Частота дебая. Дебая температура. Уточнения модели Дебая

Температура Принято считать, что нормальная температура тела человека - 36,6 °C. Однако подобное утверждение и верно, и в то же время не верно. Ученые проводили эксперименты по замеру температуры в разных ситуациях и обнаружили, что нет ничего более непостоянного в

Температура

Температура Погубить способно не только пламя. Температура воздуха в горящем здании быстро подскакивает до уровня 600 градусов по Фаренгейту. Жар сушит лёгкие, испепеляет кожу и волосы, доводит одежду до тления. Чем ближе к полу и земле, тем ниже температура. Выбираясь из

Дебая - Шеррера метод

Дебая температура

Как обсуждалось выше, связь между атомами твердого тела настолько сильная, что они не могут колебаться независимо друг от друга; N таких атомов образуют связанную систему, обладающую ЗN степенями свободы. В такой системе возникает в общем случае ЗN колебаний (N колебаний для каждого типа поляризации – одной продольной и двух поперечных мод), совершающихся с различными частотами. Эти колебания называются собственными колебаниями системы, а частоты, с которыми они совершаются, собственными частотами.

Модель Дебая дает значительно лучшее согласие с опытом, чем теория теплоемкости Энштейна. В ней, как и в теории Эйнштейна, предполагается, фононы подчиняются распределению Планка и их средняя энергия может быть представлена соотношением (4.43). Важные дополнения к теории Эйнштейна состоят в том, что Дебай предположил:

· колебания атомов в твердом теле не являются независимыми. Существуют зависимости частот собственных упругих колебаний от волнового вектора , причем в модели Дебая сделано упрощающее предположение, согласно которому учитываются только акустические типы колебаний и выбирается простейший закон дисперсии (континуальное приближение);

· частоты колебаний решетки ограничиваются максимальной частотой ω D (см. (4.37)), так что выполняется соотношение

(4.50)

где 3N - полное число частот колебаний.

Расчет теплоемкости кристаллической решетки в рамках теории Дебая проводится с учетом полученной им функции плотности собственных колебаний решетки g (ω ) (см.(4.36)).

Энергию для каждого типа поляризации можно представить выражением

(4.51)

Здесь ω D – частота на которой обрезается непрерывный спектр.

Для простоты мы предполагаем, что скорости фононов для всех трех типов поляризации (одной продольной и двух поперечных мод) одинаковы, и поэтому, чтобы получить полную энергию, просто утроим энергию (4.51):

(4.52)

где введены обозначения и

(4.53)

Соотношение (4.52) является определением температуры Дебая θ через предельную частоту ω D , введенную условием (4.37). Для θ можно записать выражение

(4.54)

и переписать (4.52) в виде

, (4.55)

где N – число атомов образца.

Теперь теплоемкость найти очень просто: нужно лишь продифференцировать по температуре первое из выражений для Е в (4.52). Тогда получим:

График зависимости теплоемкости от отношения дан па рис. 4.14. Видно, что при высоких температурах молярная теплоемкость приближается к классическому значению .

Теплоемкость Дебая при высоких температурах

При Т >> θ и знаменатель в подынтегральном выражении в формуле (4.55) можно разложить в ряд по малому параметру:

. (4.57)

Подставляя результат (4.57) в (4.56) и принимая, что N = N A , для теплоемкости в высокотемпературном пределе получим:

,

что, как и в теории Эйнштейна, соответствует закону Дюлонга и Пти.

Теплоемкость Дебая при низких температурах .

При очень низких температурах приближенное выражение для энергии можно получить из (4.55), положив верхний предел интеграла равным бесконечности. Тогда интеграл вычисляется, и равен:

(4.58)

Итак, для Е имеем:

при

а для теплоемкости C V

(4.59)

Это и есть приближенный закон T 3 Дебая. Он хорошо выполняется при низких температурах, поскольку именно в этой области возбуждаются только низкоэнергетичные (длинноволновые) акустические фононы.

Формула Дебая оправдывается для большинства твердых тел.

Вопрос 15

Температура Дебая

Следует отметить, что понятие температуры Дебая используется во многих задачах физики твердого тела, в том числе и не связанных с теплоемкостью. Она является характеристической температурой твердого тела, зависящей от констант упругости. Физический смысл температуры Дебая в том, что величина представляет максимальный квант энергии, способный возбудить колебания решетки. При температуре выше температуры Дебая все фононы возбуждены, и у большей части фононов длина волны имеет порядок нескольких межатомных расстояний (коротковолновые фононы). При температурах же значительно ниже дебаевской возбуждаются только фононы, волновые векторы К которых очень близки к центру зоны Бриллюэна и лежат достаточно далеко от ее границ (длинноволновые фононы).

Температура Дебая θ условно разделяет «квантово-механическую» и «классическую» области температурной зависимости физических свойств твердых тел. В первой из них (Т < θ ) в результате температурного возбуждения происходит изменение числа фононов, во второй (Т > θ ) - все фононы возбуждены.

Нужно отметить, что это представление вполне справедливо для кристаллов с одним атомом в базисе, где могут возбуждаться только акустические фононы. Однако кристаллы, содержащие два и более атома в базисе, дополнительно обладают оптическими модами. Поэтому для них при температурах выше θ продолжает происходить возбуждение фононов, теперь уже оптического типа.

Как отмечалось выше, температура Дебая (так же, как и температура Энштейна) зависит от свойств вещества. Для большинства твердых тел она равна 100 – 400 К, хотя для таких веществ как бериллий, алмаз она аномально высока, что хорошо объясняется повышенной «жесткостью» межатомных связей. В табл. 4.2 приводятся значения температуры Дебая θ для некоторых кристаллов. Из таблицы видно, что для кристаллов, у которых θ < Т комн , температуры больше комнатной являются сравнительно высокими. Поэтому для них отклонения от классических законов в этой области не слишком велики (большая часть или все фононы возбуждены). Иначе обстоит дело для кристаллов с высокой характеристической температурой, особенно в случае алмаза. Для последнего комнатная температура существенно ниже дебаевской, и ни о какой применимости классических законов не может быть и речи. В таких кристаллах даже при комнатных температурах «вымерзают» все фононы, за исключением тех, длины волн которых очень велики по сравнению размерами элементарной ячейки. Теплоемкость алмаза уже при комнатных температурах следует закону Т 3 .

Таблица 4.2

Температура Дебая в для некоторых кристаллов

Для вычисления теплоемкости газов сначала в качестве примера рассмотрим один моль двухатомного газа. Внутренняя энергия газа в этом случае будет складываться из энергии поступательного движения молекул, энергии вращательного и колебательного движения, а также из энергии электронной оболочки и энергии ядер молекулы:

Теплоемкость такой системы также будет состоять из ряда слагаемых, соответственно каждому виду энергии:

Для объяснения поведения теплоемкости газа в целом, вычислим отдельные составляющие теплоемкости. Теплоемкость, связанная с энергией поступательного движения, как и в случае классической статистики, будет определяться величиной поступательной энергии:

Соответственно, теплоемкость поступательного движения

Возможность использования классического результата объясняется тем, что энергия поступательного движения молекул газа имеет непрерывный спектр значений и квантовое рассмотрение в этом случае не отличается от классического (здесь газ рассматривается как локализованная система).

1. Очень низкие температуры: этом случае внутренняя энергия

Таким образом, при приближении к абсолютному нулю внутренняя энергия асимптотически стремится к нулю, т. е. перестает зависеть от температуры. Это согласуется с третьим началом термодинамики.

Рис. 64. Изменение вращательной теплоемкости с изменением температуры

Следовательно, вращательная теплоемкость при низких температурах будет обращаться в нуль.

2. Очень высокие температуры: . В этом случае и внутренняя энергия определится соотношением:

Соответственно, теплоемкость одного моля будет:

Характер изменения вращательной теплоемкости водорода с температурой приведен на рис. 64. Как видно из этого рисунка, условия двух предельных случаев можно несколько смягчить, если величину рассматривать как некоторую характеристическую температуру для вращательного движения. (Для водорода она около 95° К.) Тогда результаты, полученные для предельных случаев, будут выполняться при условиях

В случае квантовые эффекты не проявляются и можно пользоваться классическими представлениями. (Для двухатомных молекул классическая теплоемкость вращательных степеней свободы равна

Характеристическая температура, как следует из ее определения, обратно пропорциональна моменту инерции молекул. Поэтому характеристическая, температура для водорода, как для самой легкой молекулы, получается наибольшая. Квантовые эффекты при вращательном движении молекул начинают сказываться только при температурах порядка нескольких десятков градусов Кельвина. Для того, чтобы учесть вклад в теплоемкость за счет колебательного движения, рассмотрим каждую молекулу как квантовый осциллятор. Считая, что все молекулы газа колеблются с одной и той же частотой для внутренней энергии одного моля получим:

По аналогии с предыдущим, введем характеристическую температуру и выразим энергию по формуле

откуда для колебательной теплоемкости получим:

Из этой формулы для низких температур следует, что При этом все молекулы будут находиться на самом нижнем нулевом колебательном уровне.

При высоких температурах, когда для теплоемкости получается значение:

Мы снова видим, что при высоких температурах для теплоемкости получается классическое выражение, т. е. квантовые эффекты не проявляются.

Таблица 2 (см. скан) Характеристические температуры газа

Из данных таблицы следует, что колебательная теплоемкость должна проявляться только при температурах в несколько тысяч градусов. При комнатных температурах колебательное движение или, как принято говорить, колебательные степени свободы находятся в замороженном состоянии.

Итак, в двух рассмотренных случаях мы получили, что при температурах, больших характеристической, квантовые эффекты исчезают и классические формулы оказываются справедливыми. При температурах же сравнимых и меньших характеристической температуры необходимо пользоваться квантовой статистикой.

Несмотря на формальное введение, характеристическая температура имеет определенный физический смысл. Она соответствует разнице в энергиях между ближайшими квантовыми энергетическими уровнями. Характеристическая температура определяется разностью энергий между основным и возбужденным энергетическими уровнями, выраженной через

При энергии теплового движения достаточно для перехода частиц с основного на более высокий энергетический уровень, а при энергии теплового движения для такого перехода уже недостаточно. В последнем случае высшие энергетические состояния выключаются из процессов обмена энергии, т. е. как бы «вымораживаются».

Характеристическую температуру можно ввести для различных процессов и она будет определять возможность перехода от квантовой статистики к классической. Так, разность энергий между электронными уровнями в молекуле больше, чем между колебательными. Поэтому соответствующая движению электронов характеристическая температура определяется десятками тысяч градусов. Этим объясняется, почему при обычных температурах энергия электронной оболочки, а тем более энергия ядер молекулы не будет давать вклад в теплоемкость.

Рис. 65. Теплоемкость двухатомного газа как сумма поступательной, вращательной, колебательной и электронной теплоемкостей

Откладывая на графике зависимость различных составляющих теплоемкости от температуры, можно объяснить изменение общей теплоемкости двухатомного газа от температуры (рис. 65).

Из графика следует, что при очень высоких температурах вклад в теплоемкость дают все степени свободы: поступательные, вращательные, колебательные и электронные. С понижением температуры ниже произойдет отключение электронных уровней. Теплоемкость будут определять колебательные, вращательные и поступательные степени свободы. С дальнейшим понижением температуры ниже Тол отключатся колебательные степени свободы. "С понижением температуры ниже теплоемкость будет определяться лишь поступательным движением молекул.

По такой же схеме будет изменяться теплоемкость

любых многоатомных газов. Но тогда для вычисления теплоемкости приходится представлять молекулу как систему осцилляторов, колеблющихся с различными частотами, учитывать ангармоничность колебаний и другие особенности.

Уже существующих, то есть средняя энергия колебаний с ростом температуры растёт.

Температура Дебая - физическая константа вещества , характеризующая многие свойства твёрдых тел - теплоёмкость , электропроводность , теплопроводность , уширение линий рентгеновских спектров , упругие свойства и т. п. Введена впервые П. Дебаем в его теории теплоёмкости.

Температура Дебая определяется следующей формулой:

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): h - постоянная Планка , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \nu_D - максимальная частота колебаний атомов твёрдого тела, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc - постоянная Больцмана .

Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты .

Физическая интерпретация

При температурах ниже температуры Дебая теплоёмкость кристаллической решётки определяется в основном акустическими колебаниями и, согласно закону Дебая , пропорциональна кубу температуры.

При температурах намного выше температуры Дебая справедлив закон Дюлонга-Пти , согласно которому теплоёмкость постоянна и равна Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 3Nrk_B , где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): N количество элементарных ячеек в теле, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r - количество атомов в элементарной ячейке , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k_B - постоянная Больцмана .

При промежуточных температурах теплоёмкость кристаллической решётки зависит от других факторов, таких как дисперсия акустических и оптических фононов , количества атомов в элементарной ячейке и т. д. Вклад акустических фононов, в частности, даётся формулой

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \theta_D - температура Дебая, а функция

называется функцией Дебая .

При температурах намного ниже температуры Дебая, как указывалось выше, теплоёмкость пропорциональна кубу температуры

Оценка температуры Дебая

При выводе формулы Дебая для определения теплоёмкости кристаллической решётки принимаются некоторые допущения, а именно принимают линейным закон дисперсии акустических фононов, пренебрегают наличием оптических фононов и заменяют зону Бриллюэна сферой такого же объёма. Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): q_D радиус такой сферы, то Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \omega_D = q_D s , где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): s скорость звука , называется частотой Дебая . Температура Дебая определяется из соотношения

Значения температуры Дебая для некоторых веществ приведено в таблице.

См. также

Напишите отзыв о статье "Температура Дебая"

Примечания

Источники

• Температура Дебая - статья из Большой советской энциклопедии .

Отрывок, характеризующий Температура Дебая