Деление на 17. Основные признаки делимости. Теоремы о делимости произведения и суммы натуральных чисел
краткое содержание других презентаций«Измерения прямоугольного параллелепипеда» - Представление о прямоугольном параллелепипеде. Какое слово лишнее. Параллелепипед. Зарядка для глаз. Высота. Объём фигур. Рёбра. Измерения. Повторение. Задание на концентрацию внимания. Прямоугольный параллелепипед. Создание атмосферы сотрудничества. Проверь себя. Вопросы на повторение. Прямоугольники. Грани куба. Площадь параллелепипеда. Вершины. Модель прямоугольного параллелепипеда.
«Решение экологических задач» - Дрофа. Решение экологических задач. Красная книга. Какую площадь лесных угодий вырубают. Выразить массу выброшенной бумаги в кг.. Сколько выброшенной бумаги приходится в день на одного ученика. Посмотреть, каков тираж учебника. Выполните действия и расшифруйте название птицы. Сколько в нашей школе остается бумаги. Математика + экология. Я сорвала цветок, и он завял. Вычислить, сколько нужно вырубить леса.
«Линии» - Измерить длину ломаной куда проще. Постройте ломаную. Что такое линия. Изобразите замкнутую линию. Как измерить длину кривой линии. Посмотрите на линии. Возьмите нитки. Линии. Примеры линий. Примеры ломаных линий. Виды линий. Сколько звеньев имеет данная ломаная. Возьмем прямую линию. Условия для усвоения учащимися основных понятий. Визуальные модели. Формирование познавательного интереса.
«Задачи на прямоугольный параллелепипед» - Куб. Самостоятельная работа. В стране «Эрудитов». Прямоугольный параллелепипед и куб. Что мы повторили. Сплошные линии. Вводное слово учителя. Соответствие между гранями. Разработка по учебнику. Город формул. Игра на внимание. Параллелепипед.
«Деление чисел 5 класс» - Составьте выражения для решения задачи. Угадайте корень уравнения. Найти корень уравнения. Из лагеря геологоразведчиков выехал вездеход. Определение действия деления. Пройденный путь пешехода. Скорость распространения света. По рисунку составить задачу на движение. Найти значение выражения. Задачи дяди Стёпы. Составьте верные равенства. Продумайте, как проще выполнить умножение. Логический тест. Отгадайте корень уравнения.
«Математический брейн-ринг в 5 классе» - Песочные часы. Прибор для построения отрезков. Географическая точка. Разгадайте ребусы. Сколько было петухов. У мальчика столько же сестер, сколько и братьев. Брейн - ринг. Длина километра. Конкурс капитанов. Как называется прямоугольник с равными сторонами. Процветание и совершенствование математики.
«Признаки семейств растений» - Классификаия растений. Признаки однодольных и двудольных растений. Порядок класс отдел. Вид род семейство. Отделы растений. Строение плода. Семейства растений. С какой целью классифицируют растения? По каким признакам различаются между собой семейства? Основные признаки семейств. Понятия. Строение соцветия.
«Признаки делимости чисел» - Признак делимости на 9. Призник делимости на 4. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Признак делимости на 3. Признаки делимости чисел. Если число оканчивается одной из цифр 0 или 5, то оно делится на 5. Признак делимости на 5. Число делится на 4, если на 4 делится двузначное число, образованное двумя последними цифрами.
«Признаки хордовых» - Полухордовые. Представители основных групп первичноротых и вторичноротых животных. Ланцетник. ПОДТИП ОБОЛОЧНИКИ (tunicata). Полухо?рдовые (Hemichordata) - тип морских донных беспозвоночных из группы вторичноротых. Характерные признаки Хордовых. Общие признаки Бесчерепных. Классификация Хордовых животных.
«Признаки растений» - Водные растения водоросли, лилии, кувшинки и др. Наземные растения дуб, ландыш, брусника, кактус и др. Царство растений около 350 тыс. видов. Напишите примеры растений. Ботаника – наука, изучающая растения. Научиться распознавать растения различных сред обитания. Среды обитания растений. Основные признаки растений.
«Признаки моря» - Каспийское море; Азовское море; Чёрное море. Самое холодное – Чукотское море. Тихий океан: Охотское море, Японское море, Берингово море. Окраинные и внутренние моря. Моря, омывающие берега России. Главные признаки морей. Самое солёное – Японское море. Краткие сведения. Моря окраинные и внутренние. Внутреннее море.
«Урок Признаки подобия треугольников» - Цель урока: Обобщение по теме «Признаки подобия треугольников». В подобных фигурах стороны пропорциональны. Задачи урока: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого. Урок геометрии «Признаки подобия треугольников». Подобные фигуры. То такие треугольники подобны. В подобных фигурах углы равны.
Золоева Алана, Волкова Николь
В работе показаны приемы графического умножения многозначных чисел, а также признаки делимости на 7, 11, 13, 17,19.23 и др. Можно использовать на уроках математики в 5-6 кл.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Проект по математике «В мире чисел» На тему: “ Признаки делимости ” учениц 6Б класса лицея №597 Золоевой Аланы и Волковой Николь
О признаках делимости Признак делимости – это правило, которое позволяет быстро определить кратность числа заданному. С древности и простые люди, и учёные интересовались признаками делимости чисел и находили их. Но особый вклад в изучение признаков делимости внёс французский математик Блез Паскаль.
Признак Паскаля Признак Паскаля – это признак делимости для всех натуральных чисел, то есть деление. Также, Блез Паскаль открыл признаки делимости натуральных чисел на определённые натуральные числа. Любое число a разделится на любое число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b , делится на это число.
Графическое умножение. Двузначные числа. Существует очень удобный способ умножения, графическое умножение. Допустим, нам надо умножить 32 на 21 . Рисуем линии, начинаем с числа 32. Рисуем 3 линии наискосок с правого верхнего угла в левый нижний, а чуть пониже, параллельно им, 2 линии. Затем число 21: проводим 2 линии слева, пониже, и 1 справа, повыше. Отмечаем точки пересечения линий, считаем их в каждой «зоне», и получаем результат. У нас получается вот такая схема:
Графическое умножение. Многозначные числа. Многозначные числа умножаются графическим способом также, как и двузначные, но суммой точек в 1 «зоне» часто являются двузначные числа. В таких случаях первая цифра двузначного числа прибавляется к предыдущему числу. Например, мы умножаем 123 на 412 . Вот такая получится схема:
Число 4 Натуральные трёхзначные и большие числа делятся на 4 только тогда, когда две последние их цифры нули или кратны 4. Например, число 497764. Оно делится на 4, так как на 4 делится 64 , то есть 2 последние цифры данного числа. Двузначные натуральные числа делятся на 4 только тогда, когда сумма удвоенного числа десятков и числа единиц делится на 4 . Взять то же число 64. 6∙2= 12 и + 4 = 16 , поэтому 64 делится на 4.
Число 6 Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 одновременно, а также когда учетверённое число десятков при сложении с числом единиц делится на 6 . Например, число 144 делится на 6, так как на 6 делится 14∙4+4=60 .
Число 7 Число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7 . Например, число 154 делится на 7, так как на 7 делится 15∙3+4=49 .
Число 8 Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8 . Например, число 952 делится на 8, так как на 8 делится 2+5∙2+9∙4=48 .
Число 11 1 признак: число делится на 11 тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётную позицию и занимающих чётную делится на 11 . Например, число 10538. 1+5+8=14, 0+3=3, 14-3=11. │11 │ =11, а 11 делится на 11, значит число 10538 тоже делится на 11. 2 признак: число делится на 11 тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по 2 цифры, начиная с единиц. Например, число 10593. 93+5+1=99, 99 кратно 11 , значит число 10593 тоже кратно 11.
Число 13 Число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13 . Например, число 845 делится 13, так как на 13 делятся 84+5∙4=104 и 10+4∙4=26 .
Число 17 Число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17 . Например, число 221 делится на 17, так как | 22-5 ∙ 1 |=17 .
Число 19 Число делится на 19 тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19 . Например, число 646 делится на 19, так как 64+6*2=76 и 7+6*2=19 .
Число 23 Число делится на 23 тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23 . Например, число 391 делится на 23, так как на 23 делятся 39+1 ∙ 7=46 делится на 23 .
Число 25 Число делится на 25 тогда, когда число, образованное 2 его последними цифрами, делится на 25 . Например, число 1765375. 75 делится на 25 , значит данное число тоже кратно 25.
Число 99 Число делится на 99 тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по 2 цифры, начиная с единиц. Например, число 64449. 49+44+6=99, 99 кратно 99 , поэтому и 64449 кратно 99.
Число 101 Число делится на 101 тогда, когда модуль суммы чисел, образующих нечётные группы по 2 цифры, (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и образующих чётные группы по 2 цифры, взятых со знаком «-», делится на 101 . Например, число 363297. │97+36-32 │=101 , значит данное число кратно 101.
Спасибо за внимание!
m и n имеется такое целое число k и nk = m , то число m делится на nПрименение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .
Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.
Например:
Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.
Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.
Характерная особенность деления на 3 и на 9 .
На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.
Например :
Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.
Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .
Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.
Например :
Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.
Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.
Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.
Характерная особенность делимости на 6.
Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.
Например:
126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)
Характерная особенность делимости на 7.
Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.
Например :
Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.
Характерная особенность делимости на 11 .
На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.
Например:
Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.
Характерная особенность делимости на 25 .
На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.
Например:
9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.
Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:
- На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
- На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
- На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
- На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
- На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
- Признак делимости на 7 часто пропускается;
- Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
- Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
- Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
- Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.
Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.
Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).
Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.
Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.
Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.
Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7
Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).
Значит, и число 65835 делится на 7.
На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.
Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.
Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.
Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.
Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.
Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.
Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.
Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.
Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.
Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.
Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43
Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.
Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.
Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.
- Для14: на 2 и на 7;
- Для 15: на 3 и на 5;
- Для 18: на 2 и на 9;
- Для 21: на 3 и на 7;
- Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
- Для 24: на 3 и на 8;
- Для 26: на 2 и на 13;
- Для 28: на 4 и на 7.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.
Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.
Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.
Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.
Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.
Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.
Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.
Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.
Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.
Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23,
