Формула площади криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C , для произвольной константы С , причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) .

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C .

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

• первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
• второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найти первообразную функции , значение которой равно единице при х = 1 .

Решение.

Мы знаем из дифференциального исчисления, что (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом, . По второму свойству . То есть, имеем множество первообразных . При х = 1 получим значение . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1 . Искомая первообразная примет вид .

Пример.

Найти неопределенный интеграл и результат проверить дифференцированием.

Решение.

По формуле синуса двойного угла из тригонометрии , поэтому

Таблица первообразных

Определение. Функция F(x) на заданном промежутке называется первообразной для функции f(x) , для всех x из этого промежутка, если F"(x)=f(x) .

Операция нахождение первообразной для функции называется интегрированием . Она является обратной к операции дифференцирования.

Теорема. Всякая непрерывная на промежутке функция (x) имеет первообразную на этом же промежутке.

Теорема (основное свойство первообразной). Если на некотором промежутке функция F(x) является первообразной для функции f(x ), то на этом промежутке первообразной для f(x) будет также функция F(x)+C , где C произвольная постоянная.

Из этой теоремы выплывает, что когда f(x) имеет на заданном промежутке первообразную функцию F(x) , то этих первобытных множество. Придавая C произвольных числовых значений, каждый раз будем получать первообразную функцию.

Для нахождения первообразных пользуются таблицей первообразных . Она получается из таблицы производных.

Понятие неопределенного интеграла

Определение. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается .

При этом f(x) называется подынтегральной функцией , а f(x) dx - подынтегральным выражением .

Следовательно, если F(x) , является первообразной для f(x) , то .

Свойства неопределенного интеграла

Понятие определенного интеграла

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции f(x) , отрезком [а; b] , и прямыми x=a и x=b .

Полученная фигура называется криволинейной трапецией . Вычислим ее площадь.

Для этого разобьем отрезок [а; b] на n равных отрезков. Длины каждого из отрезков равняются Δx .

Это динамический рисунок GeoGebra .
Красные элементы можно изменять

Рис. 1. Понятие определенное интеграла

На каждом отрезке, построим прямоугольники с высотами f(x k-1) (Рис. 1).

Площадь каждого такого прямоугольника равняется S k = f(x k-1)Δx k .

Площадь всех таких прямоугольников равняется .

Эту сумму называют интегральной суммой для функции f(x) .

Если n→∞ то площадь построенной таким образом фигуры будет все менее отличаться от площади криволинейной трапеции.

Определение. Граница интегральной суммы, когда n→∞ называется определенным интегралом , и записывается так:.

читается: "интеграл от a к b f от xdx "

Число а называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, отрезок [а; b] – промежутком интегрирования.

Свойства определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл тесно связан с первообразной и неопределенным интегралом формулой Ньютона-Лейбница

.

Использование интеграла

Интегральное исчисление широко используется при решении разнообразных практических задач. Рассмотрим некоторые из них.

Вычисление объемов тел

Пусть задана функция, которая задает площадь поперечного сечения тела в зависимости от некоторой переменной S = s(x), x[а; b] . Тогда объем данного тела можно найти интегрируя данную функцию в соответствующих пределах.
Если нам задано тело, которое получено вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции ограниченной некоторой функцией f(x), x [а; b] . (Рис. 3). То площади поперечных сечений можно вычислить по известной формуле S = π f 2 (x) . Поэтому формула объема такого тела вращения

Готовые работы

ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ

Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге

КУРСОВЫЕ РАБОТЫ

Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге

МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге

ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ

После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.

Фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной на отрезке $$ функции $f(x)$ и прямыми $y=0, \ x=a$ и $x=b$, называется криволинейной трапецией.

Площадь соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

$S=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}.$ (*)

Задачи на нахождение площади криволинейной трапеции мы будем условно делить на $4$ типа. Рассмотрим каждый тип подробнее.

I тип: криволинейная трапеция задана явно. Тогда сразу применяем формулу (*).

Например, найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=4-(x-2)^{2}$, и прямыми $y=0, \ x=1$ и $x=3$.

Нарисуем эту криволинейную трапецию.

Применяя формулу (*), найдём площадь этой криволинейной трапеции.

$S=\int\limits_{1}^{3}{\left(4-(x-2)^{2}\right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{4dx}-\int\limits_{1}^{3}{(x-2)^{2}dx}=4x|_{1}^{3} – \left.\frac{(x-2)^{3}}{3}\right|_{1}^{3}=$

$=4(3-1)-\frac{1}{3}\left((3-2)^{3}-(1-2)^{3}\right)=4 \cdot 2 – \frac{1}{3}\left((1)^{3}-(-1)^{3}\right) = 8 – \frac{1}{3}(1+1) =$

$=8-\frac{2}{3}=7\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).

II тип: криволинейная трапеция задана неявно. У этого случая обычно не задаются или задаются частично прямые $x=a, \ x=b$. В этом случае нужно найти точки пересечения функций $y=f(x)$ и $y=0$. Эти точки и будут точками $a$ и $b$.

Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=1-x^{2}$ и $y=0$.

Найдём точки пересечения. Для этого приравняем правые части функций.

Таким образом, $a=-1$, а $b=1$. Нарисуем эту криволинейную трапецию.

Найдём площадь этой криволинейной трапеции.

$S=\int\limits_{-1}^{1}{\left(1-x^{2}\right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{1dx}-\int\limits_{-1}^{1}{x^{2}dx}=x|_{-1}^{1} – \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-1}^{1}=$

$=(1-(-1))-\frac{1}{3}\left(1^{3}-(-1)^{3}\right)=2 – \frac{1}{3}\left(1+1\right) = 2 – \frac{2}{3} = 1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).

III тип: площадь фигуры, ограниченной пересечением двух непрерывных неотрицательных функций. Эта фигура не будет криволинейной трапецией, а значит с помощью формулы (*) её площадь не вычислишь. Как же быть? Оказывается, площадь этой фигуры можно найти как разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных верхней функцией и $y=0$ ($S_{uf}$), и нижней функцией и $y=0$ ($S_{lf}$), где в роли $x=a, \ x=b$ выступают координаты по $x$ точек пересечения данных функций, т.е.

$S=S_{uf}-S_{lf}$. (**)

Самое главное при вычислении таких площадей – не “промахнуться” с выбором верхней и нижней функции.

Например, найти площадь фигуры, ограниченной функциями $y=x^{2}$ и $y=x+6$.

Найдём точки пересечения этих графиков:

По теореме Виета,

$x_{1}=-2, \ x_{2}=3.$

То есть, $a=-2, \ b=3$. Изобразим фигуру:

Таким образом, верхняя функция – $y=x+6$, а нижняя – $y=x^{2}$. Далее, найдём $S_{uf}$ и $S_{lf}$ по формуле (*).

$S_{uf}=\int\limits_{-2}^{3}{(x+6)dx}=\int\limits_{-2}^{3}{xdx}+\int\limits_{-2}^{3}{6dx}=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{-2}^{3} + 6x|_{-2}^{3}= 32,5$ (ед.$^{2}$).

$S_{lf}=\int\limits_{-2}^{3}{x^{2}dx}=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-2}^{3} = \frac{35}{3}$ (ед.$^{2}$).

Подставим найденное в (**) и получим:

$S=32,5-\frac{35}{3}= \frac{125}{6}$ (ед.$^{2}$).

IV тип: площадь фигуры, ограниченной функцией (-ями), не удовлетворяющей(-ими) условию неотрицательности. Для того, чтобы найти площадь такой фигуры нужно симметрично относительно оси $Ox$ (иными словами, поставить “минусы” перед функциями) отобразить область и с помощью способов, изложенных в типах I – III, найти площадь отображённой области. Эта площадь и будет искомой площадью. Предварительно, возможно, вам придётся найти точки пересечения графиков функций.

Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^{2}-1$ и $y=0$.

Найдём точки пересечения графиков функций:

т.е. $a=-1$, а $b=1$. Начертим область.

Симметрично отобразим область:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^{2}-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^{2}-1) = 1-x^{2}$.

Получится криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y=1-x^{2}$ и $y=0$. Это задача на нахождение криволинейной трапеции второго типа. Мы её уже решали. Ответ был такой: $S= 1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$). Значит, площадь искомой криволинейной трапеции равна:

$S=1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми и (см. рис. 2) вычисляется по формуле

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и осью .

Решение . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений

Получаем: , откуда , ; следовательно, , .

Рис. 3

Площадь фигуры находим по формуле (5):

Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле

. (6)

В случае, если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

Рис. 4

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции при .

Рис. 5

Решение . Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему Получим , . Следовательно:

;

.

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна

(кв. ед.).

Рис. 6

Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций и ,
а слева и справа – прямыми и (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле

. (8)

Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений находим , ; следовательно, , . На отрезке имеем: . Значит, в формуле (8) в качестве возьмем x , а в качестве – . Получим:

(кв. ед.).

Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.

Рис. 7

Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Решение . Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):

(кв. ед.); (кв. ед.). Следовательно:

(кв. ед.).

Рис. 8

х = j (у )

Рис. 9

В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми и , осью и непрерывной на кривой (рис. 9), то ее площадь находится по формуле

Объем тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке функции , осью , прямыми и , вращается вокруг оси (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле

. (9)

Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью .

Решение . Сделаем чертеж (рис. 11).

Из условия задачи следует, что , . По формуле (9) получаем

.

Рис. 10

Рис. 11

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d , осью Оу и графиком непрерывной на отрезке функции (рис. 12), определяется по формуле

. (10)

х = j (у )

Рис. 12

Пример 14 . Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х 2 = 4у , у = 4, х = 0 (рис. 13).

Решение . В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: , . По формуле (10) получаем:

Рис. 13

Длина дуги плоской кривой

Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости (рис. 14).

Рис. 14

Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле

. (11)

Пример 15 . Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .

Решение . Из условия задачи имеем . По формуле (11) получаем:

.

4. Несобственные интегралы
с бесконечными пределами интегрирования

При введении понятия определённого интеграла предполага-лось, что выполняются следующие два условия:

а) пределы интегрирования а и являются конечными;

б) подынтегральная функция ограничена на отрезке .

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным .

Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , тогда и неограниченной справа (рис. 15).

Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.

Рис. 15

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:

. (13)

Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:

, (14)

где с – любая точка интервала . Интеграл сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).

;

г) = [выделим в знаменателе полный квадрат: ] = [замена:

] =

Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно .