Найти полную площадь открытой прямоугольной коробки. Экстремальные задачи с производной

Экстремальные задачи с производной

Совершенно верно, иногда от таких задач действительно захватывает дух. Сегодня на уроке мы разберём ещё одно важное приложение производной , имеющее самое что ни на есть прикладное значение! Речь пойдёт о задачах с конкретным геометрическим, физическим, экономическим и т.д. содержанием, в которых исходя из условия, нужно самостоятельно составить функцию и найти её точку минимума либо максимума (и/или, соответственно, минимум либо максимум) .

Для полноценного изучения урока необходимо уметь находить производные , ПОНИМАТЬ, что такое производная и быть знакомым с понятиями возрастания, убывания и экстремума функции . Таким образом, начинающим рекомендую начать с вышеуказанных статей, чтобы не словить здесь реальный экстрим =) А уже заматеревшие студенты не должны испытать особых трудностей. Разминочная алгебраическая задача и новый материал по ходу решения:

Задача 1

Известно, что сумма двух положительных чисел равна 12. Какими должны быть эти числа, чтобы произведение их квадратов было максимальным?

Решение : прежде всего, хорошо осознаем, что от нас требуется: в условии фигурируют два положительных числа, причём ни то, ни другое мы не знаем. Но вот их сумма равна 12.

Если это, например, 2 и 10, то произведение квадратов ;
если 7 и 5, то и т.д.

И нам нужно отыскать такую пару, для которой данное произведение будет наибольшим. Понятно, что с методом подбора тут замучаешься, к тому же искомые числа ведь могут оказаться и дробными. Поэтому привлечём на помощь могучий аппарат математического анализа.

Но сначала вспомним школу и вспомним, как, наивно хлопая ресницами, мы что-то обозначали за «икс»…. Обозначим за одно из чисел. Тогда второе число будет равно:

Проверим, что их сумма действительно равна 12:
– а ведь и правду говорят, что всё гениальное просто =)

Теперь составим функцию произведения их квадратов:

Многие читатели уже понимают последующие шаги: далее нужно найти производную, критические точки и обнаружить точку (и), в которой функция достигает максимума (если таковые, конечно, вообще существуют) .

И небольшой вопрос техники: производную здесь можно найти несколькими способами. На мой взгляд, удобен следующий вариант: загоняем множители под единую степень и раскрываем там скобки: , после чего дифференцируем сложную функцию :

Итак, – критические точки.

По условию оба числа положительны, поэтому значения сразу исключаем из рассмотрения. Осталось проверить достаточное условие экстремума для точки и выяснить, достигает ли там функция минимума либо максимума. А может статься, и ничего не достигает.

Проверка вам хорошо знакома: чертим числовую ось, выясняем знаки производной слева и справа от точки и выносим вердикт. Так решать можно, и это будет правильным решением, но есть и другой путь!

Второе достаточное условие экстремума

Пусть производная функции равна нулю в критической точке :
и пусть там существует вторая ненулевая производная: . Тогда:

если , то функция достигает минимума в точке ;
если , то – максимума.

В нашем случае нужно найти вторую производную и вычислить – если окажется, что , то является точкой минимума; если же – то точкой максимума.

Для удобства дифференцирования утрамбуем предшественницу:
и незамедлительно оценим это удобство:

Подставим критическое значение :
, значит, функция достигает максимума в данной точке:

Ответ : искомые числа: 6 и 6, при этом максимальное произведение квадратов:

Вообще говоря, по условию не требовалось находить само произведение, но по правилам хорошо тона его лучше рассчитать и указать в ответе. К тому же это весьма любопытно.

На практике в подавляющем большинстве случаев встречаются задачи с геометрическим смыслом, и поэтому основная часть урока будет посвящена именно им. Начнём с несложного типового примера, который почему-то довольно часто вызывает проблемы:

Задача 2

Найти наименьшее расстояние между параболой и прямой

Решение : вот, пожалуйста, самый что ни на есть практический смысл – представьте, что вам нужно пройти от дороги к дороге. Совершенно понятно, что в отсутствии препятствий это наиболее выгодно осуществить по кратчайшему пути.

Поскольку условие запрашивает наименьшее расстояние , то, очевидно, нам нужно составить функцию расстояния между параболой и прямой . За аргумент этой функции принимаем абсциссу точки , которая принадлежит параболе и «свободно перемещается по ней»:

Используем формулу расстояния от точки до прямой :

В нашем случае (т.е. ) ;
.

Таким образом:
– функция расстояния между параболой и прямой, зависящая от абсциссы точки параболы.

Дифференцируем по обычным правилам, невзирая на модуль :

– критическая точка

Проверим выполнение достаточного условия экстремума. Оцените, насколько второе достаточное условие приятнее и удобнее 1-го:
для всех «икс». В частности:
, следовательно, функция достигает минимума в точке :

Искомая «дорога» изображена малиновым отрезком на чертеже.

Ответ :

Физики в лирике могут найти ординату точки , уравнение нормали и её точку пересечения с прямой . Кстати, почему кратчайший путь проходит именно по нормали? Приложите ребро ладони к прямой и начните плавно сдвигать его к параболе: первая точка, которой вы коснётесь – будет в точности точка , ваша рука займёт положение касательной к графику функции в данной точке, а расстояние между двумя прямыми как раз и определится малиновым отрезком нормальной прямой.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 3

Из куска проволоки длиной 30 см требуется согнуть прямоугольник наибольшей площади. Каковы размеры этого прямоугольника?

Давайте немного проанализируем условие:

Что требуется найти? Очевидно, длину и ширину – это «традиционные» характеристики, определяющие прямоугольник.

Какую функцию нужно составить? Наверное, многие уже поняли данную закономерность:

Требуется найти минимальную/максимальную площадь? Составляем функцию площади;
Минимальную/максимальную диагональ? Составляем функцию длины диагонали;
Минимальный/максимальный периметр? Составляем функцию периметра
и т.д.

Напоминаю, что периметр – это длина границы фигуры, в данном случае – сумма длин сторон прямоугольника. Кстати, задачу легко переформулировать «чисто математически»:

«Найти прямоугольник максимальной площади, если его периметр равен 30 см»

Выполните схематический чертёж, подумайте, что обозначить за «икс» (впрочем, чего тут думать), составьте функцию площади – и дальше по накатанной.

После простых разогревающих заданий рассмотрим что-нибудь поосновательнее:

Задача 4

На странице книги печатный текст должен занимать (вместе с промежутками между строк) 192 . Верхнее и нижнее поля занимают по 4 см , левое и правое – по 3 см . Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Решение : разруливаем задачу по той же логической схеме:

Что требуется найти? Наиболее выгодные размеры страницы. А страница обычно имеет форму прямоугольника. Коль скоро речь идёт об экономии бумаги, то, очевидно, нужно найти такую ширину и высоту листа, чтобы его площадь была минимальна. Из чего следует, что нам необходимо составить функцию площади страницы. Причём условие жёстко задаёт размеры полей, а вот под область печати отведено 192 и её размеры могут быть произвольными (заштрихованный прямоугольник на схематическом чертеже) :

Обозначим за ширину области печати (малиновый отрезок) (можно обозначить высоту – получится равноценное решение). Тогда высота области печати:
(красный отрезок) .

Учитывая известные значения полей, найдём ширину всего листа:

И его высоту:

Составим функцию площади листа и сразу подготовим её для дифференцирования:

Найдём критические точки:

Точка не удовлетворяет геометрическому смыслу задачи, а вот значение куда более интересно.

(считать тут совсем не обязательно)

Таким образом, размеры оптимального листа:
;
;
при этом минимальная площадь:

Ответ : ширина оптимальной страницы: , её высота: ; при этом минимальная площадь:

Как видите, основная трудность состоит в том, чтобы разобраться в условии и составить нужную функцию. И в преодолении этой трудности здОрово помогает чертёж. Поэтому всегда стараемся выполнить схематический чертёж или хотя бы рисунок . Даже в таких простых случаях, как в Задаче №3, не говоря уже о только что разобранном примере.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Задача 5

В полукруг радиуса вписать прямоугольник наибольшего периметра

Просто и со вкусом. И снова несколько подсказок, которые полезно иметь в виду и при решении других задач :

! Во-первых , обратите внимание, что условие сформулировано в общем виде и величина считается известной . Если совсем тяжко, решите задачу с каким-нибудь конкретным значением радиуса, например, с радиусом .

! Во-вторых , выполните схематический чертёж, который здесь очень прост: одна из сторон прямоугольника лежит на диаметре полукруга, а вершины противоположной стороны – на полуокружности. Очевидно, что в полукруг можно вписать бесконечно много прямоугольников и ваша задача найти такой, периметр которого максимален. Какую функцию нужно составлять, надеюсь, всем понятно. Подумайте, что удобнее обозначить за «икс» и, кроме того, освежите в памяти теорему Пифагора .

! В-третьих , задачу можно решить в разных стилях. Образец решения оформлен «исключительно геометрически», однако есть и такой вариант: начертить полукруг в декартовой системе координат – в верхней полуплоскости центром в точке . Далее составить уравнение окружности , выразить функцию верхней полуокружности и рассмотреть переменные координаты вершины прямоугольника, которая на этой полуокружности лежит. Более того, ввиду симметрии фигур относительно оси задачу можно решить в 1-й координатной четверти, т.е. изобразить лишь четвертинку круга (но затем не забыть удвоить одну из сторон прямоугольника) . Кому как удобнее.

! И, в-четвёртых , эта задача о том, что иногда совсем не обязательно «разбивать лоб» о новый материал;-) Если вам показался слишком сложным 2-й достаточный признак экстремума, то никто ведь не запрещает использовать 1-й достаточный признак – определите знаки первой производной слева и справа от критической точки на промежутке и сделайте вывод.

Приятного решения!

Наш урок в самом разгаре и настало время разобрать задачи, которые встречались в моей практике без преувеличения десятки раз:

Задача 6

Определите размеры открытого бассейна объемом , имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, на облицовку стен и дна которого уйдет наименьшее количество материала.

Решение : представили бассейн. Квадратное дно. Стены. Размеры бассейна однозначно определяются его длиной и шириной, которые в данном случае совпадают (по условию дно квадратное) и глубиной (высотой стенки) . Требуется найти такие размеры бассейна, чтобы на облицовку его поверхности ушло наименьшее количество материала (например, плитки). Из чего следует, что нам нужно составить функцию суммарной площади дна и 4 стен. Изобразим на чертеже развёртку бассейна – его дно и 4 стенки, которые аккуратно лежат рядышком:

За «икс» здесь, конечно же, напрашивается обозначить сторону квадрата. Тогда площадь дна равна . Осталось выразить – высоту стены и найти её площадь .

По условию, объём бассейна равняется 32 кубическим метрам. Даже не вспоминая и не разыскивая соответствующую формулу, нетрудно сообразить, что объём прямоугольного параллелепипеда – это произведение площади его «дна» на высоту:

В нашем случае: .

Составим функцию суммарной площади дна и четырёх одинаковых стен бассейна:

Найдем критические точки:

– критическая точка.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, функция достигает минимума в точке .

Таким образом:
сторона оптимального бассейна ;
глубина ;
при этом минимальная площадь облицовки:
.

Ответ : сторона оптимального бассейна: 4 м , глубина: 2 м ; при этом минимальная площадь облицовки .

Кстати, это решение совсем не очевидно – так, например, на оптимальный вариант с успехом претендует «лягушатник» размером глубиной 1 метр, и «на глазок» очень трудно определить, что выгоднее – ведь площадь облицовки последнего лишь ненамного больше: . И да – надо отдать должное авторам задач за реалистичность, а то не так уж и редко получаются забавные результаты а-ля бассейн глубиной 32 метра, что называется, купайтесь и не квакайте =)

Аналогичная задача про суровые челябинские шпроты:

Задача 7

Каковы должны быть размеры консервной банки цилиндрической формы, чтобы на её изготовление пошло наименьшее количество материала, если объем банки 0,5 литра?

Но перед тем как решать, пожалуйста, ознакомьтесь с парой полезных замечаний:

Во-первых, литр – это единица объёма. Я специально заострил внимание на физике, поскольку на обывательском уровне литр очень часто неверно отождествляют с килограммом (единицей массы). Ощутите разницу – пол-литровая банка кильки и та же банка, наполненная гвоздями. Один литр равен одному кубическому дециметру или тысяче кубических сантиметров:

А теперь очень важный момент : так как размеры банки, очевидно, выразятся в сантиметрах, то 0,5 литра следует сразу перевести в кубические сантиметры!

К слову, что это за размеры? Цилиндр стандартно определяется радиусом основания и высотой . Во-вторых. Освежим в памяти формулы:

площадь круга:
площадь боковой поверхности цилиндра:
объём цилиндра:

И в который раз остановлюсь на важном принципе эффективного изучения математики: не зубрите формулы (без крайней необходимости, конечно ). В частности, позабытую площадь боковой поверхности цилиндра несложно вывести даже в уме: представьте стенку консервной банки без дна и крышки. Сделайте вертикальный разрез и расправьте боковину на столе. В результате получился прямоугольник, одна из сторон которого, понятно, равна высоте банки , а другая – длине окружности . Площадь же прямоугольника рассчитывается элементарно:

Решение проводится по аналогии с Задачей 6, примерный образец в конце урока.

Закрепим типовик своего рода обратными задачами:

Задача 8

Определить наибольшую вместимость цилиндрического бака, если его площадь поверхности (без крышки) должна равняться

Решение : в данном случае всё наоборот – известна площадь поверхности (если трудно, замените конкретным числом) и требуется определить максимальный объём бака.

За «икс» обозначим… а зачем, собственно, лишние буквы? Ещё с первых уроков о производной многие поняли, что дифференцировать можно по любой переменной, и сейчас мы окончательно избавимся ото всех комплексов.

От какой переменной искать функцию объёма? В соответствующей формуле наиболее «наворочен» радиус, поэтому логично попытаться составить функцию , зависящую именно от него. Нужно только выразить высоту .

Сумма площадей дна (не забываем, что крышка отсутствует!) и боковой поверхности в точности равна известному значению: , откуда находим:

Таким образом:

Найдём критические точки:

Геометрическому смыслу задачи, разумеется, удовлетворяет положительный корень . Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, функция достигает максимума в точке .

При этом высота бака:


максимальный объём:

Ответ : радиус основания оптимального бака: , высота: , при этом максимальный объём:

Решение в общем виде, бывает, кажется непривычным, однако оцените его универсальность – теперь достаточно лишь подставить конкретное значение площади и сразу рассчитать размеры оптимального цилиндра.

Успокоительное задание для самостоятельного решения:

Задача 9

Прямоугольный лист картона имеет размеры . Требуется вырезать по его углам такие квадраты, чтобы после загибания оставшихся кромок получилась коробка наибольшей вместимости.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Помимо рассмотренных выше геометрических объектов, на практике также можно встретить треугольники, трапеции, шары, конусы и т.д., но это более редкие гости (что касаемо забытых формул – справочники в помощь) . К сожалению, нельзя объять необяътное, и поэтому в рамках этой статьи я ограничился самыми распространёнными примерами. И действительно, задач ведь придумать можно очень много – и всех их не перерешаешь, главное, чтобы вы хорошо поняли принципы и методы решения , которые я постарался изложить максимально пОлно и качественно.

Кроме того, существуют экстремальные задачи физического, химического, экономического и др. содержания, однако по причине отсутствия таковых в моей коллекции кот даже и не плакал. Но, понимая, что такое производная и обладая элементарной техникой дифференцирования , вы не должны испытать серьёзных затруднений с этими задачами, хотя для их решения, конечно, нужно разобраться и в самой физике/химии/экономике или иной предметной области.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : найдем полупериметр прямоугольника: . Обозначим через длину стороны прямоугольника (любую). Тогда – длина смежной стороны:

Составим функцию площади прямоугольника:
.
Найдем критические точки:

– критическая точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума.
, значит, функция достигает максимума в точке .
Таким образом – оптимальная длина стороны прямоугольника, длина смежной стороны: ; при этом максимальная площадь:

Ответ : оптимальный прямоугольник представляет собой квадрат со стороной ; при этом максимальная площадь: .

Чтобы найти площадь поверхности коробки, сложите площади всех ее граней. Площадь поверхности коробки равна сумме площадей ее граней. Чтобы найти площадь грани, которая представляет собой прямоугольник, перемножьте его разновеликие стороны. Но существует формула для вычисления площади поверхности, которая облегчит процесс:

• l – длина коробки (самое длинное ребро).
• h – высота коробки.
• w – ширина коробки.

Измерьте длину коробки. Это самое длинное ребро. У любой коробки 4 длинных ребра. Чтобы облегчить измерение коробки, положите ее на грань, которая образована длинным и коротким ребрами.

• Пример: длина коробки равна 50 см.

Измерьте высоту коробки, то есть расстояние от пола до верхней точки коробки. Не перепутайте высоту с длиной!

• Пример: высота коробки равна 40 см.

Измерьте ширину коробки. Это ребро, которое перпендикулярно (образует прямой угол) самому длинному ребру коробки. Не перепутайте ширину с высотой!

• Пример: ширина коробки равна 20 см.

Убедитесь, что вы не измерили одно и то же ребро дважды. Измеряемые ребра должны пересекаться в одной точке. Чтобы не ошибиться, возьмите любую вершину коробки и измерьте три ребра, которые сходятся в этой вершине.

• Имейте в виду, что ребра могут быть равны. Но убедитесь, что вы измеряете три разных ребра коробки, даже если два или все три ребра будут равными.

Найденные значения подставьте в формулу для вычисления площади поверхности. Перемножьте соответствующие значения и найдите сумму результатов умножения.

• S = 2 l w + 2 l h + 2 w h {\displaystyle S=2lw+2lh+2wh}
• S = 2 (50) (20) + 2 (50) (40) + 2 (20) (40) {\displaystyle S=2(50)(20)+2(50)(40)+2(20)(40)}
• S = 2000 + 4000 + 1600 {\displaystyle S=2000+4000+1600}
• S = 7600 {\displaystyle S=7600}

Площадь поверхности выражается в квадратных единицах измерения, которые являются неотъемлемой частью ответа. Воспользуйтесь единицами измерения, в которых произведены все вычисления. В нашем примере ребра коробки измерялись в сантиметрах, поэтому площадь поверхности коробки будет выражена в квадратных сантиметрах.

• Найдите площадь поверхности коробки, длина которой равна 50 см, высота – 40 см, ширина – 20 см.
• Ответ: 7600 см 2

Если у коробки сложная форма, мысленно разбейте ее на составные части, чтобы найти площадь поверхности. Например, у коробки Г-образная форма. В этом случае мысленно разбейте эту коробку на две – коробку, расположенную по горизонтали, и коробку, расположенную по вертикали. Вычислите площадь поверхности каждой из двух коробок, а затем сложите найденные значения, чтобы получить площадь поверхности исходной коробки. Например, у вас есть П-образная коробка.

• Допустим, что площадь поверхности коробки, расположенной по горизонтали, равна 12 квадратных единиц.
• Допустим, что площадь поверхности каждой коробки, расположенной по вертикали, равна 15 квадратных единиц.
• Площадь поверхности исходной коробки: 12 + 15 + 15 = 42 квадратных единиц.

Цель урока: Усвоение умений самостоятельно в комплексе применять знания, умения и навыки, осуществлять их перенос в новые условия.

Задачи урока:

Учебно-познавательная:

• Закрепление, систематизация и обобщение знаний и умений в понятии наибольшее и наименьшее значение функции, практическое применение формируемых умений и навыков.

Развивающая:

• Развитие умений самостоятельно работать, ясности выражений мысли, проведение самооценки учебной деятельности на уроке.

Коммуникативные:

• Умение участвовать в дискуссии, умение слушать и слышать.

Ход урока

I. Слово учителя: (2 мин.)

Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику. Среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т.е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, наилучшего, наиболее выгодного, наиболее экономного. С такими задачами приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказывались минимальными. Можно сказать, что задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значения, имеют большое практическое применение. Сегодня на уроке мы и займемся решением таких задач.

II. К доске вызываются два “ сильных” ученика решать задания: (10мин)

1-й ученик:

Дан бак без крышки в виде прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат и объем равен 108 см 3 . При каких размерах бака на его изготовление пойдет наименьшее количество материала?

Обозначим сторону основания через х см, тогда высота параллелепипеда будет .

Пусть S(х) площадь поверхности, тогда S(х) =х 2 +4**х=х 2 +;

S / (х)=2х-; S / (х)=0;

2х 3 =432; х 3 =216; х=6;

По условию задачи х (0;)

Найдем знак производной на промежутке (0;6) и на промежутке (6; ?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=6 точка минимума, следовательно, S(6)=108 см 2 наименьшее значение. Значит, сторона основания равна 6 см, высота 12см.

2-й ученик:

В окружность радиуса 30 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.

Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда вторая будет, S(х) площадь прямоугольника, тогда S(х)=х;

S / (х)= - S / (х)=0; Приведем дробь к общему знаменателю, получим

3600-2х 2 =0; х=30; Берем только положительное значение по условию задачи. По смыслу задачи х (0;60);

Найдем знак производной на промежутке (0;30) и на промежутке (30;60). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х=30 точка максимума. Следовательно, одна сторона прямоугольника30, вторая 30.

III. В это время выполняется взаимопроверка по теме “Применение производной” (за каждый правильный ответ выставляется 1 балл) Каждый ученик отвечает и для проверки передает свой ответ соседу по парте.

Вопросы записаны на переносной доске, дается только ответ:

1. Функция называется возрастающей на данном промежутке, если…
2. Функция называется убывающей на данном промежутке, если…
3. Точка х 0 называется точкой минимума, если…
4. Точка х 0 называется точкой максимума, если…
5. Стационарными точками функции называют точки…
6. Написать общий вид уравнения касательной.
7. Физический смысл производной.

IV. Класс садится по группам. Группы выполняют задания на отыскание минимума и максимума функции.

1 задание:

Для функции f(х)=х 2 + найти минимум на промежутке (0; ?);

2 задание:

Для функции f(х)=х найти максимум на промежутке (0;60);

V. Предоставляется слово “сильным” ученикам. Учащиеся класса проверяют свои решения.(10мин).

VI. Выдаются задачи по выбору для каждой группы. (10 мин)

1 группа.

На отметку “3”

Для функции f(х)=х 2 *(6-х) найти наименьшее значение на отрезке

f(х)=х 2 *(6-х)=6х 2 +х 3 ;

f / (х)=12х-3х 2; f / (х)=0; 12х-3х 2 =0; х 1 =0; х 2 =4;

f(0)=0; f(6)=0; f(4)=32-max

На отметку “4”

Из проволоки длиной 20см надо сделать прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.

Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда вторая будет (10-х)см, площадь S(х)=(10-х)*х=10х-х 2 ;

S / (х)=10-2х; S / (х)=0; х=5;

По условию задачи х (0;10)

Найдем знак производной на промежутке (0;5) и на промежутке (5;10). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда: х=5 точка максимума, S(5)=25см 2 –наибольшее значение. Следовательно, одна сторона прямоугольника 5см, вторая 10-х=10-5=5см;

На отметку “5”

Участок, площадью 2400м 2 , надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.

Обозначим одну сторону участка через х м, тогда вторая будет м, длина изгороди Р(х)=3х+;

Р / (х)= 3-; Р / (х)=0;3х 2 =4800;х 2 =1600; х=40. Берем только положительное значение по условию задачи.

По условию задачи х (0; )

Найдем знак производной на промежутке (0;40) и на промежутке (40; ?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно, Р(40)=240м наименьшее значение, значит, одна сторона 40м, вторая =60м.

2 группа.

На отметку “3”

Для функции f(х)=х 2 +(16-х) 2 найти наименьшее значение на отрезке

f / (х)=2х-2(16-х)х=4х-32; f / (х)=0; 4х-32=0; х=8;

f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128-min;

На отметку “4”

Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра в м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.

Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет (-2х)м, площадь S(х)= ( -2х)х =х -2х 2 ;

S / (х)= -4х; S / (х)=0; -4х; х =;

По условию задачи х (0;)

Найдем знак производной на промежутке (0; )и на промежутке (;). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = м, вторая -2х= м;

На отметку “5”

Из прямоугольного листа картона со сторонами 80см и 50см нужно сделать коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой высоты должна быть коробка, чтобы ее объем был наибольшим?

Обозначим высоту коробки (это сторона вырезанного квадрата) через х м, тогда одна сторона основания будет (80-2х)см, вторая (50-2х)см, объем V(х)= х(80-2х)(50-2х)=4х 3 -260х 2 +4000х;

V / (х)=12х 2 -520х+4000; V / (х)=0; 12х 2 -520х+4000=0; х 1 =10; х 2 =

По условию задачи х (0; 25); х 1 (0; 25), х 2 (0;25)

Найдем знак производной на промежутке (0; 10) и на промежутке (10; 25). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 10 точка максимума. Следовательно, высота коробки = 10см.

3 группа.

На отметку “3”

Для функции f(х)=х*(60-х) найти наибольшее значение на отрезке

f(х)=х*(60-х)=60х-х 2 ;

f / (х)=60-2х; f / (х)=0; 60-2х=0; х=30;

f(0)=0; f(60)=0; f(30)=900-max

На отметку “4”

Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 20 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.

Обозначим одну сторону прямоугольника через х м, тогда вторая будет (20 -2х) м, площадь S(х)= (20-2х)х=20х -2х 2 ;

S / (х)= 20 -4х; S / (х)=0; 20 -4х =0; х = =5;

По условию задачи х (0; 10)

Найдем знак производной на промежутке (0; 5) и на промежутке (5; 10). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 5точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 5м, вторая 20 -2х= 10м;

4 группа.

На отметку “3”

Для функции f(х)=х 2 (18-х) найти наибольшее значение на отрезке

f(х)=х 2 (18-х)=18х 2 -х 3 ;

f / (х)= (18х 2 -х 3) / ; f / (х)=0; 36х-3х 2 =0; х 1 =0; х 2 =12

f(0)=0; f(18)=0; f(12)=864-max

На отметку “4”

Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 200м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.

Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет (200 -2х) м, площадь S(х)= (200-2х)х=200х -2х 2 ;

S / (х)= 200 -4х; S / (х)=0; 200 - 4х =0; х = 200/4=50;

По условию задачи х (0; 100)

Найдем знак производной на промежутке (0; 50) и на промежутке (50; 100). Производная меняет знак с “+”на “-”.Отсюда х = 50 точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 50м, вторая 200 -2х= 100м;

На отметку “5”

Требуется изготовить открытую коробку в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, с наименьшим объемом, если на ее изготовление можно потратить 300см 2 .

IX. Подводится итог урока.

X. Домашнее задание: Решение задачи на балл выше, кто выполнял задачу на “5”, они освобождаются от домашней работы.