Математическая пропорция с одним неизвестным. Записи с меткой "решение задач на пропорцию". Как высчитать процент из суммы с помощью пропорции

В прошлом видеоуроке мы рассматривали решение задач на проценты с помощью пропорций. Тогда по условию задачи нам требовалось найти значение той или иной величины.

В этот раз исходное и конечное значения нам уже даны. Поэтому в задачах будет требоваться найти проценты. Точнее, на сколько процентов изменилась та или иная величина. Давайте попробуем.

Задача. Кроссовки стоили 3200 рублей. После повышения цены они стали стоить 4000 рублей. На сколько процентов была повышена цена на кроссовки?

Итак, решаем через пропорцию. Первый шаг — исходная цена была равна 3200 рублей. Следовательно, 3200 рублей — это 100%.

Кроме того, нам дана конечная цена — 4000 рублей. Это неизвестное количество процентов, поэтому обозначим его за x . Получим следующую конструкцию:

3200 — 100%
4000 — x %

Что ж, условие задачи записано. Составляем пропорцию:

Дробь слева прекрасно сокращается на 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Кроме того, можно сократить на 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Получим следующую пропорцию:

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

8 · x = 100 · 10;
8x = 1000.

Это обычное линейное уравнение. Отсюда находим x :

x = 1000: 8 = 125

Итак, мы получили итоговый процент x = 125. Но является ли число 125 решением задачи? Нет, ни в коем случае! Потому что в задачи требуется узнать, на сколько процентов была повышена цена на кроссовки.

На сколько процентов — это значит, что нам нужно найти изменение:

∆ = 125 − 100 = 25

Получили 25% — именно настолько была повышена исходная цена. Это и является ответом: 25.

Задача B2 на проценты №2

Переходим ко второй задаче.

Задача. Рубашка стоила 1800 рублей. После снижения цены она стала стоить 1530 рублей. На сколько процентов была снижена цена на рубашку?

Переводим условие на математический язык. Исходная цена 1800 рублей — это 100%. А итоговая цена 1530 рублей — она нам известна, но неизвестно, сколько процентов она составляет от исходной величины. Поэтому обозначим ее за x . Получим следующую конструкцию:

1800 — 100%
1530 — x %

На основе полученной записи составляем пропорцию:

Давайте для упрощения дальнейших вычислений разделим обе части данного уравнения на 100. Другими словами, у числителя левой и правой дроби мы зачеркнем два нуля. Получим:

Теперь снова воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

18 · x = 1530 · 1;
18x = 1530.

Осталось найти x :

x = 1530: 18 = (765 · 2) : (9 · 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Мы получили, что x = 85. Но, как и в прошлой задаче, это число само по себе не является ответом. Давайте вернемся к нашему условию. Теперь мы знаем, что новая цена, полученная после снижения, составляет 85% от старой. И для того, чтобы найти изменения, нужно из старой цены, т.е. 100%, вычесть новую цену, т.е. 85%. Получим:

∆ = 100 − 85 = 15

Это число и будет ответом: Обратите внимание: именно 15, а ни в коем случае не 85. Вот и все! Задача решена.

Внимательные ученики наверняка спросят: почему в первой задаче мы при нахождении разности вычитали из конечного числа начальное, а во второй задаче поступили в точности до наоборот: из исходных 100% вычли конечные 85%?

Давайте проясним этот момент. Формально, в математике изменением величины всегда называется разность между конечным значением и начальным. Другими словами, во второй задаче у нас должно было получиться не 15, а −15.

Однако этот минус ни в коем случае не должен попасть в ответ, потому что он уже учтен в условии исходной задачи. Там прямо сказано о снижении цены. А снижение цены на 15% — это то же самое, что повышение цены на −15%. Именно поэтому в решении и ответе задачи достаточно написать просто 15 — без всяких минусов.

Все, надеюсь, с этим моментом мы разобрались. На этом наш сегодняшний урок закончен. До новых встреч!

(от лат. ргоро rtio — «соизмеримость» ).

Если соотношение а: b равно соотношению с: d , то тождество а: b = с: d называют пропорцией.

Если , то равенство сохранится и в следующих случаях:

(увеличение пропорции),

(уменьшение пропорции).

(составление пропорции сложением),

(составление пропорции вычитанием).

Обратим внимание, что составление пропорций — ещё один способ решения задач на проценты .

Например:

Олово производят из минерала, который называют касситеритом. Сколько тонн олова получат из 25 т касситерита, если он содержит 78 % олова?

Решение. Пусть получат х т олова. Взяв массу минерала за 100 % , запишем:

Решив 25.78 = 100х мы находим, что х = 19,5т.

Концепция пропорции тесно взаимосвязана с пропорциональностью . Пропорциональность - это неизменное соотношение двух величин друг к другу. Например, чем больше мы давим на педаль "газ" в машине, тем стремительнее она поедет.

Пропорциональность может быть прямой и обратной.

Прямая пропорциональность -рост одной величины влечет за собой рост другой.

Обратная пропорциональность существует тогда, когда рост одной величины в несколько раз, во столько же раз уменьшает другую. Продолжая предыдущий пример - обратная пропорциональность между нажатием на педаль "тормоз" и скоростью автомобиля - чем больше мы давим на тормоз, тем меньше скорость.

Вычисление процентов - несложная математическая операция, которая довольно часто встречается в повседневной жизни. Например, нужно посчитать, сколько человек экономит, используя дисконтную карту магазина или покупая товар на распродаже со скидкой, под какой процент берет кредит. Проценты можно посчитать при помощи калькулятора или пропорции, пригодится формула вычисления процентов и знание элементарных известных соотношений.

Что такое процент от числа

Вычисление процентов в школьной программе изучается классе в 5-м, если не раньше. Согласно определению, процент - это одна сотая часть числа. Термин появился в Древнем Риме и буквально переводится как «со ста». Первоначально идея вычислять проценты зародилась еще в Вавилоне. Параллельно в Древней Индии научились считать проценты при помощи пропорции.

Для того чтобы найти процент от числа, необходимо данное число поделить на 100. Очевидно, что 1 % от 100 равняется единице.

Вычисление процентов по формулам

Формула, позволяющая найти процент от числа, элементарна. Необходимо число поделить на 100, после чего умножить на нужный процент.

Если принять за Х исходное число, а за Y - искомый процент, то формула записывается в виде X/100*Y=...

Расчеты при помощи пропорции

Вычисление процентов можно производить, имея понимание метода пропорции. Пусть А - основное число, принятое за 100 %, В - число, соотношение которого с А в процентном соотношении необходимо высчитать, а Х - число искомых процентов. Тогда:

А - 100 %,
В - Х %.

Умножение крест-накрест даст равенство: А*Х=В*100. Следовательно, Х=В*100/А.

Например, необходимо узнать, сколько процентов от 300 составляет число 75. Получается: 75*100/300=25 %.

Альтернативный метод вычислений

Представим один процент не десятичной, а простой дробью - 1/100. Аналогично можно записать любое количество процентов. Так, 10 % - это 0,1 или 1/10, 25 % - 0,25 или 25/100=1/4 и так далее. Следовательно, найти 10 % от числа довольно просто - нужно разделить исходное число на 10. Таким способом удобно вычислять 20, 25 и 50 процентов:

• 20 % - это 1/5, значит, нужно делить на 5 исходное число.
• 25 % - 1/4, нужно делить на 4.
• 50 % - это 1/2, просто делить на два.

Но не всякий процент удобно рассчитать таким методом. К примеру, 33 % - это 33/100, что при записи десятичной дробью дает 0,3333 с бесконечным количеством троек после запятой.

Если возникают сомнения в правильности проводимых расчетов, всегда можно проверить себя на калькуляторе, который сейчас есть в любом мобильном устройстве и на любом компьютере.

Для решения большинства задач в математике средней школы необходимо знание по составлению пропорций. Это несложное умение поможет не только выполнять сложные упражнения из учебника, но и углубиться в саму суть математической науки. Как составить пропорцию? Сейчас разберем.

Самым простым примером является задача, где известны три параметра, а четвертый необходимо найти. Пропорции бывают, конечно, разные, но часто требуется найти по процентам какое-нибудь число. Например, всего у мальчика было десять яблок. Четвертую часть он подарил своей маме. Сколько осталось яблок у мальчика? Это самый простой пример, который позволит составить пропорцию. Главное это сделать. Изначально было десять яблок. Пусть это 100%. Это мы обозначили все его яблоки. Он отдал одну четвертую часть. 1/4=25/100. Значит, у него осталось: 100% (было изначально) - 25% (он отдал) = 75%. Эта цифра показывает процентное отношение количества оставшихся фруктов к количеству имевшихся сначала. Теперь у нас есть три числа, по которым уже можно решить пропорцию. 10 яблок - 100%, х яблок - 75%, где х - искомое количество фруктов. Как составить пропорцию? Необходимо понимать, что это такое. Математически это выглядит так. Знак равно поставлен для вашего понимания.

10 яблок = 100%;

x яблок = 75%.

Оказывается, что 10/x = 100%/75. Это и есть основное свойство пропорций. Ведь чем больше x, тем больше процентов составляет это число от исходного. Решаем эту пропорцию и получаем, что x=7,5 яблок. Почему мальчик решил отдать нецелое количество, нам неизвестно. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Главное, найти два соотношения, в одном из которых есть искомое неизвестное.

Решение пропорции часто сводится к простому умножению, а потом к делению. В школах детям не объясняют, почему это именно так. Хотя важно понимать, что пропорциональные отношения есть математическая классика, сама суть науки. Для решения пропорций необходимо уметь обращаться с дробями. Например, часто приходится переводить проценты в обыкновенные дроби. То есть запись 95% не подойдет. А если сразу написать 95/100, то можно провести солидные сокращения, не начиная основного подсчета. Сразу стоит сказать, что если ваша пропорция получилась с двумя неизвестными, то ее не решить. Никакой профессор вам здесь не поможет. А ваша задача, скорее всего, имеет более сложный алгоритм правильных действий.

Рассмотрим еще один пример, где нет процентов. Автомобилист купил 5 литров бензина за 150 рублей. Он подумал о том, сколько он бы заплатил за 30 литров топлива. Для решения этой задачи обозначим за x искомое количество денег. Можете самостоятельно решить эту задачу и потом проверить ответ. Если вы еще не поняли, как составить пропорцию, то смотрите. 5 литров бензина - это 150 рублей. Как и в первом примере, запишем 5л - 150р. Теперь найдем третье число. Конечно, это 30 литров. Согласитесь, что пара 30 л - х рублей уместна в данной ситуации. Перейдем на математический язык.

5 литров - 150 рублей;

30 литров - х рублей;

Решаем эту пропорцию:

x = 900 рублей.

Вот и решили. В своей задаче не забудьте проверить на адекватность ответ. Бывает, что при неправильном решении автомобили достигают нереальных скоростей в 5000 километров в час и так далее. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Также вы сможете ее решить. Как видите, в этом нет ничего сложного.

Умение вычисления процента от числа, когда нужно узнать пеню за просрочку, размер переплаты по кредиту или прибыль компании, если известен ее оборот и наценка.

• Как найти число по его проценту?

Правило. Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на 100.

Таким вычислением сначала определим, сколько единиц этого числа содержится в 1%, а потом — в целом числе (в 100%).

Например:
Число, 23% которого составляют 52, находится так:
52: 23 * 100 = 226.1

Значит, если число 226,1 равно 100%, то число 52 равно 23% от этого числа.

Число, 125% которого составляют 240, находим так:
240: 125 * 100 = 192.

При определении числа по его проценту следует помнить, что:

— если процент меньше 100%, то число, полученное в результате вычислений, больше заданного числа (если 23% < 100%, то 226,1 > 52);
— если процент больше 100%, то число, полученное в результате вычислений, меньше заданного числа (если 125% > 100%, то 192 < 240).

Следовательно, при вычислении числа по его проценту для самоконтроля нужно проверить:

— заданный в условии процент больше или меньше 100%;
— результат вычисления больше или меньше заданного числа.

• Как узнать процент от суммы в общем случае?

После этого есть два варианта:

1. Если нужно узнать, сколько процентов составляет другая сумма от первоначальной, нужно просто разделить ее на размер 1%, полученный ранее.
2. Если же нужен размер суммы, которая составляет, скажем, 27,5% от первоначальной, нужно размер 1% умножить на требуемое количество процентов.

• Как высчитать процент от суммы с помощью пропорции?

Для этого придется использовать знания о методе пропорций, который проходят в рамках школьного курса математики. Это будет выглядеть так:

ПустьА — основная сумма, равная 100%, и В — сумма, соотношение которой с А в процентах нам нужно узнать. Записываем пропорцию:

(Х в данном случае — число процентов).

По правилам расчета пропорций мы получаем следующую формулу:

Х = 100 * В / А

Если же нужно узнать, сколько будет составлять сумма В при уже известном числе процентов от суммы А, формула будет выглядеть по-другому:

В = 100 * Х / А

Теперь остается подставить в формулу известные числа — и можно производить расчет.

• Как рассчитать процент от суммы с помощью известных соотношений?

Наконец, можно воспользоваться и более простым способом. Для этого достаточно помнить, что 1% в виде десятичной дроби — это 0,01. Соответственно, 20% — это 0,2; 48% — 0,48; 37,5% — это 0,375 и т.д. Достаточно умножить исходную сумму на соответствующее число — и результат будет означать размер процентов.

Кроме того, иногда можно воспользоваться и простыми дробями. Например, 10% — это 0,1, то есть 1/10 следовательно, узнать, сколько составят 10%, просто: нужно всего лишь разделить исходную сумму на 10.

Другими примерами таких соотношений будут:

1. 12,5% — 1/8, то есть нужно делить на 8;
2. 20% — 1/5, то есть нужно разделить на 5;
3. 25% — 1/4, то есть делим на 4;
4. 50% — 1/2, то есть нужно разделить пополам;
5. 75% — 3/4, то есть нужно разделить на 4 и умножить на 3.

Правда, не все простые дроби удобны для расчета процентов. К примеру, 1/3 близка по размерам к 33%, но не равна точно: 1/3 — это 33,(3)% (то есть дробь с бесконечными тройками после запятой).

• Как вычесть процент от суммы без помощи калькулятора?

Если же требуется от уже известной суммы отнять неизвестное число, составляющее какое-то количество процентов, можно воспользоваться следующими методами:

1. Вычислить неизвестное число с помощью одного из приведенных выше способов, после чего отнять его от исходного.
2. Сразу рассчитать остающуюся сумму. Для этого от 100% отнимаем то число процентов, которое нужно вычесть, и полученный результат переводим из процентов в число любым из описанных выше способов.

Второй пример удобнее, поэтому проиллюстрируем его. Допустим, надо узнать, сколько останется, если от 4779 отнять 16%. Расчет будет таким:

1. Отнимаем от 100 (общее количество процентов) 16. Получаем 84.
2. Считаем, сколько составит 84% от 4779. Получаем 4014,36.

• Как высчитать (отнять) из суммы процент с калькулятором в руках?

Все вышеприведенные вычисления проще делать, используя калькулятор. Он может быть как в виде отдельного устройства, так и в виде специальной программы на компьютере, смартфоне или обычном мобильнике (даже самые старые из ныне используемых устройств обычно имеют эту функцию). С их помощью вопрос, как высчитать процент из суммы, решается очень просто:

1. Набирается исходная сумма.
2. Нажимается знак «-».
3. Вводится число процентов, которое требуется вычесть.
4. Нажимается знак «%».
5. Нажимается знак «=».

В итоге на экране высвечивается искомое число.

• Как отнять от суммы процент с помощью онлайн-калькулятора?

Наконец, сейчас в сети достаточно сайтов, где реализована функция онлайн-калькулятора. В этом случае даже не требуется знания того, как посчитать процент от суммы : все операции пользователя сводятся к вводу в окошки нужных цифр (или передвижению ползунков для их получения), после чего результат сразу высвечивается на экране.

Особенно эта функция удобна тем, кто рассчитывает не просто абстрактный процент, а конкретный размер налогового вычета или сумму госпошлины. Дело в том, что в этом случае вычисления сложнее: требуется не только найти проценты, но и прибавить к ним постоянную часть суммы. Онлайн-калькулятор позволяет избежать подобных добавочных вычислений. Главное — выбрать сайт, пользующийся данными, которые соответствуют действующему закону.

Онлайн-калькулятор процентов:

calculator.ru — позволяет выполнять разнообразные расчеты при работе с процентами;

mirurokov.ru — калькуляятор процентов;

Источник информации:

• nsovetnik.ru — статьяя о том, как высчитать процент от суммы;