Дайте определение числового промежутка. Числовой интервал. Основные характеристики функции: монотонность, четность, периодичность
Если мы хотим выяснить, является ли данное множество с определенной на нем бинарной операцией группой, нам следует проверить, выполняются ли сформулированные в предыдущей главе аксиомы. Давайте выясним, какие из рассмотренных далее множеств можно считать группами. Начнем с группы А (см. стр. 10).
Пример 1. Множество элементов: все целые числа (положительные, отрицательные и нуль).
Бинарная операция: сложение.
Ассоциативность: сложение чисел ассоциативно.
Единичный элемент: нуль является элементом рассматриваемого множества и для любого целого числа и выполняются равенства . Нуль является единицей группы.
Обратные элементы: если u - целое число, то , противоположное число, также является целым и таким образом, является обратным к и элементом, или, в групповых обозначениях, .
Итак, проверка показывает, что А есть группа. Так как она содержит бесконечно много элементов, то мы будем говорить, что эта группа бесконечна, и называть ее бесконечной аддитивной группой, или аддитивной группой целых чисел.
Пример 2. Рассмотрим то же множество, что и в примере 1, но теперь с операцией умножения. Читатель может убедиться, что умножение является бинарной операцией на множестве целых чисел и что для этой операции справедливы аксиома ассоциативности и аксиома о единичном элементе.
Чтобы выяснить, выполняется ли аксиома 3, попытаемся найти элемент, обратный к элементу 2. Нам нужно найги целое число и, такое, что или . Такого целого числа не существует. Следовательно, это не группа.
Пример 3. Множество состоит из двух чисел а в качестве бинарной операции возьмем умножение:
Ассоциативность: очевидно.
Единичный элемент: единицей является 1.
Обратные элементы: имеем . Таким образом, обратным к любому элементу является он сам.
Итак, это группа. Число элементов в ней конечно, и поэтому мы будем говорить, что эта группа конечна. Порядок конечной группы равен числу ее элементов. Рассматриваемая группа есть группа порядка 2.
Пример 4. Существует ли группа порядка 1? Будет ли группой множество, состоящее из одного числа 1 с умножением в качестве бинарной операции? Проверка трех аксиом показывает, что это действительно группа порядка 1.
Пример 5. Теперь рассмотрим группу, элементами которой являются движения геометрической фигуры. При изучении этой группы мы столкнемся со многими существенными особенностями таких движений. Возникающие при этом понятия будут часто встречаться в дальнейшем, и потому мы займемся этим вопросом довольно подробно. К тому же это поможет читателю заложить прочную основу для дальнейшего.
Рассмотрим движение равностороннего треугольника, который может вращаться в своей плоскости вокруг оси, проходящей через его центр. За элементы предполагаемой группы примем некоторые вращения этого треугольника, а в качестве бинарной операции - их суперпозицию, или «последовательное выполнение» (см. стр. 17).
Нас будут интересовать только те движения, в результате которых повернутый треугольник совмещается с исходным. Такие движения назовем самосовмещениями.
Чтобы дать конкретное описание самосовмещений, выберем некоторое произвольное положение нашего равностороннего треугольника на плоскости в качестве его начального положения.
Затем мы сопоставим каждой вершине некоторое число как ее опознавательную метку. Тогда наш равносторонний треугольник будет выглядеть, как это показано на рис. 3.1. Точка в центре - это точка пересечения оси вращения с плоскостью треугольника. Метки при вершинах помогут нам их узнать, когда вершины будут смещены некоторым движением из нашего множества. Нужно помнить, что для совмещения треугольника с самим собой не обязательно, чтобы каждая (помеченная) вершина совпала с собой, нужно только, чтобы множество точек, составляющих стороны треугольника после поворота, совпало с множеством точек, составляющим его стороны в начальном положении. Например, если треугольник, изображенный на рис. 3.1, будет повернут вокруг оси на 120° против часовой стрелки, то мы сможем рассматривать повернутый треугольник как второй треугольник, наложенный на треугольник, находящийся в начальном положении. Эта ситуация изображена на рис. 3.2. Цифры в скобках соответствуют расположению вершин треугольника, когда он находился в начальном положении.
Мы видим, что такое вращение связано с перестановкой вершин, а именно вершина 1 замещается вершиной 2, вершина 2 - вершиной 3, вершина 3 - вершиной 1.
Совмещение с собой в результате вращения удобно представлять себе с помощью «разделения» двух положений треугольника (см. рис. 3.3). Заметим, что угол при вершине 1 зачернен, для того чтобы легче было следить за движениями треугольника.
Рис. 3.3. Слева треугольник изображен в начальном положении, а справа - после вращения на 120° против часовой стрелки.
Хотя два положения треугольника изображены рядом, не следует забывать, что этот рисунок - лишь удобное представление такого вращения треугольника, после которого он совмещается с собой.
Существуют ли другие вращения, которые переводят треугольник из исходного положения во второе положение, изображенное выше? Конечно, таким будет вращение на 240° по часовой стрелке, равно как и вращение против часовой стрелки на 480 или 840°. Читатель может сам убедиться, что любое вращение из бесконечного множества
обладает этим свойством (вращения против часовой стрелки на отрицательный угол интерпретируются как вращения по часовой стрелке).
Все движения из множества А обладают общим свойством, а именно все они одинаковым образом объединяют в пары вершины нашего треугольника в начальном положении с вершинами того же треугольника после поворота:
Читателю следует обратить внимание на то, что вращения из множества А обладают этим свойством вне зависимости от того, какое положение треугольника мы выбрали в качестве начального.
Пусть теперь а - произвольный элемент множества А.
Рис. 3.4. Слева изображено начальное положение треугольника; справа - положение, которое принял треугольник в результате движения а.
Движение а можно рассматривать как представитель множества А в том смысле, что вращение а переводит треугольник из (произвольно) выбранного начального положения в такое положение, когда он совмещается с исходным, а вершины объединяются в пары следующим образом (рис. 3.4):
(Помните, что все движения из множества А обладают этим свойством.)
В этой ситуации нам кажется удобным обозначить через а некоторое движение из множества А. Например, можно взять в качестве а поворот на 120° против часовой стрелки. Такой выбор соответствует k = 0 в выражении Если читатель предпочтет какое-либо другое а, он может выбрать, скажем, k = 13 и запомнить, что вращение на 4800° против часовой стрелки является «его собственным» представителем множества А.
Тот или иной выбор - это лишь вопрос удобства. Существенно здесь лишь то, что все движения, входящие в множество А, объединяют вершины нашего треугольника в пары одинаковым образом, не зависящим от выбора начального положения треугольника.
Используя наши опознавательные метки обозначим это объединение в пары так:
Существуют ли другие, не входящие в множество А вращения, которые являются самосовмещениями этого треугольника? Рассмотрим множество вращений
В результате каждого из этих движений происходит наложение, изображенное на рис. 3.5. Рис. 3.6 изображает то же самое, но в «разделенной» форме.
Рис. 3.6. Слева изображен треугольник в начальном положении.
Как и выше, пусть b обозначает произвольный элемент множества В, который и будет его «представителем» Для удобства мы пометили на рисунке символом I положение, которое принял треугольник в результат движения b.
Вне зависимости от того, какое вращение мы выбрали в множестве В, мы получаем следующую группировку в пары вершин нашего треугольника:
(т. е. вершина 1 замещается вершиной 3, вершина 3 - вершиной 2 и вершина 2 - вершиной 1).
Есть еще одно множество движений, которые переводят треугольник в себя, - это множество
На рис. 3.7 символом с обозначен произвольный элемент множества С.
Рис. 3.7. Слева изображен треугольник в начальном положении.
Отметим, что результат движения с состоит в следующем: треугольник совмещается со своим исходным положением; при этом вершины группируются следующим образом:
Наша цель - получить группу движений, и, так как группа должна иметь единицу (аксиома о единичном элементе), нам следует убедиться, что любое движение с из множества С удовлетворяет требованиям, предъявляемым к единичному элементу. Действительно, если - произвольный элемент множества А, В или С, то как суперпозиция движений с и так и суперпозиция и с суть вращения из того же множества, что и х. Чтобы проверить это, вспомним, что вращения, например, из множества А - это вращения на а вращения из множества С - это вращения на ,
Если два вращения выполняются последовательно, то угол, на который окажется повернутым в результате обоих вращений треугольник, есть сумма углов, на которые поворачивается треугольник при каждом из них. Таким образом, суперпозиция вращений а и с есть поворот на угол
Так как - целые числа, то k + m - также целое число и, следовательно, суперпозиция а и с есть вращение из множества А. Аналогично, суперпозиция с и а есть вращение на из множества А.
В обозначениях группового умножения (стр. 23) это запишется так:
и результат не зависит от того, какие элементы а, b и с выбраны в качестве представителей множеств А, В и С соответственно. Эти соотношения объясняют, почему мы будем использовать символ (обозначающий единичный элемент) для произвольного элемента из множества С.
Мы перебрали все возможные вращения вокруг выбранной нами оси, являющиеся самосовмещениями данного треугольника. Каждое такое вращение содержится в одном из трех множеств A, В, С с представителями а, b, I, соответствующими положениям треугольника, изображенным (в «разделенном» виде) на рис. 3.8. Отметим, что каждое из трех положений треугольника помечено символом, обозначающим то движение треугольника, которое переводит его из заданного начального положения в изображенное на рисунке.
Мы утверждаем, что множество, состоящее из трех классов самосовмещений с представителями I, а, b, образует группу с операцией «последовательного выполнения» в качестве бинарной операции.
Чтобы проверить, что операция «последовательного выполнения» является на этом множестве бинарной операцией, и убедиться в том, что аксиомы группы выполнены, найдем произведение любых двух элементов.
Найдем, например, определяя, какая группировка вершин в пары соответствует суперпозиции вращений а и b:
Движение а связывает вершину 1 с вершиной 2 (так, как это было описано на стр. 29), а движение b - вершину 2 с вершиной 1; таким образом, в результате суперпозиции движений а и b вершина 1 объединяется в пару сама с собой. То же самое происходит и с другими вершинами. Итак,
Ясно, что
Читатель может легко убедиться в том, что (и тогда будут рассмотрены уже все произведения).
Мы установили таким образом, что суперпозиция - бинарная операция на нашем множестве. Осталось проверить лишь выполнение групповых аксиом,
Ассоциативность. Мы уже проверили (стр. 20), что операция «последовательного выполнения» ассоциативна, когда элементами множества являются движения.
Единичный элемент. Предыдущие рассуждения показывают, что множество С с представителем I есть единица.
Обратные элементы. Так как разумеется, то каждый элемент в нашем множестве обладает обратным.
Пример 6. Предположим, что нас интересуют не сами целые числа, а лишь их остатки от деления на 2; будем считать два числа эквивалентными, если они дают при делении на 2 один и тот же остаток. Два целых числа эквивалентны, если оба они четные или оба нечетные.
Тот факт, что числа 6 и 8 имеют один и тот же остаток при делении на 2, мы будем выражать записью
где означает «эквивалентно», - «по модулю». Аналогично можно написать
так как 7 и 3 дают одинаковые остатки при делении на 2. Таким образом, если через обозначить произвольное четное число, а через у - нечетное, то
Действительно, понятие «эквивалентность по модулю 2» дает нам возможность взять 0 и 1 в качестве «представителей» четных и нечетных чисел соответственно.
Мы теперь можем исследовать группу с элементами 0 и 1 и бинарной операцией «сложение по модулю 2».
Определим сложение по модулю 2 (обозначаемое через двух целых чисел а и b следующим образом.
a-b – положительное число, то a>b .
Если при сравнении чисел a и b разность a-b
– отрицательное число, то a
Если неравенства записываются знаками < или >, то их называют строгими неравенствами.
Если неравенства записывают знаками ≤ или ≥, то их называют нестрогими неравенствами.
Примеры.
1. Сравните числа а и b по их разности.
а) a-b=-7. Решение.
Так как разность a-b – отрицательное число, то a б) a-b=4,5. Решение.
Так как разность a-b – положительное число, то a>b. в) a-b=0. Решение.
Так как разность a-b равна нулю, то a=b. 2.
Сравните данные числа. а) 0,099 и 0,1. Решение.
Десятичные дроби сравниваются поразрядно: из двух чисел больше то, которое содержит больше единиц высшего разряда. 0,099 < 0,1, так как 0<1 (сравнили десятые доли чисел). б) -5,43 и -5,6. Решение. -5,43 > -5,6, так как из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. так как из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше, а меньше та, числитель которой меньше. так как из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше, а меньше та, знаменатель которой больше. Решение.
Приведем дроби к общему знаменателю. Получаем: Теперь сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями. Получаем: 3.
Записать в виде двойного неравенства: 6 < 12 и 12 < 15. Решение
. 6 < 12 < 15. Читают: двенадцать больше шести и меньше пятнадцати. 4.
— 4 ≤ х < 3. Решение:
-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2. 5.
Задания для самостоятельного решения. 5.1
Сравните с нулем разность чисел а и b, если а) a 5.2.
Сравните данные числа. а) -2,467 и -2,476; б) 8,98 и 8,899; 5.3.
Выписать все целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству: а) -5 ≤ х < 1; б) -3 < x ≤ 3; в) 4 < x < 9; г) -8 ≤ x ≤ -4. Ответы.
5.1.
а
.
a-b<0; 5.1.
б
.
a-b>0; 5.1.
в
.
a-b=0. 5.2.
а
.
-2,467 > -2,476; 5.2.б.
8,98 > 8,899; 5.3.а
-5; -4; -3; -2; -1; 0; 5.3.б.
-2; -1; 0; 1; 2; 3; 5.3.в.
5; 6; 7; 8; 5.3.г.
-8; -7; -6; -5; -4. Примеры. Решить уравнение. 1.
1,5х+4 = 0,3х-2. 1,5х-0,3х = -2-4. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: 1,2х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: х = -6 :
1,2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как х = -5. Делили по правилу деления десятичной дроби на десятичную дробь: чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число:
6 :
1,2 = 60 :
12 = 5. Ответ:
5. 2.
3∙
(2х-9) = 4∙
(х-4). 6х-27 = 4х-16. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: (a-b) ∙
c = a ∙
c-b ∙
c. 6х-4х = -16+27. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
2х = 11. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = 11 :
2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Ответ:
5,5. 3.
7х- (3+2х)=х-9. 7х-3-2х = х-9. Раскрыли скобки по правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»: если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.
7х-2х-х = -9+3. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
4х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = -6 :
4. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Ответ:
-1,5. 3 ∙
(х-5) = 7 ∙
12 — 4 ∙
(2х-11). Умножили обе части равенства на 12 – наименьший общий знаменатель для знаменателей данных дробей. 3х-15 = 84-8х+44. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е.
(a-b) ∙
c = a ∙
c-b ∙
c. 3х+8х = 84+44+15. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
11х = 143. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
х = 143 :
11. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Ответ:
13. 5.
Решить самостоятельно уравнения: а)
3-2,6х = 5х+1,48; б)
1,6 ·
(х+5) = 4 ·
(4,5-0,6х); в)
9х- (6х+2,5) = — (х-5,5); 5а)
0,2; 5б)
2,5; 5в)
2; 5г)
-1. 1.
Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+» или не стоит никакого знака. Если перед скобками стоит знак «+» или не стоит никакого знака, то убираем скобки, знак «+» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, без изменений. Примеры.
Раскрыть скобки. 1а) (-3х+4) = -3х+4; 1б) (2a-3b)+(-c-d) = 2a-3b-c-d; 1в) 7x+(-a-2b+5c-k) = 7x-a-2b+5c-k. 2.
Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «-». Если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками. Примеры.
Раскрыть скобки. 2а) — (4х-5) = -4х+5; 2б) - (-2a+c) — (b-3d) = 2a-c-b+3d; 2в) - (4k-m) — (-a+2b) = -4k+m+a-2b. 3.
Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми
. Примеры подобных слагаемых: 5а и -а; 2с и -12с. Числовой множитель, стоящий перед буквенным множителем, называют коэффициентом
. Так, в выражении 5а коэффициент равен 5, а в выражении (-а) коэффициент равен (-1). Нахождение алгебраической суммы подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых
. Чтобы привести подобные слагаемые
, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть). Примеры.
Привести подобные слагаемые. 3а) 2а-7а+9а-6а = (2-7+9-6)а = -2а; 3б) -4m+6m-3m+4m = (-4+6-3+4) m = 3m; 3в) 5,2с-2,8с-6,4с+9с = (5,2-2,8-6,4+9)с = 5с. 4.
В алгебраическом выражении могут быть различного вида подобные слагаемые. В этом случае подобные слагаемые подчеркиваются одинаковыми линиями. Примеры.
Привести подобные слагаемые. 4а) -4а
+5с-11с-20а
= (-4-20)а+(5-11)с = -24а-6с; 4б) 3,2х
+5,6у-8х
-3у = (3,2-8)х+(5,6-3)у = -4,8х+2,6у; 4в) 8
m
-3k+7
m
-2k+12k+13
m
= (8+7+13) m+(-3-2+12) k = 28m+7k. 5.
Для преобразования алгебраических выражений с помощью раскрытия скобок используют распределительное свойство умножения: чтобы сумму чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на третье число и сложить результаты.
Примеры.
Раскрыть скобки. 5а) 2 (4х-5у) = 2 ∙
4х+2 ∙
(-5) = 8х-10у; 5б) -3 (4а+7с) = -3 ∙
4а-3 ∙
7с = -12а-21с; 5в) -6 (-а+4с) = -6 ∙
(-а) -6 ∙
4с = 6а-24с. 6.
Упростить алгебраическое выражение – это значит раскрыть скобки, выполнить указанные действия, привести подобные слагаемые. Примеры.
Упростить выражение. 6а) (3х+у) -2 (5х-у) = 3х
+у-10х
+2у = -7х+3у; 6б) 3х(а+1,5) -4ах = 3ах
+4,5х-4ах
= 4,5х-ах; 6в) -6 (х+у)+3 (2х-у) = -6х
-6у+6х
-3у = -9у. 7.
Примеры для самостоятельного решения
. Упростить: 7а) 4 (5-3а) — (11-а); 7б) 2 (3х-у) -6 (5х+3у); 7в) -2а(3с+4)+6ас; 7г) 5 (а-2с+1) -4 (-3+3с-а); 7д) –х(2у+7)+7 (х-4ху). Ответы.
7б) -24х-20у; 7г) 9а-22с+17; Вы перешли на эту страницу, чтобы получить составленный мною «Справочник по геометрии 7-9». В нём 415 пунктов (определения, теоремы и формулы с рисунками) на 48 страницах формата А4. По ссылке вы попадёте на мой ЯндексДиск , где вам будет предложено скачать (посмотреть) мой «Справочник по геометрии 7-9». Если вы распечатаете Справочник в виде книжки по 2 страницы на каждой стороне листа А4, то получится весьма компактная и удобная вещица, которая поможет вам в учёбе, в подготовке к ОГЭ или ЕГЭ. Желаю вам успехов! Не секрет, что при подготовке по математике к ОГЭ учащиеся испытывают бОльшие затруднения при решении задач модуля «Геометрия», причём не только второй части, но даже и при выполнении заданий первой части. Безусловно, чтобы чувствовать себя увереннее необходимо повторить ВЕСЬ теоретический материал геометрии 7-9. «Справочник по геометрии 7-9», несомненно, отлично вам в этом поможет! 1)
в
обычном электронном pdf файле
. Она стоит 200 рублей. Оплатить можно с помощью формы ниже. Оплата проводится самим сервисом Яндекс.Деньги, поэтому перевод денег осуществляется строго конфиденциально! После проверки получения денег я высылаю вам книгу на указанный вами электронный адрес. К книге отдельным файлом высылается памятка по решению задач на проценты. 2)
Книга «Как решать задачи на проценты» в 3d формате
. Что это за книга вы можете посмотреть в видео на этой странице ниже. Эта книга стоила 600 рублей, но теперь цена понижена в 2 раза потому что оказалось недоступным приложение к книге в виде тестов (тесты находились на иностранном сайте) — жаль, конечно, но все задачи, их решения и видео на месте, а это главное! Оплату проводит сервис Яндекс.Деньги — самый надежный и порядочный в мире. В форме оплаты вы введете свой электронный адрес, на который я и пришлю вам ссылку на скачивание книги и инструкцию. Также отдельно я пришлю вам памятку по решению задач на проценты. Если вы хотите научиться решать задачи на проценты, то полезной будет эта книга: смотрите видео ниже.
Дорогие учащиеся
, вы можете оплатить книгу и сами через уличный терминал. Далее: ВНИМАНИЕ!
Со своего компьютера отправляете мне письмо на адрес: at@сайт с какими-нибудь подробностями платежа из чека. Не забудьте написать свое имя и какую именно книгу вы оплатили. После проверки поступления денег я пришлю вам книгу в письме. С уважением Татьяна Яковлевна Андрющенко — автор сайта, на котором Вы находитесь. Чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения, надо: 1) умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в уравнениях стали противоположными числами;
2) сложить
почленно
полученные уравнения и найти значение одной из переменных;
3) подставить найденное значение одной переменной в одно из данных уравнений и найти значение второй переменной.
Если в данной системе коэффициенты при одной переменной являются противоположными числами, то решение системы начнём сразу с пункта 2). Примеры.
Решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения. Так как коэффициенты при у являются противоположными числами (-1 и 1), то решение начинаем с пункта 2). Складываем уравнения почленно и получим уравнение 8х = 24. Вторым уравнением системы можно записать любое уравнение исходной системы. Решаем 2–ое уравнение: 9-у = 14, отсюда у = -5. Сделаем проверку
. Подставим значения х = 3 и у = -5 в первоначальную систему уравнений. Ответ:
(3; -5). Мы получим равносильную систему уравнений, в которой 1-ое уравнение есть сумма двух уравнений прежней системы, а 2-м уравнением системы мы запишем 1-ое уравнение исходной системы (обычно записывают уравнение с меньшими коэффициентами
): Решаем последнее уравнение системы и получаем х = -2. Ответ:
(-2; 1). 3 ·
4 — 5у = 27. Упростим: 12 — 5у = 27, отсюда -5у = 15, а у = -3. Ответ:
(4; -3). Для решения системы линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки поступаем следующим образом: 1) выражаем одну переменную через другую в одном из уравнений системы (х через у или у через х);
2) подставляем полученное выражение в другое уравнение системы и получаем линейное уравнение с одной переменной;
3) решаем полученное линейное уравнение с одной переменной и находим значение этой переменной;
4) найденное значение переменной подставляем в выражение (1) для другой переменной и находим значение этой переменной.
Примеры. Решить методом подстановки систему линейных уравнений. Мы получили уравнение: 3·
(7+у)+2у=16. Это уравнение с одной переменной у
. Решаем его. Раскроем скобки: 21+3у+2у=16. Собираем слагаемые с переменной у
в левой части, а свободные слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части равенства в другую меняем знак слагаемого на противоположный
. Получаем: 3у+2у=16-21. Приводим подобные слагаемые в каждой части равенства. 5у=-5. Делим обе части равенства на коэффициент при переменной
. у=-5:5; у=-1. Подставляем это значение у
в выражение х=7+у и находим х
. Получаем: х=7-1; х=6. Пара значений переменных х=6 и у=-1 является решением данной системы. Записывают: (6; -1). Ответ: (6; -1). Эти рассуждения удобно записывать так, как показано ниже, т.е. системы уравнений — слева друг под другом. Справа — выкладки, необходимые пояснения, проверка решения и пр. Задача 1.
Диагональ прямоугольника равна 16 и составляет со стороной угол 30°. Найти площадь прямоугольника. Решение.
Катет AD можно было найти иначе – через косинус ∠САD. Так как косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего углу катета к гипотенузе, то отсюда следует: катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла. У нас: AD=AC∙
cos30°; Подставим найденные значения в формулу площади прямоугольника. Задача 2.
Диагональ прямоугольника составляет с его стороной, равной 10 см, угол 60°. Найти периметр и площадь прямоугольника. Решение.
Задача 1.
Одна сторона прямоугольника меньше другой на 7 см, а диагональ прямоугольника равна 17 см. Найти периметр прямоугольника. AB 2 +AD 2 =BD 2 . Получаем: х 2 +(х+7) 2 =17 2 ⇒ х 2 +х 2 +14х+49=289; 2х 2 +14х-240=0; х 2 +7х-120=0, отсюда по теореме Виета х 1 =-15; х 2 =8. Следовательно, АВ=8 см, AD=8+7=15 см. Периметр прямоугольника: P□ = 2∙
(AB+AD); P□ = 2∙
(8+15); P□ = 46 см. Ответ:
46 см. Задача 2.
Периметр прямоугольника 94 см, а диагональ 37 см. Найти площадь прямоугольника. AB 2 +AD 2 =BD 2 . Получаем: х 2 +(47-х) 2 =37 2 ⇒ х 2 +47 2 -94х+ х 2 =1369; 2х 2 -94х+2209—1369=0; 2х 2 -94х+840=0. Делим обе части равенства на 2. Получаем: х 2 -47х+420=0. Найдем дискриминант. D=b 2 -4ac=47 2 -4∙1∙420=2209—1680=529=23 2 >0; 2 д.к. х 1 = (47-23)/2=12; х 2 = (47+23)/2=35. Так как АВ=х, то либо АВ=12, тогда AD=47-12=35; либо АВ=35, тогда AD=47-35=12. Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 35 см. Площадь прямоугольника S□ = AB∙
AD=12∙
35=420 (см 2). Ответ:
420 см 2 . Задача 3.
Стороны прямоугольника относятся как 3:
4, а площадь прямоугольника равна 108 см 2 . Найти диагональ прямоугольника. Так как S□ = AB∙
AD и по условию равна 108 см 2 , то можно составить уравнение: 3х∙
4х=108. Тогда 12х 2 =108, а разделив обе части равенства на 12, получаем: х 2 =9. Отсюда х=3, так как х – положительное число. Стороны прямоугольника Тогда АВ=3х=3∙
3=9 и AD=4х=4∙
3=12. Из прямоугольного треугольника BAD по теореме Пифагора найдем BD – искомую диагональ прямоугольника. BD 2 =AB 2 +AD 2 =9 2 +12 2 =81+144=225, отсюда BD=15 см. Ответ:
15 см. Задача 4.
Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите диагональ прямоугольника, если его меньшая сторона равна 15 см. АС 2 =AB 2 +ВС 2 =15 2 +30 2 =225+900=1125, отсюда получаем: Задача 5.
В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 7 см дальше, чем от большей стороны. Диагональ прямоугольника равна 26 см. Найдите стороны прямоугольника. ОМ 2 +МА 2 =АО 2 или х 2 +(х+7) 2 =13 2 . Упрощаем равенство: х 2 +х 2 +14х+49=169; 2х 2 +14х-120=0; х 2 +7х-60=0. Корни этого приведенного квадратного уравнения удобно найти по теореме Виета. х 1 =-12, х 2 =5. Так как сторона выражается положительным числом, то ОМ=х=5 см. тогда ОК=5+7=12 (см). АК=ОМ=5 см и АМ=ОК=12 см – это половинки сторон прямоугольника. Тогда АВ=2∙
АК=10 см и AD=2∙
МА=24 см. Ответ:
10 см и 24 см. I.
Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.
Примеры
алгебраических выражений: 2m -n; 3·
(2a + b); 0,24x; 0,3a -b ·
(4a + 2b); a 2 – 2ab; Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной. II.
Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.
Примеры.
Найти значение выражения: 1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. 2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Решение
. 1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим: — 2+ 2 ·
10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5. 2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем: |-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7. III.
Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).
Примеры.
При каких значениях переменной выражение не имеет смысла? Решение.
Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль! В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0. В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4. В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2. В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5. Пример:
5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.
Тождество
– это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Примеры.
a)
преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения: 1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k). Решение
. Вспомним распределительное свойство (закон) умножения: (a+b)·c=a·c+b·c
(распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить). 1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у. 2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c. 3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak. б)
преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения: 4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с. Решение.
Применим законы (свойства) сложения: a+b=b+a
(переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется). 4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11. 5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9. 6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5. в)
преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения: 7) 4 ·
х ·
(-2,5); 8) -3,5 ·
2у ·
(-1); 9) 3а ·
(-3) ·
2с. Решение.
Применим законы (свойства) умножения: a·b=b·a
(переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется). 7) 4 ·
х ·
(-2,5) = -4 ·
2,5 ·
х = -10х. 8) -3,5 ·
2у ·
(-1) = 7у. 9) 3а ·
(-3) ·
2с = -18ас. Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.
Примеры.
Упростите, используя сокращение дробей. Решение.
Сократить дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b
; дробь 11) сократим на а
и дробь 12) сократим на 7n
. Получаем: Алгебраические выражения применяют для составления формул. Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными.
Пример: известная вам формула пути s=v·t
(s — пройденный путь, v — скорость, t — время). Вспомните, какие еще формулы вы знаете. Среди множеств чисел имеются множества, где объектами выступают числовые промежутки. При указывании множества проще определить по промежутку. Поэтому записываем множества решений, используя числовые промежутки. Данная статья дает ответы на вопросы о числовых промежутках, названиях, обозначениях, изображениях промежутков на координатной прямой, соответствии неравенств. В заключение будет рассмотрена таблица промежутков. Каждый числовой промежуток характеризуется: Числовой промежуток задается при помощи любых 3 способов из выше приведенного списка. То есть при использовании неравенства, обозначения, изображения на координатной прямой. Данный способ наиболее применимый. Произведем описание числовых промежутков с выше указанными сторонами: Определение 2
Этот промежуток имеет соответствующие неравенства x < a или x > a , где a является некоторым действительным числом. То есть на такое луче имеются все действительные числа, которые меньше a - (x < a) или больше a - (x > a) . Множество чисел, которые будут удовлетворять неравенству вида x < a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x > a , как (a , + ∞) . Геометрический смыл отрытого луча рассматривает наличие числового промежутка. Между точками координатной прямой и ее числами имеется соответствие, благодаря которому прямую называем координатной. Если необходимо сравнить числа, то на координатной прямой большее число находится правее. Тогда неравенство вида x < a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x > a – точки, которые правее. Само число не подходит для решения, поэтому на чертеже обозначают выколотой точкой. Промежуток, который необходим, выделяют при помощи штриховки. Рассмотрим рисунк, приведенный ниже. Из вышеприведенного рисунка видно, что числовые промежутки соответствуют части прямой, то есть лучам с началом в a . Иначе говоря, называется лучами без начала. Поэтому он и получил название открытый числовой луч. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1
При заданном строгом неравенстве x > − 3 задается открытый луч. Эту запись можно представить в виде координат (− 3 , ∞) . То есть это все точки, лежащие правее, чем - 3 . Пример 2
Если имеем неравенство вида x < 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча. Определение 3
Его задание идет с помощью нестрогих неравенств вида x ≤ a или x ≥ a . Для такого вида приняты специальные обозначения вида (− ∞ , a ] и [ a , + ∞) , причем наличие квадратной скобки имеет значение того, что точка включена в решение или в множество. Рассмотрим рисунок, приведеный ниже. Для наглядного примера зададим числовой луч. Пример 3
Неравенство вида x ≥ 5 соответствует записи [ 5 , + ∞) , тогда получаем луч такого вида: Определение 4
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже. Пример 4
Пример интервала − 1 < x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим. Определение 5
Пример 5
Рассмотрев отрезок, получим, что его задание возможно при помощи двойного неравенства 2 ≤ x ≤ 3 , которое изображаем в виде 2 , 3 . На координатной прямой данный точки будут включены в решение и закрашены. Определение 6
Пример 6
Если имеется полуинтервал (1 , 3 ] , тогда его обозначение можно в виде двойного неравенства 1 < x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой. Промежутки могут быть изображены в виде: Чтобы упростить процесс вычисления, необходимо пользоваться специальной таблицей, где имеются обозначения всех видов числовых промежутков прямой. Полуинтервал Среди числовых множеств, то есть множеств
, объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки
. Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства. В этой статье мы разберем все виды числовых промежутков. Здесь мы дадим их названия, введем обозначения, изобразим числовые промежутки на координатной прямой, а также покажем, какие простейшие неравенства им соответствуют. В заключение наглядно представим всю информацию в виде таблицы числовых промежутков. Навигация по странице.
Каждому числовому промежутку присущи четыре неразрывно связанные между собой вещи: Любой числовой промежуток может быть задан любым из трех последних по списку способов: либо неравенством, либо обозначением, либо его изображением на координатной прямой. Причем по данному способу задания, например, по неравенству, с легкостью восстанавливаются и другие (в нашем случае обозначение и геометрический образ). Переходим к конкретике. Опишем все числовые промежутки с указанных выше четырех сторон. Начнем с описания числового промежутка, получившего название открытый числовой луч
. Заметим, что часто прилагательное «открытый» опускают, оставляя название открытый луч. Этому числовому промежутку соответствуют простейшие неравенства с одной переменной вида xa
, где a
– некоторое действительное число. То есть, согласно смыслу записанных неравенств, открытый числовой луч составляют все , которые меньше числа a
(в случае неравенства xa
). Множество чисел, удовлетворяющих неравенству xa
, как (a, +∞)
. Осталось показать геометрическое изображение открытого луча, из него станет видно, что такое название рассматриваемый числовой промежуток получил не случайно. Обратимся к . Известно, что между ее точками и действительными числами имеет место взаимно однозначное соответствие, что позволяет координатную прямую называть числовой прямой. А при разговоре о сравнении чисел
мы отметили, что большее число располагается на координатной прямой правее меньшего, а меньшее – левее большего. Исходя из этих соображений, неравенству xa
– точки, лежащие правее точки a
. Само число a
не удовлетворяет этим неравенствам, чтобы подчеркнуть это на чертеже ее изображают точкой с пустым центром. Над точками, которым соответствуют числа, удовлетворяющие неравенству, изображают наклонную штриховку: Из приведенных чертежей видно, что данным числовым промежуткам соответствуют части числовой прямой, представляющие собой лучи
с началом в точке a
, но исключая саму точку a
. Другими словами, это лучи без начала. Отсюда и название – открытый числовой луч. Приведем несколько конкретных примеров открытых числовых лучей. Так строгое неравенство x>−3
задает открытый числовой луч. Его же задает запись (−3, ∞)
. А на координатной прямой этот числовой промежуток представляет собой множество точек, лежащих правее точки с координатой −3
, не включая саму эту точку. Еще пример: неравенство x<2,3
, как и запись (−∞, 2,3)
, задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой Переходим к числовым промежуткам следующего вида – числовым лучам
. В геометрическом плане их отличие от открытых лучей заключается в том, что начало луча не отбрасывается. Другими словами, геометрический образ числовых промежутков этого вида есть полноценный луч. Что касается задания числовых лучей с помощью неравенств, то им отвечают нестрогие неравенства x≤a
или x≥a
. Для них приняты обозначения (−∞, a]
и
. А геометрический образ числового отрезка представляет собой отрезок вместе с его концами: Например, числовой отрезок, который задается двойным неравенством можно обозначить как , на координатной прямой ему отвечает отрезок с концами в точках, имеющих координаты корень из двух и корень из трех. Осталось лишь сказать про числовые промежутки, называемые полуинтервалами
. Они представляют собой, если так можно выразиться, промежуточный вариант между интервалом и отрезком, так как включают в себя одну из граничных точек. Полуинтервалы задаются двойными неравенствами a Итак, в предыдущем пункте мы определили и описали следующие числовые промежутки: Для удобства сведем все данные о числовых промежутках в таблицу. Занесем в нее название числового промежутка, соответствующее ему неравенство, обозначение и изображение на координатной прямой. Получаем следующую таблицу числовых промежутков
: Список литературы.
Числовой интервал
Промежуток
, открытый промежуток
, интервал
- множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a
и b
, то есть множество чисел x
, удовлетворяющих условию: a
< x
< b
. Промежуток не включает концов и обозначается (a
,b
)
(иногда ]a
,b
[
), в отличие от отрезка [a
,b
]
(замкнутого промежутка), включающего концы, то есть состоящего из точек . В записи (a
,b
)
, числа a
и b
называют концами промежутка. Промежуток включает все вещественные числа , промежуток - все числа меньшие a
и промежуток - все числа большие a
. Термин промежуток
используется в составе сложных терминов: Кстати, в английском языке словом interval
называется отрезок . А для обозначения понятия интервала используется термин open interval
. Wikimedia Foundation
.
2010
.
От лат. intervallum промежуток, расстояние: В музыке: Интервал отношение высот двух тонов; отношение звуковых частот этих тонов. В математике: Интервал (геометрия) множество точек прямой, заключённых между точками А и В,… … Википедия
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Промежуток, открытый промежуток, интервал множество точек числовой прямой, заключённых между двумя данными числами a и b, то есть множество чисел x, удовлетворяющих условию: a < x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием логических символов, это определение… … Википедия
Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел. Если, то множество называется отрезком расширенной числовой прямой R и обозначается через, то есть В случае отрезок … Википедия
Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия
МИКРОСКОП
- (от греч. mikros малый и skopeo смотрю), оптический инструмент для изучения малых предметов, недоступных непосредственному рассмотрению невооруженным глазом. Различают простой М., или лупу, и сложный М., или микроскоп в собственном смысле. Лупа… … Большая медицинская энциклопедия
ГОСТ Р 53187-2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий
- Терминология ГОСТ Р 53187 2008: Акустика. Шумовой мониторинг городских территорий оригинал документа: 1 Дневной оценочный уровень звука. 2 Вечерний оценочный максимальный уровень звука. 3 Ночной оценочный уровень звукового давления … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе. Отрезок множество точек, к … Википедия
Коэффициент корреляции
- (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора
Задачи на проценты приходится решать всем учащимся с 5-го по 11 класс (а также их родителям!) не только в классе и дома, но и на экзаменах: переводных, ОГЭ и ЕГЭ. Научиться решать такие задачи вам поможет моя книга, которая так и называется: «Как решать задачи на проценты». Книга содержит теоретический материал по теме: «Проценты», более 100 задач с подробными решениями, а также 16 видео решений различных задач по данной теме. Вы можете приобрести книгу в одном из представленный форматов:
Найдём х и подставим его значение во 2-ое уравнение.
Примечание
. Проверку можно сделать устно и не записывать, если наличие проверки не оговорено в условии.
Если мы умножим 1-ое уравнение на (-2), то коэффициенты при переменной х станут противоположными числами:
Сложим эти равенства почленно.
Находим у
из 1-го уравнения и полученное значение подставляем во 2-ое.
Сделаем коэффициенты при переменной у
противоположными числами. Для этого все члены 1-го уравнения умножим на 5, а все члены 2-го уравнения на 2.
Подставим значение х=4 во 2-ое уравнение.
Выразим х
через у из 1-го уравнения. Получим: х=7+у. Подставим выражение (7+у) вместо х
во 2-ое уравнение системы.
1 способ.
Площадь прямоугольника найдем по формуле: S = ab (площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину). Для этого нам нужно найти стороны прямоугольника. Рассмотрим прямоугольный ∆ADC, в котором искомые стороны прямоугольника AD и CD являются катетами. Гипотенуза АС=16, острый ∠САD=30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, CD=16:2=8. Второй катет AD найдем по теореме Пифагора: AD 2 +CD 2 =AC 2 . Подставляем значения. AD 2 +8 2 =16 2 ; AD 2 +64=256; AD 2 =256-64; AD 2 =192;
2 способ.
Пусть в прямоугольнике ABCD диагональ АС составляет угол 30° со стороной AD. Мы знаем, что диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника. Рассмотрим один из этих треугольников – прямоугольный ∆ ADC (∠ADC=90°) CD – катет, противолежащий углу 30°, поэтому этот катет равен половине гипотенузы, т.е. CD = АС :
2 = 16 :
2 = 8 (см). Второй острый угол рассматриваемого прямоугольного ∆ ADC – угол AСD равен 60° (90°-30°=60°). Площадь треугольника ADC равна половине произведения двух его сторон АС и CD на синус угла между ними. Тогда площадь прямоугольника равна произведению АС и CD на синус угла между ними:
3 способ
основан на том, что площадь прямоугольника можно найти как половину произведения его диагоналей на синус угла между ними
. Проведем вторую диагональ BD и обозначим точку пересечения диагоналей через О. Углом между двумя пересекающимися прямыми считают меньший из образовавшихся углов.
У нас это угол АОВ. Обозначим его через α. Найдем градусную меру угла α. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то ∆АОВ – равнобедренный с углами при основании по 60°. На самом деле: ∠ОАВ=90°-∠САD=90°-30°=60°. Третий угол треугольника АОВ, т.е. угол α также равен 60° (считали: 180°-60°-60°). Площадь прямоугольника:
Периметр прямоугольника P□ = 2 (a+b), S□ = ab, где a и b – стороны прямоугольника. Нам известна лишь одна сторона: а = 10. Найдем вторую сторону, как неизвестный катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу 60°. Так как тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему
, то b = a ∙ tg60°. Подставляем значения и получаем:
Решение.
Пусть АВ=х. Тогда AD=х+7. Зная, что диагональ BD=17, используем теорему Пифагора и составим уравнение:
Решение.
Периметр прямоугольника P□ = 2∙
(AB+AD) = 94, следовательно, (AB+AD)=47. Пусть АВ=х. Тогда AD=47-х. Зная, что диагональ BD=37, используем теорему Пифагора и составим уравнение:
Решение.
Обозначим одну часть через х. Тогда АВ=3х. Тогда AD=4х.
Решение.
Итак, в прямоугольнике ABCD биссектриса АК делит сторону ВС пополам. АВ=15 см. Требуется найти диагональ АС прямоугольника. В прямоугольном треугольнике АВК один из острых углов равен 45° (биссектриса АК делит прямой угол пополам: ∠ВАК=∠КАD=45°). Тогда и второй острый угол треугольника АВК равен 45°, т.е. ∠АКВ=45°. Углы при основании ∆АВК равны, следовательно, ∆АВК – равнобедренный. Это означает, что ВК=АВ=15 см. А так как биссектриса АК по условию разделила сторону ВС пополам, то ВС=2∙
ВК=30 см. Стороны прямоугольника 15 см и 30 см. Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора найдем АС – искомую диагональ прямоугольника.
Решение.
Пусть точка О – пересечение диагоналей прямоугольника ABCD отстоит от стороны AD на х см, тогда от стороны АВ точка О будет отстоять на (х+7) см, т.е ОМ=х и ОК=х+7. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то АО=АС:
2=26:
2=13 (см). Заметим, что МА=ОК. На основании теоремы Пифагора из прямоугольного треугольника АМО получаем равенство:
IV.
Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.
(а-b)·c=a·с-b·c
(распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).
(a+b)+c=a+(b+c)
(сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).
(a·b)·c=a·(b·c)
(сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).
Название
Неравнство
Обозначение
Изображение
Открытый числовой луч
x < a
- ∞ , a
x > a
a , + ∞
Числовой луч
x ≤ a
(- ∞ , a ]
x ≥ a
[ a , + ∞)
Интервал
a < x < b
a , b
Числовой отрезок
a ≤ x ≤ b
a , b
Виды числовых промежутков
Таблица числовых промежутков
Литература
См. также
Ссылки
Смотреть что такое "Числовой интервал" в других словарях:
