Главная » Мебель » Отношение объема пирамиды к объему призмы. Объем параллелепипеда, объем призмы, объем пирамиды. Все учащиеся будут знать

Отношение объема пирамиды к объему призмы. Объем параллелепипеда, объем призмы, объем пирамиды. Все учащиеся будут знать

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле

где с - ребра прямоугольного параллелепипеда. Исходя из этой формулы можно получить формулу для объема куба. Объем куба находят по формуле

где а - ребро куба.

Иногда говорят, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров или произведению площади его основания на высоту. Последнее утверждение верно и для любого параллелепипеда.

На рисунке 182 изображен наклонный параллелепипед. Его объем равен где - площадь основания, а - высота наклонного параллелепипеда.

Молено вывести правило нахождения объема любой призмы (в том числе и наклонной).

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту:

В случае прямой призмы (рис. 183) высота ее совпадает с боковым ребром и объем прямой призмы равен произведению площади основания на боковое ребро.

Объем любой пирамиды находится по формуле

где - площадь основания, - высота пирамиды.

На рисунке 184 изображен правильный тетраэдр с ребром а. Его объем равен V.

Пример. В наклонном параллелепипеде основание и боковая грань - прямоугольники, площади которых соответственно равны угол между их плоскостями равен 30°. Одна из боковых граней параллелепипеда имеет площадь Найти объем параллелепипеда.

(2 часа)

По учебникуЛ.С.Атанасян и др.

«Геометрия 10-11» - М.: «Просвещение», 2010г.

МАОУ «МСОШ №20»

Миасского городского округа

Челябинской области

Левина Татьяна Анатольевна

Урок-практикум по геометрии 11 класс

по теме: «Объем призмы, пирамиды и конуса»

(2 часа)

Цели урока: 1. Систематизировать знания, полученные на предыдущих уроках и закрепить умения решать задачи на вычисление объемов.

2. Развить образное мышление и пространственное воображение, показать красоту геометрии и увлечь учащихся геометрическими задачами.

3. Воспитать чувство ответственности, коллективизма, самостоятельность, умение отстаивать свою точку зрения.

План урока: 1. «Разминка».

2. Проверка домашнего задания.

3. Творческое задание «Аукцион».

4. Индивидуальные задания. Работа в группах.

5. Выступления с отчетами.

6. Решение задач по готовым чертежам.

7. Самостоятельная работа.

8. Итоги урока. Домашнее задание.

Ход урока:

Учитель: Мы начинаем урок – практикум. Тема урока (на доске). Цель нашего урока сегодня: систематизировать знания, полученные на предыдущих уроках и закрепить умения решать задачи на вычисление объемов. Развить образное мышление и пространственное воображение, показать красоту геометрических задач. Воспитать чувство ответственности, коллективизма, самостоятельность, умение отстаивать свою точку зрения. В тетрадях – число, тему урока.

Но работать мы сегодня будем особо – каждый ряд в классе – это команда, группа единомышленников, сплоченных единой целью, быть сегодня самой лучшей. Активность групп будет оценена. (1 мин)

1. Мы с вами изучили формулы объемов призмы, пирамиды, цилиндра и конуса. Для того чтобы работать дальше вспомним формулы – «Разминка» . На доске справа находятся части равенства, а слева – оставшиеся части. Ваша задача восстановить формулу, прочитать её, выбрать соответствующую модель и показать на ней основные элементы.

V кон V ус.кон V приз

V ус.пир

V цил

V пир

(Полученные формулы весь урок находятся на открытой доске!) (3 мин)

2. Проверка домашнего задания (по готовым чертежам объяснить решение)

(по времени-? Можно перенести на конец урока)

№704

Дано: конус, h кон =d осн =H

Найти: V кон

Решение: V кон = . По условию R =H /2, h =H .

V кон = ⅓ π (H /2) 2 H =πH 3 /12

Ответ : πH 3 /12

№708

Дано: усеченный конус, R =6м, r =3м, l =5м.

Найти: V ус.кон

Решение: V ус.кон =

Из прямоугольной трапеции ОО 1 А 1 А: Н=4м.

V ус.кон = ==84π м 3

Ответ : 84π м 3 (5 мин)

3. А теперь я предлагаю вам творческое задание «Аукцион» : по готовому чертежу и данным элементам определить какие еще величины можно определить? Активность команд отмечается.

Задача 1 :

Дана правильная четырехугольная пирамида. Боковое ребро 5см,

высота пирамиды 4см. Какие величины можно найти в этой пирамиде?

Задача 2 :

Дан цилиндр. Диаметр цилиндра равен его высоте = 3см,

Какие величины можно найти в этом цилиндре?

(4 мин)

4. А теперь переходим к основному этапу – работа в группах. 2-3 парты сдвигаем и присаживаемся вокруг. Первые парты освобождаем для индивидуальной работы.

Индивидуальные задания получают 3 ученика («слабых»). Им нужно: 1) решить задачу на нахождение объема, 2) выполнить необходимые измерения вычислить объем полученной модели.

1 карточка:

Найти объем цилиндра. (45π см 3 )

Вычислить объем конуса. ( π см 3 )

2 карточка: (15 см 3 )

Вычислить объем цилиндра. ( π см 3 )

3 карточка:

Найти объем конуса. (15π см 3 )

( см 3 )

(После выполнения работы ученики присоединяются к группам!)

Работа в группах (инструкция): Каждая группа получает задачу, которую нужно решить, записать решение в тетради, затем оформить чертеж, условие и краткое решение на доске. После оформления на доске группа готова к отчету. Выступает 1 ученик от группы, объясняет решение своей задачи. Остальные учащиеся записывают решение в тетради, задают вопросы, предлагают свое решение, сомневаются или одобряют решение группы.

Задание №1(сильная группа)

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 5см, 5см и 6см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60º. Найдите объем конуса, вписанного в эту пирамиду.

(Решение: V кон =⅓π R 2 H . Высота конуса = высоте пирамиды. Т.к. боковые грани наклонены под углом 60º к плоскости основания, то вершина пирамиды ( S ) проецируется в центр ( O ) вписанной в треугольник окружности, значит радиус конуса = радиусу вписанной в треугольник окружности. По формуле: r = S / p S тр =1/2·6 ·4 =36см 2 , p =8 см, r =36/8 =1,5 см= OH = R кон . Из треугольника SOH : SH =3 см, SO =4,5см= H кон . Тогда V кон =⅓· π ·(1,5 ) 2 ·4,5= 10,125 π см 3 )

Задание №2(средняя группа)

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13, 12 и 5см. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите объем пирамиды.

(Решение: V пир =⅓S осн ·H . Треугольник АBC в основании прямоугольный, т.к. 13 2 =12 2 +5 2 . S тр =1/2ав=1/2·12·5=30см 2 . Т.к. все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45º, то вершина пирамиды (S ) проецируется в центр (О) описанной около треугольника окружности. По формуле: R =abc /4S =(13·12·5)/(4·30)=6,5см или треугольник прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т.е. R =13/2=6,5см. Из треугольника SAO : R =AO =SO =H пир =6,5см. Тогда V пир =⅓·S осн ·H =⅓·30·6,5=65см 3 )

Задание №3(сильная группа)

В цилиндр вписана призма, основанием которой служит прямоугольный треугольник. В нем катет равен 6см, а прилежащий угол 60º. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью её основания угол в 45º. Найдите объем цилиндра.

(Решение: V цил =πR 2 ·H . Треугольник АBC в основании призмы прямоугольный, то центр описанной окружности(O - центр основания цилиндра) лежит на середине гипотенузы, по условию из треугольника ABC : гипотенуза BC =12см, т.е. R =12/2=6см. Большая боковая грань призмы - эта грань, содержащая гипотенузу прямоугольного треугольника. По условию из треугольника ВВ 1 С: ВВ 1 =H пир =ВС=12см. Тогда V цил =πR 2 ·H =π ·6 2 ·12=432π см 3 )

5. Выступления с отчетами. (Вместе с подготовкой – 32 мин)

6. Решение задач по готовым чертежам.

Задача №1

Дан прямоугольный треугольник с катетами 2см и 5см. Один конус получен вращением этого треугольника вокруг меньшего катета, а другой конус – вращением треугольника вокруг большего катета. Равны ли объемы этих конусов? Если нет, то какой - больше?

(нет ; больше тот, у которого радиус больше, т.е. объем 1 конуса )

Задача №2

Прямоугольная трапеция с основаниями 5см и 8см и большей боковой стороной 5см вращается около меньшего основания. Найдите объем тела вращения.

(тело состоит из цилиндра и вынутого из него конуса,

V тела =V цил – V кон =π4 2 ·8 – ⅓π4 2 ·3=128π – 16π =112 π см 3 )

Задача №3

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 12см и 6см. Апофема боковой грани 5см. Найдите объем усеченной пирамиды.

( S б.осн =12 2 =144см 2 , S м.осн =6 2 =36см 2 , из прямоугольной трапеции: высота пирамиды H =4см, V ус.пир = = =·4·(144+36+)= 336см 3 )

Задача №4

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной 2см и основанием 2,4см. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите объем пирамиды.

(V пир =⅓· S осн · H , S осн =1/2а· h =1/2·2,4·1,6=1,92см 2 . Из условия

Н пир =R опис.окр.Из формулы R =abc /4S =(2·2·2,4)/(4·1,92)=

=1,25см= Н пир. Тогда V пир =⅓·S осн ·H =⅓·1,92·1,25=0,8см 3 )

(13 минут)

7. Самостоятельная работа №8 . (по времени - ? решить 1-2-3 задачи по выбору)

1 вариант

1) Дана правильная треугольная пирамида. Её боковое ребро равное 10см составляет с плоскостью основания угол φ = 30º. Найдите объём пирамиды.

2) Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4см и 6см. Площадь диагонального сечения равна 15см 2 . Найдите объём усеченной пирамиды.

2 вариант

1) Дана правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания равна 3см, плоский угол при вершине α = 60º. Найдите объём пирамиды.

2) Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4√2см и 6√2см. Площадь диагонального сечения равна 90см 2 . Найдите объём усеченной пирамиды.

3) Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого 24дм и 18дм. Каждое боковое ребро равно 25дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объём полученной усеченной пирамиды.

Возможна проверка ответов : 1 вариант – 1) c м 3 , 2)см 3 , 3)1260см 3

2 вариант – 1)см 3 , 2)456см 3 , 3)1260см 3

(25-30 мин)

8. Итоги урока. Домашнее задание.

Итак, мы сегодня повторили все формулы, решали различные задачи, составляли задачи, восстанавливали формулы, работали в группах, проверили свою готовность к предстоящей контрольной работе.

- Оценки за урок : самая активная группа, индивидуальные задания, фронтальная работа с формулами и задачами по готовым чертежам.

Домашнее задание : Повторить все формулы по теме «Объемы».

Решить из учебника задачи: №691, №706, №747. Готовиться к к/р.

Я думаю, что для вас это не покажется трудным, т.к. подобные задачи мы сегодня разобрали. (2 мин)

1 карточка: 1) Дан цилиндр. Радиус цилиндра 3см. Его высота 5см.

Найти объем цилиндра.

2) Модель конуса. Выполнить необходимые измерения.

Вычислить объем конуса.

2 карточка: 1) Дана правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания 3см. Высота пирамиды 5см. Найти объем пирамиды.

2) Модель цилиндра. Выполнить необходимые измерения.

Вычислить объем цилиндра.

___________________________________________________________________________

3 карточка: 1) Дан конус. Радиус конуса 3см. Его высота 5см.

Найти объем конуса.

2) Модель правильной треугольной призмы.

Выполнить необходимые измерения. Вычислить объем призмы.

________________________________________________________________________________________

Задание №1

боковые грани

___________________________________________________________________________

Задание №2

боковые ребра

___________________________________________________________________________

Задание №3

___________________________________________________________________________

Задание №1

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 5см, 5см и 6см. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60º. Найдите объем конуса, вписанного в эту пирамиду.

___________________________________________________________________________

Задание №2

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13см, 12см и 5см. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите объем пирамиды.

___________________________________________________________________________

Задание №3

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МНОГОГРАННИКИ

II ОБЪЕМ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ

Объём пирамиды

90. Лемма. Треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Доказательство наше будет состоять из трёх частей.
В первой части мы докажем равновеликость не самих пирамид, а вспомогательных тел, составленных из ряда треугольных призм, поставленных друг на друга.
Во второй части мы докажем, что объёмы этих вспомогательных тел при увеличении числа составляющих их призм приближаются к объёмам пирамид как угодно близко .
Наконец, в третьей части мы убедимся, что сами пирамиды должны быть равновелики.

I . Вообразим, что пирамиды поставлены основаниями на некоторую плоскость (как изображено на черт. 99), тогда их вершины будут находиться на одной прямой, параллельной плоскости оснований, и высота пирамид может быть изображена одним и тем же отрезком прямой Н.

Разделим эту высоту на какое-нибудь целое число (n ) равных частей (например, на 4, как это указано на чертеже) и через точки деления проведем ряд плоскостей, параллельных плоскости оснований. Плоскости эти, пересекаясь с пирамидами, дают в сечениях ряд треугольников, причем треугольники пирамиды S будут равновелики соответствующим треугольникам пирамиды S 1 (§ 77). Поставим внутри каждой пирамиды ряд таких призм, чтобы верхними основаниями у них были треугольники сечений, боковые рёбра были параллельны ребру SА в одной пирамиде и ребру S 1 A 1 в другой, а высота каждой призмы равнялась бы H / n . Таких призм в каждой пирамиде окажется n -1; они образуют собой некоторое ступенчатое тело, объём которого, очевидно, меньше объёма той пирамиды, в которой призмы построены.

Обозначим объёмы призм пирамиды S по порядку, начиная от вершины, буквами
р 1 , р 2 , р 3 , ... , p n -1 , а объёмы призм пирамиды S 1 - также по порядку от вершины буквами q 1 , q 2 , q 3 , ... , q n -1 ; тогда, принимая во внимание, что у каждой пары соответствующих призм (у р 1 и q 1 , у р 2 и q 2 и т. д.) основания равновелики и высоты равны, мы можем написать ряд равенств:

р 1 = q 1 , р 2 = q 2 , р 3 = q 3 , ..., p n -1 = q n -1

Сложив все равенства почленно, найдём:

р 1 + р 2 + р 3 + ... + p n -1 = q 1 + q 2 + q 3 + ... + q n -1 (1)

Мы доказали, таким образом, что объёмы построенных нами вспомогательных ступенчатых тел равны между собой (при всяком числе п , на которое мы делим высоту Н).

II. Обозначив объёмы пирамид S и S 1 соответственно буквами V и V 1 положим, что

V - (р 1 + р 2 + р 3 + ... + p n -1) = x
и
V 1 - (q 1 + q 2 + q 3 + ... + q n -1) = y

р 1 + р 2 + р 3 + ... + p n -1 = V - х
и
q 1 + q 2 + q 3 + ... + q n -1 = V 1 - y

Тогда равенство (1) мы можем записать так:

V - х = V 1 - y . (2)

Предположим теперь, что число п ранных частей, на которое мы делим высоту Н, неограниченно возрастает; например, предположим, что, вместо того чтобы делить высоту на 4 равные части, мы разделим её на 8 равных частей, потом на 16, на 32 и т. д., и пусть каждый раз мы строим указанным образом ступенчатые тела в обеих пирамидах. Как бы ни возросло число призм, составляющих ступенчатые тела, равенство (1), а следовательно, и равенство (2) остаются в полной силе. При этом объёмы V и V 1 , конечно, не будут изменяться, тогда как величины х и у , показывающие, на сколько объёмы пирамид превосходят объёмы соответствующих ступенчатых тел, будут, очевидно, всё более и более уменьшаться. Докажем, что величины х и у могут сделаться как угодно малы (другими словами, что они стремятся к нулю). Это достаточно доказать для какой-нибудь одной из двух величин х и у , например для х .

С этой целью построим для пирамиды S (черт. 100) ещё другой ряд призм, который составит тоже ступенчатое тело, но по объёму большее пирамиды.

Призмы эти мы построим так же, как строили внутренние призмы, с той только разницей, что треугольники сечений мы теперь примем не за верхние основания призм, а за нижние. Вследствие этого мы получим теперь ряд призм, которые некоторой своей частью будут выступать из пирамид наружу, и потому они образуют новое ступенчатое тело с объёмом, бoльшим, чем объём пирамиды. Таких призм будет теперь не п - 1, как внутренних призм, а п . Обозначим их объёмы по порядку, начиная от вершины, буквами: р" 1 , р" 2 , р" 3 , ... , p" n -1 , p" n . Рассматривая чертёж, мы легко заметим, что

р" 1 = р 1 , р" 2 = р 2 , р" 3 = р 3 , ... , p" n -1 = p n -1

( р" 1 + р" 2 + р" 3 + ... + p" n -1 + p" n ) - (р 1 + р 2 + р 3 + ... + p n -1)= p" n

р" 1 + р" 2 + р" 3 + ... + p" n -1 + p" n > V,
р 1 + р 2 + р 3 + ... + p n -1 < V,

V- (р 1 + р 2 + р 3 + ... + p n -1) < p" n

x < p" n

Ho p" n = площади ABC H / n (если AВС есть основание); поэтому

x < площади ABC H / n .

При неограниченном возрастании числа n величина H / n , очевидно, может быть сделана как угодно малой (стремится к нулю). Поэтому и произведение: площадь ABC H / n , в котором множимое не изменяется, а множитель стремится к нулю, тоже стремится к нулю, и так как положительная величина х меньше этого произведения, то она и подавно стремится к нулю.

То же самое рассуждение можно было бы повторить и о величине у .

Мы доказали, таким образом, что при неограниченном увеличении числа призм объёмы вспомогательных ступенчатых тел приближаются к объёмам соответствующих пирамид как угодно близко.

III. Заметив это, возьмём написанное выше равенство (2) и придадим ему такой вид:

V - V 1 = x - y . (3)

Докажем теперь, что это равенство возможно только тогда, когда V= V 1 и х = у . Действительно, разность V - V 1 как всякая разность постоянных величин, должна равняться постоянной величине, разность же x - y , как всякая разность между переменными величинами, стремящимися к нулю, должна или равняться некоторой переменной величине (стремящейся к нулю), или равняться нулю. Так как постоянная величина не может равняться переменной, то из двух возможностей надо оставить только одну: разность х - у = 0; но тогда V= V 1 и х = у .

Мы доказали, таким образом, что рассматриваемые пирамиды равновелики.

Необходимость столь сложного доказательства этой теоремы объясняется тем фактом, что два равновеликих тела нельзя так легко преобразовывать одно в другое, как это можно было делать с равновеликими многоугольниками на плоскости. Именно, если даны два равновеликих многогранника, то в общем случае оказывается невозможным разбить один из них на такие части (даже при помощи дополнений), из которых можно было бы составить другой. В частности, это невозможно для двух произвольных треугольных пирамид с равновеликими основаниями и равными высотами.

Доказанная лемма очень просто выводится также из принципа Кавальери.

Действительно, вообразим, что две пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами поставлены основаниями на какую-нибудь плоскость Р (черт. 101), тогда всякая секущая плоскость Q, параллельная Р, даёт в сечении с пирамидами треугольники равновеликие (§ 77); следовательно, пирамиды эти удовлетворяют условиям принципа Кавальери, и потому объёмы их должны быть одинаковы. Но это доказательство нельзя считать строгим, так как принцип Кавальери нами не был доказан.

91. Теорема. Объём пирамиды равен произведению площади её oснования на треть её высоты.

Сначала докажем эту теорему для пирамиды треугольной, а затем и многоугольной.

1) На основании треугольной пирамиды SABC (черт. 102) построим такую призму SABCDE, у которой высота равна высоте пирамиды, а одно боковое ребро совпадает с ребром SB. Докажем, что объём пирамиды составляет третью часть объёма этой призмы. Отделим от призмы данную пирамиду. Тогда останется четырёхугольная пирамидаSADEC (которая для ясности изображена отдельно). Проведём в ней секущую плоскость через вершину S и диагональ основания DC. Получившиеся от этого две треугольные пирамиды имеют общую вершину S и равные основания DEC и DAC, лежащие в одной плоскости; значит, согласно доказанной выше лемме пирамиды эти равновелики. Сравним одну из них, именно SDEC, с данной пирамидой. За основание пирамиды SDEC можно взять /\ SDE; тогда вершина её будет в точке С и высота равна высоте данной пирамиды. Так как /\ SDE = /\ АВС, то согласно той же лемме пирамиды SDEC и SABC равновелики.

Призма ABCDES нами разбита на три равновеликие пирамиды: SABC, SDEC и SDAC. (Такому разбиению, очевидно, можно подвергнуть всякую треугольную призму. Это является одним из важных свойств треугольной призмы.) Таким образом, сумма объёмов трёх пирамид, равновеликих данной, составляет объём призмы; следовательно,

где Н есть высота пирамиды.

2) Через какую-нибудь вершину Е (черт. 103) основания многоугольной пирамиды SABCDE проведём диагонали ЕВ и ЕС.

Затем через ребро SE и каждую из этих диагоналей проведём секущие плоскости. Тогда многоугольная пирамида разобьётся на несколько треугольных, имеющих высоту, общую с данной пирамидой. Обозначив площади оснований треугольных пирамид через b 1 , b 2 , b 3 и высоту через Н, будем иметь:

объём SABCDE = 1 / 3 b 1 H + 1 / 3 b 2 H + 1 / 3 b 3 H = (b 1 + b 2 + b 3) H / 3 =
= (площади ABCDE) H / 3 .

Следствие. Если V, В и Н означают числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту какой угодно пирамиды, то

92. Теорема. Объём усечённой пирамиды равен сумме объёмов трёх пирамид, имеющих высоту, одинаковую с высотой усечённой пирамиды, а основаниями: одна - нижнее основание данной пирамиды, другая - верхнее основание, а площадь основания третьей пирамиды равна среднему геометрическому площадей верхнего и нижнего оснований.

Пусть площади оснований усечённой пирамиды (черт. 104) будут В и b , высота Н и объём V (усечённая пирамида может быть треугольная или многоугольная - всё равно).

Требуется доказать, что

V = 1 / 3 BH + 1 / 3 b H + 1 / 3 H √Bb = 1 / 3 H (B + b + √Bb ),

где √Bb есть среднее геометрическое между B и b .

Для доказательства на меньшем основании поместим малую пирамиду, дополняющую данную усеченную пирамиду до полной. Тогда объём усечённой пирамиды V мы можем рассматривать как разность двух объёмов - полной пирамиды и верхней дополнительной.

Обозначив, высоту дополнительной пирамиды буквой х , мы найдём, что

V = 1 / 3 B (Н + х ) - 1 / 3 bх = 1 / 3 (BH+ Bх- bх ) = 1 / 3 [ВH+(В - b )х ].

Для нахождения высоты х воспользуемся теоремой § 74, согласно которой мы можем написать уравнение: