Решить уравнение tgx 3. Урок "Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a". Тема: Тригонометрические уравнения
На этом уроке мы продолжим изучение арктангенса и решение уравнений вида tg x = a для любого а. В начале урока решим уравнение с табличным значением и проиллюстрируем решение на графике, а потом и на круге. Далее решим уравнение tgx = aв общем виде и выведем общую формулу ответа. Проиллюстрируем вычисления на графике и на круге и рассмотрим различные формы ответа. В конце урока решим несколько задач с иллюстрацией решений на графике и на круге.
Тема: Тригонометрические уравнения
Урок: Арктангенс и решение уравнения tgx=a (продолжение)
1. Тема урока, введение
На этом уроке мы рассмотрим решение уравнения для любого действительного
2. Решение уравнения tgx=√3
Задача 1. Решить уравнение
Найдем решение с помощью графиков функций (рис. 1).
Рассмотрим промежуток На этом промежутке функция монотонна, значит, достигается только при одном значении функции.
Ответ:
Решим это же уравнение с помощью числовой окружности (рис. 2).
Ответ:
3. Решение уравнения tgx=a в общем виде
Решим уравнение в общем виде (рис. 3).
На промежутке уравнение имеет единственное решение
Наименьший положительный период
Проиллюстрируем на числовой окружности (рис. 4).
4. Решение задач
Задача 2. Решить уравнение
Произведем замену переменной
Задача 3. Решить систему:
Решение (рис. 5):
В точке значение поэтому решением системы является только точка
Ответ:
Задача 4. Решить уравнение
Решим методом замены переменной:
Задача 5. Найти число решений уравнения на промежутке
Решим задачу с помощью графика (рис. 6).
Уравнение имеет три решения на заданном промежутке.
Проиллюстрируем на числовой окружности (рис. 7), хотя это не так наглядно, как на графике.
Ответ: Три решения.
5. Вывод, заключение
Мы решали уравнение для любого действительного используя понятие арктангенс. На следующем уроке мы познакомимся с понятием арккотангенс.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.
7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 22.18, 22.21.
Дополнительные веб-ресурсы
1. Математика.
2. Интернет-портал Problems. ru .
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам.
Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида tgx>a и tgx
Для решения нам потребуется чертеж единичной окружности и . Радиус единичной окружности равен 1, поэтому, откладывая на линии тангенсов отрезки, длина которых равна радиусу, получаем соответственно точки, в которых тангенс равен 1, 2, 3 и т.д., а вниз — -1,-2,-3 и т.д. На линии тангенсов значениям тангенсов, большим a, соответствует часть, расположенная выше точки а. Заштриховываем соответствующий луч. Теперь проводим прямую через точку О — начало отсчета- и точку а на линии тангенсов. Она пересекает окружность в точке arctg a. Соответственно, на окружности решению неравенства tgx>a соответствует дуга от точки arctg a до п/2. Чтобы учесть все решения (а их с учетом периодичности тангенса — бесконечное множество), к каждому концу интервала прибавляем пn, где n — целое число (n принадлежит Z). Для решения неравенства tgx>a вполне достаточно полуокружности от -п/2 до п/2. Но если требуется найти, к примеру, решение системы неравенств с тангенсом и синусом, то нужна вся окружность. Если неравенство нестрогое, точку с arctg a включаем в ответ (на рисунке ее заштриховываем, в ответ записываем с квадратной скобкой). Точка п/2 в ответ никогда не включается, поскольку не входит в область определения тангенса (точка выколотая, скобка круглая). Чтобы решить неравенство tgx>-a, рассуждаем так же как и для неравенства tgx>a. Поскольку arctg (-a)=-arctg a, только этим и отличается ответ.