Все грани правильного многогранника являются. Упражнения. IV. Обобщение и систематизация знаний

Правильными называют выпуклые многогранники, все грани которых представляют собой одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое количество граней. Такие многогранники называют также платоновыми телами.

Существует всего пять правильных многогранников:

Изображение	Тип правильного многогранника	Число сторон у грани	Число рёбер, примыкающих к вершине	Общее число вершин	Общее число рёбер	Общее число граней
Тетраэдр
Гексаэдр или куб
Додекаэдр
Икосаэдр

Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова "грань".

Тетраэдр

Тетраэдр (греч. фефсбедспн -- четырёхгранник) -- многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Свойства тетраэдра

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.

Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.

Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

Выделяют:

• · равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники;
• · ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке;
• · прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой;
• · правильный тетраэдр, у которого все грани - равносторонние треугольники;
• · каркасный тетраэдр -- тетраэдр, отвечающий любому из условий:
• · Существует сфера, касающаяся всех ребер.
• · Суммы длин скрещивающихся ребер равны.
• · Суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны.
• · Окружности, вписанные в грани, попарно касаются.
• · Все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, -- описанные.
• · Перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
• · соразмерный тетраэдр, все бивысоты которого равны;
• · инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Куб или правильный гексаэдр -- правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.

Свойства куба

• · Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками -- эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
• · В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным.
• · В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
• · Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
• · В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра -- внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

Диагональю куба называют отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба. Диагональ куба находится по формуле

многогранник икосаэдр октаэдр додекаэдр

где d -- диагональ, а -- ребро куба.

Октаэдр

Октаэдр (греч. пкфЬедспн, от греч. пкфю, «восемь» и греч. Эдсб -- «основание») -- один из пяти выпуклых правильных многогранников, так называемых Платоновых тел.

Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Если длина ребра октаэдра равна а, то площадь его полной поверхности (S) и объём октаэдра (V) вычисляются по формулам:

Радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

Правильный октаэдр имеет симметрию Oh, совпадающую с симметрией куба.

Октаэдр имеет одну звездчатую форму. Октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula -- звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название «stella octangula Кеплера».

По сути она является соединением двух тетраэдров

Додекаэдр

Додекаэдр (от греч. дюдекб -- двенадцать и едспн -- грань), двенадцатигранник -- правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.

Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья -- Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.

Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.

У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3. Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.

Основные формулы:

Если за длину ребра принять a, то площадь поверхности додекаэдра:

Объем додекаэдра:

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Элементы симметрии додекаэдра:

· Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии.

Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.

· Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Икосаэдр

Икосаэдр (от греч. ейкпуЬт -- двадцать; -едспн -- грань, лицо, основание) -- правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин -- 12.

Площадь S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

радиус вписанной сферы:

радиус описанной сферы:

Свойства

• · Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.
• · В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
• · Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
• · В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
• · Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12?5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12?5=90.

Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией. Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера--Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.

Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.

Тема. «Многогранник. Элементы многогранника – грани, вершины, ребра».

Цели. Создать условия для расширения теоретических знаний о пространственных фигурах: ввести понятия «многогранник», «грани», «вершина», «ребро»; обеспечить развитие у школьников умения выделять главное в познавательном объекте; содействовать развитию пространственного воображения учащихся.

Учебные материалы. Учебник «Математика. 4 класс» (авт. В.Н. Рудницкая, Т.В. Юдачева); компьютер; проектор; презентация «Многоугольники»; печатные бланки «Координатный угол», «Многоугольники», «Задача»; модели многогранников, развертки многогранников; зеркала; ножницы.

ХОД УРОКА

Перед началом урока дети распределяются на три группы соответственно уровню знаний – высокий, средний, низкий.

I. Организационный момент

Учитель. Дорогие мои непоседы, в очередной раз я приглашаю вас в увлекательный мир математики. И я уверена в том, что и на этом уроке вы узнаете новое, закрепите изученное и сможете полученные знания применить на практике.

Сегодня наш урок мне хочется начать словами английского философа Роджера Бэкона о математике: «Тот, кто не знает математики, не может изучить другие науки и не может познать мир». Я думаю, что на уроке мы непременно найдем подтверждение словам этого философа.

II. Повторение пройденного материала. Построение многоугольников по координатам

У. На уроках математики в 1-м, 2-м, 3-м классах мы изучали различные плоские геометрические фигуры, а также учились их строить. Я предлагаю вам построить в координатном угле плоские фигуры по данным координатам.

Задание выполняется на печатных бланках.

Группа 1

Постройте фигуру, если известны координаты А (0; 2), В (2; 5), С (9; 2). Какая фигура получилась?

Группа 2

Постройте прямоугольник, если точки А (3; 2) и В (6; 5) – его противоположные вершины. Назовите координаты противоположных вершин. Как по-другому называется эта фигура?

Группа 3

Постройте фигуру, если известны координаты ее вершин А (2; 3), В (2; 6), С (5; 8), D (8; 6), K (8; 3), М (5; 1). Какая фигура получилась?

– Как можно назвать все эти фигуры?

Дети. Это многоугольники.

Слайд 1

У. Нам известно, что все многоугольники имеют вершины и стороны. Назовите и покажите их.

По одному человеку от группы выполняют задание у доски.

III. Знакомство с новым материалом

У. Сегодня я познакомлю вас с объемными геометрическими фигурами, которые называются многоугольниками. Их модели представлены у вас на столах.

На столах у учащихся объемные фигуры: куб, параллелепипед, пирамиды, призмы.

– Садитесь поудобнее, смотрите внимательно, слушайте старательно и запоминайте.

Знакомство с понятиями «многогранник», «грань», «вершина», «ребро»

– Если взять 4 треугольника, то можно создать объемную фигуру – пирамиду . Из квадратов можно получить другую фигуру – куб, из прямоугольников – параллелепипед. У вас на столе еще одна фигура – призма, которая составлена из прямоугольников и треугольников. Все эти фигуры называются многогранниками .

Каждый из многоугольников (в данном случае треугольников) называют гранью многогранника. А стороны многоугольников называют ребрами многогранника. И, конечно же, вершины многоугольника будут вершинами многогранника. Вот так выглядит чертеж многогранника на листе бумаги.

Слайд 2

– Кажется, что фигура сделана из стекла. Как вы думаете, что изображено пунктиром на чертеже?

Д. Невидимые ребра.

Дети работают по рисунку у доски.

У. Итак, что это?

Д. Многогранник.

У. Назовите и покажите грани многогранника, его ребра и вершины.

Дети показывают указкой и перечисляют.

– Если разрезать пирамиду с вершины до основания по ребрам, то получится вот такая развертка.
А теперь, дорогие мои непоседы, отыщите на столе бланк с изображением многоугольника, внимательно прочитайте инструкцию:

1. Внимательно рассмотрите чертеж многоугольника.
2. Найдите нужную развертку многоугольника (модели на доске).
3. Соберите модель многоугольника.
4. Укажите число вершин __ , граней __ , ребер __ многоугольника.
5. Назовите каждую вершину __ , ребро __ , грань __ многоугольника.

Группа 1

Группа 2

Группа 3

– На доске представлены развертки многогранников. Попробуйте по чертежу отыскать развертку своей фигуры и собрать многогранник. Работайте вместе, и, я думаю, у вас все получится.

Проверка выполнения задания (слайды 3, 4, 5).

вершин – 8; ребер – 12; граней – 6; вершины – M, B, C, A, X, K, O, T; ребра – MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO; грани – MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

вершин – 8; ребер – 12; граней – 6; вершины – M, B, C, A, X, K, O, T; ребра – MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO; грани – MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

вершин – 12; ребер – 18; граней – 8; вершины – Y, B, A, X, N, M, P, E, D, F, L, C; ребра – YB, YX, BA, XA, XN, NM, AM, ME, EP, NP, ED, PF, DF, FL, LC, CD, LY, CB; грани – BAMEDC, YXNPFL, YBAX, XAMN, NMEP, EDFP, DFLC, CLYB.

IV. Обобщение и систематизация знаний

У. Скажите, есть ли в окружающем нас мире предметы, которые имеют форму многогранников?

Выслушиваются ответы детей. Проводится импровизированная «прогулка» по школьному двору. Дети «рассматривают» модели школьного здания, подсобных помещений, которые имеют вид многогранников.

– Выполните задание:

Волк и Заяц склеили из цветной бумаги домик. Сколько граней каждого цвета потребовалось? Форму какого многоугольника имеет грань каждого цвета?

Слайд 6

V. Закрепление ранее изученного

У. Ребята, представьте себя архитекторами, дизайнерами или строителями и попробуйте решить задачи.

Задание для группы 1

Найдите площадь, которую будет занимать новое школьное здание, если его длина 74 м, а ширина – 13 м. (Ответ: 962 кв. м. )

Задание для группы 2

Площадь игровой площадки во дворе нашей школы равна 1080 кв. м. Это на 1320 кв. м меньше, чем площадь хоккейной площадки. Вычислите площадь хоккейной площадки. (Ответ: 2400 кв. м )

Задание для группы 3

Под строительство нового здания для нашей школы отведен участок площадью 2500 кв. м. Известно, что здание будет шириной 13 м, длиной 74 м. Какая площадь участка останется под цветники и дорожки после постройки здания? (Ответ: 1) 962 кв. м; 2) 1538 кв. м )

Дети проверяют решения задач, объясняют, как решали.

VI. Итог урока

У. Оказывается, Роджер Бэкон был прав, сказав: «Тот, кто не знает математики, не может изучить другие науки и не может познать мир».

Учитель оценивает работу групп.

Цель урока:

1. Ввести понятие правильных многогранников.
2. Рассмотреть виды правильных многогранников.
3. Решение задач.
4. Привить интерес к предмету, научить видеть прекрасное в геометрических телах, развитие пространственного воображения.
5. Межпредметные связи.

Наглядность: таблицы, модели.

Ход урока

I. Организационный момент. Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Изучение нового материала/

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести “Правильные многогранники”. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. “Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л. Кэролл, – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.

Определение правильного многогранника.

Многогранник называется правильным, если:

1. он выпуклый;
2. все его грани – равные друг другу правильные многоугольники;
3. в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер;
4. все его двугранные углы равны.

Теорема: Существует пять различных (с точностью до подобия) типов правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр (куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.

Таблица 1. Некоторые свойства правильных многогранников приведены в следующей таблице.

Вид грани	Плоский угол при вершине	Вид многогранного угла при вершине	Сумма плоских углов при вершине	В	Р	Г	Название многогранника
Правильный треугольник	60º	3-гранный	180º	4	6	4	Правильный тетраэдр
Правильный треугольник	60º	4-гранный	240º	6	12	8	Правильный октаэдр
Правильный треугольник	60º	5-гранный	300º	12	30	20	Правильный икосаэдр
Квадрат	90º	3-гранный	270º	8	12	6	Правильный гексаэдр (куб)
Правильный треугольник	108º	3-гранный	324º	20	30	12	Правильный додекаэдр

Рассмотрим виды многогранников:

Правильный тетраэдр

<Рис. 1>

Правильный октаэдр

<Рис. 2>

Правильный икосаэдр

<Рис. 3>

Правильный гексаэдр (куб)

<Рис. 4>

Правильный додекаэдр

<Рис. 5>

Таблица 2. Формулы для нахождения объемов правильных многогранников.

Вид многогранника	Объем многогранника
Правильный тетраэдр
Правильный октаэдр
Правильный икосаэдр
Правильный гексаэдр (куб)
Правильный додекаэдр

“Платоновые тела”.

Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением “крыш” на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен – ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XII книга знаменитых начал Евклида. Эти многогранники часто называют так же платоновыми телами в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном. Четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр-огонь, куб-землю, икосаэдр-воду и октаэдр-воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание. Его по латыни стали называть quinta essentia (“пятая сущность”).

Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб – монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KAlSO 4) 2 ·l2H 2 O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры 12 граней додекаэдра.

Где еще можно увидеть эти удивительные тела?

В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля “Красота форм в природе” можно прочитать такие строки: “Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы”. Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видны одноклеточные организмы – феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана эта природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет по теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ. Следующая задача проиллюстрирует эту мысль.

Задача. Модель молекулы метана CH 4 имеет форму правильного тетраэдра, в четырех вершинах которого находятся атомы водорода, а в центре – атом углерода. Определить угол связи между двумя CH связями.

<Рис. 6>

Решение. Так как правильный тетраэдр имеет шесть равных ребер, то можно подобрать такой куб, чтобы диагонали его граней были ребрами правильного тетраэдра. Центр куба является и центром тетраэдра, ведь четыре вершины тетраэдра являются и вершинами куба, а описываемая около них сфера однозначно определяется четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости.

Треугольник АОС – равнобедренный. Отсюда а – сторона куба, d – длина диагонали боковой грани или ребро тетраэдра. Итак, а = 54, 73561 0 и j = 109,47 0

Задача. В кубе из одной вершины (D) проведены диагонали граней DA, DB и DC и концы их соединены прямыми. Доказать, что многогранник DABC, образованный четырьмя плоскостями, проходящими через эти прямые, – правильный тетраэдр.

<Рис. 7>

Задача. Ребро куба равно a. Вычислить поверхность вписанного в него правильного октаэдра. Найти ее отношение к поверхности вписанного в тот же куб правильного тетраэдра.

<Рис. 8>

Обобщение понятия многогранника.

Многогранник – совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что:

1. каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного (называемого смежным с первым) по этой стороне);
2. от любого из многоугольников составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним и т.д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а их вершины – вершинами многогранника.

Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник:

– если под многоугольником понимают плоские замкнуты ломаные (хотя бы и само пересекающиеся), то приходят к данному определению многогранника;

– если под многоугольником понимать часть плоскости, ограниченной ломанными, то с этой точки зрения под многогранником понимают поверхность, составленную из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое так же называют многогранником. От сюда возникает третья точка зрения на многогранники как на геометрические тела, при чем допускается также существование у этих тел “дырок”, ограниченных конечным числом плоских граней.

Простейшими примерами многогранников являются призмы и пирамиды.

Многогранник называется n- угольной пирамидой, если он имеет одной своей гранью (основанием) какой-либо n- угольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной, не лежащей в плоскости основания. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

Многогранник называется n -угольной призмой, если он имеет двумя своими гранями (основаниями) равные n -угольники (не лежащие в одной плоскости), получающиеся друг из друга параллельным переносом, а остальные грани – параллелограммы, противоположными сторонами которых являются соответственные стороны оснований.

Для всякого многогранника нулевого рода эйлерова характеристика (число вершин минус число ребер плюс число граней) равна двум; символически: В – Р + Г = 2 (теорема Эйлера). Для многогранника рода p справедливо соотношение В – Р + Г = 2 – 2p .

Выпуклым многогранником называется такой многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Наиболее важны следующие выпуклые многогранники:

<Рис. 9>

1. правильные многогранники (тела Платона) – такие выпуклые многогранники, все грани которых одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах правильные и равные <Рис. 9, № 1-5>;
2. изогоны и изоэдры – выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны (изогоны) или равные все грани (изоэдры); причем группа поворотов (с отражениями) изогона (изоэдра) вокруг центра тяжести переводит любую его вершину (грань) в любую другую его вершину (грань). Полученные так многогранники называются полуправильными многогранниками (телами Архимеда) <Рис. 9, № 10-25>;
3. параллелоэдры (выпуклые) – многогранники, рассматриваемые как тела, параллельным пересечением которых можно заполнить все бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т.е. образовывали разбиение пространства <Рис. 9, № 26-30>;
4. Если под многоугольником понимать плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то можно указать еще 4 невыпуклых (звездчатых) правильных многогранников (тела Пуансо). В этих многогранниках либо грани пересекают друг друга, либо грани – самопересекающиеся многоугольники <Рис. 9, № 6-9>.

III. Задание на дом.

IV. Решение задач № 279, № 281.

V. Подведение итогов.

Список использованной литературы:

1. “Математическая энциклопедия”, под редакцией И. М. Виноградова, издательство “Советская энциклопедия”, Москва, 1985 г. Том 4 стр. 552–553 Том 3, стр. 708–711.
2. “Малая математическая энциклопедия”, Э. Фрид, И. Пастор, И. Рейман и др. издательство Академии наук Венгрии, Будапешт, 1976 г. Стр. 264–267.
3. “Сборник задач по математики для поступающих в ВУЗы” в двух книгах, под редакцией М.И. Сканави, книга 2 – Геометрия, изд-во “Высшая школа”, Москва, 1998 г. Стр. 45–50.
4. “Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов”, издательство “Высшая школа”, Москва, 1979 г. Стр. 388–395, стр. 405.
5. “Повторяем математику” издание 2–6, доп., Учебное пособие для поступающих в ВУЗы, издательство “Высшая школа”, Москва, 1974 г. Стр. 446–447.
6. Энциклопедический словарь юного математика, А. П. Савин, издательство “Педагогика”, Москва, 1989 г. Стр. 197–199.
7. “Энциклопедия для детей. Т.П. Математика”, главный редактор М. Д. Аксенова ; метод, и отв. редактор В. А. Володин, издательство “Аванта+”, Москва, 2003 г. Стр. 338–340.
8. Геометрия, 10–11: Учебник для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 10-е издание – М.: Просвещение, 2001. Стр. 68–71.
9. “Квант” № 9, 11 – 1983, № 12 – 1987, № 11, 12 – 1988, № 6, 7, 8 – 1989. Научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР. Издательство “Наука”. Главная редакция физико-математической литературы. Стр. 5–9, 6–12, 7–9, 10, 4–8, 13, 16, 58.
10. Решение задач повышенной сложности по геометрии: 11-й класс – М.: АРКТИ, 2002. Стр. 9, 19–20.

Урок 7 по теме: «Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника»

Цель занятия: познакомить обучающихся с одним из видов многогранников – кубом; путём измерения и наблюдения найти как можно больше свойств куба.

Тип урока: изучение нового материала

Методы:

По источникам знаний: словесные, наглядные;

По степени взаимодействия учитель-ученик: эвристическая беседа;

Относительно дидактических задач: подготовка к восприятию;

Относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый.

Оборудование: Учебник: Математика: Наглядная геометрия. 5-6 классы И.Ф. Шарыгин , мультимедиа проектор, компьютер.

Результаты обучения:

Личностные: способность к эмоциональному восприятию математических объектов, умение ясно и точно излагать свои мысли.

Метапредметные: умение понимать и использовать средства наглядности.

Предметные: научиться изображать развертки и составлять с их помощью фигуры.

Оборудование: учебник «Наглядная геометрия. 5 - 6 класс» С.Шарыгин, интерактивная доска, ножницы.

УУД:

познавательные: анализ и классификация объектов

регулятивные: целеполагание; определение и осознание того, что уже известно и что нужно усвоить

коммуникативные: учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.

Ход урока

Организационный момент.

Актуализация и фиксирование опорных знаний.

На столе стоят многогранники, с которыми учащиеся познакомились еще в начальных классах. Какие фигуры вы можете назвать? Каких фигур больше всего?

Трудно найти человека, которому бы не был знаком куб. Ведь кубики – любимая игра малышей. Кажется, что мы знаем о кубе всё. Но так ли это?

Куб является представителем большого семейства многогранников. С некоторыми вы уже встречались – это пирамида, прямоугольный параллелепипед. Знакомство с другими вас ожидает впереди.

Многогранники имеют при всем различии ряд общих свойств.

Поверхность каждого из них состоит из плоских многоугольников, которые называются гранями многогранника . Два соседних плоских многоугольника имеют общую сторону – ребро многогранника . Концы ребер являются вершинами многогранника.

На прошлом уроке вы интересовались видами многогранников и вот 5 представителей правильных многоугольников.

Тетраэдр октаэдр икосаэдр гексаэдр додекаэдр

Обобщение и систематизация знаний

Рассмотрите изображение куба на рисунке, перечертите его в тетрадь и подпишите названия основных элементов куба. Запомните и в дальнейшем используйте эти термины.

Куб- это правильный многогранник, у которого грани – квадраты и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. У него: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Работа с моделями.

Работа с развертками.

№ 2 (Математика: Наглядная геометрия. 5-6 классы И.Ф. Шарыгин) На листке бумаги изобразите развертку куба. Вырежьте её и сверните из нее куб, склейте его.

Вырезанная фигура называется разверткой куба . Подумайте, почему она так названа.

№ 3 (Математика: Наглядная геометрия. 5-6 классы И.Ф. Шарыгин) Из предложенных разверток попробуйте собрать куб, и перенесите их в тетрадь.

№ 5 (Математика: Наглядная геометрия. 5-6 классы И.Ф. Шарыгин) Дана развертка куба. Какие из кубиков на рисунке 30, а-в можно из нее склеить? Выберите кубик и обоснуйте выбор.

№ 12 (Математика: Наглядная геометрия. 5-6 классы И.Ф. Шарыгин) Имеется полоска бумаги размером 1*7. Как из нее сложить единичный кубик?

№ 15 (Математика: Наглядная геометрия. 5-6 классы И.Ф. Шарыгин) В противоположных вершинах куба сидят паук и муха. Каким кратчайшим путем паук может доползти до мухи? Ответ объясните

Рефлексия учебной деятельности.

сегодня я узнал…

было интересно…

было трудно…

я выполнял задания…

я приобрел…

я научился…

у меня получилось …

я смог…

я попробую…

меня удивило…

урок дал мне для жизни…

Домашнее задание. Изготовить модель куба из картона.