Гармонические колебания груза на пружине формула. Колебания груза на пружине. Уравнения колебаний пружинного маятника

Определение

Частота колебаний ($\nu$) является одним из параметров, которые характеризуют колебания Это величина обратная периоду колебаний ($T$):

\[\nu =\frac{1}{T}\left(1\right).\]

Таким образом, частотой колебаний называют физическую величину, равную числу повторений колебаний за единицу времени.

\[\nu =\frac{N}{\Delta t}\left(2\right),\]

где $N$ - число полных колебательных движений; $\Delta t$ - время, за которые произошли данные колебания.

Циклическая частота колебаний (${\omega }_0$) связана с частотой $\nu $ формулой:

\[\nu =\frac{{\omega }_0}{2\pi }\left(3\right).\]

Единицей измерения частоты в Международной системе единиц (СИ) является герц или обратная секунда:

\[\left[\nu \right]=с^{-1}=Гц.\]

Пружинный маятник

Определение

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать горизонтальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. При этом часто считают, что силы трения можно не учитывать.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, который совершает свободные колебания - это пример гармонического осциллятора. Пусть он выполняет колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза запишем как:

\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(4\right),\]

где ${\omega }^2_0=\frac{k}{m}$ - циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решение уравнения (4) это функция синуса или косинуса вида:

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний пружинного маятника, $A$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi)$ - фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ - начальные фазы колебаний.

Частота колебаний пружинного маятника

Из формулы (3) и ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, следует, что частота колебаний пружинного маятника равна:

\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(6\right).\]

Формула (6) справедлива в случае, если:

• пружина в маятнике считается невесомой;
• груз, прикрепленный к пружине, является абсолютно твердым телом;
• крутильные колебания отсутствуют.

Выражение (6) показывает, что частота колебаний пружинного маятника увеличивается с уменьшением массы груза и увеличением коэффициента упругости пружины. Частота колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды. Если колебания не являются малыми, сила упругости пружины не подчиняется закону Гука, то появляется зависимость частоты колебаний от амплитуды.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Период колебаний пружинного маятника составляет $T=5\cdot {10}^{-3}с$. Чему равна частота колебаний в этом случае? Какова циклическая частота колебаний этого груза?

Решение. Частота колебаний - это величина обратная периоду колебаний, следовательно, для решения задачи достаточно воспользоваться формулой:

\[\nu =\frac{1}{T}\left(1.1\right).\]

Вычислим искомую частоту:

\[\nu =\frac{1}{5\cdot {10}^{-3}}=200\ \left(Гц\right).\]

Циклическая частота связана с частотой $\nu $ как:

\[{\omega }_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]

Вычислим циклическую частоту:

\[{\omega }_0=2\pi \cdot 200\approx 1256\ \left(\frac{рад}{с}\right).\]

Ответ. $1)\ \nu =200$ Гц. 2) ${\omega }_0=1256\ \frac{рад}{с}$

Пример 2

Задание. Массу груза, висящего на упругой пружине (рис.2), увеличивают на величину $\Delta m$, при этом частота уменьшается в $n$ раз. Какова масса первого груза?

\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(2.1\right).\]

Для первого груза частота будет равна:

\[{\nu }_1=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(2.2\right).\]

Для второго груза:

\[{\nu }_2=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m+\Delta m}}\ \left(2.2\right).\]

По условию задачи ${\nu }_2=\frac{{\nu }_1}{n}$, найдем отношение $\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}:\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}=\sqrt{\frac{k}{m}\cdot \frac{m+\Delta m}{k}}=\sqrt{1+\frac{\Delta m}{m}}=n\ \left(2.3\right).$

Получим из уравнения (2.3) искомую массу груза. Для этого обе части выражения (2.3) возведем в квадрат и выразим $m$:

Ответ. $m=\frac{\Delta m}{n^2-1}$

При механических колебаниях тела на пружине, координата тела будет периодически изменяться. При этом будем меняться проекция скорости тела на ось Ох. В электромагнитных колебаниях с течение времени по периодическому закону будет изменяться заряд q конденсатора, и сила тока в цепи колебательного контура.

Величины будут иметь одинаковый характер изменения. Это происходит потому, что имеется аналогия между условиями, в которых возникают колебания. Когда мы отводим груз на пружине из положения равновесии, в пружине возникает сила упругости F упр., которая стремится вернуть груз обратно, в положение равновесия. Коэффициентом пропорциональности этой силы будет являться жесткость пружины k.

При разрядке конденсатора в цепи колебательного контура появляется ток. Разрядка обусловлена тем, что на пластинах конденсатора есть напряжение u. Это напряжение будет пропорционально заряду q любой из пластин. Коэффициентом пропорциональности будет служить величина 1/C, Где С - емкость конденсатора.

При движении груза на пружине, когда мы отпускаем его, скорость тела увеличивается постепенно, вследствие инертности. И после прекращения силы скорость тела не становится сразу равной нулю, она тоже постепенно уменьшается.

Механическое движение. Траектория, путь, перемещение. Механическое движение - изменение положения тела в пространстве относительно других тел. Траектория движения - линия, вдоль которой двигается тело. По форме траектории движение тел может быть прямолинейным и криволинейным. Прямолинейное равномерное движение - движение, при котором тело за любые (!) равные (!) промежутки времени проходит одинаковые пути.

Относительность движения означает, что характеристики движения (траектория, путь, скорость и др.) зависят от выбора тела отсчета. Тело отсчета - тело, относительно которое рассматривают движение. Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях пренебрегают. (масса тела сосредоточена в этой точке)

Тема. Колебания груза на пружине. Математический
маятник

Цель урока: ознакомить учащихся с законами колебаний
пружинного и математического маятников
Тип урока: изучение нового материала
План урока
Контроль знаний 5 мин.1. Что такое гармонические колебания?
2. Уравнение гармонических колебаний.
3. Что такое фаза колебаний?
4. Графики гармонических колебаний
Демонстрации
5 мин.1. Свободные колебания пружинного маятника.
Изучение нового
материала
25
мин.
2. Зависимость периода колебаний груза на
пружине от упругих свойств пружины и массы
груза.
3. Свободные колебания математического
маятника.
4. Зависимость периода колебаний
математического маятника от его длины
1. Процесс колебаний пружинного маятника.
2. Период колебаний пружинного маятника.

4. Математический маятник.
5. Период колебаний математического
маятника

Закрепление
изученного
материала
10
мин.
1. Тренируемся решать задачи.
2. Контрольные вопросы

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА
1. Процесс колебаний пружинного маятника
Для того, чтобы описать колебания (листья и колосья; воздуха в
органных трубах и трубах духовых музыкальных
инструментов); для расчета вибрации (корпусов автомашин,
укрепленных на рессорах; фундаментов зданий и станков),
введем модель реальных колебательных систем - пружинный
маятник.

Рассмотрим колебания тележки массой m, прикрепленного к
вертикальной стене пружиной жесткостью k.

Будем считать, что:
1) сила трения, которая действует на тележку, очень мала,
поэтому можно не учитывать ее. В этом случае колебания
пружинного маятника будут незатухаючими;
2) деформации пружины в процессе колебаний тела
незначительны, поэтому их можно считать упругими и
применить закон Гука:

Рассмотрим колебания пружинного маятника более детально.
Когда тележка удаляется от положения равновесия на
расстояние А справа, пружина оказывается растянутой и на
тележку действует максимальная сила упругости Fnp = kA.
Затем тележка начинает двигаться влево с ускорением, что
меняется: удлинение пружины уменьшается и сила упругости
(и ускорение) также уменьшаются. Через четверть периода
тележка вернется в положение равновесия. В этот момент сила
упругости и ускорение равны нулю, а скорость достигает
максимального значения.
По инерции тележка продолжит движение, и возникнет сила
упругости, увеличивается. Она начнет тормозить движение
бруска и на расстоянии А от положения равновесия тележка на
мгновение остановится. От момента начала колебаний прошла
половина периода.
Следующую половину периода движение тележки будет точно
таким, только в обратном направлении.
Необходимо обратить внимание учащихся на то, что, согласно
закону Гука, сила упругости направлена против удлинения
пружины: сила упругости «толкала» тележка к положению
равновесия.
Следовательно, свободные колебания пружинного маятника
обусловлены следующими причинами:
1) действием на тело силы упругости, всегда направленной в
сторону положения равновесия;
2) инертностью колеблющегося тела, благодаря которой оно не
останавливается в положении равновесия, а продолжает
двигаться в том же направлении.
2. Период колебаний пружинного маятника
Первую характерную примету колебаний пружинного маятника
можно установить, постепенно увеличивая массу подвешенных
к пружины грузиков. Подвешивая к пружине грузики разной
массы, мы замечаем, что с увеличением массы тяжелый период
колебаний груза увеличивается. Например, вследствие
увеличения массы тяжелая в 4 раза период колебаний
увеличивается вдвое:

Вторую характерную примету можно установить, меняя
пружины. Проведя серию измерений, легко обнаружить, что тот
же груз быстрее колеблется на жесткой пружине и медленнее -
на мягкой, то есть:
Третья особенность пружинного маятника заключается в том,
что период его колебаний не зависит от ускорения свободного
падения. В этом нетрудно убедиться, используя метод
«увеличения земного притяжения» за счет сильного магнита,
который подкладывается под груз что колеблется.
Таким образом,
период колебаний пружинного маятника не зависит от


Зная период колебаний, легко вычислить частоту и
циклическую частоту колебаний:
3. Уравнение гармонических колебаний
Рассмотрим колебания тележки с точки зрения динамики. На
коляску во время движения действуют три силы: сила реакции
опоры
, сила тяжести m и сила упругости пр. Запишем
уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:
Спроецируем это уравнение на горизонтальную и
вертикальную оси:
Согласно закону Гука:

Таким образом, имеем:
Это уравнение называют уравнением свободных колебаний
пружинного маятника.
Обозначим: ω2 = k/m. Тогда уравнение движения груза будет
иметь вид: ах = -ω2х. Уравнения такого вида называют
дифференциальными уравнениями.
Решением такого
уравнения является функция x = Acosωt.
4. Математический маятник
Чтобы вычислить период колебаний груза, висящего на нитке,
необходимо немного «идеализировать» задачу. Во-первых,
будем считать, что размеры груза намного меньше длины нити,
а нить - нерастяжимая и невесомая. Во-вторых, будем считать
угол отклонения маятника достаточно малым (не более 10-15°).


точка.
Рассмотрим колебания математического маятника. Для этого
возьмем небольшую, но достаточно тяжелую, шарик и
подвесим ее на длинную нерозтяжну нить.
Рассматривая колебания математического маятника, мы
приходим к выводу, что причины, которые обусловливают
свободные колебания, такие же, как и в случае пружинного
маятника (см. рис. а-д):

1) действие на шарик сил, равнодействующая которых всегда
направлена в сторону положения равновесия;
2) инертность колеблющейся шарики, благодаря которой она
не останавливается в положении равновесия.
5. Период колебаний математического маятника
Докажем,
гармонические колебания.
Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось
ОХ (см. рис.):

Что математический маятник совершает

Tx + mgx = mах.
Поскольку Тх = 0, то mgx = -mgsin и мы получаем уравнение:
-mgsin = mах, или -gsin = ax.
Значение sin можно рассчитать из треугольника ОАС - он
равен отношению катета ОА до гипотенузы ОС. Если углы
малые, ОС ≈ l, где l - длина нити, а ОА ≈ х, где х - отклонение
шарика от положения равновесия. Поэтому sin = x/l.
Окончательно получаем:

Обозначив ω2 = g/l, имеем уравнения для свободных колебаний
математического маятника:
Циклическая частота колебаний математического маятника:
Воспользовавшись соотношением Т = 2 /ω, найдем формулу
для периода колебаний математического маятника:



маятник.
Известно, что в разных точках земного шара ускорение
свободного падения разное. Оно зависит не только от формы
Земли, но и от наличия в ее недрах тяжелых (металлы) или
легких (газ, нефть) веществ. А следовательно, и период
колебаний маятника в разных точках будет разным. Это
свойство используется, в частности, во время поисков залежей
полезных ископаемых.

Вопрос к ученикам во время изложения нового материала
1. Как изменится период колебаний пружинного маятника
вследствие изменения массы груза? жесткости пружины?
2. Как изменится период колебаний пружинного маятника, если
расположить под ним магнит?

увеличить амплитуду колебаний.
4. При каком условии колебания математического маятника
можно считать гармоническими?

5. Почему шарик колеблется на длинной нитке, не
останавливается в момент прохождения положения
равновесия?
6. Как изменится период колебаний математического маятника,
если массу груза увеличить? уменьшить?

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА
1). Тренируемся решать задачи
1. Подвешенный на пружине груз, находясь в равновесии,
растягивает пружину на 10 см. Достаточно ли этих данных,
чтобы вычислить период колебаний груза на пружине?
2. Когда к пружине подвесили груз, она растянулась на 20 см.
Груз отвели вниз и отпустили. Чему равен период Т колебаний,
что возникли?
3. Стальной шарик, подвешенный к пружине, совершает
вертикальные колебания. Как изменится период колебаний,
если к пружине подвесить медный шарик того же радиуса?
4. Вычислите жесткость пружины, если подвешенный на ней
груз массой 700 г совершает 18 колебаний за 21 с.
5. Каково соотношение длин двух математических маятников,
если один из них осуществляет 31 колебания, а второй за точно
такой промежуток времени - 20 колебаний?
2). Контрольные вопросы
1. Назовите причины колебаний пружинного маятника.
2. Можно использовать пружинный маятник для расчета
ускорения свободного падения?
3. Как изменится период колебаний пружинного маятника, если
массу груза увеличить в 4 раза и одновременно увеличить в 4
раза жесткость пружины?
4. Назовите основные свойства математического маятника. Где
их используют?
5. Что общего у пружинного и математического маятников?

Что мы узнали на уроке
Пружинный маятник - это колебательная система,
представляющая собой тело, закрепленное на пружине.
Период колебаний пружинного маятника не зависит от
ускорения свободного падения и тем меньше, чем меньше
масса груза и более жесткая пружина:
Частота и циклическая частота колебаний пружинного
маятника:
Уравнение свободных колебаний пружинного маятника:
Математическим маятником называется идеализированная
колебательная система без трения, состоящую из невесомой и
нерастяжимого нити, на которой подвешена материальная
точка.
Период свободных колебаний математического маятника не
зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и
ускорением свободного падения в том месте, где находится
маятник:
Уравнение свободных колебаний математического маятника:

Домашнее задание

Цель работы . Ознакомиться с основными характеристиками незатухающих и затухающих свободных механических колебаний.

Задача . Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность зависимости квадрата периода от массы; определить жесткость пружины; определить период затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания пружинного маятника.

Приборы и принадлежности . Штатив со шкалой, пружина, набор грузов различной массы, сосуд с водой, секундомер.

1. Свободные колебания пружинного маятника. Общие сведения

Колебаниями называются процессы, в которых периодически изменяется одна или несколько физических величин, описывающих эти процессы. Колебания могут быть описаны различными периодическими функциями времени. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания – такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, смещение груза на пружине) изменяется со временем по закону косинуса или синуса. Колебания, возникающие после действия на систему внешней кратковременной силы, называются свободными.

Если груз вывести из положения равновесия, отклонив на величину x , то сила упругости возрастает: F упр = – kx 2= – k (x 1 + x ). Дойдя до положения равновесия, груз будет обладать отличной от нуля скоростью и пройдет положение равновесия по инерции. По мере дальнейшего движения будет увеличиваться отклонение от положения равновесия, что приведет к возрастанию силы упругости, и процесс повторится в обратном направлении. Таким образом, колебательное движение системы обусловлено двумя причинами: 1) стремлением тела вернуться в положении равновесия и 2) инерцией, не позволяющей телу мгновенно остановиться в положении равновесия. В отсутствии сил трения колебания продолжались бы сколь угодно долго. Наличие силы трения приводит к тому, что часть энергии колебаний переходит во внутреннюю энергию и колебания постепенно затухают. Такие колебания называются затухающими.

Незатухающие свободные колебания

Сначала рассмотрим колебания пружинного маятника, на который не действуют силы трения – незатухающие свободные колебания. Согласно второму закону Ньютона c учетом знаков проекций на ось X

Из условия равновесия смещение, вызываемое силой тяжести: . Подставляя в уравнение (1), получим: Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциальное уравнение

https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif" width="152" height="25 src=">. (3)

Данное уравнение называется уравнением гармонических колебаний . Наибольшее отклонение груза от положения равновесия А 0 называется амплитудой колебаний . Величина , стоящая в аргументе косинуса, называется фазой колебания . Постоянная φ0 представляет собой значение фазы в начальный момент времени (t = 0) и называется начальной фазой колебаний . Величина

есть круговая или циклическая частота собственных колебаний , связанная с периодом колебаний Т соотношением https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif" width="125" height="55">. (5)

Затухающие колебания

Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника при наличии силы трения (затухающие колебания). В простейшем и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае сила трения пропорциональна скорости υ движения:

F тр = – rυ , (6)

где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус показывает, что сила трения и скорость имеют противоположные направления. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Х при наличии упругой силы и силы трения

ma = – kx – rυ . (7)

Данное дифференциальное уравнение с учетом υ = dx / dt можно записать

https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif" width="59" height="48 src="> – коэффициент затухания ; – циклическая частота свободных незатухающих колебаний данной колебательной системы, т. е. при отсутствии потерь энергии (β = 0). Уравнение (8) называют дифференциальным уравнением затухающих колебаний .

Чтобы получить зависимость смещения x от времени t , необходимо решить дифференциальное уравнение (8)..gif" width="172" height="27">, (9)

где А 0 и φ0 – начальная амплитуда и начальная фаза колебаний;
– циклическая частота затухающих колебаний при ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif" width="96" height="27 src=">. (10)

На графике функции (9), рис. 2, пунктирными линиями показано изменение амплитуды (10) затухающих колебаний.

Рис. 2. Зависимость смещения х груза от времени t при наличии силы трения

Для количественной характеристики степени затухания колебаний вводят величину, равную отношению амплитуд, отличающихся на период, и называемую декрементом затухания :

. (11)

Часто используют натуральный логарифм этой величины. Такой параметр называется логарифмическим декрементом затухания :

Амплитуда уменьшается в n раз, то из уравнения (10) следует, что

Отсюда для логарифмического декремента получаем выражение

Если за время t " амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,71 – основание натурального логарифма), то система успеет совершить число колебаний

Рис. 3. Схема установки

Установка состоит из штатива 1 с измерительной шкалой 2 . К штативу на пружине 3 подвешиваются грузы 4 различной массы. При изучении затухающих колебаний в задании 2 для усиления затухания используется кольцо 5 , которое помещается в прозрачный сосуд 6 с водой.

В задании 1 (выполняется без сосуда с водой и кольца) в первом приближении затуханием колебаний можно пренебречь и считать гармоническими. Как следует из формулы (5) для гармонических колебаний зависимость T 2 = f (m ) – линейная, из которой можно определить коэффициент жесткости пружины k по формуле

где – угловой коэффициент наклона прямой T 2 от m .

Задание 1. Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза.

1. Определить период колебаний пружинного маятника при различных значениях массы груза m . Для этого с помощью секундомера для каждого значения m трижды измерить время t полных n колебаний (n ≥10) и по среднему значению времени https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif" width="57 height=28" height="28">. Результаты занести в табл. 1.

2. По результатам измерений построить график зависимости квадрата периода T 2 от массы m . Из углового коэффициента графика определить жесткость пружины k по формуле (16).

Таблица 1

Результаты измерений для определения периода собственных колебаний

3. Дополнительное задание. Оценить случайную , полную и относительную εt ошибки измерения времени для значения массы m = 400 г.

Задание 2. Определение логарифмического декремента затухания пружинного маятника.

1. На пружину подвесить груз массой m = 400 г с кольцом и поместить в сосуд с водой, так чтобы кольцо полностью находилось в воде. Определить период затухающих колебаний для данного значения m по методу, изложенному в п. 1 задания 1. Измерения повторить три раза и результаты занести в левую часть табл. 2.

2. Вывести маятник из положения равновесия и, отметив по линейке его начальную амплитуду, измерить время t " , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза. Измерения произвести три раза. Результаты занести в правую часть табл. 2.

Таблица 2

Результаты измерений

для определения логарифмического декремента затухания

Измерение периода колебаний	Измерение времени уменьшения амплитуды в 2 раза

4. Контрольные вопросы и задания

1. Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение их основных характеристик.

2. Какие колебания называются затухающими? Дайте определение их основных характеристик.

3. Поясните физический смысл логарифмического декремента затухания и коэффициента затухания.

4. Вывести зависимости от времени скорости и ускорения груза на пружине, совершающего гармонические колебания. Привести графики и проанализировать.

5. Вывести зависимости от времени кинетической, потенциальной и полной энергии для груза, колеблющегося на пружине. Привести графики и проанализировать.

6. Получить дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.

7. Построить графики гармонических колебаний с начальными фазами π/2 и π/3.

8. В каких пределах может изменяться логарифмический декремент затухания?

9. Привести дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника и его решение.

10. По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие колебания периодическими?

11. Какое движение называется апериодическим? При каких условиях оно наблюдается?

12. Что называется собственной частотой колебаний? Как она зависит от массы колеблющегося тела для пружинного маятника?

13. Почему частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы?

14. Подвешенный к пружине медный шарик совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый того же радиуса?

15. При каком значении логарифмического декремента затухания колебания затухают быстрее: при θ1 = 0,25 или θ2 = 0,5? Привести графики этих затухающих колебаний.

Библиографический список

1. Трофимова Т. И . Курс физики / . – 11-е изд. – М. : Академия, 2006. – 560 с.

2. Савельев И. В . Курс общей физики: в 3 т. / . – СПб. : Лань, 2008. – Т. 1. – 432 с.

3. Ахматов А. С . Лабораторный практикум по физике / .
– М. : Высш. шк., 1980. – 359 с.

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .

Таким образом, груз некоторой массы m , прикрепленный к пружине жесткости k , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .

Круговая частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

следовательно

Частота ω 0 называется собственной частотой колебательной системы.

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

При горизонтальном расположении системы пружина-груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x 0 , равную

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω 0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x : ускорение является второй производной координаты тела x по времени t :

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

(*)

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

x = x m cos (ωt + φ 0).

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 или период T . Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда x m и начальная фаза φ 0 , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то x m = Δl , φ 0 = 0.

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость , то

Таким образом, амплитуда x m свободных колебаний и его начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями .

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил M упр упругой деформации кручения:

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична жесткости пружины k . Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде

где I = I C - момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε - угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.