Что значит плоский угол. Понятие и виды углов. Угол между кривыми

Давайте начнем с определения того, что такое угол. Во-первых, он является Во-вторых, он образован двумя лучами, которые называются сторонами угла. В-третьих, последние выходят из одной точки, которую называют вершиной угла. Исходя из этих признаков, мы можем составить определение: угол - геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон), выходящих из одной точки (вершины).

Их классифицируют по градусной величине, по расположению относительно друг друга и относительно окружности. Начнем с видов углов по их величине.

Существует несколько их разновидностей. Рассмотрим подробнее каждый вид.

Основных типов углов всего четыре - прямой, тупой, острый и развернутый угол.

Прямой

Он выглядит так:

Его градусная мера всегда составляет 90 о, иначе говоря, прямой угол - это угол 90 градусов. Только они есть у таких четырехугольников, как квадрат и прямоугольник.

Тупой

Он имеет такой вид:

Градусная мера всегда больше 90 о, но меньше 180 о. Он может встречаться в таких четырехугольниках, как ромб, произвольный параллелограмм, во многоугольниках.

Острый

Он выглядит так:

Градусная мера острого угла всегда меньше 90 о. Он встречается во всех четырехугольниках, кроме квадрата и произвольного параллелограмма.

Развернутый

Развернутый угол имеет такой вид:

В многоугольниках он не встречается, но не менее важен, чем все остальные. Развернутый угол - это геометрическая фигура, градусная мера которой всегда равняется 180º. На нем можно построить проведя из его вершины один или несколько лучей в любых направлениях.

Есть еще несколько второстепенных видов углов. Их не изучают в школах, но знать хотя бы об их существовании необходимо. Второстепенных видов углов всего пять:

1. Нулевой

Он выглядит так:

Само название угла уже говорит о его величине. Его внутренняя область равняется 0 о, а стороны лежат друг на друге так, как показано на рисунке.

2. Косой

Косым может быть и прямой, и тупой, и острый, и развернутый угол. Главное его условие - он не должен равняться 0 о, 90 о, 180 о, 270 о.

3. Выпуклый

Выпуклыми являются нулевой, прямой, тупой, острый и развернутый углы. Как вы уже поняли, градусная мера выпуклого угла - от 0 о до 180 о.

4. Невыпуклый

Невыпуклыми являются углы с градусной мерой от 181 о до 359 о включительно.

5. Полный

Полным является угол с градусной мерой 360 о.

Это все типы углов по их величине. Теперь рассмотрим их виды по расположению на плоскости относительно друг друга.

1. Дополнительные

Это два острых угла, образовывающие один прямой, т.е. их сумма 90 о.

2. Смежные

Смежные углы образуются, если через развернутый, точнее, через его вершину, провести луч в любом направлении. Их сумма равна 180 о.

3. Вертикальные

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Их градусные меры равны.

Теперь перейдем к видам углов, расположенным относительно окружности. Их всего два: центральный и вписанный.

1. Центральный

Центральным является угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере меньшей дуги, стянутой сторонами.

2. Вписанный

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, и стороны которого ее пересекают. Его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.

Это все, что касается углов. Теперь вы знаете, что помимо наиболее известных - острого, тупого, прямого и развернутого - в геометрии существует много других их видов.

Угловая мера

Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах - отношение длины дуги s к длине окружности L , в радианах - отношение длины дуги s к радиусу r ; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .

В морской терминологии углы обозначаются румбами .

Типы углов

Смежные углы - острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Плоский угол" в других словарях:

плоский угол - 2.2 плоский угол: Угол, образованный двумя лучами (сторонами угла), выходящими из геометрического центра помещения (сооружения). Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

плоский угол - plokščiasis kampas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Kampas tarp dviejų viename taške susikertančių pustiesių, išreiškiamas apskritimo (su centru tame taške) apimamojo lanko ilgio ir spindulio dalmeniu. Matavimo vienetas … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

плоский угол - plokščiasis kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. plane angle vok. ebener Winkel, m rus. плоский угол, m pranc. angle plan, m … Fizikos terminų žodynas Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ПЛОСКИЙ, ровный, как бы сплющенный, придавленный; лежащий пластом, по уровню; в чем нет ни горбов, ни ям; невысокий, неглубокий, невозвышенный и неуглубленный. Плоская земля, место, равнина, ровная поверхность. Плоская кровля, вовсе по уровню,… … Толковый словарь Даля

угол излучения полупроводникового излучателя - угол излучения е Плоский угол, содержащий оптическую ось полупроводникового излучателя и образованный направлениями, в которых сила излучения больше или равна половине ее максимального значения. [ГОСТ 27299 87] Тематики полупроводниковые приборы… …

угол излучения знакосинтезирующего индикатора - угол излучения (знакосинтезирующего индикатора) θ Плоский угол в вертикальной или горизонтальной плоскости, содержащей оптическую ось активного знакосинтезирующего индикатора и образованный направлениями, в которых сила излучения больше или … Справочник технического переводчика

Конвертер длины и расстояния Конвертер массы Конвертер мер объема сыпучих продуктов и продуктов питания Конвертер площади Конвертер объема и единиц измерения в кулинарных рецептах Конвертер температуры Конвертер давления, механического напряжения, модуля Юнга Конвертер энергии и работы Конвертер мощности Конвертер силы Конвертер времени Конвертер линейной скорости Плоский угол Конвертер тепловой эффективности и топливной экономичности Конвертер чисел в различных системах счисления Конвертер единиц измерения количества информации Курсы валют Размеры женской одежды и обуви Размеры мужской одежды и обуви Конвертер угловой скорости и частоты вращения Конвертер ускорения Конвертер углового ускорения Конвертер плотности Конвертер удельного объема Конвертер момента инерции Конвертер момента силы Конвертер вращающего момента Конвертер удельной теплоты сгорания (по массе) Конвертер плотности энергии и удельной теплоты сгорания топлива (по объему) Конвертер разности температур Конвертер коэффициента теплового расширения Конвертер термического сопротивления Конвертер удельной теплопроводности Конвертер удельной теплоёмкости Конвертер энергетической экспозиции и мощности теплового излучения Конвертер плотности теплового потока Конвертер коэффициента теплоотдачи Конвертер объёмного расхода Конвертер массового расхода Конвертер молярного расхода Конвертер плотности потока массы Конвертер молярной концентрации Конвертер массовой концентрации в растворе Конвертер динамической (абсолютной) вязкости Конвертер кинематической вязкости Конвертер поверхностного натяжения Конвертер паропроницаемости Конвертер паропроницаемости и скорости переноса пара Конвертер уровня звука Конвертер чувствительности микрофонов Конвертер уровня звукового давления (SPL) Конвертер уровня звукового давления с возможностью выбора опорного давления Конвертер яркости Конвертер силы света Конвертер освещённости Конвертер разрешения в компьютерной графике Конвертер частоты и длины волны Оптическая сила в диоптриях и фокусное расстояние Оптическая сила в диоптриях и увеличение линзы (×) Конвертер электрического заряда Конвертер линейной плотности заряда Конвертер поверхностной плотности заряда Конвертер объемной плотности заряда Конвертер электрического тока Конвертер линейной плотности тока Конвертер поверхностной плотности тока Конвертер напряжённости электрического поля Конвертер электростатического потенциала и напряжения Конвертер электрического сопротивления Конвертер удельного электрического сопротивления Конвертер электрической проводимости Конвертер удельной электрической проводимости Электрическая емкость Конвертер индуктивности Конвертер Американского калибра проводов Уровни в dBm (дБм или дБмВт), dBV (дБВ), ваттах и др. единицах Конвертер магнитодвижущей силы Конвертер напряженности магнитного поля Конвертер магнитного потока Конвертер магнитной индукции Радиация. Конвертер мощности поглощенной дозы ионизирующего излучения Радиоактивность. Конвертер радиоактивного распада Радиация. Конвертер экспозиционной дозы Радиация. Конвертер поглощённой дозы Конвертер десятичных приставок Передача данных Конвертер единиц типографики и обработки изображений Конвертер единиц измерения объема лесоматериалов Вычисление молярной массы Периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева

1 градус [°] = 1,11111111111111 град [g]

Исходная величина

Преобразованная величина

градус радиан град гон минута секунда зодиакальный сектор тысячная оборот окружность оборот квадрант прямой угол секстант

Подробнее об углах

Общие сведения

Плоский угол - геометрическая фигура образованная двумя пересекающимися линиями. Плоский угол состоит из двух лучей с общим началом, и эта точка называется вершиной луча. Лучи называются сторонами угла. У углов много интересных свойств, например, сумма всех углов в параллелограмме - 360°, а в треугольнике - 180°.

Виды углов

Прямые углы равны 90°, острые - меньше 90°, а тупые - наоборот, больше 90°. Углы, равные 180° называются развернутыми , углы в 360° называются полными , а углы больше развернутых но меньше полных называются невыпуклыми . Когда сумма двух углов равна 90°, то есть один угол дополняет другой до 90°, они называются дополнительными смежными , а если же до 360° - то сопряженными

Когда сумма двух углов равна 90°, то есть один угол дополняет другой до 90°, они называются дополнительными . Если они дополняют друг друга до 180°, они называются смежными , а если же до 360° - то сопряженными . В многоугольниках углы внутри многоугольника называются внутренними, а сопряженные с ними - внешними.

Два угла, образованные при пересечении двух прямых и не являющихся смежными, называются вертикальными . Они равны.

Измерение углов

Углы измеряют с помощью транспортира или вычисляют по формуле, измерив стороны угла от вершины и до дуги, и длину дуги, которая эти стороны ограничивает. Углы обычно измеряют в радианах и градусах, хотя существуют и другие единицы.

Можно измерять как углы, образованные между двумя прямыми, так и между кривыми линиями. Для измерения между кривыми используют касательные в точке пересечения кривых, то есть в вершине угла.

Транспортир

Транспортир - инструмент для измерения углов. Большинство транспортиров имеют форму полукруга или окружности и позволяют измерить углы до 180° и до 360° соответственно. В некоторых транспортирах встроена дополнительная вращающаяся линейка для удобства в измерении. Шкалы на транспортирах наносят чаще в градусах, хотя иногда они бывают и в радианах. Транспортиры чаще всего используют в школе на уроках геометрии, но их также применяют в архитектуре и в технике, в частности в инструментальном производстве.

Использование углов в архитектуре и искусстве

Художники, дизайнеры, мастера и архитекторы издавна используют углы для создания иллюзий, акцентов и других эффектов. Чередование острых и тупых углов или геометрические узоры из острых углов часто используются в архитектуре, мозаике и витражах, например в строении готических соборов и в исламской мозаике.

Одна из известных форм исламского изобразительного искусства - украшение с помощью геометрического орнамента гирих. Этот рисунок применяют в мозаике, резьбе по металлу и дереву, на бумаге и на ткани. Рисунок создается с помощью чередования геометрических фигур. Традиционно используют пять фигур со строго определенными углами из комбинаций в 72°, 108°, 144° и 216°. Все эти углы делятся на 36°. Каждая фигура разделена линиями на несколько более маленьких симметричных фигур, чтобы создать более тонкий рисунок. Изначально гирихом назывались сами эти фигуры или кусочки для мозаики, отсюда и пошло название всего стиля. В Марокко существует похожий геометрический стиль мозаики, зулляйдж или зилидж. Форма терракотовых изразцов, из которых складывают эту мозаику, не соблюдается так строго, как в гирихе, и изразцы часто более причудливой формы, чем строгие геометрические фигуры в гирихе. Несмотря на это, мастера зулляйджа также используют углы для создания контрастных и причудливых узоров.

В исламском изобразительном искусстве и архитектуре часто используется руб аль-хизб - символ в форме одного квадрата, наложенного на другой под углом в 45°, как на иллюстрациях. Он может быть изображен как сплошная фигура, или в виде линий - в этом случае этот символ называется звездой Al-Quds (аль кудс). Руб аль-хизб иногда украшают небольшими кругами на пересечении квадратов. Этот символ используют в гербах и на флагах мусульманских стран, например на гербе Узбекистана и на флаге Азербайджана. Основания самых высоких в мире на момент написания (весна 2013) башен близнецов, башен Петро́нас построены в форме руб аль-хизба. Эти башни находятся в Куала-Лумпуре в Малайзии и в их проектировании участвовал премьер-министр страны.

Острые углы часто используют в архитектуре как декоративные элементы. Они придают зданию строгую элегантность. Тупые углы, наоборот, придают зданиям уютный вид. Так, например, мы восхищаемся готическими соборами и замками, но они выглядят немного печально и даже устрашающе. А вот дом себе мы скорее всего выберем с крышей с тупыми углами между скатами. Углы в архитектуре также используют для укрепления разных частей здания. Архитекторы проектируют форму, размер и угол наклона в зависимости от нагрузки на стены, нуждающиеся в укреплении. Этот принцип укрепления с помощью наклона использовали еще с древних времен. Например, античные строители научились строить арки без цемента и иных связующих материалов, укладывая камни под определенным углом.

Обычно здания строят вертикально, но иногда бывают исключения. Некоторые здания специально строят с наклоном, а некоторые наклоняются из-за ошибок. Один из примеров наклонных зданий - Тадж-Махал в Индии. Четыре минарета, которые окружают главное строение, построены с наклоном от центра, чтобы в случае землетрясения они упали не вовнутрь, на мавзолей, а в другую сторону, и не повредили основное здание. Иногда здания строят под углом к земле в декоративных целях. Например, Падающая башня Абу-Даби или Capital Gate наклонена на 18° к западу. А одно из зданий в Мире Головоломок Стюарта Лэндсборо в городе Ванка в Новой Зеландии наклоняется к земле на 53°. Это здание так и называется, «Падающая башня».

Иногда наклон здания - результат ошибки в проектировании, как например наклон Пизанской башни. Строители не учли структуру и качество почвы, на которой ее возводили. Башня должна была стоять прямо, но плохой фундамент не смог поддерживать ее вес и здание осело, покосившись на один бок. Башню много раз реставрировали; самая последняя реставрация в 20-м веке остановила ее постепенное оседание и увеличивающийся наклон. Ее удалось выровнять с 5.5°до 4°. Башня церкви СуурХусен в Германии тоже наклонена из-за того, что ее деревянный фундамент прогнил с одной стороны после осушения болотистой почвы, на которой она построена. На данный момент эта башня наклонена больше, чем Пизанская - примерно на 5°.

Вы затрудняетесь в переводе единицы измерения с одного языка на другой? Коллеги готовы вам помочь. Опубликуйте вопрос в TCTerms и в течение нескольких минут вы получите ответ.

Французским математиком Пьером Эригоном .

В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: α, β, γ, θ, φ и др. Как правило, данные обозначения также наносятся на чертёж для устранения неоднозначности в выборе внутренней области угла. Чтобы избежать путаницы с числом пи , символ π , как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы ω и Ω .

Также часто угол обозначают тремя символами точек, например ∠ A B C . {\displaystyle \angle ABC.} В такой записи B {\displaystyle B} - вершина, а A {\displaystyle A} и C {\displaystyle C} - точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться. См. .

Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, ∠ (b c) {\displaystyle \angle (bc)} - здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника ∠ B A C {\displaystyle \angle BAC} , α , который надо было бы обозначить ∠ (c b) {\displaystyle \angle (cb)} .

Так, для рисунка справа записи γ , ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} и ∠ (b a) {\displaystyle \angle (ba)} означают один и тот же угол.

Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.

На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.

Угловая мера [ | ]

Угловая мера, позволяющая сравнивать плоские углы, может быть введена следующим образом. Два плоских угла называются равными (или конгруэнтными ), если они могут быть совмещены так, что совпадут их вершины и обе стороны. От любого луча на плоскости в данную сторону можно отложить единственный угол, равный данному. Если один угол может быть размещён полностью внутри другого угла таким образом, что вершина и одна из сторон этих углов совпадают, то первый угол меньше второго. Назовём прилежащими два угла, расположенные так, что сторона одного совпадает со стороной другого (а значит, совпадают и вершины), но их внутренние области не пересекаются. Угол, составленный из несовпадающих сторон двух прилежащих углов, назовём сложенным из этих углов. Каждому углу можно поставить в соответствие число (угловую меру) таким образом, что:

• равным углам соответствует равная угловая мера;
• меньшему углу соответствует меньшая угловая мера;
• у угла, стороны которого совпадают (нулевого угла), угловая мера равна нулю (то же справедливо и для угла между параллельными прямыми);
• каждый ненулевой угол имеет определённую угловую меру, большую нуля;
• (аддитивность) угловая мера угла равна сумме угловых мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

В некоторых системах обозначений, если есть необходимость различать угол и его меру, для угла (геометрической фигуры) используют обозначение ∠ A B C , {\displaystyle \angle ABC,} а для величины меры измерения этого угла - обозначение A B C ^ . {\displaystyle {\widehat {ABC}}.}

Угол измеряют:

Наиболее распространённая градусная мера - градус, минута, секунда , в которой за 1° принимается 1/180 от развёрнутого угла (см. ), одна минута 1 ′ = 1 ∘ / 60 {\displaystyle 1"=1^{\circ }/60} , и одна секунда 1 ″ = 1 ′ / 60 {\displaystyle 1""=1"/60} . Градусная мера применяется в элементарной геометрии (измерение углов на чертежах транспортиром), в геодезии по карте и на местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор - универсал /теодолит).

Измерение углов в градусной мере восходит к Древнему Вавилону , где использовалась шестидесятеричная система счисления , следы которой сохранились у нас в делении времени и углов.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .

В морской терминологии углы измеряются в румбах . 1 румб равен 1 ⁄ 32 от полной окружности (360 градусов) компаса, то есть 11,25 градуса, или 11°15′.

В некоторых контекстах, таких как идентификация точки в полярных координатах или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно его базовой ориентации, углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, фактически являются эквивалентными. Например, в таких случаях можно считать эквивалентными углы 15° и 360015° (= 15° + 360°×1000) . В других контекстах, таких как идентификация точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно его начальной ориентации, углы, отличающиеся на ненулевое целое число полных оборотов, не эквивалентны.

Некоторые плоские углы имеют специальные названия. Кроме вышеназванных единиц измерения (радиан, румб, градус и тому подобное), к ним относятся:

Направление отсчёта углов [ | ]

Стрелкой показано направление отсчёта углов

Телесный угол [ | ]

Обобщением плоского угла на стереометрию является телесный угол - часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол).

Телесные углы измеряются в стерадианах (одна из основных единиц СИ), а также во внесистемных единицах - в частях полной сферы (то есть полного телесного угла, составляющего 4π стерадиан), в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах.

Телесными углами являются, в частности, следующие геометрические тела:

Двугранный угол может характеризоваться как линейным углом (углом между образующими его плоскостями), так и телесным углом (в качестве вершины может быть выбрана любая точка на его ребре - прямой пересечения его граней). Если линейный угол двугранного угла (в радианах) равен φ , то его телесный угол (в стерадианах) равен 2φ .

Угол между кривыми [ | ]

Как в планиметрии, так и в стереометрии, а также в ряде других геометрий можно определить угол между гладкими кривыми в точке пересечения: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым в точке пересечения.

Угол и скалярное произведение [ | ]

Понятие угла можно определить для линейных пространств произвольной природы (и произвольной, в том числе бесконечной размерности), на которых аксиоматически введено положительно определённое скалярное произведение (x , y) {\displaystyle (x,y)} между двумя элементами пространства x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} Скалярное произведение позволяет определить также и так называемую норму (длину) элемента как квадратный корень произведения элемента на себя | | x | | = (x , x) . {\displaystyle ||x||={\sqrt {(x,x)}}.} Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши - Буняковского (Коши - Шварца) для скалярного произведения: | (x , y) | ⩽ | | x | | ⋅ | | y | | , {\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,} откуда следует, что величина принимает значения от −1 до 1, причём крайние значения достигаются тогда и только тогда , когда элементы пропорциональны (коллинеарны) друг другу (говоря геометрически - их совпадают или противоположны). Это позволяет интерпретировать отношение (x , y) | | x | | ⋅ | | y | | {\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}} как косинус угла между элементами x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} В частности, элементы называют ортогональными , если скалярное произведение (или косинус угла) равно нулю.

В частности, можно ввести понятие угла между непрерывными на некотором интервале [ a , b ] {\displaystyle } функциями, если ввести стандартное скалярное произведение (f , g) = ∫ a b f (x) g (x) d x , {\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx,} тогда нормы функций определяются как | | f | | 2 = ∫ a b f 2 (x) d x . {\displaystyle ||f||^{2}=\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx.} Тогда косинус угла определяется стандартным образом как отношение скалярного произведения функций к их нормам. Функции также можно назвать ортогональными , если их скалярное произведение (интеграл их произведения) равно нулю.

В римановой геометрии можно аналогично определить угол между касательными векторами с помощью метрического тензора g i j . {\displaystyle g_{ij}.} Скалярное произведение касательных векторов u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} в тензорной записи будет иметь вид: (u , v) = g i j u i v j , {\displaystyle (u,v)=g_{ij}u^{i}v^{j},} соответственно нормы векторов - | | u | | = | g i j u i u j | {\displaystyle ||u||={\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|}}} и | | v | | = | g i j v i v j | . {\displaystyle ||v||={\sqrt {|g_{ij}v^{i}v^{j}|}}.} Поэтому косинус угла будет определяться по стандартной формуле отношения указанного скалярного произведения к нормам векторов: cos ⁡ θ = (u , v) | | u | | ⋅ | | v | | = g i j u i v j | g i j u i u j | ⋅ | g i j v i v j | . {\displaystyle \cos \theta ={\frac {(u,v)}{||u||\cdot ||v||}}={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|\cdot |g_{ij}v^{i}v^{j}|}}}.}

Угол в метрическом пространстве [ | ]

Также существует ряд работ, в которых вводится понятие угла между элементами метрического пространства.

Пусть (X , ρ) {\displaystyle (X,\rho)} - метрическое пространство . Пусть далее, x , y , z {\displaystyle x,y,z} - элементы этого пространства.

К. Менгер ввёл понятие угла между вершинами y {\displaystyle y} и z {\displaystyle z} с вершиной в точке x {\displaystyle x} как неотрицательное число y x z ^ {\displaystyle {\widehat {yxz}}} , которое удовлетворяет трём аксиомам:

В 1932 году Вильсон рассмотрел в качестве угла следующее выражение:

Y x z ^ w = arccos ⁡ ρ 2 (x , y) + ρ 2 (x , z) − ρ 2 (y , z) 2 ρ (x , y) ρ (x , z) {\displaystyle {\widehat {yxz}}_{w}=\arccos {\frac {\rho ^{2}(x,y)+\rho ^{2}(x,z)-\rho ^{2}(y,z)}{2\rho (x,y)\rho (x,z)}}}

Нетрудно видеть, что введённое выражение всегда имеет смысл и удовлетворяет трём аксиомам Менгера.

Кроме того, угол Вильсона обладает тем свойством, что в евклидовом пространстве он эквивалентен углу между элементами y − x {\displaystyle y-x} и z − x {\displaystyle z-x} в смысле евклидова пространства.

Измерение углов [ | ]

Одним из самых распространённых инструментов для построения и измерения углов является транспортир (а также линейка - см. ниже); как правило, он используется для построения угла определённой величины. Для более или менее точного измерения углов разработано много инструментов:

Угловым расстоянием (или просто углом) между двумя объектами для наблюдателя называется мера угла, в вершине которого находится наблюдатель, а объекты лежат на сторонах. Для грубой оценки углов между двумя удалёнными предметами можно использовать кисть руки. На расстоянии вытянутой руки угловому расстоянию в 1 градус (1°) соответствует ширина мизинца (см. также ниже; угловая ширина среднего пальца на расстоянии вытянутой руки составляет около 2°), углу в 10 градусов - ширина сжатого кулака, расположенного горизонтально (либо поперечник ладони), углу в 20 градусов (или около 15°÷17°÷20°) - расстояние между кончиками разведённых большого и указательного пальца (пядь), а угловое расстояние от конца мизинца до конца большого пальца равно примерно четверти прямого угла . Это усреднённые данные. Рекомендуется уточнить их для своей собственной руки.

Различные методы и устройства для измерения углов характеризуются угловым разрешением , то есть минимальным углом, который может быть измерен с помощью данного метода. Наилучшим угловым разрешением обладают различные интерферометрические методы, позволяющие измерить в некоторых случаях углы в несколько микросекунд дуги (~10 −11 радиана).

Примеры практических тригонометрических измерений [ | ]

Решение задач простым способом

Как измерить угол (например, на карте) с помощью сторон треугольника (например, при отсутствии инженерного/тригонометрического калькулятора (и таблиц) и отсутствии ПК (MS Office Excel) для вычисления cos) и подручными средствами - линейки с миллиметровыми делениями?
По сторонам угла отложите отрезки по 60 мм и концы соедините прямой линией. Длина этой линии в миллиметрах покажет примерно величину угла в градусах. Таким способом можно с достаточной (приемлемой) точностью измерять острые углы до 60°. Если угол больше 60°, измеряют его дополнение до 90°, 180, 270° или 360°. Для измерения дополнения до 90° или 270° из вершины угла строится с помощью треугольника перпендикуляр к одной из сторон (в равнобедренном треугольнике -

В этой статье мы всесторонне разберем одну из основных геометрических фигур – угол. Начнем со вспомогательных понятий и определений, которые нас приведут к определению угла. После этого приведем принятые способы обозначения углов. Далее подробно разберемся с процессом измерения углов. В заключении покажем как можно отметить углы на чертеже. Все теорию мы снабдили необходимыми чертежами и графическими иллюстрациями для лучшего запоминания материала.

Навигация по странице.

Определение угла.

Угол является одной из важнейших фигур в геометрии. Определение угла дается через определение луча. В свою очередь представление о луче невозможно получить без знания таких геометрических фигур как точка, прямая и плоскость. Поэтому, перед знакомством с определением угла, рекомендуем освежить в памяти теорию из разделов и .

Итак, будем отталкиваться от понятий точки, прямой на плоскости и плоскости.

Дадим сначала определение луча.

Пусть нам дана некоторая прямая на плоскости. Обозначим ее буквой a . Пусть O – некоторая точка прямой a . Точка O разделяет прямую a на две части. Каждая из этих частей вместе с точкой О называется лучом , а точка О называется началом луча . Еще можно услышать, что луч называют полупрямой .

Для краткости и удобства ввели следующие обозначения для лучей: луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч p или луч k ), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых соответствует началу луча, а вторая обозначает некоторую точку этого луча (например, луч ОА или луч СD ). Покажем изображение и обозначение лучей на чертеже.

Теперь мы можем дать первое определение угла.

Определение.

Угол – это плоская геометрическая фигура (то есть целиком лежащая в некоторой плоскости), которую составляют два несовпадающих луча с общим началом. Каждый из лучей называют стороной угла , общее начало сторон угла называют вершиной угла .

Возможен случай, когда стороны угла составляют прямую линию. Такой угол имеет свое название.

Определение.

Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым .

Предлагаем Вашему вниманию графическую иллюстрацию развернутого угла.

Для обозначения угла используют значок угла «». Если стороны угла обозначены малыми латинскими буквами (например, одна сторона угла k , а другая h ), то для обозначения этого угла после значка угла записывают подряд буквы, соответствующие сторонам, причем порядок записи значения не имеет (то есть, или ). Если стороны угла обозначены двумя большими латинскими буквами (к примеру, одна сторона угла OA , а вторая сторона угла OB ), то угол обозначают следующим образом: после значка угла записывают три буквы, участвующие в обозначении сторон угла, причем буква, отвечающая вершине угла, располагается посередине (в нашем случае угол будет обозначен как или ). Если вершина угла не является вершиной еще какого-нибудь угла, то такой угол можно обозначать буквой, соответствующей вершине угла (например, ). Иногда можно видеть, что углы на чертежах отмечают цифрами (1 , 2 и т.д.), обозначают эти углы как и так далее. Для наглядности приведем рисунок, на котором изображены и обозначены углы.

Любой угол разделяет плоскость на две части. При этом если угол не развернутый, то одну часть плоскости называют внутренней областью угла , а другую – внешней областью угла . Следующее изображение разъясняет, какая часть плоскости отвечает внутренней области угла, а какая - внешней.

Любую из двух частей, на которые развернутый угол разделяет плоскость, можно считать внутренней областью развернутого угла.

Определение внутренней области угла приводит нас ко второму определению угла.

Определение.

Угол – это геометрическая фигура, которую составляют два несовпадающих луча с общим началом и соответствующая внутренняя область угла.

Следует отметить, что второе определение угла строже первого, так как содержит больше условий. Однако не следует отметать первое определение угла, также не следует рассматривать первое и второе определения угла по отдельности. Поясним этот момент. Когда речь идет об угле как о геометрической фигуре, то под углом понимается фигура, составленная двумя лучами с общим началом. Если же возникает необходимость провести какие-либо действия с этим углом (например, измерение угла), то под углом уже следует понимать два луча с общим началом и внутренней областью (иначе возникла бы двоякая ситуация из-за наличия как внутренней так и внешней области угла).

Дадим еще определения смежных и вертикальных углов.

Определение.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол.

Из определения следует, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла.

Определение.

Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

На рисунке изображены вертикальные углы.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют четыре пары смежных углов и две пары вертикальных углов.

Сравнение углов.

В этом пункте статьи мы разберемся с определениями равных и неравных углов, а также в случае неравных углов разъясним, какой угол считается большим, а какой меньшим.

Напомним, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Пусть нам даны два угла. Приведем рассуждения, которые помогут нам получить ответ на вопрос: «Равны эти два угла или нет»?

Очевидно, что мы всегда можем совместить вершины двух углов, а также одну сторону первого угла с любой из сторон второго угла. Совместим сторону первого угла с той стороной второго угла, чтобы оставшиеся стороны углов оказались по одну сторону от прямой, на которой лежат совмещенные стороны углов. Тогда, если две другие стороны углов совместятся, то углы называются равными .

Если же две другие стороны углов не совместятся, то углы называются неравными , причем меньшим считается тот угол, который составляет часть другого (большим является тот угол, который полностью содержит другой угол).

Очевидно, что два развернутых угла равны. Также очевидно, что развернутый угол больше любого неразвернутого угла.

Измерение углов.

Измерение углов основывается на сравнении измеряемого угла с углом, взятым в качестве единицы измерения. Процесс измерения углов выглядит так: начиная от одной из сторон измеряемого угла, его внутреннюю область последовательно заполняют единичными углами, плотно укладывая их один к другому. При этом запоминают количество уложенных углов, которое и дает меру измеряемого угла.

Фактически, в качестве единицы измерения углов может быть принят любой угол. Однако существует множество общепринятых единиц измерения углов, относящихся к различным областям науки и техники, они получили специальные названия.

Одной из единиц измерения углов является градус .

Определение.

Один градус – это угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.

Градус обозначают символом «», следовательно, один градус обозначается как .

Таким образом, в развернутом угле мы можем уложить 180 углов в один градус. Это будет выглядеть как половинка круглого пирога, разрезанная на 180 равных кусочков. Очень важно: «кусочки пирога» плотно укладываются один к другому (то есть, стороны углов совмещаются), причем сторона первого угла совмещается с одной стороной развернутого угла, а сторона последнего единичного угла совпадет с другой стороной развернутого угла.

При измерении углов выясняют, сколько раз градус (или другая единица измерения углов) укладывается в измеряемом угле до полного покрытия внутренней области измеряемого угла. Как мы уже убедились, в развернутом угле градус укладывается ровно 180 раз. Ниже приведены примеры углов, в которых угол в один градус укладывается ровно 30 раз (такой угол составляет шестую часть развернутого угла) и ровно 90 раз (половина развернутого угла).

Для измерения углов, меньших одного градуса (или другой единицы измерения углов) и в случаях, когда угол не удается измерить целым числом градусов (взятых единиц измерения), приходится использовать части градуса (части взятых единиц измерения). Определенные части градуса получили специальные названия. Наибольшее распространение получили, так называемые, минуты и секунды.

Определение.

Минута – это одна шестидесятая часть градуса.

Определение.

Секунда – это одна шестидесятая часть минуты.

Иными словами, в минуте содержится шестьдесят секунд, а в градусе – шестьдесят минут (3600 секунд). Для обозначения минут используют символ «», а для обозначения секунд – символ «» (не путайте со знаками производной и второй производной). Тогда при введенных определениях и обозначениях имеем , а угол, в котором укладываются 17 градусов 3 минуты и 59 секунд, можно обозначить как .

Определение.

Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Например, градусная мера развернутого угла равна ста восьмидесяти, а градусная мера угла равна .

Для измерения углов существуют специальные измерительные приборы, наиболее известным из них является транспортир.

Если известно и обозначение угла (к примеру, ) и его градусная мера (пусть 110 ), то используют краткую запись вида и говорят: «Угол АОВ равен ста десяти градусам».

Из определений угла и градусной меры угла следует, что в геометрии мера угла в градусах выражается действительным числом из интервала (0, 180] (в тригонометрии рассматривают углы с произвольной градусной мерой, их называют ). Угол в девяносто градусов имеет специальное название, его называют прямым углом . Угол меньший 90 градусов называется острым углом . Угол больший девяноста градусов называется тупым углом . Итак, мера острого угла в градусах выражается числом из интервала (0, 90) , мера тупого угла – числом из интервала (90, 180) , прямой угол равен девяноста градусам. Приведем иллюстрации острого угла, тупого угла и прямого угла.

Из принципа измерения углов следует, что градусные меры равных углов одинаковы, градусная мера большего угла больше градусной меры меньшего, а градусная мера угла, который составляют несколько углов, равна сумме градусных мер составляющих углов. На рисунке ниже показан угол АОВ , который составляют углы АОС , СОD и DОВ , при этом .

Таким образом, сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам , так как они составляют развернутый угол.

Из этого утверждения следует, что . Действительно, если углы АОВ и СОD – вертикальные, то углы АОВ и ВОС - смежные и углы СОD и ВОС также смежные, поэтому, справедливы равенства и , откуда следует равенство .

Наряду с градусом удобна единица измерения углов, называемая радианом . Радианная мера широко используется в тригонометрии. Дадим определение радиана.

Определение.

Угол в один радиан – это центральный угол , которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса соответствующей окружности.

Дадим графическую иллюстрацию угла в один радиан. На чертеже длина радиуса OA (как и радиуса OB ) равна длине дуги AB , поэтому, по определению угол AOB равен одному радиану.

Для обозначения радианов используют сокращение «рад». Например, запись 5 рад означает 5 радианов. Однако на письме обозначение «рад» часто опускают. К примеру, когда написано, что угол равен пи, то имеется в виду пи рад.

Стоит отдельно отметить, что величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса окружности. Это связано с тем, что фигуры, ограниченные данным углом и дугой окружности с центром в вершине данного угла, подобны между собой.

Измерение углов в радианах можно выполнять так же, как и измерение углов в градусах: выяснить, сколько раз угол в один радиан (и его части) укладываются в данном угле. А можно вычислить длину дуги соответствующего центрального угла, после чего разделить ее на длину радиуса.

Для нужд практики полезно знать, как соотносятся между собой градусная и радианная меры, так как довольно часть приходится осуществлять . В указанной статье установлена связь между градусной и радианной мерой угла, и приведены примеры перевода градусов в радианы и обратно.

Обозначение углов на чертеже.

На чертежах для удобства и наглядности углы можно отмечать дугами, которые принято проводить во внутренней области угла от одной стороны угла до другой. Равные углы отмечают одинаковым количеством дуг, неравные углы – различным количеством дуг. Прямые углы на чертеже обозначают символом вида «», который изображают во внутренней области прямого угла от одной стороны угла до другой.

Если на чертеже приходится отмечать много различных углов (обычно больше трех), то при обозначении углов кроме обычных дуг допустимо использование дуг какого-либо специального вида. К примеру, можно изобразить зубчатые дуги, или нечто подобное.

Следует отметить, что не стоит увлекаться с обозначением углов на чертежах и не загромождать рисунки. Рекомендуем обозначать только те углы, которые необходимы в процессе решения или доказательства.

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.