рассмотрены ранее, поэтому полагаю, особых неясностей здесь нет. Впрочем, если решение вашего аналогичного примера вызывает вопросы, прошу отписать об этом на форум .

Пример №5

Найти $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{5x+6}-2}{x^3-8}$.

Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt{5x+6}-2)=0$ и $\lim_{x\to 2}(x^3-8)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. Для раскрытия оной неопределённости используем . Сопряжённое выражение к числителю имеет вид

$$\sqrt{(5x+6)^3}+\sqrt{(5x+6)^2}\cdot 2+\sqrt{5x+6}\cdot 2^2+2^3=\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8.$$

Домножая числитель и знаменатель дроби $\frac{\sqrt{5x+6}-2}{x^3-8}$ на указанное выше сопряжённое выражение будем иметь:

$$\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{5x+6}-2}{x^3-8}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{\left(\sqrt{5x+6}-2\right)\cdot \left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5x+6-16}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)} $$

Так как $5x-10=5\cdot(x-2)$ и $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (см. ), то:

$$ \lim_{x\to 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)}=\\ \lim_{x\to 2}\frac{5}{(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt{5x+6}+8\right)}=\\ \frac{5}{(2^2+2\cdot 2+4)\cdot\left(\sqrt{(5\cdot 2+6)^3}+2\cdot\sqrt{(5\cdot 2+6)^2}+4\cdot\sqrt{5\cdot 2+6}+8\right)}=\frac{5}{384}. $$

Ответ : $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{5x+6}-2}{x^3-8}=\frac{5}{384}$.

Пример №6

Найти $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{3x-5}-1}{\sqrt{3x-5}-1}$.

Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt{3x-5}-1)=0$ и $\lim_{x\to 2}(\sqrt{3x-5}-1)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. В таких ситуациях, когда выражения под корнями одинаковы, можно использовать способ замены. Требуется заменить выражение под корнем (т.е. $3x-5$), введя некоторую новую переменную. Однако простое использование новой буквы ничего не даст. Представьте, что мы просто заменили выражение $3x-5$ буквой $t$. Тогда дробь, стоящая под пределом, станет такой: $\frac{\sqrt{t}-1}{\sqrt{t}-1}$. Иррациональность никуда не исчезла, - лишь несколько видоизменилась, что нисколько не облегчило задачу.

Здесь уместно вспомнить, что корень может убрать лишь степень. Но какую именно степень использовать? Вопрос не тривиален, ведь у нас два корня. Один корень пятого, а другой - третьего порядка. Степень должна быть такой, чтобы одновременно убрать оба корня! Нам нужно натуральное число, которое одновременно делилось бы на $3$ и на $5$. Таких чисел бесконечное множество, но наименьшее из них - число $15$. Его называют наименьшим общим кратным чисел $3$ и $5$. И замена должна быть такой: $t^{15}=3x-5$. Посмотрите, что такая замена сделает с корнями.

Среди примеров пределов функции часто встречаются функции с корнями , которые не всегда понятно как раскрывать. Проще когда есть пример границе с корневой функцией вида

Решение подобных пределов просто и понятно каждому.
Трудности возникают если есть следующие примеры функций с корнями.

Пример 1 . Вычислить предел функции

При прямой подстановке точки x = 1 видно что и числитель и знаменатель функции

превращаются в ноль, то есть имеем неопределенность вида 0/0 .
Для раскрытия неопределенности следует умножить выражение, содержащее корень на сопряженное к нему и применить правило разности квадратов. Для заданного примера преобразования будут следующими



Предел функции с корнями равен 6 . Без приведенного правила ее трудно было бы найти.
Рассмотрим подобные примеры вычисления границы с данным правилом

Пример 2. Найти предел функции

Убеждаемся что при подстановке x = 3 получаем неопределенность вида 0/0.
Ее раскрываем умножением числителя и знаменателя на сопряженное к числителю.


Далее числитель раскладываем согласно правилу разности квадратов

Вот так просто нашли предел функции с корнями.

Пример 3. Определить предел функции

Видим, что имеем неопределенность вида 0/0.
Избавляемся ирациональносьти в знаменателе

Предел функции равна 8 .

Теперь рассмотрим другой тип примеров, когда переменная в переделе стремится к бесконечности.

Пример 4 . Вычислить предел функции

Много из Вас не знают как найти предел функции. Ниже будет раскрыта методика вычислений.
Имемем предел типа бесконечность минус бесконечность. Умножаем и делим на сопряженный множитель и используем правило разности квадратов

Границ функции равна -2,5 .

Вычисление подобных пределов фактически сводится к раскрытию иррациональности, а затем подстановке переменной

Пример 5. Найти предел функции

Предел эквивалентен - бесконечность минус бесконечность
.
Умножим и разделим на сопряженное выражение и выполним упрощение

Неопределённость вида и вида - самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.

Большая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.

Неопределённость вида

Пример 1.

n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :

.

Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или "супермалому числу".

Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .

Пример 2. .

Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x :

.

Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем "икс" под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо "икса".

Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.

Неопределённость вида

Пример 3. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. В числителе - разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:

В знаменателе - квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):

Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:

Пример 4. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку

Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:

Пример 5. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:

Пример 6. Вычислить

Решение: воспользуемся теоремами о пределах

Ответ: 11

Пример 7. Вычислить

Решение: в этом примере пределы числителя и знаменателя при равны 0:

; . Получили , следовательно, теорему о пределе частного применять нельзя.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3.

Квадратный трехчлен в числителе разложим по формуле , где x 1 и х 2 – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на (x-2), затем применим теорему 3.

Ответ:

Пример 8. Вычислить

Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для избавления от неопределенности такого вида следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень аргумента. В данном примере нужно разделить на х :

Ответ:

Пример 9. Вычислить

Решение: х 3 :

Ответ: 2

Пример 10. Вычислить

Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 5 :

=

числитель дроби стремится к 1, знаменатель к 0, поэтому дробь стремится к бесконечности.

Ответ:

Пример 11. Вычислить

Решение: При числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. х 7 :

Ответ: 0

Производная.

Производной функции y = f(x) по аргументу x называется предел отношения ее приращения y к приращению x аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Если этот предел конечен, то функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х. Если же этот предел есть , то говорят, что функция y = f(x) имеет в точке х бесконечную производную.

Производные основных элементарных функций:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Правила дифференцирования:

a)

в)

Пример 1. Найти производную функции

Решение: Если производную от второго слагаемого находим по правилу дифференцирования дроби, то первое слагаемое представляет собой сложную функцию, производная которой находится по формуле:

, где , тогда

При решении были использованы формулы: 1,2,10,а,в,г.

Ответ:

Пример 21. Найти производную функции

Решение: оба слагаемых – сложные функции, где для первого , , а для второго , , тогда

Ответ:

Приложения производной.

1. Скорость и ускорение

Пусть функция s(t) описывает положение объекта в некоторой системе координат в момент времени t. Тогда первая производная функции s(t) является мгновенной скоростью объекта:
v=s′=f′(t)
Вторая производная функции s(t) представляет собой мгновенное ускорение объекта:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Уравнение касательной
y−y0=f′(x0)(x−x0),
где (x0,y0) − координаты точки касания, f′(x0) − значение производной функции f(x) в точке касания.

3. Уравнение нормали
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

где (x0,y0) − координаты точки, в которой проведена нормаль, f′(x0) − значение производной функции f(x) в данной точке.

4. Возрастание и убывание функции
Если f′(x0)>0, то функция возрастает в точке x0. На рисунке ниже функция является возрастающей при xx2.
Если f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1 Если f′(x0)=0 или производная не существует, то данный признак не позволяет определить характер монотонности функции в точке x0.

5. Локальные экстремумы функции
Функция f(x) имеет локальный максимум в точке x1, если существует такая окрестность точки x1, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x1)≥f(x).
Аналогично, функция f(x) имеет локальный минимум в точке x2, если существует такая окрестность точки x2, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x2)≤f(x).

6. Критические точки
Точка x0 является критической точкой функции f(x), если производная f′(x0) в ней равна нулю или не существует.

7. Первый достаточный признак существования экстремума
Если функция f(x) возрастает (f′(x)>0) для всех x в некотором интервале (a,x1] и убывает (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) для всех x из интервала }