2х 1 0 решение. Решение модульных уравнений. Выполни деление многочлена на многочлен

Ставка 1х2 (ставка на исход, head -to -head , трёхисходная ставка ) – одна из базовых ставок в букмекерских конторах. Не нужно подсчитывать предполагаемые очки, считать угловые, кто первый забьет и т.п. Достаточно просто быть уверенным в том, выиграет первая команда, вторая, или будет ничья.

Производить эту ставку можно как в режим лайв так и в прематчевом периоде. Чаще всего она актуальна для футбола и хоккея , но также возможна и в других видах спорта. Стоит сказать, что ставка head-to-head в ее типичной интерпретации не характерна для тенниса, волейбола, бейсбола и других видов спорта , где возможна победа только одного человека/команды (ведь нету того самого Х). В данном случае используют одиночную ставку.

Так же ставки этого рода можно производить как на итоговый результат матча (победа команды в конце игры) или же на итог игры в первом тайме (к примеру победа Ливерпуля по очкам после 45 минут игры).

Фактически ставка на исход прогнозирует итоговый результат окончания матча. А 1Х2 она иногда называется из-за сокращения: 1 в этом случае является победой хозяев, Х ничья, а 2 победа гостей (некоторые любят сокращение Хозяева-Ничья-Гостьи).

Одним из недостатков данного вида ставки является иногда широкая вилка между коэффициентами. Так, на фаворита матча кэф может быть 1.0, тогда как у противоположной стороны 12 и выше.

Выигрыш ставки head-to-head рассчитывается путем умножения суммы ставки на коэффициент, который был в момент осуществления ставки. Соответственно, при победе гостей с коэффициентом 10 при сумме ставки в 1000 р. ваша прибыль составит 10.000 рублей.

Все еще непонятно что значит 1х2 в ставках? Давайте приведем пример. Возьмем матч Россия – Германия. Обозначим Россию цифрой 1, Германию цифрой 2. Ничью возьмем за условный Х. Коэффициент букмекера на победу России (5,3), Германии (1,9), на ничью (2,4). Ваша ставка на победу России 500 рублей. В случае победы ставки (1) вы получите обратно на свой счет 500х5,3=2650 рублей. В случае победы (2) или Х вы не получите ничего и потеряете сумму ставки.

1X2	1	X	2
Россия v Германия	5.30	2.40	1.90

Выше представлен пример отображения ставки у букмекерской конторы.

Одной из модификаций трехисходной ставки являются ставки «Двойной шанс» , которые понижают степень риска и повышают процент победы. Существуют варианты 1Х, 2Х и 12. Что же значат эти обозначения? Возьмем тот же матч Россия – Германия. Ставка 1Х говорит о том, что вы ставите на победу первой команды (России) или же на ничью в матче (Х).

Соответственно, при счете 1:1 вы получите выигрыш ставки. 2Х говорит о вашей предрасположенности к Германии или ничьей. Ну а ставка 12 говорит о выигрыше либо России либо Германии, при ничьей ставка будет проиграна. Минусы в ставках по этому типу очевидны: так как по-факту вы прогнозируете не 1 события, а 2 возможных букмекерские конторы понижают коэффициенты. Так, например, при кэфе на победу России – 5.3, если вы решите еще добавить ничью 1Х, кэф вероятно упадет до 3,2 или ниже.

Надеюсь мы помогли вам разобраться с вопросом значения ставки 1Х2. Дерзайте и будьте победителями.

Для того, чтобы научиться решать уравнения с модулем, надо вспомнить и выучить определение модуля.

Из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Кроме того, определение показывает как можно избавляться от знака модуля в уравнении.

На практике это делается так:

1) Находят значения переменной, при которых выражения стоящие под знаком модуля обращаются в нуль.

2) Отмечают все нули на числовой прямой. Они разобьют эту прямую на лучи и промежутки, на которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак.

3) Определяем знаки подмодульных выражений на каждом промежутке и раскрываем все модули (заменяя их подмодульными выражениями со знаком плюс или со знаком минус в зависимости от знака подмодульного выражения).

4) Решаем получившиеся уравнения на каждом промежутке (сколько промежутков, столько и уравнений).Обратите внимание, что обязательно выбираем только те решения, которые находятся в данном промежуток (полученные решения могут и не принадлежать промежутку).

Хватит уже теории, пора на примерах посмотреть как решаются уравнения с модулем. Начнем с более простого.

Решение уравнений с модулями

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Так как , то . Если , то , и уравнение принимает вид .

Отсюда получаем .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Из уравнения следует, что .

Поэтому , , , и уравнение принимает вид или .

Так как , то исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде .

Полученное уравнение относится к уравнениям типа .

Известно, что уравнение такого типа равносильно неравенству . Следовательно, здесь имеем или .

Ответ: .

Думаю, как решать такого вида уравнения с модулем вы уже разобрались. Попробуем разобраться с более сложным уравнением .

Пример 4 . Решить уравнение: |x 2 + 2x| – |2 – x| = |x 2 – x|

Находим нули подмодульных выражений:

х 2 + 2х = 0, х(х + 2) = 0, х = 0 или х = ‒ 2. При этом парабола у = х 2 + 2х положительна на промежутках (–∞; –2) и (0; +∞), а на промежутке (–2; 0) она отрицательна (см. рисунок).

х 2 ‒ х = 0, х(х – 1) =0, х = 0 или х = 1. Эта парабола у = х 2 ‒ х положительна на промежутках (–∞; 0) и (1; +∞), а на промежутке (0; 1) она отрицательна (см. рисунок).

2 – х = 0, х = 2, модуль положителен на промежутке (–∞; 0) и принимает отрицательные значения на промежутке (2; +∞) (см. рисунок).

Теперь решаем уравнения на промежутках:

1) х ≤ ‒2: х = 1/2

2) –2 ≤ x <0: ‒(х 2 + 2х) – (2 – х) = х 2 ‒ х, ‒х 2 ‒ 2х – 2 + х = х 2 ‒ х, ‒2 х 2 = 2, х 2 = ‒1 , решений нет.

3) 0 ≤ x <1: х 2 + 2х ‒ (2 – х) = ‒ (х 2 ‒ х), х 2 + 2х ‒ 2 + х = ‒х 2 + х, 2х 2 + 2х – 2 = 0, х 2 + х – 1 = 0, √D = √5,
х 1 = (‒1 ‒ √5)/2 и х 2 = (‒1 + √5)/2.

Так как первый корень отрицательный, то он не принадлежит нашему промежутку, а второй корень больше нуля и меньше единицы это и есть наше решение на данном промежутке.

4) 1 ≤ x <2: х 2 + 2х – (2 – х) = х 2 ‒ х, х 2 + 2х – 2 + х = х 2 ‒ х, 4х = 2, х= 1/2 (не входит в рассматриваемый промежуток)

5) х ≥ 2: х 2 + 2х –(‒(2 – х)) = х 2 ‒ х, х 2 + 2х + 2 ‒ х = х 2 ‒ х, 2х = ‒ 2, х = ‒1 (не входит в рассматриваемый промежуток).

Ответ: (‒1 + √5)/2 .

Вы заметили, что решается это уравнение также как и предыдущие, отличие в количестве промежутков. Так как под модулем стоят квадратные выражения то корней получилось больше, а соответственно и больше промежутков.

А как же решать уравнение в котором модуль стоит под модулем? Давайте посмотрим на примере.

Пример 5 . Решите уравнение |3 – |x – 2|| = 1

Подмодульное выражение может принимать значение либо 1 либо – 1. Получаем два уравнения:

3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1 или 3 ‒ |х ‒ 2|= 1

Решаем каждое уравнение отдельно.

1) 3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1, ‒|х ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|х ‒ 2|= ‒4, |х ‒ 2|= 4,
х ‒ 2= 4 или х ‒ 2= ‒ 4, откуда получаем х 1 = 6, х 2 = ‒2 .

2) 3 ‒ |х ‒ 2|= 1, ‒|х ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|х – 2|= ‒2, |х – 2|= 2,
х – 2 = 2 или х – 2 = ‒2,
х 3 = 4 , х 4 = 0.

Надеюсь, после изучения данной статьи вы будете успешно решать уравнения с модулем. Если остались вопросы, записывайтесь ко мне на уроки. Репетитор Валентина Галиневская .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В наших каталогах вы найдете провод ПТПЖ 2х1,2 по доступным ценам. Мы гарантируем высокое качество всей предлагаемой продукции. Торговый Дом «Кабель Ресурс» дает возможность приобрести провод ПТПЖ 2х1,2 как оптом, так и минимальными партиями. Оперативная отмотка на складе в Москве. Вы сможете купить весь ассортимент электротехники, светотехники и кабельно-проводниковой продукции в одном месте.

Назначение провода ПТПЖ 2х1,2

Провод ПТПЖ 2х1,2, который реализуется со склада ТД «Кабель-Ресурс», имеет двойное назначение:

• он может использоваться при развертывании проводных сетей радиовещания. В этом случае провод должен эксплуатироваться при температуре окружающего воздуха не ниже -40°С и не выше +60°С;
• его можно применять на стройплощадках для прогрева бетона. При выполнении этой операции учитываются условия прогрева, принимается во внимание температура окружающей среды. По специальным таблицам подбирается строго определенная длина провода ПТПЖ 2х1,2, после чего последний закрепляется на арматурном каркасе. Важно помнить, что при прогреве бетона воздух не должен иметь температуру ниже -30°С.

Конструкция провода ПТПЖ 2х1,2

Провод, о котором идет речь в этом обзоре, состоит из:

• двух (см. число 2 в маркировке) токопроводящих жил, изготовленных из стали. Имеют однопроволочное исполнение, круглую форму, диаметр, равный 1,2 мм (см. соответствующее число в маркировке), и сопротивление, не превышающее 140 Ом на 1 км длины;
• изоляционных оболочек жил, изготовленных из ПВД (полиэтилена высокого давления). Основным преимуществом этих компонент является их чрезвычайно высокое электрическое сопротивление (оно равняется как минимум 5000 МОм на 1 км длины). Благодаря этому качеству электрический контакт – не только между жилами провода ПТПЖ 2х1,2, но и между этими элементами и внешними предметами (в том числе людьми) полностью исключен.

Изолированные проводящие жилы расположены параллельно друг другу, вследствие чего провод ПТПЖ 2х1,2 имеет плоскую форму. Изоляционные оболочки соединены разделительным основанием, материалом которого является тот же ПВД.

Вне зависимости от того, для каких целей используется провод ПТПЖ 2х1,2, при его прокладке необходимо соблюдать правило: радиус каждого монтажного изгиба, формируемого на изделии, должен быть больше 10 его внешних диаметров.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

(Напомним: приведенное квадратное уравнение – это уравнение, где первый коэффициент равен 1).

Пояснение :

Пусть квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни х 1 и х 2 . Тогда по теореме Виета:

Пример 1 :

Приведенное уравнение x 2 – 7x + 10 = 0 имеет корни 2 и 5.

Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.

А в нашем уравнении второй коэффициент равен -7, а свободный член 10.

Таким образом, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

Довольно часто встречаются квадратные уравнения, которые можно легко вычислить с помощью теоремы Виета – больше того, с ее помощью их вычислять проще. В этом легко убедиться как на предыдущем примере, так и на следующем.

Пример 2 . Решить квадратное уравнение х 2 – 2х – 24 = 0.

Решение .

Применяем теорему Виета и записываем два тождества:

х 1 · х 2 = –24

х 1 + х 2 = 2

Подбираем такие множители для –24, чтобы их сумма была равна 2. После недолгих размышлений находим: 6 и –4. Проверим:

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Как вы заметили, на практике суть теоремы Виета заключается в том, чтобы в приведенном квадратном уравнении свободный член разложить на такие множители, сумма которых равна второму коэффициенту с противопложным знаком. Эти множители и будут корнями.

Значит, корнями нашего квадратного уравнения являются 6 и –4.

Ответ: х 1 = 6, х 2 = –4.

Пример 3 . Решим квадратное уравнение 3х 2 + 2х – 5 = 0.

Здесь мы имеем дело не с приведенным квадратным уравнением. Но и такие уравнения тоже можно решать с помощью теоремы Виета, если их коэффициенты уравновешены – например, если сумма первого и третьего коэффициентов равна второму с обратным знаком.

Решение .

Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего членов равны второму с противоположным знаком:

3 + (–5) = –2.

В соответствии с теоремой Виета

х 1 + х 2 = –2/3
х 1 · х 2 = –5/3.

Нам надо найти такие два числа, сумма которых равна –2/3, а произведение –5/3. Эти числа и будут корнями уравнения.

Первое число угадывается сразу: это 1. Ведь при х = 1 уравнение превращается в простейшее сложение-вычитание:
3 + 2 – 5 = 0. Как найти второй корень?
Представим 1 в виде 3/3, чтобы все числа имели одинаковый знаменатель: так проще. И сразу напрашиваются дальнейшие действия. Если х 1 = 3/3, то:

3/3 + х 2 = –2/3.

Решаем простое уравнение:

х 2 = –2/3 – 3/3.

Ответ: х 1 = 1; х 2 = –5/3

Пример 4 : Решить квадратное уравнение 7x 2 – 6x – 1 = 0.

Решение :

Один корень обнаруживается сразу – он прямо в глаза бросается: х 1 = 1 (потому что получается простая арифметика: 7 – 6 – 1 = 0).

Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего равны второму с обратным знаком:
7 + (– 1) = 6.

В соответствии с теоремой Виета составляем два тождества (хотя в данном случае достаточно одного из них):

х 1 · х 2 = –1/7
х 1 + х 2 = 6/7

Подставляем значение х 1 в любое из этих двух выражений и находим х 2:

х 2 = –1/7: 1 = –1/7

Ответ : х 1 = 1; х 2 = –1/7

Дискриминант приведенного квадратного уравнения.

Дискриминант приведенного квадратного уравнения можно вычислять как общей формуле, так и по упрощенной:

При D = 0 корни приведенного уравнения можно вычислять по формуле:

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Алгоритм решения уравнения ах 3 +bx 2 +cx+d=0:

1.Найти подбором корень уравнения (среди делителей свободного члена);

2.Разделить многочлен ах 3 + bx 2 + cx + d на х-х 1 , где х 1 - корень уравнения ах 3 + bx 2 + cx + d =0;

3.Частное приравнять к нулю и решить получившееся уравнение;

4.Записать ответ.

Решить уравнение-6х 3 -х 2 +5х+2=0

1. Находим делители свободного члена: ±1,±2,±3,±6.

2. х=1 является корнем уравнения.

3. Многочлен -6х 3 -х 2 +5х+2 делим на двучлен

х-1 (по следствию 1 из теоремы Безу).

3.Решим уравнение: -6х 2 -7х-2=0,

6х 2 -7х-2+0, х 1 = -, х 2 = -.

4. Ответ. х=1, х = -, х = -.

Этот способ решения уравнений – универсальный. Его можно применить для решения уравнений четвёртой, пятой и т.д. степеней, постепенно понижая их степени до второй.

Пример1.

Решить уравнение х 4 +3х 3 -13х 2 -9х+30=0.

1.Среди делителей свободного члена находим корни уравнения. Это 2 и -5.

2. По следствию 1 из теоремы Безу многочлен х 4 +3х 3 -13х 2 -9х+30 делится на х-2 и на х+5, а значит делится на (х-2)(х+5)=х 2 +3х-10.

3. Выполним деление многочленов: х 4 +3х 3 -13х 2 -9х+30 на х 2 +3х-10.

4.Решим уравнение х 2 -3=0, х 1,2 =
.

Ответ. х =
, х =-, х=-5,х=2.

Решить уравнение 3х 5 +х 4 -15х 3 -5х 2 +12х+4=0.

1.Среди делителей свободного члена находим корни уравнения. Это 1, -1, 2 и -2

2. По следствию 1 из теоремы Безу многочлен 3х 5 +х 4 -15х 3 -5х 2 +12х+4 делится на х-1,х+1, х-2 и на х+2, а значит делится на (х-1)(х+1)(х-2)(х+2)=

(х 2 -1)(х 2 -4)=х 4 -5х 2 +4.

3. Выполним деление многочленов: 3х 5 +х 4 -15х 3 -5х 2 +12х+4 на х 4 -5х 2 +4.

4. Решим уравнение 3х+1 =0, х=-.

5. Ответ. х=-2,х=-1,х=-, х=1,х=2.

Решить уравнение

(2х 2 -1) 2 +х(2х-1) 2 =(х+1) 2 +16х 2 -6

Перенесём все члены в левую часть, раскроем скобки и приведём подобные члены.

4х 4 -4х 2 +1+4х 3 -4х 2 +х-х 2 -2х-1-16х 2 +6+0, 4х 4 +4х 3 -25х 2 –х+6=0.(1)

Делители свободного члена: ±1;±2;±3;±6. Если уравнение имеет целые корни, то это один из делителей. Подстановка показала, что это 2. По теореме Безу многочлен 4х 4 +4х 3 -25х 2 –х+6 делится на х-2 без остатка. В частном получим: 4х 3 +12х 2 –х – 3.

Уравнение (1) перепишем в виде: (х-2)(4х 3 +12х 2 –х – 3)=0.

Решим уравнение 4х 3 +12х 2 –х – 3=0. -3 является корнем этого уравнения, так как при подстановке его вместо х уравнение обращается в верное числовое равенство. Разделим многочлен 4х 3 +12х 2 –х – 3 на х+3, получим 4х 2 -1. Квадратное уравнение 4х 2 -1=0 имеет корни х= ±.

Ответ. х = 2, х = -3, х = ± .

Если среди делителей свободного члена нет корней уравнения, то используй зависимость между коэффициентами и корнями уравнения.

Если корень уравнения а 0 х n + a 1 x n -1 + a 2 x n -2 ...+ a n -1 x + a n =0 , то m – делитель свободного члена, а с-делитель старшего коэффициента.

Алгоритм решения таких уравнений:

1.Найди делители свободного члена и старшего коэффициента;

2.Составь различные дроби ,где m –делители свободного члена, а с-делители старшего коэффициента;

3. С помощью подстановки, определи, какая из дробей является корнем уравнения;

4. Выполни деление многочлена на многочлен;

5.Реши уравнение, приравняв частное к нулю;

6. Запиши ответ.

Решить уравнение 6х 3 -3х 2 -5х - 1=0.

1.Делители свободного члена: ±1. Эти числа не являются корнями уравнения. Находим делители старшего коэффициента: ±1, ±2,±3,±6.

2. Составим различные дроби:

3. - является корнем уравнения.

2. По следствию 1 из теоремы Безу многочлен 6х 3 -3х 2 -5х – 1 делится на х+.

3. Выполним деление многочленов:

4. Решим уравнение 6х 2 -6х-2=0, 3х 2 -3х-1=0, D = 21, х 1,2 =
,

5. Ответ. х 1,2 =, х= -.

Деление многочлена на многочлен
можно выполнять другим способом.

Пусть =
∙(х- а)+ R . Пусть

Чтобы найти коэффициенты многочлена и число , раскроем скобки в правой части равенств: и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа. Получим при
. Отсюда следует, что при
.[ 4]

Вычисление коэффициентов многочлена и остатка производится с помощью следующей таблицы:

Эта таблица называется схемой Горнера .

Пример1.

Выполнить деление 2х 3 -3х+5 на х-4.

воспользуемся схемой Горнера для вычисления коэффициентов частного и остатка.

Следовательно,

Схема Горнера дает общий метод разложения на множители любого многочлена.

3.2 Для уравнений с целыми коэффициентами, не имеющих рациональных корней, эффективен метод неопределённых коэффициентов.

3.3 Метод неопределённых коэффициентов.

Многочлен левой части уравнения представляется в виде произведения двух многочленов с неизвестными коэффициентами:

1.Для кубического уравнения: х 3 +bx 2 +cx+d=0, а≠0 , х 3 +bx 2 +cx+d=(х 2 +рх+g)(x+t)=х 3 +х 2 t+px 2 +ptx+gx+gt=x 3 +(t+p)x 2 +(pt+g)x+gt.

Так как многочлены равны, то и коэффициенты при одинаковых степенях равны. Получим систему уравнений:

2.Для уравнения четвёртой степени: х 4 +ax 3 +bx 2 +cх+d=0, а≠0

х 4 +ax 3 +bx 2 +cх+d =(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(m+mk+n)x 2 +(mt+nk)x+nt.

Так как многочлены равны, то и коэффициенты при одинаковых степенях равны. Получим систему уравнений:
Решая систему, находим неизвестные коэффициенты.

Решить уравнение х 4 -2x 2 - 8х - 3=0.

представим многочлен х 4 -2x 2 - 8х -3 в виде произведения двух трёхчленов с неизвестными коэффициентами: х 4 -2x 2 - 8х -3=

(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(n+mk+t)x 2 +(mt+nk)x+nt.

Получим систему уравнений:
Из уравнения nt=-3 следует, что надо рассмотреть случаи: 1 .n=3,t=-1; 2. n=-3,t=1; 3. n=1,t=-3; 4 . n=-1,t=3.

Подстановкой этих пар в остальные уравнения системы получим, что при n=3,t=-1 х 4 -2x 2 - 8х -3= (x 2 +2x+3)(x 2 -2x-1)=0. Решим уравнения x 2 +2x+3=0 и x 2 -2x-1=0. Дискриминант первого уравнения отрицательный, значит, оно не имеет действительных корней. Дискриминант второго уравнения равен 8, х 1,2 =1±
.

Ответ. х 1,2 =1±.

3.4. Для решения биквадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным часто используется метод введения новых переменных. Можно его использовать и для уравнений высших степеней.

Решить уравнение х 4 +2х 3 – 22х 2 +2х+1=0.

Так как х=0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения можно разделить на х 2 без потери корней. Получим уравнение

х 2 +2х-22++=0, сгруппируем слагаемые

(х 2 +)+2(х+ )-22=0.

Сделаем замену х +=t, тогда (х +) 2 =t 2 . х 2 +2+= t 2 , х 2 += t 2 -2.Исходное уравнение сводится к уравнению t 2 -2 +2t-22= 0, t 2 +2t -24= 0,t 1 =-6, t 2 =4 Вернёмся к исходной переменной: 1). х +=-6, 2). х +=4.

Решим каждое уравнение. 1). х +=-6, х 2 +6х+1=0, D=32, x 1,2 =
, x 1 =-3+2, x 2 = -3-2.

Ответ. x 1 = -3+2, x 2 = -3-2.

Уравнение вида:

(х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = E;

Пример1.

Решить уравнение(х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40.

Сгруппируем множители ((х+1)(х+5))∙((х+4)(х+2))=40, выполним умножение в скобках (х 2 +6х+5)(х 2 +6х+8)=40, Применим замену: х 2 +6х=t, тогда (t 2 +5)(t 2 +8)=40, t 4 +13t 2 +40=40, t 4 +13t 2 =0, t 2 (t 2 +13)=0, t=0, t 2 +13=0 не имеет действительных корней.

Вернёмся к исходной переменной х 2 +6х=0, х(х+6)=0, х=0, х= -6.

Ответ. х=0, х= -6.

Пример1.

Решить уравнение

(х 2 -3х+ 1)(х 2 +3х+2)(х 2 -9х+20)=-30.

разложим второй и третий трёхчлены на множители, для этого найдём корни многочленов, решив три уравнения:

х 2 +3х+2=0, х 1 = -1, х 2 = -2.

х 2 -9х+20=0, х 1 = 4, х 2 = 5. Получим уравнение

(х 2 -3х+ 1)(х+1)(х+2)(х-4)(х-5)=-30,

(х 2 -3х+ 1)((х+1)∙(х-4))((х+2)∙(х -_5))=-30,

(х 2 -3х+ 1)(х 2 -3х-4)(х 2 -3х-10)=-30, Введём новую переменную. Пусть

х 2 -3х+ 1=t, тогда t(t-5)(t-11)=-30, t=6 является корнем этого уравнения. Раскроем скобки и получим t 3 -16t 2 +55t+30=0,

Разделим многочлен t 3 -16t 2 +55t+30 на t-6, в частном получим t 2 -10t-5.

Решим уравнение t 2 -10t-5=0, t 1 =5+
, t 2 =5-.

Вернёмся к исходно переменной, для этого решим три уравнения:

Ответ. х 1,2 =, х 3,4 =
, х 5,6 =
.

Уравнение вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Eх 2 ;

Решить уравнение:

(х – 4)(х 2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х 2

разложим на множители х 2 + 15 + 50.

х 2 + 15 + 50 = 0, х 1 = -5, х 2 = -10, тогда х 2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10). Уравнение примет вид:

(х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х 2 ,

(х 2 + х – 20)(х 2 + 8х – 20) = 18х 2 . Так как х=0 не является корнем уравнения, то разделив обе части уравнения на х 2 , получим

(х+1-)(х+8-)=18.

Введём новую переменную. Пусть t= x-, тогда (t+1)(t+8)=18,

t 2 +9t-10=0,t 1 =10, t 2 =-1.Вернёмся к исходной переменной:

Ответ. x=-5, x = 4, x= -5 -3
, x= -5 +3.

Уравнение вида ах 4 +bх 3 +cх 2 +bх+a=0, ax 6 +bx 5 +cx 4 +dx 3 +cx 2 +bx+a=0 и т.д. Такие уравнения называют возвратными .Они обладают своеобразной «симметрией»: коэффициент при х 6 равен свободному члену, коэффициент при х 5 и х, при х 4 и х 2 равны. Возвратные уравнения решаются с помощью замены х +=t.

Уравнение х 4 +2х 3 – 22х 2 +2х+1=0 не имеет целых корней (делители свободного члена ±1 не являются корнями уравнения).

Так как х=0 не является корнем уравнения, то разделив обе части уравнения на х 2 , получим (х 2 +) -2(х+)-22=0.

Введём новую переменную. Пусть t= x+, тогда х 2 +2+ =t 2 , получим уравнение t 2 -2-2t-22=0, t 2 -2t-24=0 t 1 =6, t 2 =-4. Вернёмся к исходной переменной:

Ответ. x 1,2 = 3 ±2, x 3,4 = -2 ±.

3.5.. Для решения квадратных уравнений применяется способ выделения полного квадрата. Для решения уравнений третьей и четвёртой степени также можно применять формулы двучлена.

Знакомые вам формулы сокращённого умножения:

(х±а) 2 =х 2 ±2х+а 2 ;

(х±а) 3 =х 3 ±3х 2 а+3ха 2 ±а 3 ;

(х+а)(х-а)=х 2 -а 2 ;

(х+а)(х 2 -х+а 2)= х 3 +а 3 ;

(х-а)(х 2 +х+а 2)= х 3 -а 3 ;

(x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz+2yz/

Формулу (х+а) 4 можно получить следующим образом: (х+а) 4 =(х+а) 3 (х+3)= (х 3 +3х 2 а+3ха 2 +а 3) (х+а)= х 4 +4х 3 а+6х 2 а 2 +4ха 3 +а 4 .

Коэффициенты разложения можно находить, используя треугольник Паскаля

(по имени французского математика Блеза Паскаля):

В каждой строке этого треугольника коэффициенты степени, кроме первого и последнего, получаются по парным сложением ближайших коэффициентов предыдущей строки.

Пример.1.

Для (х+а) 7: показатель степени равен числу 7, значит, его коэффициенты находятся в восьмой строке, это 1,7,21,35,35,21,7,1, которые получаются из предыдущей строки так:

7=1+6, 21=6+15, 35=15+20, 35= 20+15, 21=15+20, 7=6+1.

Получим:(х+а) 7 =х 7 +7х 6 а+21х 5 а 2 +35х 4 а 3 +35х 3 а 4 +21х 2 а 5 +7ха 6 +а 7 .

При написании формул сокращённого умножения старших степеней существуют следующие закономерности:

Число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени;

Показатель степени х у каждого следующего слагаемого на единицу меньше, а показатель степени a − на единицу больше;

Сумма показателей степеней х и а постоянна и равна показателю степени многочлена;

Коэффициенты многочлена, равноотстоящие от начала и конца, равны.

Решить уравнение х 3 +6х 2 +12х-16=0.

Решение: используем формулу (х+а) 3 = 1∙х 3 +3х 2 а+3ха 2 +1∙а 3 .

х 3 +6х 2 +12х+16=0, (х 3 +3∙2х 2 +3∙2 2 х+2 3) +8=0, (х+2) 3 +2 3 =0, (х+2+2)((х+2) 2 -2 (х+2)+4)=0, 1. х=-4, 2. (х+2) 2 -2 (х+2)+ 4=0,

х 2 +2х +4=0, D=-12, действительных корней нет.

Ответ. х = -4.

Решить уравнение х 4 -12х 3 +54х 2 -108х+48=0, х 4 -12х 3 +54х 2 -108х+48= (х 4 -4х 3 ∙3+6х 2 3 2 -4х3 3 + 4 4)-4 4 +48= (х-3) 4 -64+48=0, (х-3) 4 - 16=0. Применим разность квадратов (х-3-4)(х-3+4)=0, (х-7)(х+1)=0, х=7,х=-1.

Ответ: х=-1, х=7.

3.6. Применение теоремы Виета.

1.Теорема Виета для кубического уравнения :

если х 1 , х 2 , х 3 ─ корни уравнения х 3 +bx 2 +cx+d=0, а≠0 , то

х 1 + х 2 + х 3 =- b ,

x 1 х 2 + x 2 х 3 + x 1 x 3 = c ,

х 1 х 2 х 3 = - d .

2. Теорема Виета для уравнения четвёртой степени :

если х 1 , х 2 , х 3, х 4 ─ корни уравнения х 4 + b х 3 +cx 2 +x+dх+е=0, то

х 1 + х 2 + х 3 +х 4 =- b ,

x 1 х 2 + x 1 х 3 + x 1 х 4 + x 2 х 3 + x 2 x 4 +х 3 х 4 = c ,

х 1 х 2 х 3 х 4 = е,

x 1 х 2 х 3 + x 1 х 2 х 4 + x 1 х 3 х 4 + x 2 х 3 x 4 = - d .

Решить уравнение х 3 -4 x 2 +x+6=0.

пусть х 1 , х 2 , х 3, х 4 ─ корни уравнения, тогда х 1 + х 2 + х 3 =4, x 1 х 2 +x 2 х 3 +x 1 x 3 =1, х 1 х 2 х 3 = -6. Проверим, какие из чисел ±1, ±2, ±3,±6 удовлетворяют условиям: х 1 + х 2 + х 3 =4, x 1 х 2 +x 2 х 3 +x 1 x 3 =1, х 1 х 2 х 3 = -6. Это х=-1, х=2 и х=3.

Применение формул сокращённого умножения.

Литература

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970.

2. Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.

3. Ю.М. Колягин. Алгебра и начала анализа: учебник(профильного и базового уровня) для 10 класса общеобразовательных учреждений-М.: Мнемозина 2006.

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М., Просвещение, 1996.

5. К.С. Муравин. Алгебра 8: учебник для общеобразовательных учреждений-М:Дрофа, 2008

6. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 2007.

7. /spr/algebra/ferrary.htm

КОНТАКТЫ:

347611,Ростовская область, Сальский район, х. Маяк, ул. Центральная,4

С одним неизвестным, то есть уравнений вида (*) Pn(х)= ...

Календарно-тематический план проведения занятий > Методическая разработка «Решение целых уравнений» календарно тематический план «Школа будущего абитуриента» 10 класс

Календарно-тематический план

Для уравнений высших степеней . Цель: Повторить формулы для квадратного уравнения , ввести формулы для уравнений высших степеней и показать... - многочлен стандартного вида, называют целым алгебраическим уравнением . С отдельными способами решения вы уже...