Возведение одночлена в степень. Урок "возведение одночлена в степень". Рассмотрим задачу на упрощение
Цели урока
Обучающие: организовать деятельность учащихся на: восприятие, осмысление и первичное закрепление знаний, умений, а так же опыта самостоятельной деятельности по теме “Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень”
Воспитательная: воспитывать умение преодолевать трудности, воспитывать сознательную дисциплину.
Развивающая: развивать умение выделять главное, формировать овладение навыками самооценки, формировать познавательный интерес к математике.
Ход урока
1. Организационный момент (Задача этапа: подготовка учащихся к работе на занятии. Полная готовность класса и оборудования, быстрое включение учащихся в деловой ритм.)
2. Актуализация знаний учащихся
Учитель: Ребята, вы знаете кто такие следопыты? А вы бы хотели быть следопытами? Так сегодня у будет возможность доказать всем, что вы самый лучший следопыт. Что на вас можно смело положиться, что вы умеете преодолевать все трудности, возникшие у вас на пути. Хотите это сделать? Тогда вперёд к новым знаниям!!!
Итак, вперед зарабатывать звёздочки.
Проверим домашнее задание.
Для домашнего решения ученики получили три номера по два примера в каждом.
(на доске записаны ответы отдельно к каждому номеру, ученики работая в парах, сверяются, если пример решен верно, то 1 бонус заносят себе в карту достижений, если ошибка, то о бонусов, итак за каждый пример.)
Учитель: переходим ко второму уровню
Учитель предлагает ученикам перечислить правила, которые они применяли при выполнении домашнего задания. (за каждое правило дополнительный бонус)
Разгадайте кроссворд
Вопросы к кроссворду:
По вертикали:
2. Числовой множитель в одночлене стандартного вида.
3. Чему равен коэффициент одночлена а 5 вс 5 .
4. Чему равна степень одночлена 85?
5. Чему равна степень одночлена 10 2 ху 5 z 2 ?
6. Чему равно (-2) 2 ?
7. Какое число получается при возведении отрицательного числа в нечётную степень?
8. Сумма показателей всех переменных одночлена.
9. Вид одночлена, в котором на первом месте числовой множитель, а за ним степени различных переменных.
Одночлен - произведение, состоящее из числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, взятых каждая с тем или иным показателем степени.
3. Изучение нового материала
Учитель: Еще древние мудрецы считали, что “Величие человека в его способности мыслить”. Нам сегодня предстоит на основании имеющихся у нас знаний получить новое знание.
Приведите пример одночлена, у которого 2 буквенных множителя
Приводят пример, например (1 бонус) я записываю свой
(-5х 25 у 4 ) запишем их следующим образом
(-5х 25 у 4 )
(произведение одночленов)
Учитель: Давайте попробуем вывести правило умножения одночленов?
(ученики на основе имеющихся знаний формулируют правило умножения одночленов) 3 звёздочки
Учитель: Какой закон умножения применяется при умножении одночленов? (переместительный закон умножения) 2 звёздочки
Учитель: Какие правила еще можно выделить в правиле умножения многочленов?
Возможные ответы учащихся:
Правило умножения степеней с одинаковыми основаниями 2 звёздочки
Учитель: В этом примере мы выполнили …(умножение одночленов)
Таким образом, мы сделали первое открытие … (как умножаются одночлены)
Выводится слайд с правилом умножения одночленов. Ученикам предлагается еще два примера на применение правила умножения одночленов к доске для решения вызываются ученики, работающие на воспроизводящем уровне.
Учитель: Составим новый пример
Приведите пример одночлена, у которого 3 буквенных множителя
Например
Записываю
Учитель: Что я хочу сделать с многочленом?
Ответ учащихся (Возвести во вторую степень)
Учитель: Как это можно сделать?
Ответ учащихся (записать как произведение одночленов и выполнить умножение)
Ответ учащихся (выполнить возведение в степень, пользуясь правилом возведения в степень произведения)
Учитель: Как удобнее возводить одночлен в степень?
Ответ учащихся 2 способом.
Учитель: Почему? Обоснуйте.
(ответ учащихся)
Учитель: Значит, мы сделали второе открытие …(вывели правило возведения одночлена в степень) 2 звёздочки
Учитель: Запишем тему урока “Возведение одночлена в степень”
Учитель: На уроке мы сегодня будем работать с выражениями, которые называются (одночлены)
Учитель: Сегодня мы будем возводить одночлены в степень
Правила этих действий мы открыли, теперь будем учиться применять их при решении примеров.
Итак, уровень, 5
Впрочем, сделаем небольшую остановку, дадим себе немного отдохнуть, сейчас я буду читать вам задания, а вы будите в воздухе чертить ответ, взяв в руки ручки и внимательно следя за ее кончиком
Если вдруг поставить в ряд букву с 7 раз подряд, и чтоб долго не писать можно вот как записать (дети чертят в воздухе ручкой с 7)
а в квадрате в в седьмой в третью степень возводили и конечно получили а в шестой в 21 (дети чертят в воздухе ответ)
после физкультминутки
5. Закрепление знаний
Решим №477 (а,б,г), 483(а,б,в)
Молодцы мы справились, но усложним задачу
6. Самостоятельная работа
1 вариант | 2вариант | 3 вариант |
(1 уровень) | (2 уровень) | (3 уровень) |
1. 2,5ху * 4ху | 1. –ав * (-6а 2 в 5 с 2) | 1. -100х 3 * 0,1х |
2. (3а 2) 4 | 2. -10а * 0,1а 3 | 2. (-2 2 ху) 2 |
3. 4х * 7у | 3. 10 2 а 1 * а 4 | 3. –а 0 (-а 2) 2 |
4. 2а 2 вс * 0,5ав 2 с 3 | 4. (2 2 ху) 2 | 4. (-10а) 2 * а 3 |
5. (4ху) 2 | 5. 3а 2 * 3а 2 | 5. -1,4х * (-20у) |
6. -а 2 * а 2 | 6. 0,5а 2 в * 2в 2 с* ас 3 | 6. -0,5а 2 в * 2в 2 с *(- ас 3) |
Проверка самостоятельной работы
7. Подведение итогов занятий. (Задача этапа: дать анализ и оценку успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы. Адекватность самооценки учащегося оценке учителя. Получение учащимися информации о реальных результатах учения.)
- Какая была сегодня тема урока?
- Какие открытия мы сделали?
- Сформулируем открытые правила? Ученики дают ответы. Каждый верный ответ – 1 звёздочка
- Посчитайте звёздочки
8. Домашнее задание
Обязательное №488(а-в), №484(а-в), 480(а,г)
Дополнительное 1) №493(з)
2) придумай сказку или стих “жил, да был одночлен”.
Это позволяет ввести еще одно действие – возведение одночлена в степень . Ниже мы получим правило возведения одночлена в степень с натуральным показателем, и рассмотрим решения примеров, чтобы разобрать все нюансы.
Навигация по странице.
Правило возведения одночлена в степень
Проследим все шаги, которые необходимо предпринять, чтобы возвести одночлен в степень. Это проще всего сделать, рассмотрев конкретный пример.
Возьмем одночлен стандартного вида , например, 2·x·y 5 , и возведем его, к примеру, в третью степень. Поставленной задаче отвечает выражение (2·x·y 5) 3 , представляющее собой произведение трех множителей 2 , x и y 5 в третьей степени. Можно провести тождественное преобразование записанного выражения, причем сразу напрашивается применение . Сначала используем свойство степени произведения: (2·x·y 5) 3 =2 3 ·x 3 ·(y 5) 3 . Теперь, обратившись к свойству степени в степени, (y 5) 3 заменяем на y 15 , и получаем 2 3 ·x 3 ·(y 5) 3 =2 3 ·x 3 ·y 15 . Еще можно выполнить числа 2 . Так как 2 3 =8 , то в итоге приходим к выражению 8·x 3 ·y 15 . Очевидно, оно представляет собой одночлен стандартного вида.
Из приведенных рассуждений, во-первых, отчетливо видны все действия, из которых состоит процесс возведения одночлена в степень. Соберем их вместе в виде правила возведения одночлена в степень .
Чтобы возвести одночлен в степень, нужно
- записать соответствующее выражение;
- применить свойство возведения произведения в степень;
- применить свойство возведения степени в степень и вычислить степени чисел.
Во-вторых, из разобранного выше примера видно, что результатом возведения одночлена в степень является новый одночлен . Здесь отметим, что если исходный одночлен записан в стандартном виде, то после его возведения в степень получится одночлен стандартного вида. Если же исходный одночлен дан в виде, отличном от стандартного, то целесообразно этот одночлен привести к стандартному виду перед возведением в степень. Если этого не сделать, то к стандартному виду придется приводить одночлен, полученный после применения записанного выше правила. Мы еще вернемся к этому моменту в следующем пункте.
Примеры
Пришло время решить несколько примеров возведения одночленов в степень. Это поможет отработать применение правила из предыдущего пункта. Начнем с простеньких примеров.
Пример.
Возведите одночлены в указанные степени: (x·y) 10 , и (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 .
Решение.
Для возведения в степень первого одночлена применяем правило возведения произведения в степень: (x·y) 10 =x 10 ·y 10 . Больше делать ничего не нужно, так как в полученном выражении нет ни степеней в степени, ни степеней чисел.
Переходим дальше. Сначала выполняем такой переход: . В последнем выражении осталось степень заменить ее значением. Так как , то .
Кратко возведение одночлена в степень для этого случая выглядит так: .
Переходим к последнему заданию. Сначала выполняем возведение произведения в степень: (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 =(−0,3) 3 ·(a 2) 3 ·(b 3) 3 ·(c 4) 3 . Осталось воспользоваться свойством степени в степени, а также вычислить (−0,3) 3 . Так как (a 2) 3 =a 2·3 =a 6 , (b 3) 3 =b 3·3 =b 9 , (c 4) 3 =c 4·3 =c 12 и (−0,3) 3 =(−0,3)·(−0,3)·(−0,3)=−0,027 , то в итоге имеем −0,027·a 6 ·b 9 ·c 12 .
Вот краткое решение: (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 = (−0,3) 3 ·(a 2) 3 ·(b 3) 3 ·(c 4) 3 = −0,027·a 6 ·b 9 ·c 12 .
Ответ:
(x·y) 10 =x 10 ·y 10 , и (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3 =−0,027·a 6 ·b 9 ·c 12 .
В следующем примере убедимся, что в результате возведения в степень одночлена в виде, отличном от стандартного, и соответствующего ему одночлена в стандартном виде, получаются тождественно равные одночлены.
Пример.
Выполните возведение одночлена 2·x 3 ·5·x в квадрат.
Решение.
Исходный одночлен записан не в стандартном виде. Возведем его в квадрат: (2·x 3 ·5·x) 2 =2 2 ·(x 3) 2 ·5 2 ·x 2 =4·x 6 ·25·x 2 . Если полученный одночлен представить в стандартном виде, то он примет вид 100·x 8 .
А теперь сначала исходный многочлен запишем в стандартном виде 2·x 3 ·5·x=10·x 4 , а теперь выполним возведение полученного одночлена во вторую степень: (10·x 4) 2 =10 2 ·(x 4) 2 =100·x 8 .
Очевидно, мы получили один и тот же результат. Таким образом, можно возводить в степень одночлены в виде, отличном от стандартного, либо сначала приводить их к стандартному виду, после чего возводить в степень, - результат будет один.
Ответ:
(2·x 3 ·5·x) 2 =100·x 8 .
Наконец, стоит обратить внимание на возведение в степень одночленов, которые не содержат числовых множителей, но перед ними стоит знак минус, например, −x , −a 4 ·b 7 ·c 2 и т.п. В этих случаях коэффициент одночлена равен −1 , и его не помешает записать в явном виде перед выполнением возведения в степень. Это поможет избежать ошибок.
В данном уроке мы рассмотрим операции умножения и возведения одночленов в натуральную степень, выясним, с какими одночленами можно выполнять эти действия. Вспомним правило возведения степени в степень. Научимся решать некоторые типовые задачи, а именно на упрощение выражений, на возведение в степень и обратную к этому задачу.
Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами
Урок: Умножение одночленов, возведение в натуральную степень
Из предыдущих уроков мы запомнили, что можно складывать и вычитать одночлены, но только подобные, а вот умножать и возводить в натуральную степень можно любые одночлены. Выясним, почему это возможно, рассмотрев примеры.
Пример 1: . Данный одночлен приведен к стандартному виду. Что же значит умножить его на другой одночлен?
;
И умножить все это на третий одночлен:
;
В результате мы получили одночлен - произведение чисел и степеней, в не стандартном виде. Отсюда следует, что умножать можно любые одночлены.
Приведем полученный одночлен к стандартному виду:
Поскольку возведение в степень это, по сути, умножение одночлена на себя какое-то количество раз, а умножать можно любые одночлены, мы имеем полное право возводить одночлены, причем снова любые, в натуральную степень.
Разберем примеры.
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Комментарии к примерам 1-3: при умножении двух и более одночленов результатом является новый одночлен не стандартного вида, поэтому, чтобы выполнить операцию умножения, нужно только привести этот новый одночлен к стандартному виду.
Рассмотрим примеры на возведение одночлена в степень.
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Пример 4:
Комментарии к примерам 1-4: при возведении одночлена в степень необходимо сначала возвести в степень его коэффициент, а потом буквенную часть. Для этого следует вспомнить правило возведения степени в степень, а именно, что показатели степеней перемножаются. Кроме того, при решении примеров 3 и 4 следует вспомнить, что «-1» в любой четной степени даст «1», а в нечетной - «-1».
Рассмотрим типовые задачи:
Пример 1: и
Поскольку «2» - это натуральная степень, а мы можем возводить одночлен в любую натуральную степень, выполним первое действие:
Для решения второго действия нужно вспомнить, что любое число в нулевой степени это единица, при условии, что это число не ноль, так как не имеет смысла, то есть, мы имеем право написать:
Пример 2: вместо знака «*» поставить такой одночлен, чтобы равенство выполнялось:
Коэффициент в левой части пока равен трем, а в правой - девяти, значит, в левой части не хватает тройки; переменная b в левой части стоит во второй степени, а в правой в третьей, значит левую часть нужно умножить на b в первой степени:
Рассмотрим следующую типовую задачу. Представить данный одночлен в виде квадрата некоторого одночлена:
Пример 1: ;
Нужно определить, какой одночлен возвести в квадрат, чтобы получить заданный.
Чтобы получить 81, нужно 9 возвести в квадрат, то есть коэффициент искомого одночлена 9.
Чтобы получить , нужно возвести в квадрат, итак, мы имеем:
;
Но возникает вопрос, однозначен ли данный нами ответ? Можно ли подобрать другой такой одночлен, который при возведении в квадрат даст заданный одночлен?
Для ответа на этот вопрос вспомним, что , то есть существует еще один одночлен, которые при возведении в квадрат даст нам заданный - это .
Пример 2:
Данный пример решается аналогично предыдущему.
Рассмотрим задачу на упрощение
Пример 1:
Вывод: в данном уроке мы рассмотрели операции умножения одночленов и возведения их в натуральную степень, научились решать некоторые типовые задачи.
§ 1 Умножение одночленов. Возведение в степень
В этом уроке мы научимся умножать одночлены, а также познакомимся с правилами возведения одночленов в натуральную степень.
Начнём с примера. Выполнить умножение одночлена 2аb4 на одночлен -3а2b. Посмотрите, как выглядит это задание, записанное на математическом языке:
2аb4 ∙ (-3а2b)
На самом деле перед нами записан новый одночлен - одночлен нестандартного вида. И нам остается только привести его к стандартному виду. Вспомним:
Одночлен стандартного вида - это одночлен, состоящий из произведения только одного числового множителя, стоящего на первом месте, и буквенных множителей, каждый из которых встречается только один раз.
В нашем примере нам надо будет перемножить числовые множители 2 и -3, затем выполнить умножение степеней с одинаковыми основаниями а и b. Получим:
2аb4∙ (-3а2b) = 2 ∙ (-3) ∙ а ∙ а2 ∙ b4 ∙ b = -6а3b5
Как видите, выполнение умножения одночленов не требует каких-либо дополнительных правил. Можно выполнять и обратную операцию, т.е. представлять одночлен в виде произведения двух или нескольких одночленов. Например, представить одночлен 12а3b6 в виде произведения двух одночленов. Данная задача может иметь несколько вариантов решения:
12а3b6 = (2аb) ∙ (6а2b5) или 12а3b6 = (4а2b3) ∙ (3аb3) или 12а3b6 = (-а3вb4) ∙ (-12b2) и т.д.
Теперь перейдём к возведению одночлена в натуральную степень. И опять начнём с примера. Возвести в квадрат одночлен 4х3у5. Запишем эту ситуацию на математическом языке, получим запись:
Видим возведение в степень произведения, а такое правило нам уже знакомо.
Чтобы возвести в степень произведение, надо возвести в эту степень каждый множитель. Кроме того, чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить прежним, а показатели перемножить.
(4х3у5)2 = 42 ∙ (х3)2 ∙ (у5)2 = 16 х6у10
Здесь также можно выполнять обратные действия, т.е. представлять одночлен в виде степени какого-либо другого одночлена.
§ 2 Примеры по теме урока
Пример 1. Представить одночлен 27а3b6 в виде куба другого одночлена.
Заметим, что 27 = 33; а3 есть куб числа а; b6 можно представить как (b2)3.
27а3b6 = (3аb2)3
Пример 2. Представить одночлен 27а3b6 в виде квадрата какого-либо одночлена.ъ
Заметим, что множитель b6 можно представить в виде (b3)2. А вот число 27 не является квадратом какого-либо числа, да и множитель а3 нельзя представить в виде квадрата какой-либо натуральной степени. Всё это говорит о том, что перед нами задача, не имеющая решений. В таких случаях математики употребляют термин некорректная задача. К некорректным относятся различные виды заведомо невыполнимых задач. Например, некорректным является задание сложить одночлены 2а и 3b, т.к. это неподобные одночлены, их складывать нельзя. Или такое задание:
На 0 делить нельзя, поэтому данное задание некорректно.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
- Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
- Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010
Возведение любого натурального одночлена в степень сопровождается применением правил стандартного умножения. Рассмотрим такой пример:
Для того, что бы найти значение этого выражения, произведем почленное умножение:
(ах) 4 = ах*ах*ах*ах
Как мы помним, любые переменные в одном одночлене являются, по факту, перемноженными. Иными словами, одночлен ах представляет собой скрытое произведение а на х. Поэтому, можно с уверенностью сказать, что:
ах*ах*ах*ах = ахахахах
С другой стороны, произведение любого количества любых одночленов дает тоже одночлен. Собственно говоря, разницы между произведением одночленов и общим мономом никакой нет. Скрытый или явный знак умножения роли особой не играет и никак не отображается на общем результате. Перегруппировав, получаем:
ахахахах = аааахххх = а 4 х 4
Сравниваем это выражение с начальным вариантом:
(ах) 4 = а 4 х 4
Возведение в степень n одночлена, состоящего из двух переменных х и у приводит к новому одночлену, в котором и х, и у, имеют степень n:
(ху) n = (х) n (у) n
Это правило прекрасно работает для любого количества переменных в одночлене. Например, для монома асху возведение в куб будет выглядеть так:
(асху) 3 = (а) 3 (с) 3 (х) 3 (у) 3
Таким образом, что бы возвести в степень одночлен, состоящий из многих элементов, необходимо каждый из этих элементов возвести в данную степень, а результаты перемножить, так что бы получился одночлен. Основание результата будет подобным начальному моному. Не стоит забывать, что свободный член тоже является элементом одночлена и подлежит возведению в степень.
Найдем значение выражения вида:
Как мы видим, заданный одночлен состоит из трех элементов - множителей: а, х, и (-3). Каждый из них возведем в третью степень, а полученный результат перемножим, скрыв знаки умножения. При этом можно сразу рассчитать значение куба (-3):
(-3ах) 3 = -27а 3 х 3
(а4) 2 = (а4)*(а4) = (аааа)(аааа) = (а) 8
Мы получили одночлен, который можно сократить до основания и показателя новой степени. При возведении любого основания х, имеющего степень а, в степень у, получаем выражение вида (х)ау. Иначе говоря, в подобных случаях степени перемножаются друг на друга.
Правила деления степенных выражений имеют общие черты с правилами произведения. Действительно, произведем почленные вычисления и преобразование полученного одночлена:
(х/у) 3 = (х/у)*(х/у)*(х/у) = х 3 /у 3
При возведении в куб дроби, мы перемножили эту дробь три раза. По закону умножения дробей мы получили куб делимого и куб делителя в новой дроби. Так же, как и в случае с умножением, степень просто переносится на каждый элемент одночлена, раскрывая скобки.
Следует понимать, что операция внесения степени в скобки в случаях умножения и деления внутри одночлена всегда представляет собой процесс умножения внешней степени на каждую степень внутренних элементов. Если таковая визуально не задана - значит, она равна единице, а умножение на единицу дает начальный результат. Кроме того, следует отличать между собой выражения вида аху 4 , а(ху) 4 , (аху) 4 , потому что степень над скобками относится исключительно к внутреннему содержимому, никак не влияя на остальные элементы одночлена:
аху 4 = аху 4
а(ху) 4 = ах 4 у 4
(аху) 4 = а 4 х 4 у 4
Решим такое практическое упражнение. Найдем значение выражения:
Пользуемся вышеописанными свойствами, возводим одночлен в шестую степень:
(-3х 3 у 2) 6 = (-3) 6 *(х 3) 6 *(у 2) 6 = 729х18у12
Все свойства умножения и деления степенных выражений работают и с основаниями, имеющими нулевую степень, при условии, что эти основания не равны нулю.