Сложение натуральных дробей. Сокращение дробей. Что такое "сокращение дробей"
Тригонометрические функции числового аргумента.
Тригонометрические функции числового аргумента
t
– это функции вида y
= cos t,
y
= sin t, y
= tg t, y
= ctg t.
С помощью этих формул через известное значение одной тригонометрической функции можно найти неизвестные значения других тригонометрических функций.
Пояснения .
1) Возьмем формулу cos 2 t + sin 2 t = 1 и выведем с ее помощью новую формулу.
Для этого разделим обе части формулы на cos 2 t (при t ≠ 0, то есть t ≠ π/2 + πk ). Итак:
cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t
Первое слагаемое равно 1. Мы знаем, что отношение синуса к конисусу – это тангенс, значит, второе слагаемое равно tg 2 t. В результате мы получаем новую (и уже известную вам) формулу:
2) Теперь разделим cos 2 t + sin 2 t = 1 на sin 2 t (при t ≠ πk ):
cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, где t ≠ πk
+ πk
, k
– целое число
sin 2 t sin 2 t sin 2 t
Отношение косинуса к синусу – это котангенс. Значит:
Зная элементарные основы математики и выучив основные формулы тригонометрии, вы легко сможете самостоятельно выводить большинство остальных тригонометрических тождеств. И это даже лучше, чем просто зазубривать их: выученное наизусть быстро забывается, а понятое запоминается надолго, если не навсегда. К примеру, необязательно зазубривать, чему равна сумма единицы и квадрата тангенса. Забыли – можно легко вспомнить, если вы знаете самую простую вещь: тангенс – это отношение синуса к косинусу. Примените вдобавок простое правило сложения дробей с разными знаменателями – и получите результат:
sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t
Точно так же легко можно найти сумму единицы и квадрата котангенса, как и многие другие тождества.
Тригонометрические функции углового аргумента.
В функциях у = cos t , у = sin t , у = tg t , у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом.
С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого
угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия:
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;
2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси x .
В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом данного угла.
Пояснение . Нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x , а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности) под углом 30º (см.рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны с окружностью соответствует π/6. Нам известны ордината и абсцисса этой точки. Они же являются косинусом и синусом нашего угла:
√3 1
--; --
2 2
А зная синус и косинус угла, вы уже легко сможете найти его тангенс и котангенс.
Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат, является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.
Но есть более простой способ. Можно и не рисовать окружность и систему координат. Можно воспользоваться простыми и удобными формулами:
Пример : найти синус и косинус угла, равного 60º.
Решение :
π · 60 π √3
sin 60º = sin --- = sin -- = --
180 3 2
π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2
Пояснение : мы выяснили, что синус и косинус угла 60º соответствуют значениям точки окружности π/3. Далее просто находим в таблице значения этой точки – и таким образом решаем наш пример. Таблица синусов и косинусов основных точек числовой окружности – в предыдущем разделе и на странице «Таблицы».
Тригонометрические функции числового аргумента. Свойства и графики тригонометрических функций.
Определение1: Числовая функция, заданная формулой y=sin x называется синусом.
Данная кривая имеет название – синусоида.
Свойства функции y=sin x
2. Область значения функции: E(y)=[-1; 1]
3. Четность функции:
y=sin x – нечетная,.
4. Периодичность: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число.
Данная функция через определенный промежуток принимает одинаковые значения. Такое свойство функции называют периодичностью. Промежуток – периодом функции.
Для функции y=sin x период составляет 2π.
Функция y=sin x – периодическая, с периодом Т=2πn, n – целое число.
Наименьший положительный период Т=2π.
Математически это можно записать так: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число.
Определение2: Числовая функция, заданная формулой y=cosx называется косинусом.
Свойства функции y=cos x
1. Область определения функции: D(y)=R
2. Область значения функции: E(y)=[-1;1]
3. Четность функции:
y=cos x –четная.
4. Периодичность: cos(x+2πn)=cos x, где n – целое число.
Функция y=cos x – периодическая, с периодом Т=2π.
Определение 3: Числовая функция, заданная формулой y=tg x, называется тангенсом.
Свойства функции y=tg x
1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме π/2+πk, k – целое число. Потому что в этих точках тангенс не определен.
2. Область значения функции: E(y)=R.
3. Четность функции:
y=tg x – нечетная.
4. Периодичность: tg(x+πk)=tg x, где k – целое число.
Функция y=tg x – периодическая с периодом π.
Определение 4: Числовая функция, заданная формулой y=ctg x, называется котангенсом.
Свойства функции y=ctg x
1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме πk, k– целое число. Потому что в этих точках котангенс не определен.