Главная » Дизайн интерьера » Деление комплексных чисел в показательной форме онлайн. Деление комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Деление комплексных чисел в показательной форме онлайн. Деление комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

С общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгранного угла. Стороны углов называются рёбрами, плоские углы при вершине трёхгранного угла называются его гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла образует двугранный угол (ограниченный третьей гранью, не входящей в пару; при потребности естественным образом снимается это ограничение, в результате чего получаются необходимые полуплоскости, образующие весь двугранный угол без ограничения). Если поместить вершину трёхгранного угла в центр сферы, на её поверхности образуется ограниченный им сферический треугольник , стороны которого равны плоским углам трёхгранного угла, а углы - его двугранным углам.

Неравенство треугольника для трёхгранного угла

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Сумма плоских углов трёхгранного угла

Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов.

Доказательство

Пусть OABC – данный трёхгранный угол (см. Рис. 1). Рассмотрим трёхгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABO, ACO и углом BAC. Напишем неравенство:

$\angle BAC < \angle BAO + \angle CAO$

Аналогично, и для оставшихся трёхгранных углов с вершинами B и С:

$\angle ABC < \angle ABO + \angle CBO$ $\angle ACB < \angle ACO + \angle BCO$

Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC равна 180°, получаем

$180 < \angle BAO + \angle CAO + \angle ABO + \angle CBO + \angle BCO + \angle ACO = 180 - \angle AOB + 180 - \angle BOC + 180 - \angle AOC$

Следовательно: $\angle AOB + \angle BOC + \angle AOC < 360$

Теорема косинусов для трёхгранного угла

Пусть дан трёхгранный угол (см. Рис. 2), α, β, γ - его плоские углы, A, B, C - двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β.

Первая теорема косинусов для трёхгранного угла: $\cos {\alpha} = \cos {\beta} \cos {\gamma} + \sin {\beta} \sin {\gamma} \cos {A}$

Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла: $\cos {A} = - \cos {B} \cos {C} + \sin {B} \sin {C} \cos {\alpha} ,$

Доказательство Второй теоремы косинусов для трёхгранного угла

Пусть OABC – данный трёхгранный угол. Опустим перпендикуляры из внутренней точки трёхгранного угла на его грани и получим новый трёхгранный угол полярный (двойственный данному). Плоские углы одного трёхгранного угла дополняют двугранные углы другого и двугранные углы одного угла дополняют плоские другого до 180 градусов. Т. е. плоские углы полярного угла соответственно равны: 180 - А; 180 - В; 180 - С, а двугранные - 180 - α; 180 - β ; 180 - γ

Напишем первую теорему косинусов для него

$\cos ({\pi -A}) = \cos ({\pi - \alpha}) \sin ({\pi - B}) \sin ({\pi - C}) +$ $+\cos ({\pi - B}) \cos ({\pi - C)}$

и после упрощений получаем:

$\cos {A} = \cos {\alpha} \sin {B} \sin {C} - \cos {B} \cos {C}$

Теорема синусов для трёхгранного угла

${\sin{\alpha} \over \sin A} = {\sin \beta \over \sin B} = { \sin \gamma \over \sin C}$ , где α, β, γ - плоские углы трёхгранного угла; A, B, C - противолежащие им двугранные углы (см. Рис. 2).

См. также

Напишите отзыв о статье "Трёхгранный угол"

Отрывок, характеризующий Трёхгранный угол

– Посадите. Садитесь, милый, садитесь. Подстели шинель, Антонов.
Юнкер был Ростов. Он держал одною рукой другую, был бледен, и нижняя челюсть тряслась от лихорадочной дрожи. Его посадили на Матвевну, на то самое орудие, с которого сложили мертвого офицера. На подложенной шинели была кровь, в которой запачкались рейтузы и руки Ростова.
– Что, вы ранены, голубчик? – сказал Тушин, подходя к орудию, на котором сидел Ростов.
– Нет, контужен.
– Отчего же кровь то на станине? – спросил Тушин.
– Это офицер, ваше благородие, окровянил, – отвечал солдат артиллерист, обтирая кровь рукавом шинели и как будто извиняясь за нечистоту, в которой находилось орудие.
Насилу, с помощью пехоты, вывезли орудия в гору, и достигши деревни Гунтерсдорф, остановились. Стало уже так темно, что в десяти шагах нельзя было различить мундиров солдат, и перестрелка стала стихать. Вдруг близко с правой стороны послышались опять крики и пальба. От выстрелов уже блестело в темноте. Это была последняя атака французов, на которую отвечали солдаты, засевшие в дома деревни. Опять всё бросилось из деревни, но орудия Тушина не могли двинуться, и артиллеристы, Тушин и юнкер, молча переглядывались, ожидая своей участи. Перестрелка стала стихать, и из боковой улицы высыпали оживленные говором солдаты.
– Цел, Петров? – спрашивал один.
– Задали, брат, жару. Теперь не сунутся, – говорил другой.
– Ничего не видать. Как они в своих то зажарили! Не видать; темь, братцы. Нет ли напиться?
Французы последний раз были отбиты. И опять, в совершенном мраке, орудия Тушина, как рамой окруженные гудевшею пехотой, двинулись куда то вперед.
В темноте как будто текла невидимая, мрачная река, всё в одном направлении, гудя шопотом, говором и звуками копыт и колес. В общем гуле из за всех других звуков яснее всех были стоны и голоса раненых во мраке ночи. Их стоны, казалось, наполняли собой весь этот мрак, окружавший войска. Их стоны и мрак этой ночи – это было одно и то же. Через несколько времени в движущейся толпе произошло волнение. Кто то проехал со свитой на белой лошади и что то сказал, проезжая. Что сказал? Куда теперь? Стоять, что ль? Благодарил, что ли? – послышались жадные расспросы со всех сторон, и вся движущаяся масса стала напирать сама на себя (видно, передние остановились), и пронесся слух, что велено остановиться. Все остановились, как шли, на середине грязной дороги.
Засветились огни, и слышнее стал говор. Капитан Тушин, распорядившись по роте, послал одного из солдат отыскивать перевязочный пункт или лекаря для юнкера и сел у огня, разложенного на дороге солдатами. Ростов перетащился тоже к огню. Лихорадочная дрожь от боли, холода и сырости трясла всё его тело. Сон непреодолимо клонил его, но он не мог заснуть от мучительной боли в нывшей и не находившей положения руке. Он то закрывал глаза, то взглядывал на огонь, казавшийся ему горячо красным, то на сутуловатую слабую фигуру Тушина, по турецки сидевшего подле него. Большие добрые и умные глаза Тушина с сочувствием и состраданием устремлялись на него. Он видел, что Тушин всею душой хотел и ничем не мог помочь ему.

Аннотация

Цель данного пособия - помочь лицеистам в изучении важной темы курса стереометрии, которая невнятно (или никак не) изложена в стандартных учебниках геометрии. Разобраны определения, основные теоремы и, главное, - методы решения задач, в которых необходимы и естественно используются свойства трехгранных углов.
Трехгранный угол
Определение . Даны плоский многоугольник F и точка S, не принадлежащая плоскости этого многоугольника. Фигура, являющаяся объединением всех лучей с общим началом S и пересекающих F , называется многогранным углом (n -гранным) углом .

S – вершина , лучи SA, SB, SC,… (точки A, B, C,… - вершины многоугольника F ) – ребра , плоскости ASB, BSC,… - грани , углы ASB, BSC,… - плоские углы многогранного угла.

Точка P называется внутренней точкой многогранного угла, если луч SP пересекает внутренность многоугольника F .

Две грани, имеющие общее ребро, образуют двугранный угол многогранного угла.

Если F – выпуклый многоугольник, соответствующий многогранный угол называется выпуклым .

Обозначение : SABC… (A, B, C, … - точки последовательных ребер, то есть вершины многоугольника, являющегося пересечением многогранного угла плоскостью, пересекающей все ребра угла).

При n=3 получаем трехгранный угол – основной для нас объект изучения. Величины трех плоских и трех двугранных углов – основные параметры трехгранного угла.

Задача 1 . В трехгранном угле, все плоские углы которого прямые, двугранные углы также прямые. Докажите.

Решение . Куб и его вершина!
Замечание . Обратное утверждение к задаче 1 тоже верно, но прямое доказательство не так просто. К этому полезно вернуться после формулировки теоремы косинусов для трехгранного угла.
Задача 2 . Все плоские углы трехгранного угла прямые. Найдите угол между биссектрисами двух плоских углов.

Решение . То же самое, что в задаче 1: если на ребрах трехгранного угла в его вершине S построить куб, то диагонали смежных граней куба, пересекающиеся в вершине S, окажутся как раз нужными биссектрисами. Ответ .
.
Задача 3 . Через точку ребра, удаленную на 12 см от вершины трехгранного угла, все плоские углы которого равны
, проведена плоскость, перпендикулярная биссектрисе плоского угла противоположной грани. Найдите отрезки, отсекаемые этой плоскостью от других ребер трехгранного угла.

Решение . Отложим на всех ребрах отрезки SA = SB = SC = 12 см – получим правильный тетраэдр SABC (все боковые грани – правильные треугольники). Данная плоскость, проходящая через точку A, отсекает от биссектрисы (медианы) противоположной грани 2/3 ее длины. Ответ . 8 см.
Задача 4
, а два других – по
. Через произвольную точку A ребра, противолежащего большему из плоских углов, проведена плоскость, перпендикулярная биссектрисе этого плоского угла и пересекающая другие ребра в точках B и C. Найдите: а) угол ABC; б) угол между плоскостью прямого угла и противолежащим ему ребром.

Решение . Точка A проектируется в точку биссектрисы (теорема 4 – см. ниже).

Ответ . а)
; б)
.
Задача 5 . Один из плоских углов трехгранного угла равен
, а два других – по
. Из произвольной точки ребра, противолежащего плоскому углу в
, опущены перпендикуляры на два других ребра. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Решение .

, AS = a,
,
,
, BS=CS (из равенства прямоугольных треугольников ABS и ACS по гипотенузе и острому углу); D – середина BC,

Ответ .
.

Теорема 1 . В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов и больше их разности.

Доказательство .

Пусть
– наибольший из плоских углов трехгранного угла SABC . В плоскости ASC построим
луч SD лежит внутри угла ASC (или точки D и C совпадают). Возьмем SB = SD и проведем прямую ADC . В треугольнике ABC: AD + DC AB + BC (даже если DC =0 ) – это неравенство треугольника. . Теперь рассмотрим треугольники CSD и CSB: SD = SB , SC = SC , DC BC , следовательно, ,т.е. . .

Теорема 2. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше

Доказательство . Тот же чертеж, что в теореме 1: применим теорему 1 к каждому из трехгранных углов с вершинами A, B, C ( и т.д.) и сложим почленно полученные 9 неравенств; после очевидных сокращений придем куда надо.
Теорема 3. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше
.

Доказательство можно прочитать, например, в учебнике Киселева.
Теорема 4 . Если в трехгранном угле два плоских угла равны, проекцией ребра, являющегося общей стороной равных углов, на плоскость противолежащей грани является биссектриса плоского угла (или ее продолжение) этой грани.

Доказательство . Очевидно.
Задача 6
. Докажите, что если сечение этого угла плоскостью, перпендикулярной к грани с наибольшим плоским углом, имеет форму равнобедренного треугольника (его основание лежит в плоскости прямого угла), то секущая плоскость отсекает на ребрах трехгранного угла равные отрезки.

Решение .
если
, то
; BD=DC (т.к. BA=CA по условию); треугольник BSC – прямоугольный, поэтому D – центр описанной окружности, значит DC=DB=DS (ортогональные проекции AC, AB, AS на плоскость BSC); отсюда следует равенство наклонных: AC=AB=AS; следовательно, треугольники ASB и ASC – правильные () и SA=SB=SC.
Задача 7 . Докажите утверждение, обратное к высказанному в предыдущей задаче.

Решение . Рассуждения в решении задачи 6 нужно обратить (т.к. утверждение задачи 7 является обратным к утверждению предыдущей).
Задача 8 . Плоские углы трехгранного угла равны
. Найдите углы наклона ребер к плоскостям противоположных граней.

Решение . См. чертеж к задаче 6. SA=SB=SC=a, .

Проектируем ортогонально BS на плоскость ASC: пусть
; перпендикуляр из точки K в треугольнике ASC проходит через точку C; искомая проекция E точки B – основание высоты BE в треугольнике BCK!

(теорема косинусов); .
.

Ответ .
.

Теорема 5 (теорема косинусов для трехгранного угла). Пусть
– плоские углы трехгранного угла, A, B, C - противолежащие им двугранные углы. Тогда .

Доказательство . Пусть SA = a. Тогда
. Выразим BC 2 по теореме косинусов из треугольников BSC и BAC и приравняем полученные выражения; после шаблонных преобразований получим что надо.
Задача 9 . Все плоские углы трехгранного угла равны, его двугранный угол равен . Найдите косинус плоского угла.

Решение . Теорема косинусов.

Ответ .

Задача 10 . Каждый плоский угол трехгранного угла равен . На одном из ребер взята точка, удаленная от вершины на расстояние a. Найдите расстояние от этой точки до плоскости противолежащей грани.

Решение . AS=a, ,

,
(теорема косинусов),
.
Ответ .
.
Задача 11 . Два плоских угла трехгранного угла равны , третий плоский угол прямой. На общей стороне равных плоских углов взята точка на расстоянии h от плоскости противолежащей грани. Найдите расстояние от этой точки до вершины трехгранного угла.

Решение .

S
A=x, AO=h,
,

(теорема косинусов).

Ответ .
.
Задача 12 . В трехгранном угле два двугранных угла равны по
, их общий плоский угол прямой. Найдите третий двугранный угол.

Решение . ,

Ответ .
.
Теорема 6 (важная). Если два плоских угла трехгранного угла равны, то их общее ребро проектируется на биссектрису (или ее продолжение) плоского угла противоположной грани.

Доказательство . Если дополнить чертеж к задаче 11 перпендикуляром из A на SC, то сразу увидим, что прямоугольные треугольники ASB и ASC равны по гипотенузе и острому углу, поэтому наклонные AB и AC к грани BSC равны, откуда заключаем равенство их проекций OB и OC. Точка O равноудалена от SB и SC, следовательно, лежит на биссектрисе угла BSC (или ее продолжении).
Дополнение к теме “Трехгранный угол”
Задача 13 . Плоские углы трехгранного угла равны
. Найдите угол между биссектрисой угла и противолежащим ему ребром.

Решение .
- единичные векторы, SD – биссектриса угла . Тогда
.

Ответ .
.
Задача 14 (вторая теорема косинусов для трехгранного угла). Докажите, что

Доказательство . Опустим из внутренней точки трехгранного угла перпендикуляры на грани трехгранного угла – получим новый (двойственный или полярный к данному) трехгранный угол с плоскими углами
и двугранными
. Применим 1-ю теорему косинусов.
Задача 15 . Двугранные углы трехгранного угла равны
. Найдите его плоские углы.

Решение . См. задачу 14.

Ответ .
.
Задача 16 . Докажите, что сумма двугранных углов трехгранного угла больше
, но меньше
.

Решение . Построим полярный угол (см. задачу 14) и применим теорему 2.
Задача 17 (теорема синусов для трехгранного угла). В трехгранном угле

Доказательство . Теорема 5.
Серия пособий А.И. Маринина включает также брошюры:
Геометрия-10 (теория)

Задачи по геометрии-10

20. Разноуровневое изучение многогранных углов, свойств плоских углов трехгранного угла и многогранного угла.

Базовый уровень:

Атанасян

Рассматривает только Двугранный угол.

Погорелов

Сначала рассматривает двугранный угол и затем сразу трехгранный и многогранный.

Рассмотрим три луча а, b, с, исходящие из одной точки лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная из трех плоских углов (ab), (bc) и (ac) (рис. 400). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично вводится понятие многогранного угла(рис.401).

рис 400 и рис.401

Профильный уровень (А.Д.Алексндров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжих):

Оставляя определение и изучение произвольных многогранных углов до § 31, мы рассмотрим сейчас простейшие из них - трехгранные углы. Если в стереометрии аналогами плоских углов можно считать двугранные углы, то трехгранные углы можно рассматривать как аналоги плоских треугольников , а в следующих параграфах увидим, как они естественно связаны со сферическими треугольниками.

Построить (а значит, и конструктивно определить) трехгранный угол можно так. Возьмем любые три луча а, b,c, имеющие общее начало О и не лежащие в одной плоскости (рис. 150). Эти лучи являются сторонами трех выпуклых плоских углов: угла α со сторонамиb, с, угла β со сторонами а, с и угла γ со сторонами а,b. Объединение этих трех углов α, β, γ и называется трехгранным углом Оabc(или, короче, трехгранным углом О). Лучи а,b, с называются ребрами трехгранного угла Оаbс, а плоские углы α, β, γ - его гранями. Точка О называется вершиной трехгранного угла.

3 а м е ч а н и е. Можно было бы определить трехгранный угол и с невыпуклой гранью (рис. 151), но мы такие трехгранные углы рассматривать не будем.

При каждом из ребер трехгранного угла определяется соответствующий двугранный угол, такой, ребро которого содержит соответствующее ребро трехгранного угла, а грани которого содержат прилежащие к этому ребру грани трехгранного угла.

Величины двугранных углов трехгранного угла Оаbс при ребрах а,b, с будем соответственно обозначать через а^,b^, с^(крышечки непосредственно над буквами).

Три грани α, β, γ трехгранного угла Оаbс и три его двугранных угла при ребрах а,b, с, а также велbчины α, β, γ и а^,b^, с^ будем называть элементами трехгранного угла. (Вспомните, что элементы плоского треугольника - это его стороны и его углы.)

Наша задача - Выразить одни элементы трехгранного угла через другие его элементы, т. е. построить «тригонометрию» трехгранных углов.

1) Начнем с вывода аналога теоремы косинусов. Сначала рассмотрим такой трехгранный угол Оаbс, у которого хотя бы две грани, например α и β являются острыми углами. Возьмем на его ребре с точку С и проведем из нее в гранях α и β перпендикуляры СВ и СА к ребру с до пересечения с ребрами а иbв точках А и В (рис. 152). Выразим расстояние АВ из треугольников ОАВ и САВ по теореме косинусов.

АВ 2 =АС 2 +ВС 2 -2АС*ВС*Cos(c^) и АВ 2 =ОА 2 +ОВ 2 -2АО*ВО*Cosγ.

Вычитая из второго равенства первое, получим:

ОА 2 -АС 2 +ОВ 2 -ВС 2 +2АС*ВС*Cos(c^)-2АО*ВО*Cosγ=0 (1). Т.к. треугольники ОСВ и ОСА прямоугольные, то АС 2 -АС 2 =ОС 2 и ОВ 2 -ВС 2 =ОС 2 (2)

Поэтому из (1) и (2) следует, что ОА*ОВ*Cosγ=ОС 2 +АС*ВС*Cos(c^)

т.е.

Но
,
,
,
. Поэтому

(3) – аналог теоремы косинусов для трехгранных углов-формула косинусов .

Обе грани α и β – тупые углы.

Один из углов α и β, например α, острый, а другой – β- тупой.

Хоты бы 1 из углов α или β прямой.

Признаки равенства трехгранных углов похожи на признаки равенства треугольников. Но есть отличие: например, два трехгранных угла равны, если соответственно равны их двугранные углы. Вспомните, что два плоских треугольника, у которых соответственные углы равны, подобны. А для трехгранных углов аналогичное условие приводит не к подобию, а к равенству.

Трехгранные углы обладают замечательным свойством , которое называется двойственностью. Если в какой-либо теореме о трехгранном угле Оаbс заменить величины а,b, с на π-α, π-β, π-γи, наоборот, заменить α, β, γ на π-a^, π-b^, π-c^, то снова получим верное утверждение о трехгранных углах, двойственное исходной теореме. Правда, если такую замену произвести в теореме синусов, то снова придем к теореме синусов (она сама себе двойственна). Но если так сделать в теореме косинусов (3), то получим новую формулу

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Почему имеет место такая двойственность, станет ясно, если для трехгранного угла построить двойственный ему трехгранный угол, ребра которого перпендикулярны граням исходного угла (см. п. 33.3 и рис. 356).

Одними из простейших поверхностей являются многогранные углы . Они составляются из обычных углов (такие углы теперь часто будем называть плоскими углами), подобно тому как замкнутая ломаная составляется из отрезков. А именно дается следующее определение:

Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами так, что выполнены условия:

1) Никакие два угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или целой стороны.

2) У каждого из этих углов каждая его сторона является общей с одним и только с одним другим таким углом.

3) От каждого угла к каждому можно перейти по углам, имеющим общие стороны.

4) Никакие два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости (рис. 324).

При этом условии плоские углы, образующие многогранный угол, называются его гранями, а их стороны - его ребра.

Под данное определение подходит и двугранный угол. Он составлен из двух развернутых плоских углов. Вершиной его может считаться любая точка на его ребре, и эта точка разбивает ребро на два ребра, сходящиеся в вершине. Но ввиду этой неопределенности в положении вершины двугранный угол исключают из числа многогранных углов.

П

онятие о многогранном угле важно, в частности, при изучении многогранников - в теории многогранников. Строение многогранника характеризуется тем, из каких граней он составлен и как они сходятся в вершинах, т. е. какие там оказываются многогранные углы.

Рассмотрите многогранные углы у разных многогранников.

Обратите внимание, что грани многогранных углов могут быть и невыпуклыми углами.

№1 Дата05.09.14

Предмет Геометрия

Класс 11

Тема урока: Понятие о многогранном угле. Трехгранный угол.

Цели урока:

ввести понятия: “трехгранные углы”, “многогранные углы”, “многогранник”;

ознакомить учащихся с элементами трехгранного и многогранного углов, многогранника, а также определениями выпуклого многогранного угла и свойствами плоских углов многогранного угла;

продолжить работу по развитию пространственных представлений и пространственного воображения, а также логического мышления учащихся.

Тип урока: изучения нового материала

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Формирование новых понятий и способов действия.

Задачи: Обеспечить восприятие, осмысление и запоминание учащимися изучаемого материала. Обеспечить усвоение учащимися методики воспроизведения изученного материала, содействовать философскому осмыслению усваиваемых понятий, законов, правил, формул. Установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления, провести коррекцию. Обеспечить соотнесение учащимися своего субъективного опыта с признаками научного знания.

Пусть даны три луча а, b и с с общим началом точкой О (рис. 1.1). Эти три луча не обязательно лежат в одной плоскости. На рисунке 1.2 лучи b и с лежат в плоскости р, а луч а не лежит в этой плоскости.

Лучи а, b и с попарно задают три выделенных дугами плоских угла (рис. 1.3).

Рассмотрим фигуру, состоящую из трех указанных выше углов и части пространства, ограниченной этими плоскими углами. Эту пространственную фигуру называют трехгранным углом (рис. 2).

Лучи а, b и с называются ребрами трехгранного угла, а углы: = AOC, = AOB,

= BOC , ограничивающие трехгранный угол, - его гранями. Эти углы-грани образуют поверхность трехгранного угла. Точка О называется вершиной трехгранного угла. Трехгранный угол можно обозначать так: OABC

Рассмотрев внимательно все многогранные углы, изображенные на рисунке 3, мы можем заключить, что у каждого из многогранных углов одинаковое число ребер и граней:

4 грани и одна вершина;

у пятигранного угла - 5 ребер, 5 граней и одна вершина;

у шестигранного угла - 6 ребер, 6 граней и одна вершина и т. д.

Многогранные углы бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Представьте себе, что мы взяли четыре луча с общим началом, как на рисунке 4. В этом случае мы получили невыпуклый многогранный угол.

Определение 1. Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Другими словами, выпуклый многогранный угол всегда можно положить любой его гранью на некоторую плоскость. Вы видите, что в случае, изображенном на рисунке 4, так поступить не всегда удается. Четырехгранный угол, изображенный на рисунке 4, является невыпуклым.

Отметим, что в нашем учебнике, если мы говорим “многогранный угол”, то имеем в виду, что он выпуклый. Если рассматриваемый многогранный угол невыпуклый, об этом будет сказано отдельно.

Свойства плоских углов многогранного угла

Теорема 1. Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

Теорема 2. Сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

3. Применение. Формирование умений и навыков.

Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного.

6.Этап информации о домашнем задании.

Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

§1(1.1, 1.2) стр. 4, № 9.

7.Подведение итогов урока.

Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.

8.Этап рефлексии.

Задачи: Инициировать рефлексию учащихся на самооценку своей деятельности. Обеспечить усвоение учащимися принципов само регуляции и сотрудничества.

Беседа по вопросам:

Что тебе на уроке было интересно?

Что не понятно?

На что обратить внимание учителю на следующем уроке?

Как ты оценишь свою работу на уроке?

Трёхгранные и многогранные углы: Трёхгранным углом называется фигура образованная тремя плоскостями, ограни- ченными тремя лучами, исходящими из одной точки и не лежащей в одной плоскости. Рассмотрим какой-нибудь плоский многоугольник и точку лежащую вне плоскости этого многоугольника. Проведём из этой точки лучи, проходящие через вершины многоугольника. Мы получим фигуру, которая называется многогранным углом.

Трёхгранный угол это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгранного угла. Стороны углов называются рёбрами, плоские углы при вершине трёхгранного угла называются его гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла образует двугранный угол плоскими угламидвугранный угол

; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста" title="Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста" class="link_thumb"> 4 Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β. 3. Первая теорема косинусов для трёхгранного угла 4. Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста"> ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β. 3. Первая теорема косинусов для трёхгранного угла 4. Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла"> ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста" title="Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста"> title="Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста">

Грани многогранника - это многоугольники, которые его образуют. Ребра многогранника - это стороны многоугольников. Вершины многогранника - это вершины многоугольника. Диагональ многогранника - это отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие одной грани.