Главная » Дизайн гостиной » Урне 4 черных. Задачи про шары

Урне 4 черных. Задачи про шары

Пример 1. В первой урне: три красных, один белый шара. Во второй урне: один красный, три белых шара. Наугад бросают монету: если герб – выбирают из первой урны, в противном случае– из второй.
Решение:
а) вероятность того, что достали красный шар
A – достали красный шар
P 1 – выпал герб, P 2 - иначе

b) Выбран красный шар. Найти вероятность того, что он взят из первой урны, из второй урны.
B 1 – из первой урны, B 2 – из второй урны
,

Пример 2. В ящике 4 шара. Могут быть: только белые, только черные или белые и черные. (Состав неизвестен).
Решение:
A – вероятность появления белого шара
а) Все белые:
(вероятность того, что попался один из трех вариантов, где есть белые)
(вероятность появления белого шара, где все белые)

б) Вытащили, где все черные

в) вытащили вариант, где все белые или/и черные

- хотя бы один из них белый

P а +P б +P в =

Пример 3 . В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение:
5 белых, 4 черных шара
P(A 1) – вынули белый шар

P(A 2) – вероятность того, что второй шар тоже белый

P(A) – подряд выбрали белые шары

Пример 3а . В пачке 2 фальшивых и 8 настоящих денежных купюр. Из пачки вытянули 2 купюры подряд. Найти вероятность что обе они фальшивые.
Решение:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

Пример 4. Имеется 10 урн. В 9 урнах по 2 черных и 2 белых шара. В 1 урне 5 белых и 1 черный. Из урны, взятой наугад, вынули шар.
Решение:
P(A) - ? белый шар взят из урны, где 5 белых
B – вероятность того, что вынули из урны, где 5 белых
, - вынули из других
C 1 – вероятность появления белого шара в 9 ур.

С 2 – вероятность появления белого шара, где их 5

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Пример 5. 20 цилиндрических валиков и 15 конусообразных. Сборщик берет 1 валик, а затем еще один.
Решение:
а) оба валика цилиндрические
P(Ц 1)=; P(Ц 2)=
Ц 1 – первый цилиндр, Ц 2 – второй цилиндр
P(A)=P(Ц 1)P(Ц 2) =
б) Хотя бы один цилиндр
K 1 – первый конусообр.
K 2 - второй конусообр.
P(B)=P(Ц 1)P(K 2)+P(Ц 2)P(K 1)+P(Ц 1)P(Ц 2)
;

с) первый цилиндр, а второй нет
P(C)=P(Ц 1)P(K 2)

д) Ни один цилиндр.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

е) Ровно 1 цилиндр
P(E)=P(Ц 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Пример 6. В ящике 10 стандартных деталей и 5 бракованных.
Наугад извлекают три детали
а) Из них одна бракованная
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – вероятность бракованных изделий

q – вероятность стандартных деталей

n=3, три детали

б) две из трех деталей бракованных P(2)
в) хотя бы одна стандартная
P(0)-нет бракованных

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - вероятность того, что хотя бы одна деталь окажется стандартной

Пример 7 . В 1-й урне по 3 белых и черных шара, а во 2-й - 3 белых и 4 черных. Из 1-й урны во 2-ю не глядя перекладывают 2 шара, а затем из 2-й вытягивают 2 шара. Какова вероятность, что они разных цветов?
Решение:
При перекладывании шаров из первой урны возможны следующие варианты:
а) вынули за подряд 2 белых шара
P ББ 1 =
На втором шаге всегда будет на один шар меньше, поскольку на первом шаге уже вынули один шар.
б) вынули один белый и один черный шар
Ситуация, когда первым вынули белый шар, а потом черный
P БЧ =
Ситуация, когда первым вынули черный шар, а потом белый
P ЧБ =
Итого: P БЧ 1 =
в) вынули за подряд 2 черных шара
P ЧЧ 1 =
Поскольку из первой урны переложили во вторую урну 2 шара, то общей количество шаров во второй урне будет 9 (7 + 2). Соответственно, будем искать все возможные варианты:
а) из второй урны вынули сначала белый, потом черный шар

P БЧ 2 P ББ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны за подряд вынули 2 белых шара. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 5 (3+2).
P БЧ 2 P БЧ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули белый и черный шары. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 4 (3+1), а черных шаров равно пяти (4+1).
P БЧ 2 P ЧЧ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули за подряд оба черных шара. Именно поэтому количество черных шаров в этом случае равно 6 (4+2).

Вероятность того, что извлеченные 2 шара окажутся разных цветов, равна:

Ответ: P = 0.54

Пример 7а . Из 1-ой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара наугад переложили 2 шара во 2-ую урну, содержащую 2 белых и 6 черных шаров. Затем из 2-ой урны наугад извлекли 1 шар.
1) Какова вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым?
2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым. Вычислите вероятность того, что из 1-ой урны во 2-ую были переложены шары разного цвета.
Решение.
1) Событие А - извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым. Рассмотрим следующие варианты наступления этого события.
а) Из первой урны во вторую положили два белых шара: P1(бб) = 5/8*4/7 = 20/56.
Всего во второй урне 4 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
б) Из первой урны во вторую положили белый и черный шары: P1(бч) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Всего во второй урне 3 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
в) Из первой урны во вторую положили два черных шара: P1(чч) = 3/8*2/7 = 6/56.
Всего во второй урне 2 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Тогда вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым равна:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым, т.е. полная вероятность равна P(A)=13/32.
Вероятность того, что во вторую урну были переложены шары разного цвета (черный и белый) и был выбран белый: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Пример 7б . В первой урне 8 белых и 3 черных шара, во второй 5 белых и 3 черных. Из первой наудачу выбирают один шар, а из второй два шара. После этого из выбранных трех шаров наудачу берут один шар. Этот последний шар оказался черным. Найти вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар.
Решение.
Рассмотрим все варианты события А – из трех шаров, вынутый шар оказался черным. Каким образом могло произойти, что среди трех шаров оказался черный?
а) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два белых шара.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
б) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два черных шара.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
в) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
г) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули два черных шара.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
д) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Полная вероятность равна: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Вероятность того, что из белой урны был выбран белый шар, равна:
Pб(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Тогда вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар при условии, что из трех шаров был выбран черный, равна:
Pч = Pб(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Пример 7в . В первой урне 12 белых и 16 черных шаров, во второй 8 белых и 10 черных. Одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару, перемешивают и возвращают по одному в каждую урну. Затем из каждой урны вытаскивают по шару. Они оказались одного цвета. Определить вероятность того, что в 1-ой урне осталось столько же белых шаров, сколько было в начале.

Решение.
Событие А - одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару.
Вероятность вытащить белый шар из первой урны: P1(Б) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Вероятность вытащить черный шар из первой урны: P1(Ч) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Вероятность вытащить белый шар из второй урны: P2(Б) = 8/18 = 4/9
Вероятность вытащить черный шар из второй урны: P2(Ч) = 10/18 = 5/9

Событие А произошло. Событие В - из каждой урны вытаскивают по шару. После перемешивания, вероятность возвращения шара в урну белого или черного шара равна ½.
Рассмотрим варианты события В - они оказались одного цвета.

Для первой урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Для второй урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Шары оказались одного цвета:
а) белые
P1(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 9/98 + 13/98 + 33/392 + 6/49 = 169/392
P2(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 2/21+1/7+1/12+8/63 = 113/252
б) черный
P1(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) = 6/49 + 15/98 + 51/392 + 8/49 = 223/392
P2(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) =5/42+1/7+11/84+10/63 = 139/252

P = P1(Б)* P2(Б) + P1(Ч)* P2(Ч) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Пример 7г . В первом ящике 5 белых и 4 синих шарика, во втором 3 и 1, а в третьем - 4 и 5 соответственно. Наугад выбран ящик и из него вытащенный шарик, оказался синий. Какова вероятность того, что этот шарик со второго ящика?

Решение.
A - событие извлечения синего шарика. Рассмотрим все варианты исхода такого события.
H1 - вытащенный шарик из первого ящика,
H2 - вытащенный шарик из второго ящика,
H3 - вытащенный шарик из третьего ящика.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Согласно условию задачи условные вероятности события А равны:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1/3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Вероятность того, что этот шарик со второго ящика равна:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

Пример 8 . В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров (это ящик состава H1), в шести других ящиках с 20 шарами в каждом - по 4 красных шара (это ящик состава H2). Найти вероятность того, что наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.
Решение: Задача на применение формулы полной вероятности.

Вероятность того, что любой взятый шар содержится в одном из первых пяти ящиков:
P(H 1) = 5/11
Вероятность того, что любой взятый шар содержится в одном из шести ящиков:
P(H 2) = 6/11
Событие произошло – вытащили красный шар. Следовательно, это могло произойти в двух случаях:
а) вытащили из первых пяти ящиков.
P 5 = 5 красных шаров * 5 ящиков / (30 шаров * 5 ящиков) = 1/6
P(P 5 /H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
б) вытащили из шести других ящиков.
P 6 = 4 красных шара * 6 ящиков / (20 шаров * 6 ящика) = 1/5
P(P 6 /H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Итого: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Следовательно, вероятность того, что наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков равна:
P к.ш. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Пример 9 . В урне находятся 2 белых, 3 черных и 4 красных шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета?
Решение. Всего возможны три варианта исхода событий:
а) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два белых.
P б (2) = P 2б
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 шара из 9:

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 белых.

Количество вариантов выбора из 2 белых шаров:

Количество вариантов выбора из 7 других шаров третий шар:

б) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два черных (т.е. или 2 черных или 3 черных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 черных.

Количество вариантов выбора из 3 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 6 других шаров одного шара:

P 2ч = 0.214
Найдем вероятность того, что все выбранные шары черные.

P ч (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

в) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два красных (т.е. или 2 красных или 3 красных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 красных.

Количество вариантов выбора из 4 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 5 белых шаров остальные 1 белых:

Найдем вероятность того, что все выбранные шары красные.

P к (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Тогда вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета равна: P = P б (2) + P ч (2) + P к (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

Пример 10 . В первой урне содержится 10 шаров, из них 7 белых; во второй урне 20 шаров, из них 5 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Решение. Вероятность того, что из первой урны извлекли белый шар, равна P(б)1 = 7/10. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)1 = 3/10.
Вероятность того, что из второй урны извлекли белый шар, равна P(б)2 = 5/20 = 1/4. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)2 = 15/20 = 3/4.
Событие А - из двух шаров взят белый шар
Рассмотрим варианты исхода события А.

из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили черный шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
из первой урны вытащили черный шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

Таким образом, вероятность можно найти как сумму вышеуказанных вероятностей.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Пример 11 . В ящике n теннисных мячей. Из них игранных m . Для первой игры наудачу взяли два мяча и после игры их положили обратно. Для второй игры также наудачу взяли два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Решение. Рассмотрим событие А – игра во второй раз проводилась новыми мячами. Посмотрим какие события могут привести к этому.
Обозначим через g = n-m, количество новых мячей до вытаскивания.
а) для первой игры вытащили два новых мяча.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
б) для первой игры вытащили один новый мяч и один уже игранный.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
в) для первой игры вытащили два игранных мяча.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Рассмотрим события второй игры.
а) Вытащили два новых мяча, при условии P1: поскольку ранее для первой игры уже вытащили новые мячи, то для второй игры их количество уменьшилось на 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1))
б) Вытащили два новых мяча, при условии P2: поскольку ранее для первой игры уже вытащили один новый мяч, то для второй игры их количество уменьшилось на 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1))
в) Вытащили два новых мяча, при условии P3: поскольку ранее для первой игры не использовали новых мячей, то для второй игры их количество не изменилось g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1))

Полная вероятность P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Ответ: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Пример 12 . В первом, втором и третьем ящиках находится по 2 белых и 3 черных шара, в четвертом и пятом по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик, если извлеченный шар - белый?
Решение .
Вероятность выбора каждого ящика равна P(H) = 1/5.
Рассмотрим условные вероятности события А - извлечения белого шара.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Полная вероятность извлечения белого шара:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Условная вероятность, что выбран четвертый ящик
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Условная вероятность, что выбран пятый ящик
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Итого, условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик равна
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

Пример 13 . В урне было 7 белых и 4 красных шара. Затем в урну положили ещё один шар белого или красного или черного цвета и после перемешивания вынули один шар. Он оказался красным. Какова вероятность, что был положен а) красный шар? б) черный шар?
Решение.
а) красный шар
Событие A - вытащили красный шар. Событие H - положили красный шар. Вероятность, того в урну был положен красный шар P(H=K) = 1 / 3
Тогда P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
б) черный шар
Событие A - вытащили красный шар. Событие H - положили черный шар.
Вероятность, того в урну был положен черный шар P(H=Ч) = 1 / 3
Тогда P(A|H=Ч)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111

Пример 14 . Имеются две урны с шарами. В одной 10 красных и 5 синих шаров, во второй 5 красных и 7 синих шаров. Какова вероятность того, что из первой урны наудачу будет вынут красный шар, а из второй синий?
Решение. Пусть событие A1 - из первой урны вынут красный шар; A2 - из второй урны вынут синий шар:
,
События A1 и A2 независимые. Вероятность совместного появления событий A1 и A2 равна

Пример 15 . Имеется колода карт (36 штук). Вынимаются наудачу две карты подряд. Какова вероятность того, что обе вынутые карты будут красной масти?
Решение. Пусть событие A 1 - первая вынутая карта красной масти. Событие A 2 - вторая вынутая карта красной масти. B - обе вынутые карты красной масти. Так как должны произойти и событие A 1 , и событие A 2 , то B = A 1 · A 2 . События A 1 и A 2 зависимые, следовательно, P(B) :
,
Отсюда

Пример 16 . В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8, 6 шаров. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
Решение. Пусть индекс 1 означает белый цвет, индекс 2 - черный цвет; 3 - красный цвет. Пусть событие A i - из первой урны извлекли шар i-го цвета; событие B j - из второй урны извлекли шар j -го цвета; событие A - оба шара одного цвета.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3 . События A i и B j независимые, а A i · B i и A j · B j несовместные при i ≠ j . Следовательно,
P(A)=P(A 1)·P(B 1)+P(A 2)·P(B 2)+P(A 3)·P(B 3) =

Пример 17 . Из урны с 3-мя белыми и 2-мя черными шары вытаскиваются по одному до появления черного. Найдите вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара? 5 шаров?
Решение .
1) вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара (т.е. третий шар будет черным, а первые два - белыми).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) вероятность того, что из урны будет вытащено 5 шаров
такая ситуация не возможна, т.к. всего 3 белых шара.
P = 0

Найти вероятность того, что среди них:

а) 4 белых шара;

б) менее четырех белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,9. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 4 раза в серии из 5 независимых испытаний;

б) событие А наступит 2 раза в серии из 50 независимых испытаний;

в) событие А наступит не менее 40 и не более 60 раз в серии из 100 независимых испытаний.

6. Вероятность того, что данное изделие будет забраковано, равна 0,2. Найти вероятность того,

что в партии из 400 изделий будет 104 бракованных.

7. В первой урне 6 белых и 3 черных шара, а во второй – 5 белых и 6 черных шаров. Из первой и второй урн случайным образом вынимают по 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного цвета.

8. Автомобиль используется для перевозки товара в три магазина. В первом магазине разгрузка выполняется в течение 30 минут с вероятностью 0,77, во втором – 0,67, в третьем

– 0,62. На базу сообщили, что машина разгружена за 30 минут. Какова вероятность того, что это произошло в первом магазине?

9. Н а плоскости область G ограничена эллипсом

x 2 y 2

1 , а област ь g ограничена этим же

x 2 y 2

эллипсом и эллипсом

1. В область G наудачу брошена точка. Найти вероятность

того, что она попадет в область g.

10. Дан закон распреде л е н ия с л учай н ой величины X :

Найти функцию распределения

F (x ) , значение F (1 5) . Вычислить вероятность того, что X

примет значение из интервала (5 ; 1 5) . Построить много у голь н ик распределени я.

11. Известна ф у нкция распределения дискретной с л учайн о й величины X :

⎧ 0 , x < 5

F (x ) = ⎪ 0 , 4 , 5 ≤ x < 1 0

⎨ 0 , 8 , 10 ≤ x < 15

x ≥ 1 5.

Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.

12. Задан закон распреде ле ния дискретной сл у чайно й величины:

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое

отклонение.

13. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3 работы. Найти закон распределения числа «отличных» работ среди извлеченных. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

14. Найти вероятность того, что частота выпадений герба при 200 подбрасываниях симметричной монеты отклоняется от вероятности выпадения герба не более чем на 0,01.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002.

Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдет:

а) хотя бы 2 неправильных соединения;

б) больше двух неправильных соединений.

16. Сл у ч айна я величина X задана ф у нкцие й распределения

x < 0

p (x ) = ⎨ ,

0 ≤ x < 20

⎩ ⎪ 0 , x ≥

Найти функцию распределения

F (x )

случайной величины X . Построить графики

p (x ) и

F (x ) . Вы ч ислить для этой с л учайной величины м а тематичес к ое

ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

17. Сл у ч айна я величина Х задана ф у нкцие й распределения

x < 0

F (x ) = ⎪ a ⋅ x 2 ,

0 ≤ x < 1

Найти а) параметр a ;

б) плотность распределения

p (x ) ;

1 , x ≥ 1 .

в) веро я тность того, что в рез у льтате одного испытания с л у ч айная величина X

примет значение из интервала (− 1 ; 0 , 5) ;

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 360 независимых испытаний случайная величина X примет 120 раз значение из указанного интервала.

18. Сл у ч айна я величина X распреде ле на равномерно на отрезке [ 1 ; 7 ] . Найти выражения для

плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить

математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 0,2. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

Тема 4: Полная вероятность и формулы Байеса

1. В первой урне 3 черных шара и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых шара и 6 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался черным. Тогда вероятность того, что этот шар вынули из второй урны, равна …

Решение:
A (вынутый наудачу шар – черный) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой урны; – вероятность того, что шар извлечен из второй урны; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если он извлечен из первой урны; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если он извлечен из второй урны.
Тогда
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из второй урны, по формуле Байеса:

2. Банк выдает 40% всех кредитов юридическим лицам, а 60% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,1; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило физическое лицо, равна …

Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A (выданный кредит не будет погашен в срок) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда

Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило физическое лицо, по формуле Байеса:

3. Банк выдает 35% всех кредитов юридическим лицам, а 65% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Тогда вероятность непогашения в срок очередного кредита равна …

Решение:
Для вычисления вероятности события A (выданный кредит не будет погашен в срок) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда

1.В урне 4 белых и 6 черных шаров. Выбрали наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

2. Слово МАТЕМАТИКА составлено из карточек, на которых написано по одной букве. Карточки перемешивают и берут безвозвратно по одной. Найти вероятность того, что буквы будут взяты в нужном порядке.

3. В партии из 10 деталей семь деталей - стандартных.

Найти вероятность того, что среди взятых наугад пяти деталей три

детали стандартные.

4. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня, что они различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

5. На отрезке АВ длиной 20 см помещен меньший отрезок CD длиной 10 см. Найти вероятность того, что наугад брошенная на отрезок АВ точка попадет внутрь отрезка CD.

6. Два игрока по очереди бросают игральную кость, каждый по одному разу. Выигрывает тот, кто получит большее число очков. Найти вероятность выигрыша первого игрока.

7. В денежно-вещевой лотерее на серию 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Найти вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет.

8. Брошены одновременно две монеты. Какова вероятность

появления герба («орла») на одной из них?

9. Из карточек составлено слово ПОБЕДА. Буквы перемешаны. Найти вероятность того, что две наугад выбранные буквы гласные.

10. Из колоды карт (52 штуки) наугад выбирают три карты.

Какова вероятность того, что это будут тройка, семерка, туз?

11. Кодовый замок состоит из пяти барабанов. Каждый барабан имеет 6 граней с цифрами от 1 до 6. Замок открывается, если набрано определенное число. Найти вероятность того, что при случайном наборе пяти цифр замок откроется.

12. Девять книг расставлены наугад на полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом.

13. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что

сумма выпавших на них цифр будет равна 6.

14. Круглая мишень быстро вращается с постоянной скоростью. Пятая часть площади мишени окрашена в черный цвет , остальная часть - в белый. По мишени производится выстрел, причем попадание - достоверное событие. Найти вероятность того, что пуля попадет в окрашенную в черный цвет часть мишени.

15. На плоскости начерчены концентрические окружности радиусами 5 и 10 см. Найти вероятность того, что брошенная наугад в большой круг точка попадет в кольцо между большей и меньшей окружностями.

16. Для двух химических реакторов вероятности бесперебойной работы на протяжении одного часа р1 = 0,75 и р2 = 0,8.

Определить вероятность того, что:

а) оба реактора выйдут из строя в течение часа;

б) оба реактора будут работать бесперебойно в течение часа, в течение трех часов;

в) будет работать бесперебойно в течение часа хотя бы один реактор;

г) будет работать бесперебойно в течение часа только один реактор.

17. При стрельбе по мишени вероятность сделать выстрел на

оценку «отлично» р1 = 0,3, на «хорошо» - р2 = 0,4. Найти вероятность выстрела на оценку не ниже «хорошо».

18 Вероятность изготовить детали 1-го сорта на первом станке р1 = 0,7, на втором станке - р2 = 0,8. На первом станке изготовлено две детали, на втором - три. Найти вероятность того, что все они первого сорта.

19. Вероятность попадания в цель из первого орудия р1 = 0,8,

из второго - р2 = 0,7, из третьего - р3 = 0,9. Найти вероятность

того, что при залпе из всех трех орудий: а) хотя бы одно попадет в цель , б) только одно попадет в цель.

20. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.

21. В пирамиде 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, без оптического прицела - с вероятностью 0,46.

Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из винтовки, взятой наугад из пирамиды.

22. Вероятность попадания в цель при одном выстреле р = 0,2.

Какова вероятность поразить цель, если 2% взрывателей дают отказы?

23. В урне 20 белых шаров и 10 черных. Вынули подряд 4 шара, причем каждый раз вынутый шар возвращали в урну.

Какова вероятность того, что два раза были вынуты белые шары?

24. В цехе при одинаковой производительности станки первого типа производят 94% деталей первого сорта, станки второго типа - 90%, третьего типа - 85%, причем все произведенные за

смену детали сложены в нерассортированном виде на складе.

Определить вероятность того, что взятая наугад деталь будет первого сорта, если в цехе 5 станков первого типа, 3 - второго и 3 - третьего.

25. Вероятность изготовления на станке стандартной детали равна 0,9. Определить вероятность того, что из шести изготовленных на этом станке деталей четыре детали будут стандартными.

26. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партий исключен): три партии из четырех или пять партий из восьми?

27. Задача 1. Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых

10 дефектных, выбраны случайным образом 5 изделий для проверки их качества. Построить многоугольник распределения , ряд распределений, найти функцию распределения случайной величины ξ - числа дефектных изделий в выборке. Построить график функции распределения.

28. Непрерывная случайная величина ξ имеет следующую

плотность распределения:

а) Найти величину коэффициента а; б) найти функцию распределения F(x); в) построить графики ϕ(x), F(x); г) определить вероятность попадания случайной величины ξ в интервал от 0 до π/4 (Р(0 ≤ ξ ≤ π/4)).

29. Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты. Для

случайного числа появления герба построить ряд распределения,

многоугольник распределения, функцию распределения.

30. На пути движения автомашины 4 светофора. Каждый из них

с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение. Построить многоугольник распределения вероятностей числа светофоров, пройденных автомашиной без остановки.

31. Плотность вероятности случайной величины ξ равна  

Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения случайной величины ξ; в) вероятность попадания ξ в интервал (0; 1/k).

32. Задана функция распределения непрерывной случайной ξ:

(показательное распределение).

Определить М(ξ), D(ξ).

33. По цели производится три независимых выстрела.

Вероятность попадания в цель при каждом выстреле р = 0,4. Построить ряд распределения случайного числа попаданий в цель,

найти М(ξ), D(ξ) и σ(ξ).

34. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 4 абонента?

35. Измерен диаметр у 270 валов хвостовика. Величины

измеренных диаметров оказались в диапазоне 66–90 см. Разбив

диапазон на интервалы длиной в 2 см, подсчитали частоту m попадания диаметра в данный интервал (см. таблицу):

Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

36. . Среднее значение расстояния до ориентира, полученное по четырем независимым измерениям, равно 2250 м. Среднее квадратическое отклонение для измерительного прибора σ = 40 м. Систематическая ошибка отсутствует. Найти с надежностью 95% доверительный интервал для измеряемой величины.

37. На автоматической линии, работающей 12 часов, про-

водились наблюдения над случайной величиной ξ - моментом

отказа линии (500 наблюдений). Проверить согласованность теоретического и эмпирического законов распределения случайной величины по критерию χ2 Пирсона при уровне значимости α = 0,05.

38. По одной и той же теме проведены две контрольные работы. Выбранные пять студентов получили следующие оценки. Первая контрольная: 3, 4, 5, 3, 3; вторая контрольная: 2, 4, 4, 3, 4.

Найти коэффициент корреляции между оценками и прямые регрессии.

основании которых построена следующая таблица:

а) построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения;

б) найти среднее арифметическое и дисперсию, написать выражение закона распределения случайной величины.

40. В ящике 4 новых и 6 старых инструментов. Рабочему выдали 3 инструмента.

Найдите вероятность того, что: а) все выданные инструменты старые; б) два из трех инструментов старые.

41. В магазин поступает продукция трех фабрик. Продукция первой фабрики составляет 20%, второй - 45%, третьей - 35% изделий. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй - 2%, для третьей - 4%. Найти вероятность того, что оказавшееся нестандартным изделие произведено на первой фабрике.

42. График функции распределения случайной величины ξ имеет вид, представленный на рис. 36.4. Найти математическое ожидание М(2ξ + 3), дисперсию D(2ξ + 3).

43. Даны случайные величины ξ и η:

Найти М(ξ + η).

44. Известно, что в одной из трех партий 2/3 деталей бракованные, а в двух других - все доброкачественные. Для контроля продукции наугад взята одна деталь. Найти вероятность обнаружения бракованной продукции.

45. В ящике среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Наудачу извлекли 10 фотокарточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

46. В сигнализатор поступили сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент времени Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t
47. В первой урне 4 белых и 8 черных шаров, во второй - 3 белых и 5 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем первой урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар - белый.

48. В группе 20 юношей и 10 девушек. На 3 заданных преподавателем вопроса получены 3 ответа. Найти вероятность того, что среди отвечавших два юноши и одна девушка.

49. В результате испытания случайная величина ξ приняла следующие значения: 16, 17, 9, 13, 21, 11, 7, 7, 19, 5, 17, 5, 20, 18, 11, 4, 6, 22, 21, 15, 15, 23, 19, 25, 1. Составить интервальный статистический ряд , разбив промежуток (0, 25) на 5 интервалов с одинаковыми длинами. Построить гистограмму.

50. Пятнадцать студентов группы, выбранных случайным образом, имеют следующие оценки по результатам сессии: 5, 4, 4, 3, 2, 2, 4, 3, 3, 5, 3, 3, 4, 2, 3. Составить статистический ряд, найти эмпирическое математическое ожидание, моду (наиболее вероятное значение), среднее квадратическое отклонение, построить полигон.

28) Из нормальной генеральной совокупности с известными

m = 130, σ = 40 извлечена выборка объемом n = 64 и найдено

выборочное математическое ожидание m* = 136,5. Требуется при

уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н0: m* = m

при конкурирующей: а) m ≠ m*; б) m* > m.

Найти выборочный коэффициент корреляции и прямые регрессии.

Контрольные вопросы к экзамену (зачету)

Теория вероятностей

События, операции над событиями.
Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Повторные независимые испытания. Схема Бернулли.
Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.
Одномерные случайные величины: определение, их виды, законы распределения: ряд, функция распределения, плотность распределения.
Дискретные и непрерывные случайные величины и их законы распределения.
Основные числовые характеристики случайных величин.
Двумерные случайные величины и их законы распределения.
Корреляционная зависимость случайных величин.
Функции от случайных величин.
Закон больших чисел.
Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.
Оценки величин: точечная и интервальная. Их нахождения.
Понятие о доверительных интервалах и статистическая проверка гипотез.