Правило сложения целых чисел с разными знаками. Конспект урока "сложение целых чисел". Общее представление о сложении целых чисел
Изучаем другие действия, которые можно совершать с десятичными дробями. В этом материале мы узнаем, как правильно подсчитать разность десятичных дробей. Отдельно разберем правила для конечных и бесконечных дробей (как периодических, так и непериодических), а также посмотрим, как считать разность дробей столбиком. Во второй части мы объясним, как вычесть десятичную дробь из натурального числа, обыкновенной дроби, смешанного числа.
Отметим заранее, что в этой статье рассмотрены только случаи, когда меньшая дробь вычитается из большей, т.е. результат этого действия положителен; другие случаи относятся к нахождению разности рациональных и действительных чисел и должны быть объяснены отдельно.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Процесс вычисления как конечных, так и бесконечных периодических десятичных дробей можно свести к нахождению разности дробей обыкновенных. Раньше мы говорили о том, что десятичные дроби можно записывать в виде обыкновенных дробей. Исходя из этого правила, разберем несколько примеров нахождения разности.
Пример 1
Найдите разность 3 , 7 - 0 , 31 .
Решение
Переписываем десятичные дроби в виде обыкновенных: 3 , 7 = 37 10 и 0 , 31 = 31 100 .
Что делать потом, мы уже изучали. Мы получили ответ, который переводим обратно в десятичную дробь: 339 100 = 3 , 39 .
Подсчеты, связанные с десятичными дробями, удобно производить столбиком. Как же пользоваться этим методом? Покажем, решив задачу.
Пример 2
Вычислите разность между периодической дробью 0 , (4) и периодической десятичной дробью 0 , 41 (6) .
Решение
Переведем записи периодических дробей в обыкновенные и подсчитаем.
0 , 4 (4) = 0 , 4 + 0 , 004 + . . . = 0 , 4 1 - 0 , 1 = 0 , 4 0 , 9 = 4 9 . 0 , 41 (6) = 0 , 41 + (0 , 006 + 0 , 0006 + . . .) = 41 100 + 0 , 006 0 , 9 = = 41 100 + 6 900 = 41 100 + 1 150 = 123 300 + 2 300 = 125 300 = 5 12
Итого: 0 , (4) - 0 , 41 (6) = 4 9 - 5 12 = 16 36 - 15 36 = 1 36
Если нужно, ответ мы можем представить в виде десятичной дроби:
Ответ: 0 , (4) − 0 , 41 (6) = 0 , 02 (7) .
Разберем далее, как найти разность, если у нас в условиях стоят бесконечные непериодические дроби. Такой случай также можно свести к нахождению разности конечных десятичных дробей, для чего понадобится округлить бесконечные дроби до определенного разряда (обычно самого меньшего из возможных).
Пример 3
Найдите разность 2 , 77369 … - 0 , 52 .
Решение
Вторая дробь в условии – конечная, а первая – бесконечная непериодическая. Мы можем округлить ее до четырех знаков после запятой: 2 , 77369 … ≈ 2 , 7737 . После этого можно выполнять вычитание: 2 , 77369 … − 0 , 52 ≈ 2 , 7737 − 0 , 52 .
Ответ: 2 , 2537 .
Вычитание столбиком – быстрый и наглядный способ узнать разность конечных десятичных дробей. Процесс подсчета очень схож с аналогичным для натуральных чисел.
- если в указанных десятичных дробях отличается количество знаков после запятой, уравняем его. Для этого допишем к нужной дроби нули;
- запишем вычитаемую дробь под уменьшаемой, разместив значения разрядов строго друг под другом, а запятую под запятой;
- выполним подсчет столбиком так же, как мы это делаем для натуральных чисел, запятую при этом игнорируем;
- в ответе отделим нужное количество чисел запятой так, чтобы она располагалась на том же месте.
Разберем конкретный пример использования этого метода на практике.
Пример 4
Найдите разность 4 452 , 294 - 10 , 30501 .
Решение
Для начала выполним первый шаг – уравняем количество десятичных знаков. Допишем два нуля в первую дробь и получим дробь вида 4 452 , 29400 , значение которой идентично исходной.
Запишем получившиеся числа друг под другом в нужном порядке, чтобы получился столбик: 
Считаем как обычно, игнорируя запятые: 
В получившемся ответе поставим запятую в нужном месте: 
Подсчеты окончены.
Наш результат: 4 452 , 294 − 10 , 30501 = 4 441 , 98899 .
Найти разность между конечной десятичной дробью и натуральным числом легче всего описанным выше способом – столбиком. Для этого число, из которого мы вычитаем, необходимо записать в виде десятичной дроби, в дробной части которой стоят нули.
Пример 5
Вычислите 15 - 7 , 32 .
Запишем уменьшаемое число 15 в виде дроби 15 , 00 , поскольку дробь, которую нам нужно вычесть, имеет два знака после запятой. Далее выполняем подсчет столбиком, как обычно: 
Таким образом, 15 − 7 , 32 = 7 , 68 .
Если из натурального числа нам нужно вычесть бесконечную периодическую дробь, то мы опять же сводим эту задачу к аналогичному вычислению. Заменяем периодическую десятичную дробь на обыкновенную.
Пример 6
Вычислите разность 1 - 0 , (6) .
Решение
Указанной в условии периодической десятичной дроби соответствует обычная 2 3 .
Считаем: 1 − 0 , (6) = 1 − 2 3 = 1 3 .
Полученный ответ можно перевести в периодическую дробь 0 , (3) .
Если данная в условии дробь непериодическая, поступаем так же, предварительно округлив ее до нужного разряда.
Пример 7
Отнимите 4 , 274 … от 5 .
Решение
Указанную бесконечную дробь мы округлим до сотых и получим 4 , 274 … ≈ 4 , 27 .
После этого вычисляем 5 − 4 , 274 … ≈ 5 − 4 , 27 .
Преобразуем 5 в 5 , 00 и запишем столбик:
В итоге 5 − 4 , 274 … ≈ 0 , 73 .
Если перед нами стоит обратная задача – вычесть натуральное число из десятичной дроби, то мы выполняем вычитание из целой части дроби, а дробную часть не трогаем совсем. Мы поступаем так и с конечными, и с бесконечными дробями.
Пример 8
Найдите разность 37 , 505 – 17 .
Решение
Отделяем от дроби целую часть 37 и вычитаем требуемое число из нее. Получаем 37 , 505 − 17 = 20 , 505 .
Эту задачу также необходимо свести к вычитанию обыкновенных дробей – как в случае со смешанными числами, так и с десятичными дробями.
Пример 9
Вычислите разность 0 , 25 - 4 5 .
Решение
Представим 0 , 25 в виде обыкновенной дроби – 0 , 25 = 25 100 = 1 4 .
Теперь нам нужно найти разность между 1 4 и 4 5 .
Считаем: 4 5 − 0 , 25 = 4 5 − 1 4 = 16 20 − 5 20 = 11 20 .
Запишем ответ в виде десятичной записи: 0 , 55 .
Если в условии стоит смешанное число, из которого надо вычесть конечную или периодическую десятичную дробь, то поступаем аналогично.
Пример 10
Условие: отнимите 0 , (18) от 8 4 11 .
Перепишем периодическую дробь в виде обыкновенной. 0 , (18) = 0 , 18 + 0 , 0018 + 0 , 000018 + . . . = 0 , 18 1 - 0 , 01 = 0 , 18 0 , 99 = 18 99 = 2 11
Получается, что 8 4 11 - 0 , (18) = 8 4 11 - 2 11 = 8 2 11 .
В виде десятичной дроби ответ можно записать как 8 , (18) .
Таким же образом мы действуем, когда вычитаем смешанное число или обыкновенную дробь из конечной или периодической дроби.
Пример 11
Подсчитайте 9 40 - 0 , 03 .
Решение
Заменяем дробь 0 , 03 на обыкновенную 3 100 .
У нас получается, что: 9 40 − 0 , 03 = 9 40 − 3 100 = 90 400 − 12 400 = 78 400 = 39 200
Ответ можно оставить так или преобразовать в десятичную дробь 0 , 195 .
Если нам требуется выполнять вычитание с участием бесконечных непериодических дробей, то нам нужно будет свести их к конечным. Со смешанными числами поступаем аналогично. Для этого запишем обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби и округлим вычитаемую дробь до определенного разряда. Проиллюстрируем нашу мысль примером:
Пример 12
Отнимите 4 , 38475603 … . из 10 2 7 .
Решение
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
В итоге 10 2 7 - 4 , 38475603 . . . = 10 , (285714) - 4 , 38475603 . . . .
Теперь округлим вычитаемые числа до седьмого знака: 10 , (285714) = 10 , 285714285714 … ≈ 10 , 2857143 и 4 , 38475603 … ≈ 4 , 3847560
Тогда 10 , (285714) − 4 , 38475603 … ≈ 10 , 2857143 − 4 , 3847560 .
Единственное, что осталось сделать – вычесть одну конечную десятичную дробь из другой. Выполним подсчет столбиком: 
Ответ: 10 2 7 - 4 , 38475603 . . . ≈ 5 , 9009583
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Сумма и разность десятичных дробей. 5 класс
Цель урока: познакомиться с приемом выполнения сложения и вычитания десятичных дробей; развивать мышление, внимание, интерес и память; воспитывать трудолюбие, честность, аккуратность, точность, прививать навыки самоконтроля. совершенствовать навыки грамотной речи.
Восстановите запись 6,413>6,4 _ 8 1,892
сравните числа **,512 … *,9* 0,342 … 0,341 ** *,*** … **,* 4,3** … 4,7**
Заполни пропуски. 8м3дм = … м 6м8см = … м 2т2ц = … т 54ц = … т 7,2 … = 7т2 ц 11м7дм= … м
Решим задачу. Белоснежка решила сшить себе новое платье и попросила своих верных гномов посчитать сколько всего ткани ей нужно купить,если на юбку нужно 3,25м, а на блузу – 1,2м? «Это легко!» - закричали Гномы. Нужно 3,25м + 1,2м. Но как это сделать? Помогите гномикам!
Совершенно верно! 3,25 + 1,2 = Тот же результат получим, если запишем числа в столбик, как при сложении натуральных чисел: разряд под разрядом, уравняв количество цифр после запятой. В записи окажется запятая под запятой.
Алгоритм сложения и вычитания десятичных дробей. Уравнять в этих дробях количество знаков после запятой. Записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой. Выполнить сложение или вычитание, не обращая внимания на запятую. Подставить в ответе запятую под запятой.
Сложение
Выполнить сложение десятичных дробей:
9,03 +7,4= 9,03 – 7,4= 9,4 + 7,004= 9 + 7,2= 9 -7,2 = Выполнить сложение и вычитание десятичных дробей.
Является сложение десятичных дробей . В этой статье мы рассмотрим правила сложения конечных десятичных дробей, на примерах разберем, как проводится сложение конечных десятичных дробей столбиком, а также остановимся на принципах сложения бесконечных периодических и непериодических десятичных дробей. В заключение остановимся на сложении десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами.
Отметим, что в этой статье мы будем говорить лишь о сложении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные варианты покрываются материалом статей сложение рациональных чисел и сложение действительных чисел .
Навигация по странице.
Общие принципы сложения десятичных дробей
Пример.
Выполните сложение десятичной дроби 0,43 и десятичной дроби 3,7 .
Решение.
Десятичной дроби 0,43 соответствует обыкновенная дробь 43/100 , а десятичной дроби 3,7 – обыкновенная дробь 37/10 (при необходимости смотрите перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные). Таким образом, 0,43+3,7=43/100+37/10 .
На этом сложение конечных десятичных дробей завершено.
Ответ:
4,13 .
Теперь добавим к рассмотрению периодические десятичные дроби.
Пример.
Сложите конечную десятичную дробь 0,2 с периодической десятичной дробью 0,(45) .
Решение.
Тогда .
Ответ:
0,2+0,(45)=0,65(45) .
Теперь остановимся на принципе сложения бесконечных непериодических десятичных дробей.
Напомним, что бесконечные непериодические десятичные дроби в отличие от конечных и периодических десятичных дробей не могут быть представлены в виде обыкновенных дробей (они представляют иррациональные числа), поэтому сложение бесконечных непериодических дробей не может быть сведено к сложению обыкновенных дробей.
При выполнении сложения бесконечных непериодических дробей их заменяют приближенными значениями, то есть, предварительно проводят их округление (смотрите округление чисел ) до некоторого разряда. Повышая точность, с которой берутся приближенные значения исходных бесконечных непериодических десятичных дробей, получается более точное значение результата сложения. Таким образом, сложение бесконечных непериодических десятичных дробей сводится к сложению конечных десятичных дробей.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Проведите сложение бесконечных непериодических десятичных дробей 4,358… и 11,11002244… .
Решение.
Округлим складываемые десятичные дроби до сотых (до тысячных мы уже не сможем округлить дробь 4,358… , так как значение разряда десятитысячных неизвестно), имеем 4,358…≈4,36 и 11,11002244…≈11,11 . Теперь осталось сложить конечные десятичные дроби: .
Ответ:
4,358…+11,11002244…≈15,47 .
В заключение этого пункта скажем, что для сложения положительных десятичных дробей характерны все свойства сложения натуральных чисел . То есть, сочетательное свойство сложения позволяет однозначно определить сложение трех и большего количества десятичных дробей, а переместительное свойство сложения позволяет переставлять складываемые десятичные дроби местами.
Сложение десятичных дробей столбиком
Достаточно удобно выполнять сложение конечных десятичных дробей столбиком. Этот способ позволяет обойтись без перевода складываемых десятичных дробей в обыкновенные дроби.
Чтобы выполнить сложение десятичных дробей столбиком , надо:
- записать одну дробь под другой так, чтобы одинаковые разряды оказались друг под другом, а запятая под запятой (для удобства можно уравнять количество десятичных знаков, приписав к одной из дробей справа некоторое количество нулей);
- дальше, не обращая внимания на запятые, выполнить сложение так, как выполняется сложение столбиком натуральных чисел ;
- в полученной сумме поставить десятичную запятую так, чтобы она находилась под десятичными запятыми слагаемых.
Для ясности рассмотрим пример сложения десятичных дробей столбиком.
Пример.
Проведите сложение десятичных дробей 30,265 и 1 055,02597 .
Решение.
Выполним сложение десятичных дробей столбиком.
Для начала уравняем количество десятичных знаков в складываемых дробях. Для этого нужно дописать два нуля справа в дроби 30,265 , при этом получится равная ей дробь 30,26500 .
Теперь записываем дроби 30,26500
и 1 055,02597
в столбик, чтобы соответствующие разряды были друг под другом:
Выполняем сложение по правилам сложения в столбик, не обращая внимания на запятые:
Осталось лишь поставить десятичную запятую в полученном числе, после чего сложение десятичных дробей столбиком принимает законченный вид:
Ответ:
30,26500+1 055,02597=1 085,29097 .
Сложение десятичных дробей с натуральными числами
Сразу озвучим правило сложения десятичных дробей с натуральными числами : чтобы сложить десятичную дробь и натуральное число нужно данное натуральное число прибавить к целой части десятичной дроби, а дробную часть оставить прежней. Это правило относится как к конечным десятичным дробям, так и к бесконечным.
Разберем пример применения этого правила.
Пример.
Вычислите сумму десятичной дроби 6,36 и натурального числа 48 .
Решение.
Целая часть десятичной дроби 6,36 равна 6 , если к ней прибавить натуральное число 48 , то мы получим число 54 . Таким образом, 6,36+48=54,36 .
Ответ:
6,36+48=54,36 .
Сложение десятичных дробей с обыкновенными дробями и смешанными числами
Сложение конечных десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом можно свести к сложению обыкновенных дробей или сложению обыкновенной дроби и смешанного числа. Для этого десятичную дробь достаточно заменить равной ей обыкновенной дробью.
Пример.
Выполните сложение десятичной дроби 0,45 и обыкновенной дроби 3/8 .
Решение.
Заменим десятичную дробь 0,45 обыкновенной дробью: . После этого сложение десятичной дроби 0,45 и обыкновенной дроби 3/8 сводится к сложению обыкновенных дробей 9/20 и 3/8 . Закончим вычисления: . При надобности полученную обыкновенную дробь можно перевести в десятичную.
