Главная » Современный дизайн частного дома » Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции. Исследование графика функции

Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции. Исследование графика функции

Название числа 90; цифра 90. Разделить девяносто на десять. Написать девяносто.

|| Количество 90. Девяносто рублей. С девяноста рублями. По девяносто рублей.

Толковый словарь Ушакова . Д.Н. Ушаков. 1935-1940 .

Смотреть что такое "ДЕВЯНОСТО" в других словарях:

Девяносто... Начальная часть сложных слов, вносящая значения 1) состоящий из девяноста частей, разделов или предметов, образующих единое целое 2) имеющий девяносто одинаковых предметов, признаков, свойств и т.п. (девяностоместный и т.п.) 3)… …

ДЕВЯНОСТО, а, колич. Число и количество 90. За д. кому н. (больше девяноста лет). Под д. кому н. (скоро будет девяносто лет). | поряд. девяностый, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

девяносто - девяносто, род. девяноста. В сочетании с предлогом «по»: по девяноста и допустимо по девяносто … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

Числ., употр. сравн. часто Морфология: сколько? девяносто, (нет) скольких? девяноста, скольким? девяноста, (вижу) сколько? девяносто, сколькими? девяноста, о скольких? о девяноста Девяносто означает число или количество 90. Девяносто делится на… … Толковый словарь Дмитриева

90 девяносто 87 · 88 · 89 · 90 · 91 · 92 · 93 60 · 70 · 80 · 90 · 100 · 110 · 120 Факторизация: 2×3×3×5 Римская запись: XC Двоичное: 101 1010 … Википедия

Др. русск. девяносто (с 1398 г., см. Ягич, ниже), укр. дев яносто. У всех прочих славян имеется продолжение праслав. *devętь desętъ: ст. слав. девѩтьдесѩтъ, болг. деветдесет, сербохорв. деведѐсе̑т, словен. devȇtdeset, чеш. devadesat, польск.… … Этимологический словарь русского языка Макса Фасмера

девяносто - Как это ни странно, но удовлетворительного объяснения этого внешне простого числительного пока нет. Ведь было же когда то общеславянское девятьдесять, которое могло дать слово, образованное по общему принципу, как, например, двадцать; самое… … Этимологический словарь русского языка Крылова

Числ. 1. Название числа, состоящего из 90 единиц. 2. Такое количество единиц чего либо. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Девяносто, девяноста, девяноста, девяноста, девяноста (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов

девяносто - Искон. Восходит общеслав. диал. *devenosъto, сложению числительных девен «девять» (без суф. t , см. девять) и съто. Буквально «девять десятков» (из сотни). См. девять, сто … Этимологический словарь русского языка

Книги

Девяносто третий год , Виктор Гюго. "Девяносто третий год" . Блестящая хроника излома Великой Французской революции - и одновременно увлекательный исторический роман, полный приключений и неожиданныхсюжетных поворотов. Итак, в…
Девяносто третий год. Эрнани , Виктор Гюго. В книгу вошли всемирно известный роман "Девяносто третий год", в котором великий французский писатель-демократ Виктор Гюго воссоздает полные величественного драматизма страницы французской…

Определение. Пусть функция $y = f(x) $ определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку $x_0 $. Дадим аргументу приращение $\Delta x $ такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции $\Delta y $ (при переходе от точки $x_0 $ к точке $x_0 + \Delta x $) и составим отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} $. Если существует предел этого отношения при $\Delta x \rightarrow 0 $, то указанный предел называют производной функции $y=f(x) $ в точке $x_0 $ и обозначают $f"(x_0) $.

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y". Отметим, что y" = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
$k = f"(a) $

Поскольку $k = tg(a) $, то верно равенство $f"(a) = tg(a) $ .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция $y = f(x) $ имеет производную в конкретной точке $x $:
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство $\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f"(x) $, т.е. $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $. Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. Например, для функции $y = x^2 $ справедливо приближенное равенство $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $. Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение $x $, найти $f(x) $
2. Дать аргументу $x $ приращение $\Delta x $, перейти в новую точку $x+ \Delta x $, найти $f(x+ \Delta x) $
3. Найти приращение функции: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Составить отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} $
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f"(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $. Если в этом равенстве $\Delta x $ устремить к нулю, то и $\Delta y $ будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция $y=\sqrt{x} $ непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и $f"(0) $

Итак, мы познакомились с новым свойством функции - дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C - постоянное число и f=f(x), g=g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования :

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ (Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac{f}{g} \right) " = \frac{f"g-fg"}{g^2} $$ $$ \left(\frac{C}{g} \right) " = -\frac{Cg"}{g^2} $$ Производная сложной функции:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Таблица производных некоторых функций

$$ \left(\frac{1}{x} \right) " = -\frac{1}{x^2} $$ $$ (\sqrt{x}) " = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^{a-1} $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac{1}{x} $$ $$ (\log_a x)" = \frac{1}{x\ln a} $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text{tg} x)" = \frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ (\text{ctg} x)" = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ $$ (\arcsin x)" = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\arccos x)" = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\text{arctg} x)" = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ (\text{arcctg} x)" = \frac{-1}{1+x^2} $$

Приращения функции к приращению аргумента, который стремится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Например, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.

Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).

Найдите значение переменной данного . Это будут те значения, при данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры вместо x, при которых все выражение станет нулевым. Например:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для каждого из полученных . На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за начало отсчета. Чтобы высчитать значение на промежутках подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Например, для предыдущей функции до промежутка -1 можно выбрать значение -2. На от -1 до 1 можно выбрать 0, а для значений больше 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и выясните знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. отрицательно и на данном промежутке будет знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а на данном промежутке ставится знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и ставится минус.

Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.

Видео по теме

Полезный совет

Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают нужные значения и выводят результат. На таких сайтах можно найти производную до 5 порядка.

Источники:

Один из сервисов вычисления производных
точку максимума функции

Точки максимума функции наряду с точками минимума называются точками экстремума. В этих точках функция меняет характер поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых интервалах и всегда являются локальными.

Инструкция

Процесс нахождения локальных экстремумов называется функции и выполняется путем анализа первой и второй производной функции. Перед началом исследования убедитесь, что заданный интервал значений аргумента принадлежит к допустимым значениям. Например, для функции F=1/x значение аргумента х=0 недопустимо. Или для функции Y=tg(x) аргумент не может иметь значение х=90°.

Убедитесь, что функция Y дифференцируема на всем заданном отрезке. Найдите первую производную Y". Очевидно, что до достижения точки локального максимума функция возрастает, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость изменения функции. Пока функция возрастает, скорость этого процесса является величиной положительной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса изменения функции становится отрицательной. Переход скорости изменения функции через ноль происходит в точке локального максимума.

Например, функция Y=-x²+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет непрерывную производную Y"=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y"=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x²+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.

Точка х 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство)()(0 xfxf

Точка х 1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х 1 выполняется неравенство)()(1 xfxf Значения функции в точках х 0 и х 1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции называется экстремумом функции.

На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть, что минимум в одной точке больше максимума в другой. Максимум или минимум функции на некотором промежутке не являются в общем случае наибольшим и наименьшим значением функции. Если в некоторой точке хх 00 дифференцируемая функция f(xf(x)) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняется теорема Ферма и производная функции в этой точке равна нулю: 0)(0 xf

Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не дифференцируема. Например, функцияxy имеет минимум в точке 0 x но она в этой точке не дифференцируема.

Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х 0 , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются критическими или стационарными. Т. об. , если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка является критической. Но критическая точка не обязательно является точкой экстремума.

Применим необходимое условие экстремума: xxy 2)(2 002 xприxy 0 0 y x — критическая точка

Применим необходимое условие экстремума: 23 3)1(xxy 003 2 xприxy 1 0 y x — критическая точка

Если при переходе через точку х 0 производная дифференцируемой функции y=f(x) меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума, а если с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума.

Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т. е. на некотором интервале 0 ; xa 0)(xf а на некотором интервале bx; 0 0)(xf Тогда функция y=f(x) будет возрастать на 0 ; xa

и будет убывать на bx; 0 По определению возрастающей функции 00 ;)()(xaxвсехдляxfxf Для убывающей функции bxxвсехдляxfxf;)()(00 0 x -точка максимума. Аналогично доказывается для минимума.

1 Найти производную функции)(xfy 2 Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

3 Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки. 4 Найти экстремум функции.

Применим схему исследования функции на экстремум: 1 Находим производную функции: 233)1(3)1())1((xxxxxy)14()1()31()1(22 xxxxx

3 Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки: x 4 1 1 y y В точке х=1 х=1 экстремума нет.

Если первая производная дифференцируемой функции y=f(x) в точке х 0 равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то х 0 есть точка минимума, а если вторая производная отрицательна, то х 0 есть точка максимума.

Пусть 0)(0 xf следовательно 0)(0 xf и в некоторой окрестности точки х 00 , т. е. 0)()(xfxf

функцияba; будет возрастать на)(xf содержащем точку х 00. . Но Но 0)(0 xf на интервале 0 ; xa 0)(xf а на интервале bx; 0 0)(xf

Таким образом, функция при переходе через точку х 00 меняет знак с минуса на плюс, следовательно эта точка является точкой минимума.)(xf Аналогично доказывается случай для максимума функции.

Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но третий пункт следует заменить на: 3 Найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая производная функции не равна нулю, то эта точка является точкой экстремума. Обратное утверждение не верно: если в критической точке вторая производная функции равна нулю, то эта точка также может являться точкой экстремума. В этом случае для исследования функции необходимо использовать первое достаточное условие экстремума.

Определение. Точки максимума и минимума функции называютсяточками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума)Если функция f (x ) дифференцируема в точке х = х 1 и точка х 1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функцияf(x) имеет в точке х = х 1 максимум.

Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:

По определению:

Т.е. если х0, нох<0, тоf(x 1)0, а еслих0, нох>0, тоf(x 1)0.

А возможно это только в том случае, если при х0f(x 1) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х 2 минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х 3 , производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) =xПример: f(x) =

y y

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f (x ) непрерывна в интервале (a , b ), который содержит критическую точку х 1 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х 1 ).

Если при переходе через точку х 1 слева направо производная функции f  (x ) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х 1 функция f (x ) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Доказательство.

Пусть

По теореме Лагранжа: f (x ) – f (x 1 ) = f  ( )(x – x 1 ), гдеx<

Тогда: 1) Если х < x 1 , то0;f()(x–x 1)<0, следовательно

f(x) –f(x 1)<0 илиf(x)

2) Если х > x 1 , то>x 1 f()<0;f()(x–x 1)<0, следовательно

f(x) –f(x 1)<0 илиf(x)

Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x)

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

Теорема доказана.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

Найти критические точки функции.

Найти значения функции в критических точках.

Найти значения функции на концах отрезка.

Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков.

Пусть в точке х = х 1 f(x 1) = 0 иf(x 1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х 1 .

Теорема. Если f  (x 1 ) = 0, то функция f (x ) в точке х = х 1 имеет максимум, если f  (x 1 )<0 и минимум, если f  (x 1 )>0.

Доказательство.

Пусть f(x 1) = 0 иf(x 1)<0. Т.к. функцияf(x) непрерывна, тоf(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

Т.к. f(x) = (f(x))< 0, тоf(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , ноf(x 1)=0, т.е.f(x) > 0 при хx 1 . Это и означает, что при переходе через точку х = х 1 производнаяf(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функцияf(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

Выпуклость и вогнутость кривой.

Точки перегиба.

Определение. Кривая обращена выпуклостьювверх на интервале (а,b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называетсявыпуклой , а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называетсявогнутой .

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a , b ) вторая производная функции f (x ) отрицательна, то кривая y = f (x ) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Доказательство. Пусть х 0 (a,b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

Уравнение кривой: y=f(x);

Уравнение касательной:

Следует доказать, что .

По теореме Лагранжа для f(x) –f(x 0): ,x 0

По теореме Лагранжа для

Пусть х > x 0 тогдаx 0 0 иc–x 0 > 0, и кроме того по условию

, следовательно,
.

Пусть xто

Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (a,b), то криваяy=f(x) вогнута на интервале (a,b).

Теорема доказана.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называетсяточкой перегиба .

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f (x ). Если вторая производная f  (a ) = 0 или f  (a ) не существует и при переходе через точку х = а f  (x ) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Доказательство. 1) Пустьf(x) < 0 при х 0 приx>a. Тогда при

xaкривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.

Пусть f(x) > 0 приxb– выпуклостью вверх. Тогдаx=b– точка перегиба.

Теорема доказана.

Асимптоты.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называетсяасимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции
. Ее наклонная асимптота у = х.