В чем измеряется дипольный момент. Что такое дипольный момент. Примеры решения задач

Вернемся к электрическим системам, которые можно представить как системы точечных зарядов. Положим, что на протяжении интересующей нас системы зарядов электрическое поле однородно. Тогда формула силы, действующей на систему, имеет вид

где полный заряд системы. Если тело электрически нейтрально, как, скажем, атом или молекула, то сила, действующая на такое тело, содержащее равные количества положительных и отрицательных частиц, будет равна нулю. Значит ли это, что электрически нейтральное тело не обладает взаимодействием с электрическим полем? Нетрудно видеть, что нет. В однородном поле силы, действующие на заряды системы, параллельны друг другу. Мы можем отдельно сложить силы, действующие на положительные заряды, и отдельно силы, которые приложены к отрицательным зарядам. Как хорошо известно, равнодействующая параллельных сил приложена в центре «тяжести» тела. Слово «тяжесть» взято в кавычки, так как сейчас речь идет об электрическом центре тяжести. В результате все силы, действующие на заряды системы, находящейся в однородном поле, сведутся к двум антипараллельным силам, приложенным в центрах тяжести положительных и отрицательных зарядов (рис. 95). Если система электрически нейтральна, то обе силы будут одинаковы; полная сила будет равна нулю, но на тело будет действовать пара сил с моментом

Момент сил может подействовать на систему зарядов только в том случае, если центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов сдвинуты друг по отношению к другу.

Вектор равный по величине произведению положительного заряда системы на расстояние между центрами тяжести, носит название дипольного момента системы. Дипольный момент считают направленным от отрицательного центра к положительному. Дипольный момент системы определяет ее поведение в однородном поле. Система, предоставленная сама себе, поворачивается в однородном электрическом поле так, чтобы ее дипольный момент совпал с направлением электрического поля

В однородном поле все действия на нейтральную систему электрических зарядов сводятся к моменту силы где дипольный момент системы, равный произведению количества электричества одного знака на плечо диполя. Таким образом, нет нужды

рассматривать в однородном поле сложное расположение какой-либо системы зарядов; ее надо заменить соответствующим диполем.

Если система находится в неоднородном поле, то дипольный момент уже не будет исчерпывающим образом описывать ее свойства. Это видно из рис. 96. Четыре заряда, расположенных по углам квадрата, образуют электрически нейтральную систему с дипольным моментом, равным нулю (центры тяжести отрицательного и положительного зарядов совпадают).

В однородном поле на такую систему не действуют ни силы, ни момент силы. В неоднородных полях, разумеется, этот квадрат может и перемещаться поступательно и поворачиваться, так как силы, действующие на заряды, вообще говоря, различны. По аналогии с диполем такой системе дано название квадруполь. На том же рисунке изображена еще одна нейтральная система с нулевым дипольным моментом - октуполь.

Значительный интерес для учения о строении вещества, которым мы будем заниматься много позднее, представляет рассмотрение взаимодействий простейших электрических систем. Рассмотрим некоторые из них.

Заряд - заряд.

Взаимодействие двух точечных зарядов происходит по закону Кулона

Заряд-диполь.

Предоставленный сам себе диполь стремится повернуться так, чтобы установиться вдоль силовых линий.

После того как такой поворот произошел, диполь остается неподвижным в однородном поле, а в неоднородном будет втягиваться, как это видно из рис. 97, в область более сильного поля. В случае, если

неоднородное поле есть поле точечного заряда, диполь будет притягиваться к этому заряду. Сила притяжения равна

Если плечо диполя мало, то, приводя к общему знаменателю, мы получим, пренебрегая величиной по сравнению с а величиной по сравнению с следующую интересную формулу:

Обратим внимание на то, что сила взаимодействия заряда и диполя убывает с расстоянием быстрее, чем кулоновская сила, а именно, она обратно пропорциональна кубу расстояния.

Пример. Расстояние между атомами в молекуле равно 1,28 А, дипольный момент молекулы Тогда электрон, находящийся на расстоянии А от молекулы, притягивается к ней с силой дин.

Часто возникает необходимость найти характеристики электрического поля, создаваемого системой зарядов, локализованных в небольшой области пространства. Примером такой системы зарядов могут служить атомы и молекулы, состоящие из электрически заряженных ядер и электронов. Если требуется найти поле на расстояниях, которые значительно больше размеров области расположения частиц, то нет необходимости пользоваться точными, но громоздкими формулами, достаточно ограничится более простыми приближенными выражениями.
 Пусть электрическое поле создается набором точечных зарядов q k (k = 1, 2, …, N) , расположенных в пределах небольшой области пространства, характерные размеры которой обозначим l (рис. 285).

Рис. 285
 Для расчета характеристик электрического поля, в некоторой точке A , находящейся на расстоянии r , значительно превышающем l , все заряды системы можно «объединить» и рассматривать систему зарядов как точечный заряд Q , величина которого равна сумме зарядов исходной системы

 Этот заряд можно мысленно расположить в любой точке области расположения системы зарядов q k (k = 1, 2, …, N) , так как при l << r , изменение положения в пределах малой области незначительно повлияет на изменение поля в рассматриваемой точке.
 В рамках такого приближения напряженность и потенциал электрического поля определяются по известным формулам

 Если суммарный заряд системы равен нулю, то указной приближение является слишком грубым, приводящим к выводу об отсутствии электрического поля.
 Более точное приближение можно получить, если мысленно собрать отдельно положительные и отрицательные заряды рассматриваемой системы. Если их «центры» смещены друг относительно друга, то электрическое поле такой системы может быть описано как поле двух точечных зарядов, равных по величине и противоположных по знаку, смещенных друг относительно друга. Более точную характеристику системы зарядов в этом приближении мы дадим немного позднее, после изучения свойств электрического диполя.
Электрическим диполем называется система, состоящая из двух точечных зарядов одинаковых по величине и противоположных по знаку, расположенных на малом расстоянии друг от друга.
 Рассчитаем характеристики электрического поля, создаваемого диполем, состоящего из двух точечных зарядов +q и −q , расположенных на расстоянии a друг от друга (рис. 286).

рис. 286
 Сначала найдем потенциал и напряженность электрического поля диполя на его оси, то есть на прямой, проходящей через оба заряда. Пусть точка A , находится на расстоянии r от центра диполя, причем будем считать, что r >> a . В соответствии с принципом суперпозиции потенциал поля в данной точке описывается выражением

На последнем шаге мы пренебрегли вторым малой величиной (a/2) 2 по сравнению с r 2 . Величину вектора напряженности электрического поля также можно вычислить на основании принципа суперпозиции

Напряженность поля можно вычислить, используя соотношение между потенциалом и напряженностью поля E x = −Δφ/Δx . В данном случае вектор напряженности направлен вдоль оси диполя, поэтому его модуль рассчитывается следующим образом


Обратите внимание, что поле диполя ослабевает быстрее поля точечного заряда, так потенциал поля диполя убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, а напряженность поля − обратно пропорционально кубу расстояния.
 Аналогичным, но более громоздким, способом можно найти потенциал и напряженность поля диполя в произвольной точке, положение которой определим с помощью полярных координат: расстояния до центра диполя r и угла θ (рис. 287).

рис. 287
 По принципу суперпозиции потенциал поля в точке A равен

Учитывая, что r >> a , формулу (6) можно упростить с помощью приближений

в этом случае получаем

 Вектор напряженности электрического поля E удобно разложить на две составляющие: радиальную E r , направленную вдоль прямой, соединяющей данную точку с центром диполя, и перпендикулярную ей E θ (рис. 288).

рис. 288
 При таком разложении каждая компонента направлена вдоль направления изменения каждой из координат точки наблюдения, поэтому может быть найдена из соотношения, связывающего напряженность поля и изменение потенциала.
 Для того, чтобы найти компоненты вектора напряженности поля, запишем отношение изменения потенциала, при смещении точки наблюдения в направлении соответствующих векторов (рис. 289).

рис. 289
Радиальная составляющая тогда выразится соотношением


 Для расчета перпендикулярной составляющей следует учесть, что величина малого смещения в перпендикулярном направлении выражается через изменение угла следующим образом Δl = rΔθ.
Поэтому величина этой компоненты поля равна


 При выводе последнего соотношения использована тригонометрическая формула для разности косинусов и приближенное соотношение, справедливое при малых Δθ :
sinΔθ ≈ Δθ.
 Полученные соотношения полностью определяют поле диполя в произвольной точке и позволяют построить картину силовых линий этого поля (рис. 290).

рис. 290
 Теперь обратим внимание, что во всех формулах, определяющих потенциал и напряженность поля диполя, фигурирует только произведение величины одного из зарядов диполя на расстояние между зарядами. Поэтому именно это произведение является полной характеристикой электрических свойств и называется дипольным моментом системы. Так как диполь является системой двух точечных зарядов, то он обладает осевой симметрией, осью которой является прямая, проходящая через заряды. Следовательно, для задания полной характеристики диполя следует указать и ориентацию оси диполя. Проще всего это сделать, задавая вектор дипольного момента , величина которого равна дипольному моменту, а направление совпадает с осью диполя

где a − вектор, соединяющий отрицательный и положительный заряды диполя 1 . Такая характеристика диполя весьма удобна и позволяет во многих случая упрощать формулы, придавая им векторный вид. Так, например, потенциал поля диполя в произвольной точке, описываемый формулой (6), может быть записан в векторной форме

 После введения векторной характеристики диполя, его дипольного момента, появляется возможность использовать еще одну упрощающую модель − точечный диполь: систему зарядов, геометрическими размерами которой можно пренебречь, но обладающей дипольным моментом 2 .
Рассмотрим поведение диполя в электрическом поле.

рис. 291
 Пусть два точечных заряда, находящиеся на фиксированном расстоянии друг от друга, помещены в однородное электрическое поле. Со стороны поля на заряды действуют силы F = ±qE , равные по величине и противоположные по направлению. Суммарная сила, действующая на диполь равна нулю, однако эти силы приложены к различным точкам, поэтому суммарный момент этих отличен от нуля, а равен

где α − угол меду вектором напряженности поля и вектором дипольного момента. Наличие момента силы, приводит к тому, что дипольный момент системы стремится повернуться по направлению вектора напряженности электрического поля.
 Обратите внимание, что и момент силы, действующий на диполь, полностью определяется его дипольным моментом. Как мы показали ранее, если сумма сил, действующих на систему, равна нулю, то суммарный момент сил не зависит от оси, относительно которой этот момент рассчитывается. Положению равновесия диполя соответствуют как направление по полю α = 0 , так и против него α = π , однако легко показать, что первое положение равновесия устойчиво, а второе нет.
Если электрический диполь находится в неоднородном электрическом поле, то силы, действующие на заряды диполя различны, поэтому результирующая сила отлична от нуля.
 Для упрощения, будем считать, что ось диполя совпадает с направлением вектора напряженности внешнего электрического поля. Совместим ось x системы координат с направлением вектора напряженности (рис. 292).

рис. 292
 Результирующая сила, действующая на диполь, равна векторной сумме сил, действующих на заряды диполя,

 Здесь E(x) − напряженность поля в точке расположения отрицательного заряда, E(x + a) − напряженность в точке положительного заряда. Так как расстояние между зарядами мало, разность напряженностей представлена как произведение скорости изменения напряженности на размер диполя. Таким образом, в неоднородном поле, на диполь действует сила, направлена в сторону возрастания поля, или диполь втягивается в область более сильного поля.
 В заключение вернемся к строгому определению дипольного момента произвольной системы зарядов. Вектор дипольного момента, системы, состоящей из двух зарядов (рис. 293),

рис. 293
может быть записан в виде

Если теперь пронумеровать заряды, то эта формула приобретает вид

где величины зарядов понимаются в алгебраическом смысле, с учетом их знаков. Последняя формула допускает очевидное обобщение (обоснованием которого является принцип суперпозиции) на систему произвольного числа зарядов

 Эта формула определяет дипольный момент произвольной системы зарядов, с ее помощью произвольная система зарядов может быть заменена на точечный диполь (рис. 294).

рис. 294
 Положение диполя внутри области расположения зарядов произвольно, естественно, если электрическое поле рассматривается на расстояниях значительно превышающих размеры системы.

 Задания для самостоятельной работы.
 1. Докажите, что для произвольной системы зарядов, алгебраическая сумма которых равна нулю, дипольный момент, определяемый по формуле (11), не зависит от выбора системы отсчета.
 2. Определите «центры» положительных и отрицательных зарядов системы, по формулам аналогичным, формулам для координат центра масс системы. Если все положительный и все отрицательные заряды собрать в своих «центрах», то получим диполь, состоящий из двух зарядов. Покажите, что его дипольный момент совпадает с дипольным моментом, рассчитанным по формуле (11).
 3. Получите двумя способами формулу, выражающую силу взаимодействия точечного диполя и точечного заряда, находящегося на оси диполя: во-первых, найдите силу, действующую на точечный заряд со стороны диполя; во-вторых, найдите силу, действующую на диполь со стороны точечного заряда; в-третьих, убедитесь, что эти силы равны по модулю и противоположны по направлению.

1 Направление вектора дипольного момента, в принципе можно задать и противоположным, но исторически сложилось задание направления дипольного момента от отрицательного к положительному заряду. При таком определении силовые линии как бы являются продолжением вектора дипольного момента.
  2 Очередная, абсурдная на первый взгляд, но удобная абстракция − материальная точка, имеющая два заряда, разнесенных в пространстве.

До сих пор предполагалось, что заряды и их поля находятся в вакууме. В последующих параграфах мы рассмотрим, какое влияние на электрическое поле и на взаимодействие электрических зарядов оказывает вещественная среда - проводники и диэлектрики.

Электрический диполь это система, состоящая из двух одинаковых по значению, но разных по знаку точечных заряда (+q,- q), расстояние ℓ между которыми (плечо диполя) значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля (рис.12.16).

Основной характеристикой диполя является его электрический, или дипольный момент.

Дипольный момент –это вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный произведению заряда │q│ на плечо ℓ.

(12.35)

Единица электрического момента диполя – кулон-метр (Кл۰м).

Если диполь поместить в однородное электростатическое поле напряжён-ностью Е (рис.12.17), то на каждый из его зарядов действует сила: на положительныйF + = +qE, на отрицательный F - = - qE. Эти силы равны по модулю, но противоположны по направлению. Они образуют пару сил, плечо которой ℓsinα, и создают момент пары сил М. Вектор
направлен перпендикулярно векторами(см.рис. – на нас). Модуль
определяется соотношениемM=qEℓsinα, где α – угол между векторами и.

M=qEℓsinα=рЕsinα

или в векторной форме

(12.36)

Таким образом, на диполь в однородном электрическом поле действует вращающий момент, зависящий от электрического момента, ориентации диполя в поле и напряжённость поля.

В однородном поле момент пары сил стремится повернуть диполь так, чтобы векторы ии были параллельны.

§ 12.6 Поле диполя

Определим напряжённость электростатического поля в точке, лежащей посередине на оси диполя (рис.12.18). Напряжённость поля в точке О равна векторной сумме напряжённостейи, создаваемых положительным и отрицательным зарядом в отдельности.

На оси диполя между зарядами -q и +q векторы напряжённости инаправлены в одну сторону, поэтому результирующая напряжённость по модулю равна их сумме.

Если же находить напряжённость поле в точке А, лежащей на продолжении оси диполя (рис.12.18), то векторы ибудут направлены в разные стороны и результирующая напряжённость по модулю равна их разности:

(r - расстояние между средней точкой диполя и точкой, лежащей на оси диполя, в которой определяется напряжённость поля).

Пренебрегая в знаменателе величиной , так какr >>ℓ получим

(р- электрический момент диполя).

Напряжённость поля в точке С, лежащей на перпендикуляре, восстановленном из средней точки диполя (рис.12.19). Так как расстояние от зарядов +q и - q до точки В одинаковое r 1 = r 2 , то

Вектор результирующей напряжённости в точке В по модулю равен

Из рисунка видно, что
, тогда

Напряжённость поля диполя в произвольной точке определяется по формуле

(12.39)

(р- электрический момент диполя, r - расстояние от центра диполя до точки, в которой определяется напряжённость поля, α - угол между радиус-вектором r и плечом диполя ℓ).