Производная arccos 1 x. Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции. Примеры подробного нахождения производной функции

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f"(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y". Отметим, что y" = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f"(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f"(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f"(x) \), т.е. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. Например, для функции \(y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f"(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f"(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции - дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C - постоянное число и f=f(x), g=g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования :

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ (Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac{f}{g} \right) " = \frac{f"g-fg"}{g^2} $$ $$ \left(\frac{C}{g} \right) " = -\frac{Cg"}{g^2} $$ Производная сложной функции:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Таблица производных некоторых функций

$$ \left(\frac{1}{x} \right) " = -\frac{1}{x^2} $$ $$ (\sqrt{x}) " = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^{a-1} $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac{1}{x} $$ $$ (\log_a x)" = \frac{1}{x\ln a} $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text{tg} x)" = \frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ (\text{ctg} x)" = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ $$ (\arcsin x)" = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\arccos x)" = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\text{arctg} x)" = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ (\text{arcctg} x)" = \frac{-1}{1+x^2} $$ Знаки операций:
+ - сложение,
- - вычитание,
* - умножение,
/ - деление,
^ - возведение в степень.

Знак умножения нужно вводить только между числами, во всех остальных случаях его можно не вводить.

Список функций:

Функция	Описание	Пример ввода	Результат ввода
pi	Число \(\pi\)	pi	$$ \pi $$
e	Число \(e\)	e	$$ e $$
e^x	Степень числа \(e\)	e^(2x)	$$ e^{2x} $$
exp(x)	Степень числа \(e\)	exp(1/3)	$$ \sqrt{e} $$
|x| abs(x)	Модуль (абсолютное значение) числа \(x\)	|x-1| abs(cos(x))	\(|x-1| \) \(|\cos(x)| \)
sin(x)	Синус	sin(x-1)	$$ sin(x-1) $$
cos(x)	Косинус	1/(cos(x))^2	$$ \frac{1}{cos^2(x)} $$
tg(x)	Тангенс	x*tg(x)	$$ x \cdot tg(x) $$
ctg(x)	Котангенс	3ctg(1/x)	$$ 3 ctg \left(\frac{1}{x} \right) $$
arcsin(x)	Арксинус	arcsin(x)	$$ arcsin(x) $$
arccos(x)	Арккосинус	arccos(x)	$$ arccos(x) $$
arctg(x)	Арктангенс	arctg(x)	$$ arctg(x) $$
arcctg(x)	Арккотангенс	arcctg(x)	$$ arcctg(x) $$
sqrt(x)	Квадратный корень	sqrt(1/x)	$$ \sqrt{\frac{1}{x}} $$
x^(1/n)	Корень произвольной числовой целой степени >= 2 x^(1/2) эквивалентно sqrt(x)	(cos(x))^(1/3)	$$ \sqrt[\Large 3 \normalsize]{cos(x)} $$
ln(x)	Натуральный логарифм (основание - число e )	1/ln(3-x)	$$ \frac{1}{ln(3-x)} $$
log(a,x)	Логарифм x по основанию a	log(3,cos(x))	$$ log_3(cos(x)) $$
sh(x)	Гиперболический синус	sh(x-1)	$$ sh(x-1) $$
ch(x)	Гиперболический косинус	ch(x)	$$ ch(x) $$
th(x)	Гиперболический тангенс	th(x)	$$ th(x) $$
cth(x)	Гиперболический котангенс	cth(x)	$$ cth(x) $$

Почему решение на английском языке?

При решении этой задачи используется большой и дорогой модуль одного "забугорного" сервиса. Решение он выдает в виде изображения и только на английском языке. Изменить это, к сожалению, нельзя. Ничего лучше мы найти не смогли. Зато он выводит подробное и очень качественное решение в том виде в котором оно принято в высших учебных заведениях . Единственное неудобство - на английском языке, но это не большая цена за качество.

Некоторые пояснения по выводу решения.

Вывод	Перевод, пояснение
derivative	производная
\(\large\frac{du}{dx}\) или \(\large\frac{d}{dx}u\)	Это производная функции \(u\) по переменной \(x\). В общеобразовательных школах чаще пишут "штрих": \(u"_x\) или просто \(u"\)
\(\large\frac{de^u}{du}\) или \(\large\frac{d}{du}e^u\)	Это производная функции \(e^u\) по переменной \(u\).
Express \(x^x\) as a power of \(e\)	Представим \(x^x\) как степень \(e\)
Factor out constants	Выносим константы за знак дифференциала
Simplify ... using the identity ...	Упрощаем... используя равенство...
Using the chain rule	Используем правило дифференцирования сложной (дословно - "цепи") функции
Using the product rule	Используем правило дифференцирования произведения
Using the quotient rule	Используем правило дифференцирования частного (дроби)
Using the power rule	Используем правило дифференцирования степени
Differentiate the sum term by term	Дифференцируем сумму почленно
The derivative of x is 1	Производная x это 1
Simplify the expression	Упрощаем выражение
Answer	Ответ
\(log(x)\)	Натуральный логарифм, основание - число e. У нас пишут \(ln(x)\)
\(arccos(x)\) или \(cos^{-1}(x)\)	Арккосинус. У нас пишут \(arccos(x) \)
\(arcsin(x)\) или \(sin^{-1}(x)\)	Арксинус. У нас пишут \(arcsin(x) \)
\(tan(x)\)	Тангенс. У нас пишут \(tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}\)
\(arctan(x)\) или \(tan^{-1}(x)\)	Арктангенс. У нас пишут \(arctg(x)\)
\(cot(x)\)	Котангенс. У нас пишут \(ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}\)
\(arccot(x)\) или \(cot^{-1}(x)\)	Арккотангенс. У нас пишут \(arcctg(x)\)
\(sec(x)\)	Секанс. У нас пишут также \(sec(x) = \frac{1}{cos(x)}\)
\(csc(x)\)	Косеканс. У нас пишут \(cosec(x) = \frac{1}{sin(x)}\)
\(cosh(x)\)	Гиперболический косинус. У нас пишут \(ch(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \)
\(sinh(x)\)	Гиперболический синус. У нас пишут \(sh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \)
\(tanh(x)\)	Гиперболический тангенс. У нас пишут \(th(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \)
\(coth(x)\)	Гиперболический котангенс. У нас пишут \(cth(x) = \frac{1}{th(x)} \)

Если вам что-то осталось не понятно обязательно напишите об этом в Обранной связи и мы дополним эту таблицу.

Примеры подробного нахождения производной функции

Пример №1

Найти производную функции $$ f(x) = x^{x}$$ Решение

Пример №2

Найти производную функции $$ f(x) = x^2 + log(cos(x)) $$ Решение << Назад (к нахождению производной) Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач

Представлен вывод производных первого порядка арксинуса (arcsin x)′ и арккосинуса (arccos x)′. Для каждой из функций, вывод дан двумя способами.

Здесь мы полагаем, что нам известны производные синуса и косинуса. Далее мы выводим производные арксинуса и арккосинуса, учитывая, что они являются обратными функциями к синусу и косинусу, соответственно.

Вывод производной арксинуса

Рассмотрим функцию арксинус от переменной x :
y = arcsin x .
- 1 до + 1 :
.
- π/2 до + π/2 :
.
Функция арксинус является обратной к функции синус:
x = sin y .

Для определения производной арксинуса, применим формулу производной обратной функции:
(1) .

Производная синуса нам известна. Обычно ее записывают в следующем виде:
.
Здесь .
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2) .
Здесь
y = arcsin x ;
x = sin y .

Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x . Для этого заметим, что поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (2):
.

Тем самым мы вывели формулу производной арксинуса:
.

Второй способ

Поскольку арксинус и синус являются обратными функциями по отношению друг к другу, то
(3) .
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x . То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4) .

Производную правой части находим из таблицы производных :
.

Производную левой части находим по формуле производной сложной функции :
.
Здесь .
Поскольку , то . Поэтому
.
Тогда
.

Подставим в (4):
.
Отсюда
.

Вывод производной арккосинуса

Используя связь между арксинусом и арккосинусом

Производную арккосинуса легко получить из производной арксинуса, если воспользоваться связью между арксинусом и арккосинусом :
.
Отсюда
.

По формуле производной обратной функции

Также производную арккосинуса можно найти по формуле производной обратной функции.

Рассмотрим функцию арккосинус:
y = arccos x .
Здесь независимая переменная x может принимать значения от - 1 до + 1 :
.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π :
.
Функция арккосинус является обратной к функции косинус:
x = cos y .

Применим формулу производной обратной функции:
(1) .

Производная косинуса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y . Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5) .
Здесь
y = arccos x ;
x = cos y .

Теперь выразим правую часть формулы (5) через переменную x . Поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (5):
.

Таким образом, мы вывели формулу производной арккосинуса:
.