Вопрос: Раньше номера трамваев обозначали двумя цветными фонариками. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, используя фонари восьми различных цветов? Номер трамвая узнаем по цвету

Оренбург 250 300 200 300 600 Заказ 600 500 200 100 с1 = 250; с2 = 200; с3 = 150. б) Таблица 22 Филиалы Москва Санкт-Петербург Тверь Тула Объем закупки Поставщик Гданьск 200 300 250 150 550 Краснодар 300 400 300 250 650 Оренбург 150 250 200 200 800 Заказ 450 700 300 300 с1 = 200; с2 = 100; с3 = 150. в) Таблица 23 Филиалы Москва Санкт-Петербург Тверь Тула Объем закупки Поставщик Гданьск 200 300 250 150 650 Краснодар 250 400 300 250 750 Оренбург 150 250 200 200 600 Заказ 500 750 400 300 с1 = 200; с2 = 100; с3 = 150. Задача 2. Четыре магазина «Лига-плюс», «Умка», «Гурман» и «Улей» торгуют молочной продукцией, ко- торую поставляют три молокозавода. Первый завод имеет соглашение с фирменным магазином "Гурман" о фиксированной поставке ему своей продукции. Тарифы на доставку молочной продукции и объем фиксирован- ной поставки (в ящиках) даны в таблицах по вариантам. Найдите оптимальный план поставок молочной про- дукции. а) Таблица 24 Магазин «Лига-плюс» «Гурман» «Умка» «Улей» Объем закупки Завод 1 5 8 6 10 700 200 2 9 6 7 5 800 3 6 7 5 8 500 800 400 600 200 б) Таблица 25 Магазин «Лига-плюс» «Гурман» «Умка» «Улей» Объем закупки Завод 1 5 10 7 400 300 5 2 6 8 5 8 600 3 7 9 6 4 900 500 700 200 500 К РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА» Задание 3 Таблица 26 Вариант № Задания I а) Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены ко- миссии могут распределить между собой обязанности? б) Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, про- водится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести. в) Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений? II а) Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек? б) Замок открывается толь- ко в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной? в) Порядок выступления восьми участников конкурса определя- ется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно? III а) Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосоче- тание может содержать от трех до десяти звуков? б) Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эста- феты 800 + 400 + 200 + 100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты? в) На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и вто- рой тома не стояли рядом? IV а) В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета? б) Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды? в) Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распре- делиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке? Продолжение табл. 26 Вариант Задания V а) Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество раз- личных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов? б) Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладъя мо- жет взять другую, если она находится с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски). в) Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр? К РАЗДЕЛУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»: Задание 4 Таблица 27 Вариант Задания а) Классическое и статистическое определение вероятности I Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях четная, причем на грани одной из костей появится шестерка II При перевозке ящика, в котором содержалась 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем не известно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки ящика) деталь оказа- лась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь III Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одина- кового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероят- ность того, что наудачу извлеченный кубик имеет: а) одну окрашенную грань; б) две окрашенные грани; в) три окрашенные грани IV В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная V В коробке пять одинаковых деталей, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие б) Теоремы сложения и умножения вероятностей I На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь наудачу вы- бирает три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете Продолжение табл. 27 Вариант Задания II В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена III Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95, а вероятность того, что при аварии сработает второй сигнализатор, равна 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор IV Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при первом залпе в мишень попадет только один из стрелков V Из партии товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта в) Вероятность появления хотя бы одного события I В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от дру- гого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны p1 = 0,1; p2 = 0,15; p3 = 0,2, найти вероятность того, что тока в цепи не будет II Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответ- ственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент III Для разрушения моста достаточно попадании одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответ- ственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 07 IV Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле V Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спорт- смены выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами г) Формула полной вероятности I В урну, содержащую два шара, спущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Най- ти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету) Продолжение табл. 27 Окончание таб Вариант Задания II В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95 для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки III В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из ка- ждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров был наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар IV В каждой из трех урн содержится б черных с 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен одни шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется бе- лым V В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе 1, 20 деталей, изготовленных на заводе 2 и 18 деталей, изготовленных на заводе 3. Вероятность того, что деталь изготовленная на заводе 1 отлич- ного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах 2 и 3 эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества д) Основные формулы теории вероятностей I В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок сразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без опти- ческого прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него? II В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием А, 30 % – с за- болеванием Б, 20 % – с заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни А равна 0,7; для бо- лезней Б и С эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием А III Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются IV В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рожде- ния мальчика принять равной 0,51 V Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что орел выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз Задание 5 Таблица 28 Вариант Задание а) Дискретные случайные величины, числовые характеристики дискретных случайных величин I 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 0,1 0,3 0,6 0,8 P 0,2 0,1 0,4 0,3 Построить многоугольник распределения. 1.2 Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероят- ность того, что тираж содержит пять бракованных книг. 1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1. найти: а) мате- матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого, второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ- го, третьего и четвертого порядков. 1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу- чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,2 II 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 0,10 0,15 0,20 0,25 P 0,1 0,3 0,2 0,4 Построить многоугольник распределения. 1.2 Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в момент вре- мени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента. 1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате- матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого, второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ- го, третьего и четвертого порядков. 1.4. Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу- чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,7 III 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 0,2 0,4 0,5 0,6 P 0,3 0,1 0,2 0,4 Построить многоугольник распределения. 1.2 Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди отобранных 200 деталей окажется ровно 4 бракованных. 1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1. найти: а) мате- матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого, второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ- го, третьего и четвертого порядков. 1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу- чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,5 Продолжение табл. 28 Вариант Задание IV 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 0,2 0,6 0,9 1,2 P 0,3 0,1 0,2 0,4 Построить многоугольник распределения. 1.2 Завод направил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно 3; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно. 1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате- матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого, второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ- го, третьего и четвертого порядков. 1.4. Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу- чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,6 V 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 0,3 0,4 0,7 0,10 P 0,4 0,1 0,2 0,3 Построить многоугольник распределения. 1.2 Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, то бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно 2; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну. 1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате- матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого, второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ- го, третьего и четвертого порядков. 1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу- чайной величины X из п. 1.1. вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,1 б) Непрерывные случайные величины, числовые характеристики непрерыв- ных случайных величин, распределения непрерывной случайной величины. I 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X 0, x ≤ 0; F(X)= sin x, 0 < x ≤ Π /2; 1, x > Π/2. Найти плотность распределения f(x). 1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 2x на интервале (0; 1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математиче- ское ожидание и дисперсию величины X. 1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 0,5x в интервале (0; 2), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого по- рядков. 1.4 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случай- ной величины X, распределенной равномерно в интервале (2; 8) Продолжение табл. 28 Вариант Задание II 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X 0, x ≤ 0; F(X) = sin 2x, 0 < x ≤ Π /4; 1, x > Π/4. Найти плотность распределения f(x). 1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (1/2)x на интервале (0; 2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти матема- тическое ожидание и дисперсию величины X. 1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 2x в интервале (0; 1), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого поряд- ков. 1.4 Случайные величины X и Y независимы и распределены равно- мерно: X в интервале (a, b), Y – в интервале (c, d). Найти математиче- ское ожидание и дисперсию произведения XY III 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X 0, x≤0; F(X) = cos 2x, 0Π/2. Найти плотность распределения f(x). 1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (–3/4)x 2 + (9/2)x – 6 на интервале (2; 4); вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду, математическое ожидание, дисперсию и медиану величины X. 1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 4x в интервале (0; 2), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого поряд- ков. 1.4 Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 12. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (10; 14) IV 1.1 Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины X 0, x ≤ 0; f(x) = cos x, 0 < x ≤ Π /2; 1, x > Π/2. Продолжение табл. 28 Вариант Задание IV Найти функцию распределения F(X). 1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (–3/4)x 2 + 6x – 45/4 на интервале (3; 5); вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду, математическое ожидание, дисперсию и медиану величины X. 1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (1/3)x в интервале (0; 3), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого по- рядков. 1.4 Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25) V 1.1 Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины X 0, x ≤ 0; f(x) = sin, 0 < x ≤ Π /2; 1, x > Π/2. Найти функцию распределения F(X). 1.2 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (–3/4)x 2 + 12x – 8 на интервале (7; 9); вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду, математическое ожидание, дисперсию и медиану ве- личины X. 1.3 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 1,5x в интервале (0; 6), вне этого интервала f(x) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого по- рядков. 1.4 Производится измерение диаметра вала без систематических (од- ного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нор- мальному закону со средним квадратическим отклонением равным 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 15 мм Варианты контрольной работы приведены в табл. 29. Номер выполняемого варианта совпадает с порядко- вым номером студента в списке группы. Таблица 29 № Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 1 в, табл. 18 1, а), 21 I, табл. 26 II, табл. 27 III, табл. 28 2 а, табл. 16 1, б), 22 II, табл. 26 III, табл. 27 IV, табл. 28 3 б, табл. 17 1, в), 23 III, табл. 26 IV, табл. 27 V, табл. 28 4 в, табл. 18 2, а), 24 IV, табл. 26 V, табл. 27 I, табл. 28 5 г, табл. 19 2, б), 25 V, табл. 26 I, табл. 27 I, табл. 28 6 д, табл. 20 1, в), 23 II, табл. 26 II, табл. 27 II, табл. 28 7 а, табл. 16 2, а), 24 V, табл. 26 III, табл. 27 IV, табл. 28 8 б, табл. 17 1, а), 21 II, табл. 26 IV, табл. 27 V, табл. 28 9 в, табл. 18 1, б), 22 III, табл. 26 V, табл. 27 V, табл. 28 10 г, табл. 19 2, а), 24 I, табл. 26 IV, табл. 27 II, табл. 28 11 д, табл. 20 1, в), 23 II, табл. 26 II, табл. 27 III, табл. 28 12 в, табл. 18 2, а), 24 III, табл. 26 III, табл. 27 IV, табл. 28 13 а, табл. 16 2, б), 25 I, табл. 26 IV, табл. 27 I, табл. 28 14 б, табл. 17 1, в), 23 II, табл. 26 V, табл. 27 II, табл. 28 15 г, табл. 17 2, а), 24 III, табл. 26 I, табл. 27 III, табл. 28 16 д, табл. 18 1, а), 21 IV, табл. 26 III, табл. 27 IV, табл. 28 17 а, табл. 19 1, б), 22 V, табл. 26 II, табл. 27 V, табл. 28 18 в, табл. 20 2, б), 25 I, табл. 26 III, табл. 27 IV, табл. 28 19 г, табл. 18 1, в), 23 III, табл. 26 IV, табл. 27 II, табл. 28 20 д, табл. 20 1, а), 21 II, табл. 26 V, табл. 27 III, табл. 28 21 г, табл. 18 1, б), 22 III, табл. 26 I, табл. 27 IV, табл. 28 22 а, табл. 16 1, в), 23 IV, табл. 26 V, табл. 27 V, табл. 28 23 а, табл. 18 2, а), 24 V, табл. 26 I, табл. 27 IV, табл. 28 24 б, табл. 17 2, б), 25 I, табл. 26 II, табл. 27 I, табл. 28 25 в, табл. 20 1, б), 22 V, табл. 26 III, табл. 27 II, табл. 28 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник для вузов / под ред. В.И. Ермакова. – М. : ИНФРА-М, 1999. 2 Зайцев, М.В. Прикладная математика: учебное пособие / М.В. Зайцев, А.А. Беляев. – М. : Изд-во МГУК, 1999. – Ч. 1, 2. 3 Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. – М. : Высшая школа, 1977. 4 Гнеденко, Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей: учебное пособие / Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчин. – М. : Наука, 1976. 5 Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика / В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турун- даевский. – М. : Высшая школа, 1991. 6 Матвеев, В.И. Курс линейного программирования для экономистов: учебное пособие / В.И. Матвеев, Р.В. Сагитов, В.Г. Шершнев. – М. : Менеджер, 1998. Таблица 11

Омнибус N 9-10 2007 год.

Морская душа маршрутных огней.

Загадочная вещь традиция. Сначала её тщательно блюдут, стараясь выдерживать все нюансы, доводят до суеверия, потом вдруг обнаруживают, что она не оправдывает возлагаемых на неё ожиданий, не отвечает логике, не имеет научного обоснования - и с традицией порывают, а впоследствии с грустью замечают, что с её утратой ушло что-то красивое и нужное. . .

Ещё совсем в недавнее время существовала традиция давать трамвайным маршрутам не только цифровое, но и цветовое обозначение - маршрутные огни зажигались по обе стороны от номера маршрута, спереди и сзади вагона. Улицы с трамвайным движением отличались особой, праздничной нарядностью, по маршрутным огням ориентировались в трамвайном потоке водители, пассажиры, путевые рабочие, диспетчеры и стрелочники, многие не представляли себе трамвая без цветных огней. Московская система маршрутных огней был построена на однозначном соответствии цифры и цвета. "1" - всегда красный цвет, "2" - зелёный, "5" - оливковый, "7" - голубой и так далее. А вот в Ленинграде огни "говорили" на другом языке, и их чтение "по-московски" чаще всего приводило к бессмыслице, так как огней было не 10, как в Москве, а только пять. Они хорошо различались, а их сочетания выглядели всегда очень красиво. Однако из пяти огней возможны 25 разных сочетаний по два, в то время как маршрутов в Петербурге-Ленинграде со временем стало около 70, поэтому знаки маршрутов могли повторяться. Например, два белых - 9, 43; красный и жёлтый - 1, 51, 64; синий и красный - 33, 52, 54; два красных - 5, 36, 39, 45, 47. И только маршрут N 20 обозначался по московской и питерской системе одинаково: зелёный и белый.
Бывало, что маршрутные огни в Петербурге менялись. Если случалось так, что после изменения одного из маршрутов он работал на достаточно протяжённом участке с другим маршрутом, имеющим такие же цвета, то у одного из этих маршрутов приходилось изменять состав огней.
Маршрут N 4 раньше ходил от острова Декабристов до Волкова кладбища и обозначался двумя жёлтыми (оранжевыми) огнями. Потом маршрут закрыли и под тем же номером открыли в другом месте с другими огнями: синий + синий, поскольку он имел общий участок с 35-м трамваем (два жёлтых).
Маршрут N 43 изначально имел огни: красный + белый. При продлении в порт в 1985 году огни изменились: белый + белый, так как маршрут стал иметь общий участок с трамваем N 28 (красный + белый). 3-й маршрут обозначался зелёным и белым цветами. При восстановлении огней в 2007 году сочетание заменено на жёлтый + зеленый. Тогда же изменились сочетания и на ряде других маршрутов: 48 (было: белый + белый, стало: синий + синий); 61 (было: белый + белый, стало: белый + желтый) и т.п.
Петербургская система маршрутных огней, такая простая внешне и такая запутанная, связана с традицией прежде всего европейских трамвайных городов. Так, уже в 1907 году в письме в газету "Новое время" содержится просьба от "обывателей Васильевского острова" ввести на трамваях цветные фонари, "как за границей, в частности во Франкфурте-на-Майне". В настоящее время сохранились остатки былых систем в виде цветной подсветки по диагонали на маршрутных указателях трамваев в Амстердаме. Эта традиция, в свою очередь, вероятно, восходит к огням морской навигации. Почему именно к морским, а не, скажем, к железнодорожным? Да потому, что маршрутные огни, как и морские, никому ничего не запрещают, не заставляют, а просто помогают сориентироваться в тёмное время суток.
Огни морской навигации расшифровываются в специальных морских книгах - лоциях морей. Так же и маршрутные огни описываются в городских путеводителях. Первым из них был "Передвижной путеводитель санкт-петербургских трамваев", выпущенный издательством Э.И. Маркуса (1910).
Состав цветов, применяемых в петербургских маршрутных огнях (белый, красный, оранжевый или жёлтый, зеленый, синий), мало отличается от цветов морских огней (белый, красный, оранжевый, зеленый, синий, фиолетовый).
Присмотревшись, можно найти и другие черты сходства, но гораздо важнее понять, почему в расчётливом Петербурге прижилась такая нестрогая система маршрутных огней, требующая постоянной корректировки. Ответ прост: ведь Петербург - приморский город, и ему в равной степени свойственны и строгость архитектурных форм и легкомыслие карнавала, а значит, и весёлое разноцветье маршрутных огней.
В 2007 году традиция вышла на новый виток. Теперь на вагонах устанавливают светодиодные лампы для маршрутных огней. Они будут светить не только в вечерних сумерках, но и при свете дня.

Пусть есть некоторое конечное множество элементов U ={a 1 , a 2 , ..., a n }. Рассмотрим набор элементов , где ÎU , j = 1, 2, ..., r .

Этот набор называется выборкой объема r из n элементов. Любое подмножество U является выборкой, но не всякая выборка является подмножеством U , так как в выборку один и тот же элемент может входить несколько раз (в отличие от подмножества).

Комбинаторные задачи связаны с подсчетом числа выборок объема r из n элементов, где выборки подчиняются определенным условиям, т.е. выбор производится по какому-нибудь принципу. Подсчет числа выборок основывается на двух правилах теории множеств.

Принцип суммы: если card A = m , card B = n и A ÇB = Æ , то card A È B = =m +n A можно выбрать m способами, объект B другими n способами и их одновременный выбор невозможен, то выбор “A или B ” может быть осуществлен m +n способами.

Принцип произведения : если card A =m , card B =n , то card (A ´B )=m +n . На комбинаторном языке это означает: если объект A может быть выбран m способами, при любом выборе A объект B может быть выбран n способами, то выбор “A и B ” может быть осуществлен m×n способами.

Пример 1. A = 10 {различных шоколадок}, B = 5 { различных пачек печенья}. Выбор “A или B ” означает, что выбирается что-то одно и способов выбора в этом случае будет 15. Выбор “A и B ” означает, что выбирается 1 шоколадка и 1 пачка печенья и различных вариантов для такого выбора будет 50.

Пример 2. Бросают 2 игральные кости. Сколькими способами они могут выпасть так, что на каждой кости выпадет четное число очков либо на каждой кости выпадет нечетное число очков?

Пусть m – число возможностей для выпадения четного числа на одной кости, n – число возможностей для выпадения нечетного числа. Здесь m = n = 3. По правилу произведения количество выпадения четных чисел, как и нечетных, равно 9. По правилу суммы количество возможностей для выпадения двух четных и двух нечетных чисел будет 18.

Рассмотрим основные способы формирования выборок.

Определение. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов несущественен, то выборка называется неупорядоченной.

Из определения следует, что две упорядоченные выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке, являются различными.

Перестановки. Упорядоченные выборки, объемом n из n элементов, где все элементы различны, называются перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов обозначается P n .

Теорема . P = n !

Доказательство проводится по индукции. Очевидно, если n = 1, то перестановка только одна и P 1 = 1!. Пусть для n = k теорема верна и P k = k !, покажем, что она тогда верна и для n = k +1. Рассмотрим (k +1)- й элемент, будем считать его объектом A , который можно выбрать k +1 способами. Тогда объект B – упорядоченная выборка из оставшихся k элементов по k . B соответствии с индуктивным предположением объект B можно выбрать k ! способами. По принципу произведения выбор A и B можно осуществить k !(k +1) = (k +1)! способами. Совместный выбор A и B есть упорядоченная выборка из k + 1 элементов по k + 1.

Пример 3. Сколько существует способов, чтобы расположить на полке 10 различных книг? Ответ: 10!

Можно рассуждать иначе. Выбираем первый элемент, это можно сделать n способами. Затем выбираем второй элемент, это можно сделать (n - 1) способами. По правилу произведения упорядоченный выбор двух элементов можно осуществить n ´(n - 1) способами. Затем выбираем третий элемент, для его выбора останется n - 2 возможности, последний элемент можно выбрать единственным способом. Мы вновь приходим к формуле: n (n - 1)(n - r ) ... 1.

Размещения . Упорядоченные выборки объемом m из n элементов (m < n ), где все элементы различны, называются размещениями. Число размещений из n элементов по m обозначается .

Теорема. =

Обозначим x = . Тогда оставшиеся (n – m ) элементов можно упорядочить (n – m )! способами. По принципу произведения, если объект A можно выбрать x способами, объект B (n – m )! способами, то совместный выбор “A и B ” можно осуществить x ×(n – m )! способами, а выбор “A и B ” есть перестановки и P n = n ! Отсюда x = =

Рассуждая иначе: первый элемент выбираем n способами, второй – (n – 1) способами и т.д. , m –й элемент выбираем (n – m + 1) способом. По принципу произведения вновь имеем: n (n – 1)...(n – m +1), что совпадает с .

Пример 4. Группа из 15 человек выиграла 3 различных книги. Сколькими способами можно распределить эти книги среди группы?

Имеем = 15 ×14 ×13 = 2730.

Сочетания . Неупорядоченные выборки объемом m из n элементов (m < n ) называются сочетаниями. Их число обозначается .

Теорема.

Доказательство. Очевидно, Действительно, объект A – неупорядоченная выборка из n элементов по m , их число . После того, как эти m элементов отобраны, их можно упорядочить m ! способами (в роли объекта B выступает “порядок“ в выборке). Совместный выбор “A и B “ – упорядоченная выборка.

Пример 5 . Группа из 15 человек выиграла 3 одинаковых книги. Сколькими способами можно распределить эти книги?

Сочетания, размещения и перестановки являлись подмножествами исходного множества. Рассмотрим выборки, которые не являются подмножествами.

Размещения с повторениями. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов, где элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. Их число обозначается (n ).

Теорема. (n ) = n m .

Доказательство. Первый элемент может быть выбран n способами, второй элемент также может быть выбран n способами и так далее, m -й элемент также может быть выбран n способами. По принципу произведения получаем n m .

Пример 6 . Кодовый замок состоит из четырех разрядов, в каждом разряде независимо от других могут быть выбраны цифры от 0 до 9. Сколько возможных комбинаций?

Здесь n = 10, m = 4 и ответом будет 10 4 .

Пример 7 . Рассмотрим вектор длины m , каждая координата которого может принимать всего 2 значения: 0 или 1. Сколько будет таких векторов?

Это есть выборка, объемом m из двух элементов.Ответ:2 m

Перестановки с повторениями . Пусть имеется n элементов, среди которых k 1 элементов первого типа, k 2 элементов второго типа и т.д., k s элементов s -го типа, причем k 1 + k 2 + ... + k s = n . Упорядоченные выборки из таких n элементов по n называются перестановками с повторениями, их число обозначается C n (k 1 , k 2 , ..., k s ). Числа C n (k 1 , k 2 , ..., k s) называются полиномиальными коэффициентами.

Теорема. C n (k 1 , ..., k s)=

Доказательство проведем по индукции по s , т. е. по числу типов элементов. При s = 1 утверждение становится тривиальным: k 1 = n , все элементы одного типа и C n (n ) = 1. В качестве базы индукции возьмем s = 2, n = k 1 + k 2 . В этом случаем перестановки с повторениями превращаются в сочетания из n элементов по k 1 (или k 2): выбираем k 1 место, куда помещаем элементы первого типа.

C n (k 1 ,k 2) =

Пусть формула верна для s = m , т.е. n = k 1 + ... + k m и

C n (k 1 , ..., k m )=

Докажем, что она верна для s = m + 1 (n = k 1 +... + k m + k m +1). В этом случае перестановку с повторениями можно рассматривать как совместный выбор двух объектов: объект A – выбор k m + 1 места для элементов (m + 1)-го типа; объект B – перестановка с повторениями из (n – k m +1) элементов. Объект A можно выбрать способом, B – (k 1 , ..., k m) способами. По принципу произведения

и мы получили требуемую формулу.

Замечание . Числа называются биноминальными коэффициентами. Из этой формулы следует, что

Пример 8 . Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове “математика”?

Решение. Буква “а” входит 3 раза (k 1 = 3), буква “м” – 2 раза (k 2 = 2), “т” – 2 раза (k 3 = 2), буквы “е”, ”к”, ”и” входят по одному разу, отсюда k 3 = k 4 = k 5 = 1.

C 10 (3, 2, 2, 1, 1, 1) = =151200.

Сочетания с повторениями. Пусть имеется n типов элементов, каждый тип содержит не менее m одинаковых элементов. Неупорядоченная выборка объемом m из имеющихся элементов (их число ³ m ´n ) называется сочетанием с повторением. Число сочетаний с повторениями обозначается (n ).

Теорема. (n ) = .

Доказательство. Пусть в выборку вошло m 1 элементов первого типа, m 2 элементов второго типа, ...m n – n -го типа. Причем каждое 0 £ m i £ m и m 1 +m 2 + ...+ m n = =m . Сопоставим этой выборке вектор следующего вида: Очевидно, между множеством неупорядоченных выборок с повторениями и множеством векторов {b n } существует биекция (докажите это!). Следовательно, (n ) равно числу векторов b n . “ Длина вектора” b n равна числу 0 и 1, или m + +n– 1. Число векторов равно числу способов, которыми m единиц можно поставить на m + n - 1 мест, а это будет .

Пример 9. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель берет 4 пирожных. Сколькими способами он может это сделать? (Предполагается, что пирожных каждого вида ³ 4).

Число способов будет

Пример10. Пусть V = {a , b , c }. Объем выборки m = 2. Перечислить перестановки, размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.

1. Перестановки: {abc , bac , bca , acb , cab , cba }. P 3 =3!=6.

2. Размещения: {(ab ), (bc ), (ac ), (ba ), (cb ), (ca )}.

3. Сочетания: {(ab ), (ac ), (bc )}.

4. Размещения с повторениями: {(ab ), (bc ), (ac ), (ba ), (cb ), (ca ), (aa ), (bb ), (cc )}. (3)= 3 2 = 9.

5. Сочетания с повторениями: {(ab ), (bc ), (ca ), (aa ), (bb ), (cc )}.

Задачи по комбинаторике

1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из одиннадцати дисциплин.

Ответ: 55 440.

2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности?

3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?

Ответ: 1 140.

4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?

Ответ: 968.

5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?

Ответ: 253.

6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?

7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.

Ответ: 240.

8. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

Ответ: 124.

9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?

Ответ: 32 760.

10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?

Ответ: 25!/20!.

11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, если она находиться с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)

Ответ: 3 126.

12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений?

Ответ: 896.

13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?

14. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп?

Ответ: 30!/(10!) .

15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?

17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?

18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?

Ответ: 2 520.

19. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.

Ответ: 12!/(2!) .

20. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?

Ответ: 204.

21. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы №1 и №2 находились бы в соседних аудиториях?

Ответ: 2×9!.

22. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определить количество различных расписаний первого тура (расписания считаются различными, если отличаются участниками хотя бы одной партии; цвет фигур и номер доски не учитываются).

Ответ: 2 027 025.

23. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж доставлен какой-либо один материал?

Ответ: 5 6 ; 6×4 5 .

24. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

Ответ: 2 10 .

25. Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?

Ответ: 16 100 .

26. Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

27. Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря и трех членов ревизионной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 80!(3! ×75!).

28. Из 10 теннисисток и 6 теннисистов составляют 4 смешанные пары. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 10!/48.

29. Три автомашины №1,2,3 должны доставить товар в шесть магазинов. Сколькими способами можно использовать машины, если грузоподъемность каждой из них позволяет взять товар сразу для всех магазинов и если две машины в один и тот же магазин не направляются? Сколько вариантов маршрута возможно, если решено использовать только машину №1?

Ответ: 3 6 ×6!.

30. Четверо юношей и две девушки выбирают спортивную секцию. В секцию хоккея и бокса принимают только юношей, в секцию художественной гимнастики – только девушек, а в лыжную и конькобежную секции – и юношей, и девушек. Сколькими способами могут распределиться между секциями эти шесть человек?

Ответ: 2304.

31. Из лаборатории, в которой работает 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер одновременно уезжать не должны?

Ответ: 15 368.

32. В фортепьянном кружке занимаются 10 человек, в кружке художественного слова –15, в вокальном кружке – 12, в фотокружке – 20 человек. Сколькими способами можно составить бригаду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?

Ответ: 15!10/7!

33. Двадцать восемь костей домино распределены между четырьмя игроками. Сколько возможно различных распределений?

34. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 15 015.

35. Пять учеников следует распределить по трем параллельным классам. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 3 5 .

36. Лифт останавливается на 10 этажах. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 8 пассажиров, находящихся в лифте?

Ответ: 16!/(2 6 ×3 2).

38. В шахматном турнире участвуют 8 шахматистов третьего разряда, 6 – второго и 2 перворазрядника. Определить количество таких составов первого тура, чтобы шахматисты одной категории встречались между собой (цвет фигур не учитывается).

Ответ: 420.

39. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа: не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.

Ответ: 1800.

40. Семь яблок и два апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и чтобы количество фруктов в них было одинаковым. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 105.

41. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?

42. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?

Ответ: 9×10 6 .

43. Садовник должен в течение трех дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?

44. Из вазы, где стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики, выбирают один красный и два розовых цветка. Сколькими способами это можно сделать?

45. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

Ответ: 2(6!) 2 .

46. Каждый из десяти радистов пункта А старается установить связь с каждым из двадцати радистов пункта Б. Сколько возможно различных вариантов такой связи?

Ответ: 2 200 .

47. Шесть ящиков различных материалов доставляют на восемь этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на восьмой этаж будет доставлено не более двух материалов?

Ответ: 8 6 ; 8 6 –13×7 5 .

48. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков двух футбольных команд так, чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?

Ответ: 2(11!) 2 .

49. На книжной полке книги по математике и по логике – всего 20 книг. Показать, что наибольшее количество вариантов комплекта, содержащего 5 книг по математике и 5 книг по логике, возможно в том случае, когда число книг на полке по каждому предмету равно 10.

Ответ: C 5 10– x × C 5 10+ x (C 5 10) 2 .

50 .Лифт, в котором находятся 9 пассажиров, может останавливаться на десяти этажах. Пассажиры группами выходят по два, три и четыре человека. Сколькими способами это может произойти?

Ответ: 10!/4.

51. «Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком». Сколько различных осмысленных предложений можно составить, используя часть слов этого предложения, но не изменяя порядка их следования?

52. В шахматной встрече двух команд по 8 человек участники партий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьевкой. Каково число различных исходов жеребьевки?

53. A и B и еще 8 человек стоят в очереди. Сколькими способами можно расположить людей в очереди, чтобы A и B были отделены друг от друга тремя лицами?

Ответ: 6 × 8! × 2!.

54. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться; в) используются только нечетные цифры и могут повторяться; г) должны получиться только нечетные числа и цифры могут повторяться.

Ответ: а) 5 × 5 × 4 × 3=300; б) 5 × 6 = 1080; в) 3 4 ; г) 5 × 6 × 6 × 3 = 540.

55. В классе изучается 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник должно быть 6 уроков и все разные?

56. На одной прямой взято m точек, на параллельной ей прямой n точек. Сколько треугольников с вершинами в этих точках можно получить?

Ответ:

57 . Сколько есть пятизначных чисел, которые читаются одинаково справа налево и слева направо, например, 67876.

Ответ: 9 × 10 × 10 = 900.

58. Сколько разных делителей (включая 1 и само число) имеет число

59. В прямоугольной матрице A = {a ij } m строк и n столбцов. Каждое a ij Î{+1, –1}, причем произведение a ij по любой строке или любому столбцу равно 1. Сколько таких матриц? разных книг в красных переплетах и q разных книг в синих переплетах (q £ p + 1). Сколькими способами их можно расставить в ряд, чтобы никакие две книги в синих переплетах не стояли рядом?

65. Сколькими способами можно упорядочить {1, 2, ... n } чисел так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания?

Ответ: (n – 2)!.

66. На собрании должны выступить 4 докладчика: A, B, C и D, причем B не может выступить раньше A. Сколькими способами можно установить их очередность.

Ответ: 12 = 3! + 2× 2 +2.

67. Сколькими способами m + n + s предметов можно распределить на 3 группы, чтобы в одной группе было m предметов, в другой – n , в третьей – s предметов.

Ответ:

68. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение x 1+ x 2+ ... + xm = n.

69. Найти число векторов Z = (a 1a 2... an ), координаты которых удовлетворяют условиям:

1) ai Î {0, 1};

2) ai Î {0, 1, ... k – 1};

3) ai Î {0, 1, ... ki – 1};

4) ai Î {0, 1} и a 1+ a 2+ ... + an = r .

Ответ: 1) 2n ; 2) kn ; 3) k 1k 2... kn ; 4) .

70. Каково число матриц {aij }, где aij Î{0,1} и в которой m строк и n столбцов? 1) строки могут повторяться; 2) строки попарно различны.

Ответ: 1) 2m ×n ; 2) .

71. Дано m предметов одного сорта и n другого. Найти число выборок, составленных из r элементов одного сорта и s другого.

72. Сколькими способами число n можно представить в виде суммы k натуральных слагаемых (представления, различающиеся лишь порядком слагаемых считаются разными).

73. Бросаются 10 одинаковых игральных костей. Сколькими способами они могут упасть так, что:

1) ни на одной кости не выпадет 6 очков;

2) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков;

3) ровно на 3-х костях выпадет 6 очков;

4) ровно на 3-х костях выпадет 6 очков, на 2-х других выпадет 5 очков.

Ответ: 5 10 , 6 10 -5 10 , 24´5 8 , 630´4 6

74. Считая, что телефонные номера состоят из 7 цифр, причем могут начинаться и с 0 тоже, найти число телефонных номеров, таких что:

1) 4 последние цифры одинаковы и не встречаются среди первых 3-х (первые 3 цифры различны.);

2) все цифры различны;

3) номер начинается с цифры 5;

4) номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2.

Ответ: 5040, , 10 6 , 210.

75. 10 человек, среди которых Иванов и Петров, размещаются в гостинице в двух 3-х местных и в одном 4-х местном номерах. Сколькими способами они могут быть размещены? Сколькими способами их можно разместить, если Иванов и Петров помещены в 4-х местный номер?

, .

78. Сколькими способами можно выстроить 9 человек:

1) в колонну по одному;

2) в колонну по 3, если в каждой шеренге люди выстраиваются по росту и нет людей одинакового роста?

Ответ: 9!, .

79. Из n букв, среди которых a встречается α раз, буква b встречается β раз, а остальные буквы попарно различны, составляются слова. Сколько среди них будет различных r -буквенных слов, содержащих h раз букву a и k раз букву b ?

80. Имеется колода из 4n (n ³5) карт, которая содержит карты 4-х мастей по n карт каждой масти, занумерованных числами 1,2…n . Подсчитать, сколькими способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся:

1) 5 последовательных карт одной масти;

2) 4 карты из 5-ти с одинаковыми номерами;

3) 3 карты с одним номером и 2 карты с другим;

4) 5 карт одной масти;

5) 5 последовательно занумерованных карт;

6) 3 карты из 5-ти с одним и тем же номером;

7) не более 2-х карт каждой масти.

Ответ: 4(n –4), 4n (n –1), 12n (n –1), , 4 5 (n –4), , .

81. Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы между любыми 2-мя единицами находилось не менее m нулей?

Ответ: .

ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из одиннадцати дисциплин.

2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности.

3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек.

4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков.

5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета.

6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов.

7. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты.

8. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды.

9. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.

Вопросы для обсуждения на форуме

1. Решение задач комбинаторики.

Список дополнительной литературы:

1. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. М.: Высшая школа, 2000. – 544с.

2. Кофман В. А. Введение в прикладную комбинаторику. М.: Радио и связь, 1982. 431с.

Семинар №7.Теория графов

Цель семинара:

Рассмотреть вопросы, связанные с практическим применением теории графов в принятии решений.

План занятия:

Семина посвящен теории графов. Первой рассматривается тема основные понятия и операции на графах, затем тема посвященная маршрутам и деревьям. На семинар отводится 2 часа.

Задача 1. На рис.7.1 изображены графы - с четырьмя вершинами в каждом. Сравнить графы.

Рис. 7.1. Графы -

Решение .

Результаты сравнения графов таковы:

Неориентированные;

Ориентированные;

Полные, причем = ;

Не является полным, так как хотя каждая пара вершин и соединена ребром, но имеется петля. Иногда полным графом называют граф с петлями во всех вершинах, каждая пара которых соединена ребром. Граф не отвечает этому определению.

Все вершины этого графа являются изолированными (граф с пустым множеством ребер, т.е. 0);

И являются дополнением друг к другу: = и = ;

Мультиграф, так как содержит кратные ребра a и b , а также e и f ;

Ориентированный, канонически соответствующий неориентированному графу ;

И не является равными, так как имеют отличающиеся ребра (4,1) - и (1,4) в ;

Ориентированный мультиграф: ребра a и b – кратные, тогда как мультиграфом не является, поскольку в нем ребра a и b различно ориентированы.

Задача 2. Чему равны степени вершин графов , на рис.7.2.

Рис. 7.2. Графы и

Решение .

Оба графа имеют по четыре вершины: . Степени вершин неориентированного графа : , , , , если условиться считать вклад петли в степень вершины. Сумма степеней всех вершин графа равна 14, т.е. вдвое больше числа ребер графа:

Где m =7 – число ребер графа.

Степени вершин ориентированного графа :

Суммы степеней вершин первого и второго типа графа совпадают и равны числу m ребер графа: .

Задача 3. На рис. 7.3 изображен сетевой граф (сетевая модель) выполнения комплекса операций (работ) некоторой программы. В нем стрелки обозначают операции, вершины – события, характеризующие окончание одних работ и начало других. Направленность стрелок отражает последовательность наступления этих событий. Задать сетевой граф различными способами.

Рис. 7.3. Сетевой граф

Решение .

Изображенная сетевая модель представляет собой ориентированный граф, который может быть полностью задан различными способами:

1) графически(см.рис. выше);

2) с помощью задания двух множеств: и ;

3) матрицей инцидентности (табл. 7.1). Особенностью сетевой модели является то, что из начального события 1 стрелки выходят, а в конечное 6 – только входят. Поэтому в первой строке матрицы инцидентности имеются единицы только со знаком «минус», а в последней – только со знаком «плюс»;

Таблица 7.1. Матрица инцидентности

4) матрицей смежности (табл. 7.2). По причине, указанной в п.3, в последней строке матрицы смежности поставлены только нули;

Таблица 7.2. Матрица смежности

5) списком ребер сетевой граф задается очевидным образом, поскольку ребра графа обозначены через свои концевые вершины. В таком случае в столбце «вершины» списка будут повторяться номера вершин, указанных в столбце «ребра», причем в той последовательности, в какой в данном случае стрелки – ребра обозначены.

Задача 4. Имеют ли графы на рис. 7.4 ниже гамильтоновы циклы, цепи.

Рис. 7.4. Графы и

Решение .

Гамильтонов цикл как простой цикл, проходящий через все вершины графа, существует на графе - он проходит по ребрам (a, b, c, d, e, f, g, q, n, m, l, h, a ). В существует и гамильтонова цепь, для чего в гамильтоновом цикле достаточно удалить любое ребро.

В графе гамильтонова цикла нет: чтобы пройти через вершины a, b, c внешнего треугольника графа должен содержать все лежащие на этих сторонах ребра, но тогда он не проходит через расположенную в центре треугольника вершину d .Однако гамильтонова цепь в графе существует, например с началом в вершине a , концом d и последовательностью ребер, соединяющих вершины a, f, b, g, c, e, d .

Задача 5. Задача о кратчайшем пути. Как кратчайшим путем попасть из одной вершины графа в другую. В терминах производственного менеджмента: как кратчайшим путем (и, следовательно, с наименьшим расходом топлива и времени, наиболее дешево) попасть из пункта А в пункт Б. Для решения этой задачи каждой дуге ориентированного графа должно быть сопоставлено число - время движения по этой дуге от начальной вершины до конечной. Рассмотрим граф приведенный на рис. 7.5.

Рис. 7.5. Граф

Ситуацию можно описать не только ориентированным графом с весами, приписанными дугам, но и таблицей (см. табл. ниже). В этой таблице двум вершинам – началу пути и концу пути – ставится в соответствие время в пути. В табл. 7.3 рассматриваются пути без промежуточных остановок. Более сложные маршруты составляются из элементарных отрезков, перечисленных в таблице.

Таблица 7.3. Исходные данные к задаче о кратчайшем пути.

Спрашивается в задаче: как кратчайшим путем попасть из вершины 1 в вершину 4.

Решение. Введем обозначение: С (Т ) - длина кратчайшего пути из вершины 1 в вершину Т . (Поскольку любой путь, который надо рассмотреть, состоит из дуг, а дуг конечное число, и каждая входит не более одного раза, то претендентов на кратчайший путь конечное число, и минимум из конечного числа элементов всегда достигается.) Рассматриваемая задача состоит в вычислении С (4) и указании пути, на котором этот минимум достигается.

Для исходных данных, представленных на рис. выше и в табл. выше, в вершину 3 входит только одна стрелка, как раз из вершины 1, и около этой стрелки стоит ее длина, равная 1, поэтому С (3) = 1. Кроме того, очевидно, что С (1) = 0.

В вершину 4 можно попасть либо из вершины 2, пройдя путь, равный 4, либо из вершины 5, пройдя путь, равный 5. Поэтому справедливо соотношение

С (4) = min {С(2) + 4; С (5) + 5}.

Таким образом, проведена реструктуризация (упрощение) задачи - нахождение С(4) сведено к нахождению С(2) и С (5).

В вершину 5 можно попасть либо из вершины 3, пройдя путь, равный 2, либо из вершины 6, пройдя путь, равный 3. Поэтому справедливо соотношение

С (5) = min {С (3) + 2; С (6) + 3}.

Мы знаем, что С (3) = 1. Поэтому

С (5) = min {3; С (6) + 3}.

Поскольку очевидно, что С (6) - положительное число, то из последнего соотношения вытекает, что С (5) = 3.

В вершину 2 можно попасть либо из вершины 1, пройдя путь, равный 7, либо из вершины 3, пройдя путь, равный 5, либо из вершины 5, пройдя путь, равный 2. Поэтому справедливо соотношение

С (2) = min {С(1) + 7; С(3) + 5; С (5) + 2}.

Нам известно, что С (1) = 0, С (3) = 1, С (5) = 3. Поэтому

С (2) = min {0 + 7; 1 + 5; 3 + 2} = 5.

Теперь мы можем найти С (4):

С (4) = min {С (2) + 4; С (5) + 5} = min {5 + 4; 3 + 5} = 8.

Таким образом, длина кратчайшего пути равна 8. Из последнего соотношения ясно, что в вершину 4 надо идти через вершину 5. Возвращаясь к вычислению С (5), видим, что в вершину 5 надо идти через вершину 3. А в вершину 3 можно попасть только из вершины 1. Итак, кратчайший путь таков:

1 → 3 → 5 → 4 .

Задача 6. Задача о максимальном потоке.Как (т.е. по каким маршрутам) послать максимально возможное количество грузов из начального пункта в конечный пункт, если пропускная способность путей между пунктами ограничена.

Для решения этой задачи каждой дуге ориентированного графа, соответствующего транспортной системе, должно быть сопоставлено число - пропускная способность этой дуги. Рассмотрим граф рис. 7.6.

Рис. 7.6. Граф

Исходные данные о транспортной системе, например, внутризаводской, приведенные на рис. 7.6., можно также задать таблицей табл.7.4.

Таблица 7.4. Исходные данные к задаче о кратчайшем пути.

Решение.

Решение задачи о максимальном потоке может быть получено из следующих соображений.

Очевидно, максимальная пропускная способность транспортной системы не превышает 6, поскольку не более 6 единиц грузов можно направить из начального пункта 0, а именно, 2 единицы в пункт 1, 3 единицы в пункт 2 и 1 единицу в пункт 3.

Далее надо добиться, чтобы все 6 вышедших из пункта 0 единиц груза достигли конечного пункта 4. Очевидно, 2 единицы груза, пришедшие в пункт 1, можно непосредственно направить в пункт 4. Пришедшие в пункт 2 грузы придется разделить: 2 единицы сразу направить в пункт 4, а 1 единицу - в промежуточный пункт 3 (из-за ограниченной пропускной способности участка между пунктами 2 и 4). В пункт 3 доставлены такие грузы: 1 единица из пункта 0 и 1 единица из пункта 2. Их направляем в пункт 4.

Итак, максимальная пропускная способность рассматриваемой транспортной системы - 6 единиц груза. При этом не используются внутренние участки (ветки) между пунктами 1 и 2, а также между пунктами 1 и 3. Не догружена ветка между пунктами 1 и 4 - по ней направлены 2 единицы груза при пропускной способности в 3 единицы.

Решение можно представить в виде табл. 7.5.

Таблица 7.5. Решение задачи о максимальном потоке

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.

Правила суммы и произведения.

Комбинаторика (или теория соединений) – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

В случае, когда пересечение множеств А и В не пустое, справедливо равенство: n(АÈВ) = n(А) + n(В) – n(АÇВ).

Число элементов в объединении трех множеств можно найти по формуле

n(АÈВÈС) = n(А) + n(В) + n(С) - n(АÇВ) -n(АÇС) - n(ВÇС) - - n(АÇВÇС)

Пример. Из 40 студентов группы 35 человек успешно сдали экзамен по математике, а 37 – по русскому языку. Двое студентов получили неудовлетворительные оценки по обоим предметам. Сколько студентов имеют академическую задолженность?

Решение. Пусть А – множество студентов, получивших неудовлетворительную оценку по математике, тогда n(А) = 40 – 35 = 5; а В – множество студентов, получивших неудовлетворительную оценку по русскому языку, тогда n(В) = 40 – 37 = 3. Тогда число студентов, имеющих академическую задолженность есть n(АÈВ). Значит, n(АÈВ) = n(А) + n(В) - n(АÇВ) = 5 + 3 – 2 = 6.

В случае если АÇВ = Æ, то n(АÈВ) = n(А) + n(В)

правилом суммы и формулируется следующим образом: если элемент х можно выбрать k способами, а элемент у – m способами и, причем ни один способ выбора элемента х не совпадает с каким-либо способом выбора элемента у, то выбор «х или у» можно сделать k + m способами.

Для множеств также справедливо n(А´В) = n(А) × n(В)

В комбинаторике это правило называется правилом произведения и формулируется следующим образом: если элемент х можно выбрать k способами, и если после каждого такого выбора элемент у можно выбрать m способами, то выбор упорядоченной пары (х,у) , то есть выбор «и х, и у» можно осуществить k × m способами.

Пример. Из города А в город В ведут 3 дороги, а из В в С ведут 2 дороги. Сколькими способами можно проехать из А в С через В?

Решение. Если обозначить числами 1, 2, 3, а дороги из В в С – буквами х и у, то каждый вариант пути из А в С задается упорядоченной парой и числа и буквы. Но число мы можем выбрать тремя способами, а букву – двумя, поэтому число таких упорядоченных пар равно 3 × 2 = 6.

Размещения.

Пусть n(А) = m. Кортеж длины k (k£m), компонентами которого являются элементы множества А, причем все компоненты являются попарно различными, называется размещением без повторений

Для любого множества А такого, что n(А) = m число всевозможных размещений из m элементов по k обозначается

И вычисляется по формуле

Пример. В шахматном турнире участвуют 5 школьников и 15 студентов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые в турнире школьниками, если известно, что никакие два участника не набрали одинакового количества очков?

Решение. Всего в турнире 20 участников. Следовательно, из 20 мест школьникам принадлежат 5. Поэтому решение задачи связано с образованием всевозможных кортежей длины 5 из элементов множества, в котором 20 элементов, то есть речь идет о размещениях без повторений из 20 элементов по 5 элементов.

Пусть n(А) = m. Кортеж длины k, компонентами которого являются элементы множества А, называются размещением с повторениями из m элементов по k элементов.

Для любого множества А такого, что n(А) = m, число возможных размещений с повторениями из m элементов по k обозначается и вычисляется по формуле .

Пример. Имеется 5 различных стульев и 7 рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев?

Решение. Так как стулья различны, то каждый способ обивки есть кортеж длины 5, составленный из элементов данного множества цветов ткани, содержащего 7 элементов. Значит, всего способов обивки стульев столько, сколько имеется таких кортежей, то есть размещений с повторениями из 7 элементов по 5. Получим .

Перестановки.

Пусть n(А) = m. Перестановкой без повторений из m элементов называется всякое упорядоченное m – элементное множество.

Число различных перестановок из m элементов равно произведению последовательных натуральных чисел от 1 до m включительно, то есть

Пример. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, если ни одна цифра в записи числа не повторяется дважды?

Решение. Число всех возможных перестановок из пяти цифр равно Р 5 = 5!. А поскольку цифра нуль не может занимать первое место, то искомое число есть:

Р 5 - Р 4 = 5! – 4! = 120 – 24 = 96.

Перестановкой с повторениями из элементов a, b,…,l, в которой эти элементы повторяются соответственно m 1 , m 2 , …, m k раз, называется кортеж длины m = m 1 + m 2 +…+ m k , среди компонент которого a встречается m 1 раз, b - m 2 раза и так далее l - m k раз.

Обозначают число перестановок с повторениями символом

Число различных перестановок с повторениями из элементов a, b,…,l, в которой эти элементы повторяются соответственно m 1 , m 2 , …, m k раз, определяется по формуле

Пример. Сколько восьмизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 3, 5 при условии, что цифра 1 повторяется в каждом числе четыре раза, цифры 3 и 5 – по 2 раза?

Решение. Искомое число является числом различных перестановок с повторениями из цифр 1, 3, 5, в которых цифра 1 повторяется четыре раза, а цифры 3 и 5 – по два раза. Поэтому по формуле имеем: .

Сочетания.

Всякое k-элементное подмножество m-элементного множества (k£m) называется сочетанием без повторений из m элементов по k.

Число различных сочетаний из m элементов по k обозначается символом

Пример. Сколькими способами можно выбрать из 30 учащихся трех дежурных?

Решение. Так как порядок выбора дежурных не играет роли, то в задаче речь идет о выделении из множества, в котором 30 элементов подмножеств, содержащих по три элемента, то есть о сочетаниях без повторений из тридцати элементов по три.

Следовательно, .

Сочетанием с повторениями из данных m различных типов элементов по k элементов называется всякая совокупность содержащая k элементов, каждый из которых является одним из элементов указанных типов.

Число различных сочетаний с повторениями из m элементов по k элементов будем обозначать символом .

Число различных сочетаний с повторениями из m типов элементов по k элементов определяется по формуле

Пример. В почтовом отделении продаются открытки четырех видов. Сколькими способами можно купить здесь 9 открыток?

Решение. Число способов купить открытки равно числу различных сочетаний с повторениями из 4 элементов по 9, то есть равно .

Число подмножеств конечного множества.

Пусть n(А) = m.

Число всех подмножеств множества А равно 2 n .

Упражнение 6.

1. В классе 30 человек, посещающих факультативные занятия по физике и математике. Известно, что углубленно изучают оба предмета 10 человек, а математику – 25. Сколько человек посещают факультативные занятия только по физике?

2. Из 50 студентов 20 знают немецкий язык, а 15 - английский. Каким может быть число студентов, знающих оба языка; знающих хотя бы один язык?

3. Из 100 человек английский язык изучают 28, немецкий – 30, французский - 10 человек, немецкий и французский – 5, немецкий и английский – 15, английский и французский – 6 человек. Все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов изучает только один язык? Сколько студентов не изучает ни одного языка?

Задания для самостоятельной работы по теме «Комбинаторика» .

1. Расписание одного дня содержит 5 уроков по разным предметам. Определить количество таких расписаний при выборе из 11 предметов.

2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности председателя и заместителя?

3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?

4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?

5.В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?

6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?

7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.

8. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800 + 400 + 200 + 100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?

10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?

11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, если она находится с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)

12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений?

13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?

14. Тридцать человек разбиты на три группы I, II и III по десять человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп?

15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?

17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?

18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?

19. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.

20. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 содержат цифру 3 (цифры в записи чисел не повторяются)?

21. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?

22. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определить количество различных расписаний первого тура (расписания считаются различными, если отличаются участниками хотя бы одной партии; цвет фигур и номер доски не учитываются).

23. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно определить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж доставлен какой-либо один материал?

24. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20