Какой процент вероятности. Основы игрового баланса: случайность и вероятность наступления разных событий. Решение примера. Вероятность суммы событий
Формулы для вычисления вероятности событий
1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится n раз, т. е. проводится последовательность из n испытаний.
Определение. Последовательность n испытаний называют взаимно независимой , если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.
Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью p в результате одного испытания или не произойти с вероятностью q = 1- p .
Определение . Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:
последовательность n испытаний взаимно независима,
2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.
Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие - “неудачей”. Рассмотрим событие
={
в n
испытаниях произошло ровно m
“успехов”}.
Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли
p
(
)
=
, m
= 1, 2, …, n
, (1.6)
где
- число сочетаний из n
элементов по m
:
=
=
.
Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:
а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;
б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.
Решение . “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.
а)
Общее число испытаний – n
=3,
число “успехов” – m
=
2. Вероятность “успеха” - p
=
,
а вероятность “неудачи” - q
=
1 -
=.
Тогда по формуле Бернулли вероятность
того, что результате трехразового
бросания кубика два раза выпадет сторона
с шестью очками, будет равна
.
б)
Обозначим через А
событие, которое заключается в том, что
грань с числом очков 6 появится не более
двух раз. Тогда событие можно представить
в виде суммы
трех несовместных
событий А=
,
где В 3 0 – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,
В 3 1 - событие, когда интересующая грань появится один раз,
В 3 2 - событие, когда интересующая грань появится два раза.
По формуле Бернулли (1.6) найдем
p
(А
)
=
р (
)
=
p
(
)=
+
+
=
=
.
1.3.2. Условная вероятность события
Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет
на вероятность появления интересующего события.
Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p (B )> 0.
Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p (A B ). Тогда по определению
p
(A
B
)
=
.
(1.7)
Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).
В примере 1.16 было установлено, что событие A ={число очков на первом кубике > 4} и событие C ={сумма очков равна 8} зависимы. Составим отношение
.
Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A :
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .
При
этом событию C
могут соответствовать только два из
них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность
события C
будет
равна
.
Таким образом, информация о наступлении
событияA
оказала влияние на вероятность события
C
.
Вероятность произведения событий
Теорема умножения
Вероятность произведения событий A 1 A 2 A n определяется формулой
p (A 1 A 2 A n ) = p (A 1) p (A 2 A 1)) p (A n A 1 A 2 A n- 1). (1.8)
Для произведения двух событий отсюда следует, что
p (AB ) = p (A B) p {B ) = p (B A ) p {A ). (1.9)
Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.
Решение. Обозначим события:
A 1 = {первое изделие бракованное},
A 2 = {второе изделие бракованное},
A 3 = {третье изделие бракованное},
A = {все изделия бракованные}.
Событие А есть произведение трех событий A = A 1 A 2 A 3 .
Из теоремы умножения (1.6) получим
p (A ) = р( A 1 A 2 A 3 ) = p (A 1) p (A 2 A 1))p (A 3 A 1 A 2).
Классическое определение вероятности позволяет найти p (A 1) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:
p
(A
1)=
;
p (A 2) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:
p
(A
2
A
1))=
;
p (A 3) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:
p
(A
3
A
1 A
2)=
.
Тогда вероятность события A будет равна
p
(A
)
=
=
.
Ясно, что каждое событие обладает той или иной степенью возможности своего наступления (своей реализации). Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называется вероятностью события.
Вероятность события – есть численная мера степени объективной возможности наступления этого события.
Рассмотрим стохастический эксперимент и случайное событие А, наблюдаемое в этом эксперименте. Повторим этот эксперимент n раз и пусть m(A) – число экспериментов, в которых событие А произошло.
Отношение (1.1)
называется относительной частотой события А в проведенной серии экспериментов.
Легко убедиться в справедливости свойств:
если А и В несовместны (АВ= ), то ν(А+В) = ν(А) + ν(В) (1.2)
Относительная частота определяется только после проведения серии экспериментов и, вообще говоря, может меняться от серии к серии. Однако опыт показывает, что во многих случаях при увеличении числа опытов относительная частота приближается к некоторому числу. Этот факт устойчивости относительной частоты неоднократно проверялся и может считаться экспериментально установленным.
Пример 1.19. . Если бросить одну монету, никто не сможет предсказать, какой стороной она упадет кверху. Но если бросить две тонны монет, то каждый скажет, что примерно одна тонна упадет кверху гербом, то есть относительная частота выпадения герба примерно равна 0,5.
Если при увеличении числа опытов относительная частота события ν(А) стремится к некоторому фиксированному числу, то говорят, что событие А статистически устойчиво , а это число называют вероятностью события А.
Вероятностью события
А
называется некоторое фиксированное число Р(А), к которому стремится относительная частота ν(А) этого события при увеличении числа опытов, то есть, 
Это определение называют статистическим определением вероятности .
Рассмотрим некий стохастический эксперимент и пусть пространство его элементарных событий состоит из конечного или бесконечного (но счетного) множества элементарных событий ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . предположим, что каждому элементарному событию ω i прописан некоторое число - р i , характеризующее степень возможности появления данного элементарного события и удовлетворяющее следующим свойствам:
Такое число p i называется вероятностью элементарного события ω i .
Пусть теперь А- случайное событие, наблюдаемое в этом опыте, и ему соответствует некоторое множество
В такой постановке вероятностью события А называют сумму вероятностей элементарных событий, благоприятствующих А (входящих в соответствующее множество А):
(1.4)
Введенная таким образом вероятность обладает теми же свойствами, что и относительная частота, а именно:
И если АВ= (А и В несовместны),
то P(А+В) = P(А) + P(В)
Действительно, согласно (1.4)
В последнем соотношении мы воспользовались тем, что ни одно элементарное событие не может благоприятствовать одновременно двум несовместным событиям.
Особо отметим, что теория вероятностей не указывает способов определения р i , их надо искать из соображений практического характера или получать из соответствующего статистического эксперимента.
В качестве примера рассмотрим классическую схему теории вероятностей. Для этого рассмотрим стохастический эксперимент, пространство элементарных событий которого состоит из конечного (n) числа элементов. Предположим дополнительно, что все эти элементарные события равновозможны, то есть вероятности элементарных событий равны p(ω i)=p i =p. Отсюда следует, что
Пример 1.20 . При бросании симметричной монеты выпадение герба и «решки» равновозможны, их вероятности равны 0,5.
Пример 1.21 . При бросании симметричного кубика все грани равновозможны, их вероятности равны 1/6.
Пусть теперь событию А благоприятствует m элементарных событий, их обычно называют исходами, благоприятствующими событию А . Тогда
Получили классическое определение вероятности : вероятность Р(А) события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу исходов
Пример 1.22 . В урне лежит m белых шаров и n черных. Чему равна вероятность вытащить белый шар?
Решение
. Всего элементарных событий m+n. Они все равновероятны. Благоприятствующих событию А из них m. Следовательно, 
.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
Свойство 1 . Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае т=п, следовательно,
P(A)=m/n=n/n=1. (1.6)
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае т = 0, следовательно, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. То есть, 0≤m≤n, значит, 0≤m/n≤1, следовательно, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤P(A) ≤1. (1.8)
Сопоставляя определения вероятности (1.5) и относительной частоты (1.1), заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически . Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.
Однако, вычисление вероятности требует наличия предварительной информации о количестве или вероятностях благоприятствующих данному событию элементарных исходов. В случае отсутствия такой предварительной информации для определения вероятности прибегают к эмпирическим данным, то есть, по результатам стохастического эксперимента определяют относительную частоту события.
Пример 1.23 . Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей r (А) = 3/80.
Пример 1.24 . По цели.произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели. r (А) =19/24.
Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число можно принять за приближенное значение вероятности.
Подробнее и точнее связь между относительной частотой и вероятностью будет изложена далее. Теперь же проиллюстрируем свойство устойчивости на примерах.
Пример 1.25 . По данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Относительная частота колеблется около числа 0,481, которое можно принять за приближеннее значение вероятности рождения девочек.
Заметим, что статистические данные различных стран дают примерно то же значение относительной частоты.
Пример 1.26. Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появление «герба». Результаты нескольких опытов приведены в таблице.
- Вероя́тность - степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае - маловероятным или невероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей либо меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.
Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину - теорию вероятностей. В теории вероятностей и математической статистике понятие вероятности формализуется как числовая характеристика события - вероятностная мера (или её значение) - мера на множестве событий (подмножеств множества элементарных событий), принимающая значения от
{\displaystyle 0}
{\displaystyle 1}
Значение
{\displaystyle 1}
Соответствует достоверному событию. Невозможное событие имеет вероятность 0 (обратное вообще говоря не всегда верно). Если вероятность наступления события равна
{\displaystyle p}
То вероятность его ненаступления равна
{\displaystyle 1-p}
В частности, вероятность
{\displaystyle 1/2}
Означает равную вероятность наступления и ненаступления события.
Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место и они являются равновозможными. Данное классическое «определение» вероятности можно обобщить на случай бесконечного количества возможных значений - например, если некоторое событие может произойти с равной вероятностью в любой точке (количество точек бесконечно) некоторой ограниченной области пространства (плоскости), то вероятность того, что оно произойдет в некоторой части этой допустимой области равна отношению объёма (площади) этой части к объёму (площади) области всех возможных точек.
Эмпирическое «определение» вероятности связано с частотой наступления события исходя из того, что при достаточно большом числе испытаний частота должна стремиться к объективной степени возможности этого события. В современном изложении теории вероятностей вероятность определяется аксиоматически, как частный случай абстрактной теории меры множества. Тем не менее, связующим звеном между абстрактной мерой и вероятностью, выражающей степень возможности наступления события, является именно частота его наблюдения.
Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в эконометрике, статистической физике макроскопических (термодинамических) систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу.
Начальный уровень
Теория вероятностей. Решение задач (2019)
Что такое вероятность?
Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно.
Вероятность - это шанс того, что произойдет нужное нам событие.
Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой двери на выбор.
Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры, а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.
Но каков этот шанс?
Дверей, нужная дверь. Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: . То есть один раз из трех ты точно угадаешь.
Мы хотим узнать, позвонив раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:
- Ты позвонил в 1ю дверь
- Ты позвонил в 2ю дверь
- Ты позвонил в 3ю дверь
А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:
а. За 1ой
дверью
б. За 2ой
дверью
в. За 3ей
дверью
Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком - когда не совпадает.
Как видишь всего возможно вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.
А благоприятных исходов всего . То есть раза из ты угадаешь, позвонив в дверь раз, т.е. .
Это и есть вероятность - отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.
Определение - это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:
Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за - количество благоприятных исходов, а за - общее количество исходов.
Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на:
Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие - это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.
Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.
Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?
Если ты подумал, что, то это ошибка. Давай разбираться.
У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:
1) Позвонить в 1-ую
дверь
2) Позвонить во 2-ую
дверь
Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):
а) Друг за 1-ой
дверью
б) Друг за 2-ой
дверью
Давай снова нарисуем таблицу:
Как видишь, всего есть варианта, из которых - благоприятны. То есть вероятность равна.
А почему не?
Рассмотренная нами ситуация - пример зависимых событий. Первое событие - это первый звонок в дверь, второе событие - это второй звонок в дверь.
А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, .
Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые ? Верно, бывают.
Хрестоматийный пример - бросание монетки.
- Бросаем монетку раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел? Правильно - , ведь вариантов всего (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только.
- Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же. Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.
И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на раз будет все также. Вариантов всегда, а благоприятных - .
Отличить зависимые события от независимых легко:
- Если эксперимент проводится раз (раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
- Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет - независимые.
Давай немного потренируемся определять вероятность.
Пример 1.
Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?
Решение:
Рассмотрим все возможные варианты:
- Орел-орел
- Орел-решка
- Решка-орел
- Решка-решка
Как видишь, всего варианта. Из них нас устраивает только. То есть вероятность:
Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на.
Ответ:
Пример 2.
В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из конфет - с орехами, с коньяком, с вишней, с карамелью и с нугой.
Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.
Решение:
Сколько всего возможных исходов? .
То есть, взяв одну конфету, она будет одной из, имеющихся в коробке.
А сколько благоприятных исходов?
Потому что в коробке только конфет с орехами.
Ответ:
Пример 3.
В коробке шаров. из них белые, - черные.
- Какова вероятность вытащить белый шар?
- Мы добавили в коробку еще черных шаров. Какова теперь вероятность вытащить белый шар?
Решение:
а) В коробке всего шаров. Из них белых.
Вероятность равна:
б) Теперь шаров в коробке стало. А белых осталось столько же - .
Ответ:
Полная вероятность
| Вероятность всех возможных событий равна (). |
Допустим, в ящике красных и зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?
Вероятность вытащить красный шар
Зеленый шар:
Красный или зеленый шар:
Как видишь, сумма всех возможных событий равна (). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.
Пример 4.
В ящике лежит фломастеров: зеленых, красных, синих, желтых, черный.
Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?
Решение:
Давай посчитаем количество благоприятных исходов.
НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.
Вероятность всех событий. А вероятность событий, которые мы считаем неблагоприятными (когда вытащим красный фломастер) - .
Таким образом, вероятность вытащить НЕ красный фломастер - .
Ответ:
| Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет. |
Правило умножения вероятностей независимых событий
Что такое независимые события ты уже знаешь.
А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?
Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку раза, мы два раза увидим орла?
Мы уже считали - .
А если бросаем монетку раза? Какова вероятность увидеть орла раза подряд?
Всего возможных вариантов:
- Орел-орел-орел
- Орел-орел-решка
- Орел-решка-орел
- Орел-решка-решка
- Решка-орел-орел
- Решка-орел-решка
- Решка-решка-орел
- Решка-решка-решка
Не знаю как ты, но я раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только вариант (первый).
Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.
Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.
Другими словами,
Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.
Вероятность выпадения орла в испытании? . Теперь мы бросаем монетку раз.
Какова вероятность выпадения раз подряд орла?
Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.
Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при бросках подряд, мы поступили бы также.
Вероятность выпадения решка - , орла - .
Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:
Можешь проверить сам, составив таблицу.
Правило сложения вероятностей несовместных событий.
Так стоп! Новое определение.
Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её раза.
Возможные варианты:
- Орел-орел-орел
- Орел-орел-решка
- Орел-решка-орел
- Орел-решка-решка
- Решка-орел-орел
- Решка-орел-решка
- Решка-решка-орел
- Решка-решка-решка
Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. - это несовместные события.
Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий.
Нужно понять, что выпадение орла или решки - это два независимых события.
Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?
Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно раз, т.е. варианты и, то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.
Всего вариантов, нам подходит.
То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:
Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.
Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:
Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла раз.
Что должно произойти?
Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:
Давай рассмотрим несколько примеров.
Пример 5.
В коробке лежит карандашей. красных, зеленых, оранжевых и желтых и черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?
Решение:
Что должно произойти? Мы должны вытащить (красный ИЛИ зеленый).
Теперь понятно, складываем вероятности этих событий:
Ответ:
Пример 6.
Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?
Решение.
Как мы можем получить очков?
(и) или (и) или (и) или (и) или (и).
Вероятность выпадения одной (любой) грани - .
Считаем вероятность:
Ответ:
Тренировка.
Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.
Задачи:
Возьмем карточную колоду, в которой карты, из них пик, червей, 13 треф и 13 бубен. От до туза каждой масти.
- Какова вероятность вытащить трефы подряд (первую вытащенную карту мы кладем обратно в колоду и перемешиваем)?
- Какова вероятность вытащить черную карту (пики или трефы)?
- Какова вероятность вытащить картинку (вальта, даму, короля или туза)?
- Какова вероятность вытащить две картинки подряд (первую вытащенную карту мы убираем из колоды)?
- Какова вероятность, взяв две карты, собрать комбинацию - (валет, дама или король) и туз Последовательность, в которой будут вытащены карты, не имеет значения.
Ответы:
- В колоде карты каждого достоинства, значит:
- События зависимы, так как после первой вытащенной карты количество карт в колоде уменьшилось (как и количество «картинок»). Всего вальтов, дам, королей и тузов в колоде изначально, а значит вероятность первой картой вытащить «картинку»:
Поскольку мы убираем из колоды первую карту, то значит в колоде осталось уже карта, из них картинок. Вероятность второй картой вытащить картинку:
Поскольку нас интересует ситуация, когда мы достаем из колоды: «картинку» И «картинку», то нужно перемножать вероятности:
Ответ:
- После первой вытащенной карты, количество карт в колоде уменьшится.Таким образом, нам подходит два варианта:
1) Первой картой вытаскиваем Туза, второй - валета, даму или короля
2) Первой картой вытаскиваем валета, даму или короля, второй - туза.Т.е. (туз и (валет или дама или король)) или ((валет или дама или король) и туз). Не забываем про уменьшение количества карт в колоде!
Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки!
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от до скольки? До.
Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало или. И нам выпадает.
В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие (не путай с благополучным).
Если бы выпало, событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.
А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий, значит, неблагоприятных из них события (это если выпадет или).
Определение:
Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий . То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.
Обозначают вероятность латинской буквой (видимо, от английского слова probability - вероятность).
Принято измерять вероятность в процентах (см. тему , ) . Для этого значение вероятности нужно умножать на. В примере с игральной костью вероятность.
А в процентах: .
Примеры (реши сам):
- С какой вероятностью при бросании монетки выпадет орел? А с какой вероятностью выпадет решка?
- С какой вероятностью при бросании игральной кости выпадет четное число? А с какой - нечетное?
- В ящике простых, синих и красных карандашей. Наугад тянем один карандаш. Какова вероятность вытащить простой?
Решения:
- Сколько всего вариантов? Орел и решка - всего два. А сколько из них благоприятных? Только один - орел. Значит, вероятность
С решкой то же самое: .
- Всего вариантов: (сколько сторон у кубика, столько и различных вариантов). Благоприятных из них: (это все четные числа:).
Вероятность. С нечетными, естественно, то же самое. - Всего: . Благоприятных: . Вероятность: .
Полная вероятность
Все карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность (ведь благоприятных событий -).
Такое событие называется невозможным .
А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события - благоприятные). Значит, вероятность равна или.
Такое событие называется достоверным .
Если в ящике зеленых и красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же. Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна, а красный - .
В сумме эти вероятности равны ровно. То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна или.
Пример:
В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность не вытащить зеленый?
Решение:
Помним, что все вероятности в сумме дают. А вероятность вытащить зеленый равна. Значит, вероятность не вытащить зеленый равна.
Запомни этот прием: вероятность того, что событие не произойдет равна минус вероятность того, что событие произойдет.
Независимые события и правило умножения
Ты кидаешь монетку раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого?
Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их:
Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще?
Всего варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна.
Хорошо. А теперь кидаем монетку раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ).
Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в раза. Общее правило называется правилом умножения :
Вероятности независимых событий переменожаются.
Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки.
Еще примеры:
- Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет?
- Монетку бросают раза. Какова вероятность, что в первый раз выпадет орел, а потом два раза решка?
- Игрок бросает две кости. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна?
Ответы:
- События независимы, значит, работает правило умножения: .
- Вероятность орла равна. Вероятность решки - тоже. Перемножаем:
- 12 может получиться только, если выпадут две -ки: .
Несовместные события и правило сложения
Несовместными называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка.
Пример.
В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный?
Решение .
Вероятность вытащить зеленый карандаш равна. Красный - .
Благоприятных событий всего: зеленых + красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна.
Эту же вероятность можно представить в таком виде: .
Это и есть правило сложения: вероятности несовместных событий складываются.
Задачи смешанного типа
Пример.
Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?
Решение .
Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.
Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае:
Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).
Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» - сложение:
Попробуй сам:
- С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
- Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет очков?
Решения:
- (Выпал орел и выпал орел) или (выпала решка и выпала решка): .
- Какие есть варианты? и. Тогда:
Выпало (и) или (и) или (и): .
Еще пример:
Бросаем монетку раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?
Решение:
Ой, как же не хочется перебирать варианты… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А и не надо! Вспоминаем про полную вероятность. Вспомнил? Какова вероятность, что орел не выпадет ни разу ? Это же просто: все время летят решки, значит.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Вероятность - это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
Независимые события
Два события независимы если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.
Полная вероятность
Вероятность всех возможных событий равна ().
Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.
Правило умножения вероятностей независимых событий
Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий
Несовместные события
Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.
Вероятности несовместных событий складываются.
Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 999 руб.
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.
На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.
Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Краткая теория
Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события. Вероятностью случайного события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.
Величины, определяющие, насколько значительны объективные основания рассчитывать на появление события, характеризуются вероятностью события. Необходимо подчеркнуть, что вероятность есть объективная величина, существующая независимо от познающего и обусловленная всей совокупностью условий, которые способствуют появлению события.
Объяснения, которые мы дали понятию вероятности, не являются математическим определением, так как они не определяют это понятие количественно. Существует несколько определений вероятности случайного события, которые широко применяются при решении конкретных задач (классическое, аксиоматическое, статистическое и т. д.).
Классическое определение вероятности события сводит это понятие к более элементарному понятию равновозможных событий, которое уже не подлежит определению и предполагается интуитивно ясным. Например, если игральная кость - однородный куб, то выпадения любой из граней этого куба будут равновозможными событиями.
Пусть достоверное событие распадается на равновозможных случаев , сумма которых дает событие . То есть случаи из , на которые распадается , называются благоприятствующими для события , так как появление одного из них обеспечивает наступление .
Вероятность события будем обозначать символом .
Вероятность события равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, из общего числа единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.
Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число n, число случаев m, благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по вышеприведенной формуле.
Вероятность события, равная отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта называется классической вероятностью случайного события.
Из определения вытекают следующие свойства вероятности:
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Свойство 4. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.
Свойство 5. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления события A.
Число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события . Отсюда вероятность наступления противоположного события равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A:
Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.
При выполнении комплекса условий достоверное событие обязательно произойдет, а невозможное обязательно не произойдет. Среди событий, которые при создании комплекса условий могут произойти, а могут не произойти, на появление одних можно рассчитывать с большим основанием, на появление других с меньшим основанием. Если, например, в урне белых шаров больше, чем черных, то надеяться на появление белого шара при вынимании из урны наудачу больше оснований, чем на появление черного шара.
Пример решения задачи
Пример 1
В ящике находится 8 белых, 4 черных и 7 красных шаров. Наудачу извлечены 3 шара. Найти вероятности следующих событий: – извлечен по крайней мере 1 красный шар, – есть по крайней мере 2 шара одного цвета, – есть по крайней мере 1 красный и 1 белый шар.
Решение задачи
Общее число исходов испытания найдем как число сочетаний из 19 (8+4+7) элементов по 3:
Найдем вероятность события – извлечен по крайней мере 1 красный шар (1,2 или 3 красных шара)
Искомая вероятность:
Пусть событие – есть по крайней мере 2 шара одного цвета (2 или 3 белых шара, 2 или 3 черных шара и 2 или 3 красных шара)
Число исходов, благоприятствующих событию:
Искомая вероятность:
Пусть событие – есть по крайней мере один красный и 1 белый шар
(1 красный, 1 белый, 1 черный или 1 красный, 2 белых или 2 красных, 1 белый)
Число исходов, благоприятствующих событию:
Искомая вероятность:
Ответ: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068
Пример 2
Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков не меньше 5.
Решение
Пусть событие – сумма очков не меньше 5
Воспользуемся классическим определением вероятности:
Общее число возможных исходов испытания
Число испытаний, благоприятствующих интересующему нас событию
На выпавшей грани первого игрального кубика может появиться одно очко, два очка…, шесть очков. аналогично шесть исходов возможны при бросании второго кубика. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов второй. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу размещений с повторениями (выбор с размещениями 2 элементов из совокупнности объема 6):
Найдем вероятность противоположного события – сумма очков меньше 5
Благоприятствовать событию будут следующие сочетания выпавших очков:
| № | 1-я кость | 2-я кость | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 1 | 5 | 1 | 3 |
Изложено геометрическое определение вероятности и приведено решение широко известной задачи о встрече.
