Was ist der Goldene Schnitt? Interessante Fakten zum „Goldenen Schnitt“. Daraus schließen sie, dass der italienische Mathematiker nur eine gewisse Annäherung an den Goldenen Schnitt gefunden hat
Es ist allgemein anerkannt, dass das Konzept der goldenen Teilung von Pythagoras, einem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker (VI. Jahrhundert v. Chr.), in die wissenschaftliche Verwendung eingeführt wurde. Es wird vermutet, dass Pythagoras sein Wissen über die goldene Teilung von den Ägyptern und Babyloniern übernommen hat. Tatsächlich weisen die Proportionen der Cheops-Pyramide, der Tempel, Flachreliefs, Haushaltsgegenstände und des Schmucks aus dem Grab von Tutanchamun darauf hin, dass ägyptische Handwerker bei ihrer Herstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten. Der französische Architekt Le Corbusier stellte fest, dass im Relief aus dem Tempel des Pharaos Sethos I. in Abydos und im Relief mit der Darstellung des Pharaos Ramses die Proportionen der Figuren den Werten der goldenen Teilung entsprechen. Der Architekt Khesira, abgebildet auf einem Relief einer Holztafel aus einem nach ihm benannten Grab, hält in seinen Händen Messgeräte, in denen die Proportionen der goldenen Teilung aufgezeichnet sind.
Die Griechen waren geschickte Geometer. Sie brachten ihren Kindern sogar das Rechnen mit geometrischen Figuren bei. Das pythagoräische Quadrat und die Diagonale dieses Quadrats waren die Grundlage für die Konstruktion dynamischer Rechtecke.
Auch Platon (427...347 v. Chr.) wusste von der Goldenen Teilung. Sein Dialog „Timaios“ widmet sich den mathematischen und ästhetischen Ansichten der pythagoräischen Schule, insbesondere den Fragen der Goldenen Teilung.
In der antiken Literatur, die uns überliefert ist, wurde die goldene Teilung erstmals in Euklids „Elementen“ erwähnt. Im 2. Buch „Grundsätze“ wird eine geometrische Konstruktion der goldenen Teilung gegeben. Nach Euklid untersuchten Hypsikles (2. Jahrhundert v. Chr.), Pappus (3. Jahrhundert n. Chr.) und andere die goldene Einteilung. Im mittelalterlichen Europa wurde die goldene Einteilung durch den Übersetzer J. Campano aus Navarra (III. Jahrhundert) in die arabischen Übersetzungen von Euklids Elementen eingeführt Jahrhundert). Die Geheimnisse der Goldenen Division wurden sorgfältig gehütet, streng geheim gehalten und waren nur Eingeweihten bekannt.
Während der Renaissance wuchs das Interesse an der Goldenen Teilung bei Wissenschaftlern und Künstlern aufgrund ihrer Verwendung sowohl in der Geometrie als auch in der Kunst, insbesondere in der Architektur. Leonardo da Vinci, ein Künstler und Wissenschaftler, erkannte, dass italienische Künstler über viel empirische Erfahrung, aber wenig Wissen verfügten. Er konzipierte und begann ein Buch über Geometrie zu schreiben, doch zu dieser Zeit erschien ein Buch des Mönchs Luca Pacioli und Leonardo gab seine Idee auf. Zeitgenossen und Wissenschaftshistorikern zufolge war Luca Pacioli eine echte Koryphäe, der größte Mathematiker Italiens in der Zeit zwischen Fibonacci und Galileo. Luca Pacioli war ein Schüler des Künstlers Piero della Franceschi, der zwei Bücher schrieb, eines davon mit dem Titel „Über die Perspektive in der Malerei“. Er gilt als Begründer der beschreibenden Geometrie.
Luca Pacioli verstand die Bedeutung der Wissenschaft für die Kunst perfekt. Im Jahr 1509 erschien in Venedig das Buch „Die göttlichen Proportionen“ von Luca Pacioli mit brillant ausgeführten Illustrationen, weshalb angenommen wird, dass sie von Leonardo da Vinci stammen. Das Buch war eine begeisterte Hymne an den Goldenen Schnitt. Der Mönch Luca Pacioli versäumte es nicht, unter den vielen Vorteilen des goldenen Verhältnisses dessen „göttliche Essenz“ als Ausdruck der göttlichen Dreifaltigkeit zu nennen: Gott der Sohn, Gott der Vater und Gott der Heilige Geist (es wurde angedeutet, dass das Kleine Das Segment ist die Personifikation von Gott dem Sohn, das größere Segment ist der Gott des Vaters und das gesamte Segment ist der Gott des Heiligen Geistes.
Auch Leonardo da Vinci widmete der Erforschung der Goldenen Teilung große Aufmerksamkeit. Er fertigte Abschnitte eines stereometrischen Körpers an, der aus regelmäßigen Fünfecken bestand, und jedes Mal erhielt er Rechtecke mit Seitenverhältnissen in der goldenen Teilung. Deshalb gab er dieser Abteilung den Namen Goldener Schnitt. So geht es bis heute weiter.
Zur gleichen Zeit arbeitete Albrecht Dürer im Norden Europas, in Deutschland, an denselben Problemen. Er skizziert die Einleitung zur ersten Fassung der Abhandlung über Proportionen. Dürer schreibt. „Es ist notwendig, dass jemand, der weiß, wie man etwas macht, es anderen beibringt, die es brauchen. Das habe ich mir vorgenommen.“ Albrecht Dürer entwickelt ausführlich die Proportionslehre des menschlichen Körpers. Er wies dem Goldenen Schnitt einen wichtigen Platz in seinem Beziehungssystem zu. Der Proportionalkompass von Dürer ist bekannt.
Großer Astronom des 16. Jahrhunderts. Johannes Kepler bezeichnete den Goldenen Schnitt als einen der Schätze der Geometrie. Er machte als erster auf die Bedeutung des Goldenen Schnitts für die Botanik (Pflanzenwachstum und deren Struktur) aufmerksam. Kepler bezeichnete die Goldene Proportion als selbstkontinuierlich. „Sie ist so strukturiert“, schrieb er, „dass sich die beiden niedrigsten Terme dieser nie endenden Proportion zum dritten Term und zu den beiden letzten Termen addieren, wenn sie addiert werden.“ , gib den nächsten Term an, und das gleiche Verhältnis bleibt bis ins Unendliche bestehen.“
Die Konstruktion einer Reihe von Segmenten des Goldenen Schnitts kann sowohl in Richtung der Zunahme (aufsteigende Reihe) als auch in der Richtung der Abnahme (absteigende Reihe) erfolgen.
In den folgenden Jahrhunderten wurde die Regel des Goldenen Schnitts zu einem akademischen Kanon, und als mit der Zeit der Kampf gegen den akademischen Alltag in der Kunst begann, „schüttete man in der Hitze des Kampfes das Baby mit dem Bade aus“. Der Goldene Schnitt wurde Mitte des 19. Jahrhunderts wieder „entdeckt“. Im Jahr 1855 veröffentlichte der deutsche Forscher des Goldenen Schnitts, Professor Zeising, sein Werk „Ästhetische Forschung“. Zeising betrachtet den Goldenen Schnitt ohne Zusammenhang mit anderen Phänomenen. Er verabsolutierte die Proportionen des Goldenen Schnitts und erklärte ihn für universell für alle Phänomene der Natur und der Kunst. Zeising hatte zahlreiche Anhänger, aber es gab auch Gegner, die seine Proportionslehre zur „mathematischen Ästhetik“ erklärten.
Zeising testete die Gültigkeit seiner Theorie an griechischen Statuen. Er entwickelte die Proportionen des Apollo Belvedere bis ins kleinste Detail. Untersucht wurden griechische Vasen, architektonische Strukturen verschiedener Epochen, Pflanzen, Tiere, Vogeleier, Musiktöne und poetische Metren. Zeising definierte den Goldenen Schnitt und zeigte, wie er in geraden Linienabschnitten und in Zahlen ausgedrückt wird. Als man die Zahlen erhielt, die die Längen der Segmente ausdrückten, erkannte Zeising, dass sie eine Fibonacci-Reihe darstellten, die in die eine oder andere Richtung unendlich fortgesetzt werden konnte. Sein nächstes Buch trug den Titel „Die goldene Teilung als grundlegendes morphologisches Gesetz in Natur und Kunst“. Im Jahr 1876 wurde in Russland ein kleines Buch veröffentlicht, in dem dieses Werk von Zeising dargelegt wurde.
Ende des 19. – Anfang des 20. Jahrhunderts. Über die Verwendung des Goldenen Schnitts in Kunstwerken und Architektur tauchten viele rein formalistische Theorien auf. Mit der Entwicklung des Designs und der technischen Ästhetik weitete sich das Gesetz des Goldenen Schnitts auf die Gestaltung von Autos, Möbeln usw. aus.
Die Wissenschaft hat die Kunst nicht absorbiert, aber in jenen historischen Perioden, in denen Mathematik und Kunst näher kamen, gab dies der Entwicklung beider Impulse.
Das Konzept des Goldenen Schnitts
Lassen Sie uns herausfinden, was die alten ägyptischen Pyramiden, Leonardo da Vincis Gemälde „Mona Lisa“, eine Sonnenblume, eine Schnecke, eine Schneeflocke, eine Galaxie und menschliche Finger gemeinsam haben.
Proportion (lat. proportio) ist in der Mathematik die Gleichheit zweier Verhältnisse: a:b = c:d.
Der Goldene Schnitt ist eine proportionale Aufteilung eines Segments in ungleiche Teile, bei der das gesamte Segment zum größeren Teil in Beziehung steht, während der größere Teil selbst zum kleineren Teil in Beziehung steht.
Ein gerader Streckenabschnitt AB kann durch einen Punkt C auf folgende Weise in zwei Teile geteilt werden:
- in zwei gleiche Teile - AB: AC = AB: BC;
- in zwei in irgendeiner Hinsicht ungleiche Teile (solche Teile bilden keine Proportionen);
- im Extrem- und Mittelwert so, dass AB: AC = AC: BC.
Die letzte ist die goldene Division.
Das praktische Kennenlernen des Goldenen Schnitts beginnt damit, dass man mit Zirkel und Lineal ein gerades Liniensegment im Goldenen Schnitt teilt. BC = 1/2 AB; CD = BC
Von Punkt B aus wird eine Senkrechte gleich der Hälfte AB wiederhergestellt. Der resultierende Punkt C wird durch eine Linie mit Punkt A verbunden. Auf der resultierenden Linie wird ein Segment BC gelegt, das mit Punkt D endet. Das Segment AD wird auf die Gerade AB übertragen. Der resultierende Punkt E teilt das Segment AB im goldenen Verhältnis.
Segmente des Goldenen Schnitts werden als unendlicher irrationaler Bruch ausgedrückt; wenn AB als eins genommen wird, dann AE = 0,618..., BE = 0,382... Aus praktischen Gründen werden häufig Näherungswerte von 0,62 und 0,38 verwendet. Wenn das Segment AB 100 Teile umfasst, beträgt der größere Teil des Segments 62 und der kleinere Teil 38 Teile.
Konstruktion des zweiten Goldenen Schnitts. Die Aufteilung erfolgt wie folgt. Das Segment AB wird proportional zum Goldenen Schnitt geteilt. Von Punkt C aus wird eine senkrechte CD wiederhergestellt. Der Radius AB ist Punkt D, der durch eine Linie mit Punkt A verbunden ist. Der rechte Winkel ACD wird in zwei Hälften geteilt. Eine Linie wird vom Punkt C bis zum Schnittpunkt mit der Linie AD gezogen. Punkt E teilt das Segment AD im Verhältnis 56:44.
Die Linie des zweiten Goldenen Schnitts des Rechtecks liegt in der Mitte zwischen der Linie des Goldenen Schnitts und der Mittellinie des Rechtecks.
Pentagramm
Um Segmente des goldenen Anteils der aufsteigenden und absteigenden Reihe zu finden, können Sie das Pentagramm verwenden.
Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks und Pentagramms.
Um ein Pentagramm zu bauen, müssen Sie ein regelmäßiges Fünfeck bauen. Die Bauweise wurde vom deutschen Maler und Grafiker Albrecht Dürer (1471...1528) entwickelt. Sei O der Mittelpunkt des Kreises, A ein Punkt auf dem Kreis und E der Mittelpunkt des Segments OA. Die am Punkt O wiederhergestellte Senkrechte zum Radius OA schneidet den Kreis am Punkt D. Zeichnen Sie mit einem Zirkel die Strecke CE = ED auf dem Durchmesser ein. Die Seitenlänge eines regelmäßigen Fünfecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist, ist gleich DC. Wir zeichnen die Segmente DC auf dem Kreis ein und erhalten fünf Punkte, um ein regelmäßiges Fünfeck zu zeichnen. Wir verbinden die Ecken des Fünfecks mit Diagonalen durcheinander und erhalten ein Pentagramm. Alle Diagonalen eines Fünfecks unterteilen sich im Goldenen Schnitt in Segmente. Jedes Ende des fünfeckigen Sterns stellt ein goldenes Dreieck dar. Seine Seiten bilden an der Spitze einen Winkel von 36° und die seitlich gelegte Basis teilt ihn im Goldenen Schnitt.
Fibonacci-Reihe
Der Name des italienischen Mathematikermönchs Leonardo von Pisa, besser bekannt als Fibonacci (Sohn von Bonacci), ist indirekt mit der Geschichte des Goldenen Schnitts verbunden. Er reiste viel in den Osten und führte Europa in die indischen (arabischen) Ziffern ein. Im Jahr 1202 erschien sein mathematisches Werk „Das Buch des Abakus“ (Zählbrett), das alle damals bekannten Probleme zusammenfasste. Eine der Aufgaben lautete: „Wie viele Kaninchenpaare werden in einem Jahr aus einem Paar geboren?“ Als Fibonacci über dieses Thema nachdachte, baute er die folgende Zahlenreihe auf: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 usw.
Diese Reihe ist als Fibonacci-Reihe bekannt. Die Besonderheit der Zahlenfolge besteht darin, dass jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem dritten, gleich der Summe der beiden vorherigen ist und das Verhältnis benachbarter Zahlen in der Reihe sich dem Verhältnis der goldenen Division nähert. Darüber hinaus wird dieses Divisionsergebnis nach der 13. Zahl in der Folge bis zur Unendlichkeit der Reihe konstant. Es war diese konstante Anzahl von Teilungen, die im Mittelalter als göttliches Verhältnis bezeichnet wurde und heute als Goldener Schnitt, Goldener Durchschnitt oder Goldene Proportion bezeichnet wird. In der Algebra wird diese Zahl mit dem griechischen Buchstaben φ (phi) bezeichnet.
Der Goldene Schnitt beträgt also 1:1,618
Also 21: 34 = 0,617 und 34: 55 = 0,618. Diese Beziehung wird mit dem Symbol φ bezeichnet. Dieses Verhältnis – 0,618:0,382 – ergibt eine kontinuierliche Unterteilung eines Geradensegments im Goldenen Schnitt.
Die Fibonacci-Reihe hätte nur ein mathematischer Vorfall bleiben können, wenn nicht alle Forscher der goldenen Teilung in der Pflanzen- und Tierwelt, ganz zu schweigen von der Kunst, diese Reihe ausnahmslos als arithmetischen Ausdruck des Gesetzes des Goldenen betrachteten Aufteilung. Wissenschaftler entwickelten die Theorie der Fibonacci-Zahlen und des Goldenen Schnitts aktiv weiter. Es entstehen elegante Methoden zur Lösung einer Reihe kybernetischer Probleme (Suchtheorie, Spiele, Programmierung) mithilfe von Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt. In den USA entsteht sogar die Mathematical Fibonacci Association, die seit 1963 eine Sonderzeitschrift herausgibt.
Goldenes Rechteck und goldene Spirale
In der Geometrie wurde ein Rechteck mit einem goldenen Seitenverhältnis als golden bezeichnet. Seine langen Seiten stehen im Verhältnis zu den kurzen – im Verhältnis 1,168:1.
Das goldene Rechteck hat auch viele erstaunliche Eigenschaften. Indem wir aus dem goldenen Rechteck ein Quadrat ausschneiden, dessen Seite gleich der kleineren Seite des Rechtecks ist, erhalten wir wieder ein goldenes Rechteck mit kleineren Abmessungen. Dieser Vorgang kann unbegrenzt fortgesetzt werden. Während wir weiterhin Quadrate abschneiden, erhalten wir am Ende immer kleinere goldene Rechtecke. Darüber hinaus werden sie sich in einer logarithmischen Spirale befinden, was für mathematische Modelle natürlicher Objekte wichtig ist. Der Pol der Spirale liegt am Schnittpunkt der Diagonalen des Ausgangsrechtecks und der ersten zu schneidenden Vertikale. Darüber hinaus liegen die Diagonalen aller nachfolgenden abnehmenden goldenen Rechtecke auf diesen Diagonalen. Natürlich gibt es auch das goldene Dreieck.
Der Goldene Schnitt ist eine universelle Manifestation struktureller Harmonie. Es findet sich in der Natur, der Wissenschaft, der Kunst – in allem, womit der Mensch in Berührung kommen kann. Nachdem die Menschheit einmal die goldene Regel kennengelernt hatte, hat sie sie nie verraten.
DEFINITION
Die umfassendste Definition des Goldenen Schnitts besagt, dass sich der kleinere Teil auf den größeren bezieht, während sich der größere Teil auf das Ganze bezieht. Sein ungefährer Wert beträgt 1,6180339887. Bei einem gerundeten Prozentwert betragen die Anteile der Teile am Ganzen 62 % bis 38 %. Diese Beziehung wirkt in den Formen von Raum und Zeit.
Die Alten betrachteten den Goldenen Schnitt als Spiegelbild der kosmischen Ordnung, und Johannes Kepler nannte ihn einen der Schätze der Geometrie. Die moderne Wissenschaft betrachtet den Goldenen Schnitt als „asymmetrische Symmetrie“ und nennt ihn im weitesten Sinne eine universelle Regel, die die Struktur und Ordnung unserer Weltordnung widerspiegelt.
GESCHICHTE
Die alten Ägypter hatten eine Vorstellung von den goldenen Proportionen, sie kannten sie in Rus, aber zum ersten Mal wurde der Goldene Schnitt vom Mönch Luca Pacioli im Buch „Divine Proportion“ (1509) wissenschaftlich erklärt, zu dem es auch Illustrationen gab angeblich von Leonardo da Vinci hergestellt. Pacioli sah im Goldenen Schnitt die göttliche Dreifaltigkeit: Der kleine Abschnitt verkörperte den Sohn, der große Abschnitt den Vater und das Ganze den Heiligen Geist.
Der Name des italienischen Mathematikers Leonardo Fibonacci steht in direktem Zusammenhang mit der Regel des Goldenen Schnitts. Als Ergebnis der Lösung eines der Probleme entwickelte der Wissenschaftler eine Zahlenfolge, die heute als Fibonacci-Reihe bekannt ist: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 usw. Kepler machte auf die Beziehung dieser Folge zum Goldenen Verhältnis aufmerksam: „Sie ist so angeordnet, dass sich die beiden unteren Glieder dieses nie endenden Verhältnisses zum dritten Glied addieren und zwei beliebige letzte Glieder, wenn sie hinzugefügt werden, ergeben.“ die nächste Amtszeit, und das gleiche Verhältnis wird bis ins Unendliche beibehalten. Nun ist die Fibonacci-Reihe die arithmetische Grundlage für die Berechnung der Proportionen des Goldenen Schnitts in all seinen Erscheinungsformen.
Auch Leonardo da Vinci widmete sich viel Zeit dem Studium der Merkmale des Goldenen Schnitts; höchstwahrscheinlich gehörte der Begriff selbst ihm. Seine Zeichnungen eines stereometrischen Körpers aus regelmäßigen Fünfecken beweisen, dass jedes der durch Schnitt erhaltenen Rechtecke das Seitenverhältnis in der goldenen Teilung ergibt.
Im Laufe der Zeit wurde die Regel des Goldenen Schnitts zu einer akademischen Routine, und erst der Philosoph Adolf Zeising gab ihr im Jahr 1855 ein zweites Leben. Er brachte die Proportionen des Goldenen Schnitts auf das Absolute und machte sie universell für alle Phänomene der umgebenden Welt. Allerdings sorgte seine „mathematische Ästhetik“ für viel Kritik.
DIE NATUR
Auch ohne Berechnungen lässt sich der Goldene Schnitt in der Natur leicht finden. Also das Verhältnis von Schwanz und Körper einer Eidechse, die Abstände zwischen den Blättern an einem Ast fallen darunter, es gibt einen goldenen Schnitt in Form eines Eies, wenn eine bedingte Linie durch seinen breitesten Teil gezogen wird.
Der weißrussische Wissenschaftler Eduard Soroko, der die Formen der goldenen Teilungen in der Natur untersuchte, stellte fest, dass alles, was wächst und danach strebt, seinen Platz im Weltraum einzunehmen, die Proportionen des Goldenen Schnitts aufweist. Eine der interessantesten Formen ist seiner Meinung nach das Spiraldrehen.
Archimedes achtete auf die Spirale und leitete auf der Grundlage ihrer Form eine Gleichung ab, die noch heute in der Technik verwendet wird. Goethe bemerkte später die Anziehungskraft der Natur auf Spiralformen und nannte die Spirale die „Kurve des Lebens“. Moderne Wissenschaftler haben herausgefunden, dass solche Erscheinungsformen von Spiralformen in der Natur wie ein Schneckenhaus, die Anordnung von Sonnenblumenkernen, Spinnennetzmuster, die Bewegung eines Hurrikans, die Struktur der DNA und sogar die Struktur von Galaxien die Fibonacci-Reihe enthalten.
MENSCHLICH
Modedesigner und Bekleidungsdesigner rechnen bei allen Berechnungen nach den Proportionen des Goldenen Schnitts. Der Mensch ist eine universelle Form, um die Gesetze des Goldenen Schnitts zu testen. Natürlich haben nicht alle Menschen von Natur aus ideale Proportionen, was zu gewissen Schwierigkeiten bei der Auswahl der Kleidung führt.
In Leonardo da Vincis Tagebuch ist die Zeichnung eines nackten Mannes in einem Kreis in zwei übereinanderliegenden Positionen zu sehen. Basierend auf den Forschungen des römischen Architekten Vitruv versuchte Leonardo ebenfalls, die Proportionen des menschlichen Körpers zu bestimmen. Später schuf der französische Architekt Le Corbusier anhand von Leonardos „Vitruvianischer Mensch“ seine eigene Skala „harmonischer Proportionen“, die die Ästhetik der Architektur des 20. Jahrhunderts beeinflusste.
Adolf Zeising hat bei der Untersuchung der Verhältnismäßigkeit einer Person kolossale Arbeit geleistet. Er vermaß etwa zweitausend menschliche Körper sowie viele antike Statuen und kam zu dem Schluss, dass der Goldene Schnitt das durchschnittliche statistische Gesetz ausdrückt. Beim Menschen sind ihm fast alle Körperteile untergeordnet, der Hauptindikator für den Goldenen Schnitt ist jedoch die Teilung des Körpers durch den Nabelpunkt.
Als Ergebnis der Messungen stellte der Forscher fest, dass die Proportionen des männlichen Körpers 13:8 näher am Goldenen Schnitt liegen als die Proportionen des weiblichen Körpers – 8:5.
KUNST DER RAUMFORMEN
Der Künstler Wassili Surikow sagte: „Dass es in der Komposition ein unveränderliches Gesetz gibt, wenn man in einem Bild nichts entfernen oder hinzufügen kann, man nicht einmal einen zusätzlichen Punkt hinzufügen kann, das ist echte Mathematik.“ Lange Zeit folgten Künstler diesem Gesetz intuitiv, doch nach Leonardo da Vinci ist der Entstehungsprozess eines Gemäldes ohne die Lösung geometrischer Probleme nicht mehr abgeschlossen. Beispielsweise nutzte Albrecht Dürer den von ihm erfundenen Proportionalkompass, um die Punkte des Goldenen Schnitts zu bestimmen.
Der Kunstkritiker F. V. Kovalev stellt nach eingehender Untersuchung des Gemäldes von Nikolai Ge „Alexander Sergejewitsch Puschkin im Dorf Michailowskoje“ fest, dass jedes Detail der Leinwand, sei es ein Kamin, ein Bücherregal, ein Sessel oder der Dichter selbst, streng ist in goldenen Proportionen beschriftet.
Forscher des Goldenen Schnitts studieren und vermessen unermüdlich architektonische Meisterwerke und behaupten, sie seien solche geworden, weil sie nach den Goldenen Kanonen geschaffen wurden: Zu ihrer Liste gehören die Großen Pyramiden von Gizeh, die Kathedrale Notre Dame, die Basilius-Kathedrale und der Parthenon.
Und heute versuchen sie in jeder Kunst der Raumformen, den Proportionen des Goldenen Schnitts zu folgen, da sie laut Kunstkritikern die Wahrnehmung des Werkes erleichtern und beim Betrachter ein ästhetisches Gefühl erzeugen.
WORT, TON UND FILM
Die Formen der temporären Kunst führen uns auf ihre Weise das Prinzip der goldenen Teilung vor Augen. Literaturwissenschaftler haben beispielsweise festgestellt, dass die beliebteste Zeilenzahl in Gedichten aus der Spätzeit von Puschkins Werk der Fibonacci-Reihe entspricht – 5, 8, 13, 21, 34.
Auch in einzelnen Werken des russischen Klassikers gilt die Regel des Goldenen Schnitts. Der Höhepunkt von „Die Pik-Dame“ ist die dramatische Szene von Herman und der Gräfin, die mit dem Tod der Gräfin endet. Die Geschichte hat 853 Zeilen und der Höhepunkt findet in Zeile 535 statt (853:535 = 1,6) – das ist der Punkt des Goldenen Schnitts.
Der sowjetische Musikwissenschaftler E. K. Rosenov weist auf die erstaunliche Genauigkeit des Goldenen Schnitts in den strengen und freien Formen der Werke von Johann Sebastian Bach hin, die dem nachdenklichen, konzentrierten und technisch verifizierten Stil des Meisters entspricht. Dies gilt auch für die herausragenden Werke anderer Komponisten, bei denen die auffälligste oder unerwartetste musikalische Lösung meist am Punkt des Goldenen Schnitts liegt.
Der Filmregisseur Sergej Eisenstein hat das Drehbuch seines Films „Panzerkreuzer Potemkin“ bewusst auf die Regel des Goldenen Schnitts abgestimmt und den Film in fünf Teile gegliedert. In den ersten drei Abschnitten findet die Handlung auf dem Schiff statt, in den letzten beiden – in Odessa. Der Übergang zu Szenen in der Stadt ist die goldene Mitte des Films.
Ein Mensch unterscheidet Gegenstände um ihn herum anhand ihrer Form. Das Interesse an den Formen eines Objekts kann entweder durch eine lebenswichtige Notwendigkeit bedingt sein oder durch die Schönheit der Form verursacht werden. Die Form, die auf einer Kombination aus Symmetrie und dem Goldenen Schnitt basiert, fördert die beste visuelle Wahrnehmung, ein Gefühl von Schönheit und Harmonie.
Die vollständigste Definition des Goldenen Schnitts besagt, dass der kleinere Teil mit dem größeren zusammenhängt, während der größere Teil mit dem Ganzen zusammenhängt. Sein ungefährer Wert beträgt 1,6180339887. Prozentual werden die Anteile der Teile zum Ganzen mit 62 % zu 38 % in Beziehung gesetzt. Diese Beziehung wirkt in den Formen von Raum und Zeit.
Leonardo da Vinci widmete viel Zeit dem Studium der Merkmale des Goldenen Schnitts. Es wird angenommen, dass der Begriff selbst ihm gehört.
Die Wissenschaft
Der Name des italienischen Mathematikers Leonardo Fibonacci ist mit der Regel des Goldenen Schnitts verbunden. Als Ergebnis der Lösung eines der Probleme entwickelte der Wissenschaftler eine Zahlenfolge, die heute als Fibonacci-Reihe bekannt ist: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 usw. Nun ist die Fibonacci-Folge die arithmetische Grundlage für die Berechnung der Proportionen des Goldenen Schnitts in all seinen Erscheinungsformen.
Die Natur
Der Goldene Schnitt lässt sich leicht in der Natur finden. Diese Regel umfasst das Verhältnis von Schwanz und Körper der Eidechse, den Abstand zwischen den Blättern am Zweig, es gibt einen goldenen Schnitt in Form eines Eies, wenn eine bedingte Linie durch seinen breitesten Teil gezogen wird.
Menschlich
Der deutsche Dichter und Philosoph Adolf Zeising kam zu dem Schluss, dass der Goldene Schnitt das durchschnittliche statistische Gesetz ausdrückt, dem fast alle Körperteile eines Menschen unterliegen, der Hauptindikator des Goldenen Schnitts jedoch die Teilung des Körpers durch den Nabelpunkt ist . Als Ergebnis vieler Messungen stellte der Forscher fest, dass die Proportionen des männlichen Körpers 13:8 näher am Goldenen Schnitt liegen als die Proportionen des weiblichen Körpers – 8:5.
Die Architektur
Forscher des Goldenen Schnitts untersuchen und messen ständig architektonische Meisterwerke und behaupten, dass sie solche wurden, weil sie nach der Regel des Goldenen Schnitts geschaffen wurden: Auf dieser Liste stehen die Großen Pyramiden von Gizeh, die Kathedrale Notre Dame, die Basilius-Kathedrale und das Parthenon.
Malerei
Das Vorhandensein heller Vertikalen und Horizontalen im Bild, die es im Verhältnis zum Goldenen Schnitt unterteilen, verleiht ihm einen Charakter von Ausgeglichenheit und Ruhe, entsprechend der Absicht des Künstlers. Wenn die Absicht des Künstlers eine andere ist, beispielsweise wenn er ein Bild mit sich schnell entwickelnder Wirkung schafft, wird ein solches geometrisches Kompositionsschema inakzeptabel.
Literatur
Viele Literaturwissenschaftler haben festgestellt, dass der Höhepunkt der Helligkeit der Wahrnehmung am Punkt des Goldenen Schnitts liegen sollte. Es wird auch als interessant angesehen, dass die beliebteste Zeilenzahl in Gedichten aus der Spätzeit von Puschkins Werk der Fibonacci-Reihe entspricht – 5, 8, 13, 21, 34.
„Es gibt noch etwas mehr, das aus der Kombination und Verbindung von drei Dingen (Anzahl, Begrenzung und Platzierung) besteht, etwas, mit dem das ganze Gesicht der Schönheit auf wundersame Weise erleuchtet wird. Wir nennen das Harmonie, die ohne Zweifel die Quelle ist.“ von allem Charme und Schönheit. Schließlich besteht der Zweck und das Ziel der Harmonie darin, Teile, die im Allgemeinen unterschiedlicher Natur sind, durch eine perfekte Beziehung so anzuordnen, dass sie einander entsprechen und Schönheit schaffen ... Sie umfasst das Ganze des Menschen Das Leben durchdringt die gesamte Natur der Dinge. Denn alles, was die Natur hervorbringt, wird am Gesetz der Harmonie gemessen der Teile zerfallen.“Die Große Sowjetische Enzyklopädie definiert den Begriff „Harmonie“ wie folgt:
„Harmonie ist die Proportionalität der Teile und des Ganzen, die Verschmelzung verschiedener Bestandteile eines Objekts zu einem einzigen organischen Ganzen. In der Harmonie offenbaren sich die innere Ordnung und das Maß des Seins nach außen.“Viele „Schönheitsformeln“ sind bereits bekannt. Seit langem bevorzugen Menschen in ihren Kreationen regelmäßige geometrische Formen – Quadrat, Kreis, gleichschenkliges Dreieck, Pyramide usw. Bei den Proportionen von Gebäuden werden ganzzahlige Verhältnisse bevorzugt. Von den vielen Proportionen, die Menschen seit langem nutzen, um harmonische Werke zu schaffen, gibt es eine, die einzige und unwiederholbare, die einzigartige Eigenschaften besitzt. Dieses Verhältnis wurde unterschiedlich genannt – „golden“, „göttlich“, „goldener Schnitt“, „goldene Zahl“, „goldener Mittelwert“. Reis. 1 Der „Goldene Schnitt“ ist ein mathematisches Konzept und seine Erforschung ist in erster Linie eine Aufgabe der Wissenschaft. Es ist aber auch ein Kriterium für Harmonie und Schönheit, und dies ist bereits eine Kategorie der Kunst und Ästhetik. Und unser Museum, das sich der Erforschung dieses einzigartigen Phänomens widmet, ist zweifellos ein wissenschaftliches Museum, das sich der Erforschung von Harmonie und Schönheit aus mathematischer Sicht widmet.“ Auf der Website von A.P. Stakhov ( www. goldenesmuseum . com) bietet viele interessante und lehrreiche Informationen über die wunderbaren Eigenschaften des Goldenen Schnitts. Und das ist nicht überraschend. Das Konzept des „Goldenen Schnitts“ wird mit der Harmonie der Natur in Verbindung gebracht. Gleichzeitig sind die Prinzipien der Symmetrie in der belebten und unbelebten Natur in der Regel mit Harmonie verbunden. Daher wird heute niemand mehr von der universellen Manifestation des Prinzips des Goldenen Schnitts überrascht sein. Und jede neue Entdeckung auf dem Gebiet der Identifizierung eines anderen goldenen Verhältnisses überrascht niemanden mehr, außer vielleicht den Autor einer solchen Entdeckung. Die Universalität dieses Prinzips steht außer Zweifel. Verschiedene Nachschlagewerke bieten Hunderte von Formeln, die die Fibonacci-Reihe mit dem Goldenen Schnitt verbinden, darunter eine Reihe von Formeln, die Wechselwirkungen in der Welt der Elementarteilchen widerspiegeln. Unter diesen Formeln möchte ich eine erwähnen – Newtons Binomial für den Goldenen Schnitt
Wo - Anzahl der Permutationen.
Und Newtons Binomial spiegelt bekanntlich die Potenzfunktion der dualen Beziehung wider.
Diese Formel verknüpft das Binomial des Goldenen Schnitts mit der Einheit.
Ohne dieses Prinzip ist es tatsächlich unmöglich, ein einzelnes grundlegendes Problem zu betrachten. In der Medizin wird dieser Anteil mit dem Prinzip der Selbstversorgung begründet. Und doch wird der Goldene Schnitt trotz seiner Universalität in der Praxis nicht immer und nicht überall verwendet.
2
. MONADE UND GOLDENER VERHÄLTNIS
Die Prinzipien der Symmetrie liegen der Relativitätstheorie, der Quantenmechanik, der Festkörperphysik, der Atom- und Kernphysik sowie der Teilchenphysik zugrunde. Oben wurde gezeigt, dass Symmetrie eine der Manifestationsformen der Dualität ist. Daher ist es nicht verwunderlich, dass diese Prinzipien am deutlichsten in den Invarianzeigenschaften der Naturgesetze zum Ausdruck kommen. Es wird gezeigt, dass Symmetrie und Asymmetrie nicht einfach miteinander zusammenhängen, sondern unterschiedliche Formen der Manifestation des Musters der Dualität sind .
Das Muster der Dualität ist einer der Hauptmechanismen der Evolution lebender und nichtlebender Materie. Tatsächlich kann die Fähigkeit zur Fortpflanzung in lebenden Organismen natürlich nur dadurch erklärt werden, dass der Organismus im Laufe seiner Entwicklung seine Hülle vollständig vervollständigt und der Versuch, die Struktur weiter zu komplizieren, aufgrund des Gesetzes der Begrenzung und Isolation dazu führt Transformation von einem Organismus mit innerer Dualität zu einem Organismus mit äußerer Dualität, also Verdoppelung, die durch Teilung des Originals erfolgt. Dann wird der Vorgang wiederholt. Das Muster der Dualität ist für die Entstehung doppelter Organe in einem lebenden Organismus verantwortlich. Diese Verdoppelung ist keine Folge der Evolution lebender Organismen.
Der Goldene Schnitt basiert auf einer einfachen Proportion, die im Bild der goldenen Spirale deutlich zu erkennen ist:
Die Regeln des Goldenen Schnitts waren bereits in Babylonien und im alten Ägypten bekannt. Die Proportionen der Cheops-Pyramide, Objekte aus dem Grab von Tutanchamun und andere Werke antiker Kunst bezeugen dies beredt, und der Begriff „Goldener Schnitt“ selbst stammt von Leonardo da Vinci. Seitdem wurden viele Meisterwerke der Kunst, Architektur und Musik unter strikter Einhaltung des Goldenen Schnitts aufgeführt, der zweifellos die Struktur unserer Sinneshüllen widerspiegelt – der Augen und Ohren, des Gehirns – eines Analysators für Geometrie, Farbe, Licht und Klang und andere Bilder.
Der Goldene Schnitt birgt ein weiteres Geheimnis. Es verbirgt die Immobilie Selbstrationierung.
Akademiker Tolkachev V.K. In seinem Buch „The Luxury of Systems Thinking“ schreibt er über diese wichtige Eigenschaft des Goldenen Schnitts:
„Es war einmal, als Claudius Ptolemäus die Körpergröße eines Menschen gleichmäßig in 21 Segmente einteilte und zwei Hauptteile identifizierte: einen großen (großen) Teil, der aus 13 Segmenten bestand, und einen kleineren (kleineren) Teil – aus 8. Es stellte sich heraus, dass das Verhältnis der Länge der gesamten menschlichen Figur zur Länge ihres größeren Teils gleich dem Verhältnis des größeren Teils zum kleineren ist....
Der Goldene Schnitt lässt sich wie folgt veranschaulichen. Wenn ein Einheitssegment in zwei ungleiche Teile (Dur und Moll) unterteilt wird, sodass die Länge des gesamten Segments (d. h. Dur + Moll = 1) sich auf die gleiche Weise auf die Dur-Segmente bezieht wie die Dur- auf die Moll-Segmente:
(Dur + Moll) / Dur = Dur / Moll = F,
dann hat ein solches Problem eine Lösung in Form der Wurzeln der Gleichung x 2 - x - 1 = 0, deren Zahlenwert ist:
X 1 = - 0,618033989..., x 2 = 1,618033989...,
Die erste Wurzel wird durch den Buchstaben „
F", und zweitens "- F
", aber wir werden andere Notationen verwenden:
F
=1,618033989... und Ф -1 = 0,618033989...
Dies ist die einzige Zahl, die die Eigenschaft hat, genau eins mehr zu sein als ihr umgekehrtes Verhältnis.“
Beachten Sie, dass eine andere Gleichung
X 2
-
j- 1 =
xy
wird zu einer Identität für die folgenden Werte
X 1
= + 0,618033989...,
j 1
=- 1,618033989...,
X 2
= -1,618033989...,
j 2
= 0,618033989...,
Vielleicht Zusammengenommen ergeben diese Wurzeln das lebensspendende Kreuz
- Kreuz des Goldenen Schnitts?
Gleichung des Goldenen Schnitts
Ф 2 - Ф=1
WoF 1 = -Ф -1 = - 0,618033989...,
UndФ 2 = Ф 1 =1,618033989...,
die Immobilie befriedigen Selbstrationierung, sodass Sie komplexere „Strukturen“ gemäß „
Bild und Ähnlichkeit
".
Einsetzen von Wurzeln in die Gleichung
X
(
x-1)=1,wir werden bekommen
F 1 (F 1 -1)= 1,618..*1,618..-1,618..=2,618..-1,618..=1
Ф -2 -(-Ф -1)=0,382...+0,6181=1.
Somit spiegelt diese Gleichung nicht nur das Prinzip wider Selbstrationierung, die sich aus dem Einheitlichen Evolutionsgesetz der dualen Beziehung (Monade) ergibt, aber auch aus der Verbindung des Goldenen Schnitts mit Newtons Binomial (mit der Monade).
Es ist leicht zu zeigen, dass die folgenden Identitäten wahr sind
F -2 =0,382...;
F -1 =0,618...;
F 1
=1,618...;
F 2
=2,618...;
Wo kann man das direkt sehen?
Wurzeln der GleichungФ 2 - Ф=1Sie haben auch andere bemerkenswerte Eigenschaften.
Ф 1 Ф -1 = Ф 0
=1
Und
F -1 (F 1 -1) = 1-F -1 ; Ф 1 (Ф -1 -1)=1-Ф 1 =1;
Es charakterisiert die Invarianz einer mathematischen Monade in eine andere, indem es mit ihrem Kehrwert multipliziert wird, d. h. Wir können sagen, dass sich die Wurzeln der Gleichung des Goldenen Schnitts selbst bilden
golden, selbststandardisiert Monade<Ф -1 ,Ф 1
>
.
Daher kann diese Gleichung zu Recht aufgerufen werden
Gleichung des Goldenen Schnitts.
Jeder kann zusätzliche Eigenschaften dieser Gleichung lernen, indem er Newtons Binomial- und Erzeugerfunktionen verwendet ( Kontinuität).
Es ist nicht schwer zu verstehen, dass der Prozess immer komplexer wird
„Goldene Monaden“wird sein
„im Bild und Gleichnis“
, d.h. Dieser Vorgang wird regelmäßig wiederholt und alle Ergebnisse scheinen im Rahmen des Goldenen Schnitts abgeschlossen zu sein.
Aber die vielleicht bemerkenswertesten Eigenschaften des Goldenen Schnitts hängen vor allem mit der oben angegebenen Gleichung des Goldenen Schnitts zusammen. Diese Gleichung ist dual
X 2 + x - 1 =0.
Die Wurzeln dieser Gleichung sind numerisch gleich:
X 1 = + 0,618033989..., x 2 = -1,618033989...,
Dies bedeutet, dass die Gleichungen des Goldenen Schnitts ein Kreuz des Goldenen Schnitts mit Querbalken bilden
Hier ist er wirklich Golddas Kreuz, das dem Universum zugrunde liegt! Die rechte Abbildung zeigt direkt, dass die Werte des Ausdrucks an den Polen des vertikalen Querbalkens gleich 1 sind. Aus dem Kreuz in der linken Abbildung ist auch klar, dass es bei jedem Übergang von einem Querbalken zum zweiten zu Selbstnormalisierungen kommt werden ausgeführt. Die Selbstnormalisierung erfolgt sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation. Der einzige Unterschied ist das Vorzeichen. Und es ist kein Zufall . Wenn wir uns entlang der Querbalken bewegen, erhalten wir vier weitere Werte · beim Hinzufügen: 0 Und0 , · beim Multiplizieren: -0,382 .., Und-2,618 . Es ist leicht zu zeigen, dass die folgenden Identitäten wahr sind F -2 =0,382...; F -1 =0,618...; F 1 =1,618...; F 2 =2,618...; Wenn wir eine Reihe dieser Werte verwenden und um das Kreuz herumgehen, erhalten wir ein weiteres Kreuz im Goldenen Schnitt.Reis. 2
Es ist nicht schwer zu zeigen, wie man aus diesen Kreuzen ein Doppelkreuz bildet und so das Würfelgesetz generiert.
Im Folgenden werden wir zeigen, dass die sechs erhaltenen Werte vollständig in den Rahmen einer komplexen Beziehung passen – ein einzigartiges Muster, das aus der projektiven Geometrie bekannt ist. Und jetzt präsentieren wir eine weitere Zeichnung, die direkt vom Zusammenhang zwischen dem Goldenen Schnitt und dem Würfel des Gesetzes spricht.Reis. 3
Reis. 4
Vergleichen Sie diese von Leonardo da Vinci gezeichnete Zeichnung mit der vorherigen. Hast Du gesehen?
Daher kann die Hymne an den Goldenen Schnitt auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden. So gibt der italienische Mathematiker Luca Paciolli in seinem Werk „Divine Proportion“ 13 Eigenschaften des Goldenen Schnitts an und versieht jede davon mit Beinamen –
außergewöhnlich, unbeschreiblich, wunderbar, übernatürlich,
usw.
Es ist schwer zu sagen, ob diese Eigenschaften mit der Zahl 13 zusammenhängen oder nicht. Aber die chromatische Skala ist sowohl mit der Zahl 13 als auch mit der Zahl 8 verbunden. Somit kann das Verhältnis 13/8 als 8/8 + 5/8 dargestellt werden. Mit diesen
Viele spirituelle Erkenntnisse sind auch durch Proportionen verbunden (Der Weg zu sich selbst).
3. GOLDEN RATIO-SERIE
Aus den oben genannten Eigenschaften des Goldenen Schnitts folgt die Reihe
...; F -2 =0,382...; F -1 =0,618...; Ф 0; F 1 =1,618...; F 2 =2,618...; ...;
kann sowohl nach rechts als auch nach links fortgesetzt werden.
Darüber hinaus multipliziert man diese Reihe mit
F
+
NoderF -NErzeugt eine neue Zeile, die jeweils nach rechts oder links von der ursprünglichen Zeile verschoben wird. Chancen
F
+
NoderF -Nkönnen als Ähnlichkeitskoeffizienten von Golden-Mean-Reihen betrachtet werden.
Golden-Mean-Reihen können eine natürliche Reihe ganzer Zahlen bilden.
Schauen Sie, diese Zahlen haben erstaunliche Eigenschaften. Sie bilden nicht nur die großen Grenzen der dualen „goldenen Monaden“. Sie bilden die Obergrenzen der Triaden (Zahlen 5, 8,...).
Sie bilden auch ein Kreuz (Nummer 9).
Es gibt aber auch andere, grundlegendere Golden-Ratio-Reihen. Zunächst sollten wir die Formel von Newtons „goldenem“ Binomial angeben.
Newtons Binomial deutet bereits zunächst auf die Existenz einer Monade hin (duale Relation) und ihre Eigenschaften liegen Binomialreihen zugrunde (arithmetisches Dreieck usw.). Nun können wir sagen, dass alle Binomialreihen durch den Goldenen Schnitt ausgedrückt werden können. Die goldene Monade des Newtonschen Binomials spiegelt eine weitere wichtige Eigenschaft des Universums wider. Das ist sie zufällig
normalisiert(einzel).
4. ÜBER DEN ZUSAMMENHANG DES GOLDENEN VERHÄLTNISSES MIT DER FIBONACCI-REIHE
Die Natur löst das Problem sozusagen von zwei Seiten gleichzeitig und addiert die erzielten Ergebnisse. Sobald es insgesamt 1 erhält, bewegt es sich in die nächste Dimension, wo es beginnt, alles noch einmal aufzubauen. Aber dann muss sie diesen Goldenen Schnitt nach einer bestimmten Regel aufbauen. Die Natur nutzt den Goldenen Schnitt nicht sofort. Sie erreicht es durch aufeinanderfolgende Iterationen. Um den Goldenen Schnitt zu erzeugen, verwendet sie eine andere Reihe, die Fibonacci-Reihe.
Abb.5
Reis. 6.Goldener-Schnitt-Spirale und Fibonacci-Spirale
Eine bemerkenswerte Eigenschaft dieser Reihe besteht darin, dass sich mit zunehmender Anzahl der Reihen das Verhältnis zweier benachbarter Mitglieder dieser Reihe asymptotisch dem genauen Verhältnis des Goldenen Schnitts (1:1,618) annähert – der Grundlage für Schönheit und Harmonie in der umgebenden Natur uns, auch in menschlichen Beziehungen. Beachten Sie, dass Fibonacci selbst seine berühmte Serie eröffnete, als er über das Problem nachdachte, wie viele Kaninchen innerhalb eines Jahres aus einem Paar geboren werden sollten. Es stellte sich heraus, dass in jedem weiteren Monat nach dem zweiten die Anzahl der Kaninchenpaare genau der digitalen Serie folgt, die jetzt seinen Namen trägt. Daher ist es kein Zufall, dass der Mensch selbst nach der Fibonacci-Reihe strukturiert ist. Jedes Organ ist entsprechend der inneren oder äußeren Dualität angeordnet. Es sollte gesagt werden, dass die Fibonacci-Spirale doppelt sein kann. Es gibt zahlreiche Beispiele dieser Doppelhelices auf der ganzen Welt. So korrelieren Sonnenblumenspiralen immer mit der Fibonacci-Reihe. Selbst in einem gewöhnlichen Tannenzapfen kann man diese Fibonacci-Doppelspirale erkennen. Die erste Spirale verläuft in die eine Richtung, die zweite in die andere. Zählt man die Anzahl der Schuppen einer in eine Richtung rotierenden Spirale und die Anzahl der Schuppen einer anderen Spirale, erkennt man, dass es sich immer um zwei aufeinanderfolgende Zahlen der Fibonacci-Reihe handelt. Es können acht in einer Richtung und 13 in der anderen sein, oder 13 in einer Richtung und 21 in der anderen. Was ist der Unterschied zwischen den Spiralen des Goldenen Schnitts und der Fibonacci-Spirale? Die Spirale des Goldenen Schnitts ist ideal. Es entspricht der Primärquelle der Harmonie. Diese Spirale hat weder Anfang noch Ende. Es ist endlos. Die Fibonacci-Spirale hat einen Anfang, von dem aus sie sich zu „entwickeln“ beginnt. Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft. Es ermöglicht der Natur, nach dem nächsten geschlossenen Kreislauf eine neue Spirale von Grund auf aufzubauen. Diese Tatsachen bestätigen einmal mehr, dass das Gesetz der Dualität nicht nur qualitative, sondern auch quantitative Ergebnisse liefert. Sie lassen uns denken, dass sich die Makrowelt und die Mikrowelt um uns herum nach denselben Gesetzen entwickeln – den Gesetzen der Hierarchie, und dass diese Gesetze für lebende und unbelebte Materie gleich sind. Das Gesetz der Dualität ist dafür verantwortlich, dass die Hierarchie, die nur diesen einen Algorithmus zur Bildung invarianter Schalen im Gepäck hat, es uns ermöglicht, die produktiven Funktionen dieser Schalen aufzubauen, um das Einheitliche periodische Gesetz der Evolution der Materie aufzubauen. Lassen Sie uns die folgende erzeugende Funktion haben Für n=1 haben wir eine erzeugende Funktion der Form usw. Versuchen wir nun, das nächste Mitglied der erzeugenden Funktion durch wiederkehrende Abhängigkeit zu bestimmen, wobei wir davon ausgehen, dass dieses Mitglied der Funktion durch Summieren seiner letzten beiden Mitglieder erhalten wird. Wenn beispielsweise n=1 ist, ist der Wert des dritten Termes der Reihe gleich 2. Als Ergebnis erhalten wir die Reihe (1-1x+2x2). Dann multiplizieren wir die erzeugende Funktion mit dem Operator (1-x) und verwenden die wiederkehrende Abhängigkeit, um den nächsten Term der Reihe zu berechnen, und erhalten so die gewünschte erzeugende Funktion. Bezeichnet man den Wert des n-ten Mitglieds der Reihe und den vorherigen Wert dieser Reihe und geht man von n=1,2,3,... aus, kann der Prozess der sequentiellen Bildung der Mitglieder der Reihe wie folgt dargestellt werden (Tabelle 1).
Tabelle 1.
Die Tabelle zeigt, dass nach Erhalt des nächsten resultierenden Termes der Reihe dieser Term in das ursprüngliche Polynom eingesetzt wird und die Addition mit dem vorherigen durchgeführt wird, dann wird der neue resultierende Term in die ursprüngliche Reihe eingesetzt usw. Als Ergebnis haben wir Erhalten Sie die Fibonacci-Reihe. Die Tabelle zeigt direkt, dass die Fibonacci-Reihe die Eigenschaft der Invarianz in Bezug auf den Operator (1-x) hat – sie wird als eine Reihe gebildet, die als Ergebnis der Multiplikation der Fibonacci-Reihe mit dem Operator (1-x) erhalten wird, d.h. die Die erzeugende Funktion der Fibonacci-Reihe erzeugt sich selbst, wenn sie mit dem Operator (1 -x) multipliziert wird. Und diese bemerkenswerte Eigenschaft ist auch eine Folge der Manifestation des Gesetzes der Dualität. Tatsächlich wurde in , gezeigt, dass die wiederholte Verwendung eines Operators der Form (1+x) die Struktur des Polynoms unverändert lässt und die Fibonacci-Reihe ein zusätzliches, zusätzliches hat wunderbarer Eigenschaften: Jedes Mitglied dieser Reihe ist die Summe seiner letzten beiden Mitglieder. Daher muss sich die Natur nicht an die Fibonacci-Reihe selbst erinnern. Sie müssen sich nur die letzten beiden Terme der Reihe und den Operator der Form P*(x)=(1-x) merken, der für diesen Verdopplungsalgorithmus verantwortlich ist, um die Fibonacci-Reihe fehlerfrei zu erhalten. Doch warum spielt diese Reihe eine entscheidende Rolle in der Natur? Diese Frage lässt sich umfassend mit dem Konzept der Dreiheit beantworten, das die Bedingungen ihrer Selbsterhaltung bestimmt. Wird der „Interessenausgleich“ der Triade durch einen ihrer „Partner“ verletzt, müssen die „Meinungen“ der beiden anderen „Partner“ angepasst werden. Besonders deutlich manifestiert sich das Konzept der Dreifaltigkeit in der Physik, wo „fast“ alle Elementarteilchen aus Quarks aufgebaut sind. Wenn wir uns erinnern, dass die Verhältnisse der Teilladungen von Quarkteilchen eine Reihe bilden, handelt es sich dabei um die ersten Terme der Fibonacci-Reihe , die für die Bildung anderer Elementarteilchen notwendig sind. Möglicherweise kann die Fibonacci-Spirale eine entscheidende Rolle bei der Bildung des Musters begrenzter und geschlossener hierarchischer Räume spielen. Stellen wir uns tatsächlich vor, dass die Fibonacci-Spirale irgendwann in der Evolution ihre Perfektion erreicht hat (sie wurde nicht mehr von der Spirale des Goldenen Schnitts zu unterscheiden) und dass sich das Teilchen aus diesem Grund in die nächste „Kategorie“ verwandeln muss. Die wunderbaren Eigenschaften der Fibonacci-Reihe manifestieren sich auch in den Zahlen selbst, die Mitglieder dieser Reihe sind. Ordnen wir die Mitglieder der Fibonacci-Reihe vertikal an und schreiben wir dann rechts in absteigender Reihenfolge die natürlichen Zahlen aufJede Zeile beginnt und endet mit einer Fibonacci-Zahl, d. h. es gibt nur zwei solcher Zahlen in jeder Zeile. Die unterstrichenen Zahlen – 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42 – haben besondere Eigenschaften (die zweite Ebene der Fibonacci-Reihenhierarchie):1 2 32 543 8765 13 12 11 1 1 098 21 20 19 18 17 16 1514 13 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 ....
Wir haben die gebrochene Fibonacci-Reihe erhalten, die durch die kollektiven Spins von Elementarteilchen und Atomen chemischer Elemente „behauptet“ werden kann. Die nächste Ebene der Hierarchie entsteht durch die Aufteilung der Intervalle zwischen den Fibonacci-Zahlen und den ausgewählten Zahlen. Die dritte Ebene der Hierarchie sind beispielsweise die Zahlen 52 und 50 aus dem Intervall 55-47. Der Prozess der Strukturierung einer Reihe natürlicher Zahlen kann fortgesetzt werden, da die Eigenschaften der Periodizität und mehrstufig Die Struktur der Materie spiegelt sich sogar in den Eigenschaften der Fibonacci-Reihe selbst wider. Aber die Fibonacci-Reihe birgt ein weiteres Geheimnis, das die Essenz der Periodizität von Änderungen in den Eigenschaften einer dualen Beziehung (Monade) enthüllt. Oben wurde die Bandbreite der Veränderungen in den Eigenschaften einer Doppelbeziehung definiert, die ihre Norm der Selbstgenügsamkeit charakterisieren U=<2/3, 1) Konstruieren wir eine Fibonacci-Reihe für diesen Bereich L=(5-4)/(4-3)= 1/1 (8-7)/(7-5) = 1/2 und (8-6)/(6-5)= 2/1 (13-11)/(11-8) = 2/3 und (13-10)/(10-8) = 3/2 (21-18)/(18-13) = 3/5 und (21-16)/(1b-13) = 5/3 (34-29)/(29-21) = 5/8 und (34-26)/(26-21) = 8/5 (55-47)/(47-34) = 8/13 und (55-42)/(42-34) = 13/8
Wir werden es bekommenL-Tetraeder, charakterisierend die zunehmende Evolutionsspirale einer Doppelbeziehung. Lassen Sie uns diesen Prozess fortsetzen. Der Versuch, über diesen Bereich der Selbstversorgungsnorm hinauszugehen, führt zu deren Rationierung, d.h. erstes Element in D-Tetraeder wird durch eine Selbstversorgungsnorm gleich gekennzeichnet sein 1,0 . Aber wenn wir diesen Prozess weiter fortsetzen, werden wir gezwungen sein, uns ständig neu zu normalisieren. Deshalb kann die Evolution nicht weitergehen? Aber die Frage selbst enthält eine Antwort. Nach der Renormalisierung sollte die Entwicklung erneut beginnen, jedoch in die entgegengesetzte Richtung, d. h. Wenn ein „paralleles“ D-Tetraeder entsteht, muss sich das Vorzeichen der Zahl ändern und die Fibonacci-Reihe beginnt sich in die entgegengesetzte Richtung zu bewegen.
D=Dann wird die allgemeine Reihe, die die Norm der Selbstgenügsamkeit des „Sterntetraeders“ charakterisiert, durch die Beziehungen charakterisiert
U=Der stabile Zustand des Sterntetraeders hängt von der entsprechenden Konjugation der L- und D-Tetraeder ab. Wenn U=1 ist, haben wir einen Würfel. Mit U=2/3 erhalten wir selbständig Sterntetraeder, mit selbständig L- und D-Tetraeder. Bei niedrigeren Werten wird der stabile Zustand des Sterntetraeders nur durch die gemeinsamen Anstrengungen der L- und D-Tetraeder erreicht. Offensichtlich ist in diesem Fall der Mindestwert der Selbstversorgungsnorm eines Sterntetraeders gleich U = 1/3, d.h. zwei n e selbständig Es bilden sich gemeinsam Tetraeder selbständig Sterntetraeder U. Im allgemeinsten Fall lassen sich die stabilen Zustände des Sterntetraeders U beispielsweise durch das folgende Diagramm veranschaulichen.
Reis. 7
Die letzte Figur zeigt eine Figur, die einem Malteserkreuz mit acht Spitzen ähnelt. d.h. Auch diese Figur weckt Assoziationen zum Sterntetraeder.
Die folgenden Informationen zeugen von den wunderbaren Eigenschaften der Fibonacci-Reihe und ihrer Periodizität ( Mikhailov Vladimir Dmitrievich, „Living Information Universe“, 2000, Russland, 656008, Barnaul, st. Partisanenhaus. 242).
S.10.„Die Gesetze des „Goldenen Schnitts“, des „Goldenen Schnitts“, sind mit der 1202 entdeckten digitalen Fibonacci-Reihe verbunden und stellen eine Richtung in der Theorie der Informationskodierung dar. Im Laufe der jahrhundertealten Geschichte der Kenntnis der Fibonacci-Zahlen wurden die von ihren Mitgliedern und ihren verschiedenen Invarianten gebildeten Beziehungen (Zahlen) sorgfältig untersucht und verallgemeinert, aber nie vollständig entschlüsselt. Mathematische Folge der Fibonacci-Zahlenreihe stellt a dar eine Zahlenfolge, bei der jedes nachfolgende Mitglied der Reihe, beginnend mit dem dritten, gleich der Summe der beiden vorherigen ist: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233. .. Ad infinitum. ...Der digitale Code der Zivilisation kann mit verschiedenen Methoden der Numerologie ermittelt werden. Zum Beispiel durch die Reduzierung komplexer Zahlen auf einzelne Ziffern (zum Beispiel: 13 ist (1+3)=4, 21 ist (2+3)=5 usw.) Wenn wir ein ähnliches Additionsverfahren mit allen komplexen Zahlen der Fibonacci-Reihe durchführen, erhalten wir die folgende Reihe von 24 Ziffern: 1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,4 ,3 ,7 ,1 ,8 ,9 ,8 ,8 ,7 ,6 ,4 ,1 ,5 ,6 ,2 ,8 ,1 ,9 Unabhängig davon, wie sehr Sie Zahlen in Ziffern umwandeln, wird der Zyklus nach 24 Ziffern nacheinander unendlich oft wiederholt ... ...ist ein Satz von 24 Ziffern nicht eine Art digitaler Code für die Entwicklung der Zivilisation? S.17 Wenn die pythagoräische Vier in der Folge von 24 Fibonacci-Zahlen untereinander geteilt (wie gebrochen) und übereinander gelegt wird, dann entsteht ein Bild der Beziehungen zwischen 12 Dualitäten entgegengesetzter Zahlen, wobei jedes Zahlenpaar in der Summe liegt ergibt eine 9 (Dualität, wodurch Dreifaltigkeit entsteht)....1 1 8 =9 2 1 8 =9 3 2 7 =9 4 3 6 =9 5 5 4 =9 6 8 1 =9 7 4 5 =9 8 3 6 =9 9 7 2 =9 10 1 8 =9 11 8 1 =9 12 9 9 = 18=1+8=9 (meine Ausgabe)
1 1 1 1 75025
2 1 1 1 75025 3 2 2 2 150050 4 3 3 3 225075 5 5 5 5 375125 6 8 8 8 600200 7 4 1+3 13 4 975325 8 3 2+1 21 3 1575525 9 7 3+4 34 7 2550850 10 1 5+5=10=1 55 1 4126375 11 8 8+9=17=1+7 89 8 667722512 9 1+4+4 144 9 10803600
13 8 2+3+3 233 8 17480825 14 8 3+7+7=17=1+7=8 377 8 28284425 15 7 6+1+0=7 610 7 45765250 16 6 9+8+7=24=2+4=6 987 6 74049675 17 4 1+5+9+7=22=2+2=4 1597 4 119814925 18 1 2+5+8+4=19+1+9=10=1 2584 1 193864600 19 5 4+1+8+1=14=1+4=5 4181 5 313679525 20 6 6+7+6+5=24=2+4=6 6765 6 507544125 21 2 1+0+9+4+6=20=2 10946 2 821223650 22 8 1+7+7+1+1=17=1+7=8 17711 8 1328767775 23 1 2+8+6+5+7=28=2+8=10=1 28657 1 214999142524 9 4+6+3+6+8=27+2+7=9 46368 9 3478759200"
Diese Information weist darauf hin, dass alle „Wege nach Rom führen“, d.h. viele sich periodisch wiederholende Unfälle und Zufälle. m Mystifizierungen usw., die zu einem einzigen Strom verschmelzen, führen unweigerlich zu der Schlussfolgerung über die Existenz eines periodischen Musters, das sich in der Fibonacci-Reihe widerspiegelt. Schauen wir uns nun noch eine weitere, vielleicht bemerkenswerteste Eigenschaft der Fibonacci-Reihe an. Auf der Seite „Monadische Formen“ haben wir festgestellt, dass es nur fünf einzigartige Formen gibt, die von primärer Bedeutung sind. Sie werden Sycamore-Körper genannt. Jeder platonische Körper weist einige besondere Eigenschaften auf. Erstens, alle Flächen eines solchen Körpers sind gleich groß. Zweitens, die Kanten des platonischen Körpers sind gleich lang. Drittens, die Innenwinkel zwischen seinen benachbarten Flächen sind gleich. UND,Viertens,Da der platonische Körper in eine Kugel eingeschrieben ist, berührt er mit jedem seiner Scheitelpunkte die Oberfläche dieser Kugel.
Reis. 8
Außer dem Würfel (D) gibt es nur vier Formen, die alle diese Eigenschaften aufweisen. Der zweite Körper (B) ist ein Tetraeder (Tetra bedeutet „vier“) mit vier Flächen in Form gleichseitiger Dreiecke und vier Eckpunkten. Ein weiterer Körper (C) ist das Oktaeder (Octa bedeutet „Acht“), dessen acht Flächen gleichseitige Dreiecke gleicher Größe sind. Das Oktaeder enthält 6 Eckpunkte. Der Würfel hat 6 Flächen und acht Eckpunkte. Die anderen beiden platonischen Körper sind etwas komplexer. Eines (E) heißt Ikosaeder, was „mit 20 Flächen“ bedeutet, dargestellt durch gleichseitige Dreiecke. Das Ikosaeder hat 12 Eckpunkte. Das andere (F) wird Dodekaeder genannt (dodeca ist „zwölf“). Seine Flächen sind 12 regelmäßige Fünfecke. Das Dodekaeder hat zwanzig Eckpunkte.
Diese Körper haben die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie in nur zwei Figuren eingeschrieben sind – eine Kugel und einen Würfel.
Ein ähnlicher Zusammenhang mit den platonischen Körpern lässt sich in allen Bereichen nachweisen. Zum Beispiel Systeme e Die Umlaufbahnen der Planeten des Sonnensystems können als ineinander verschachtelte platonische Körper dargestellt werden, die in die entsprechenden Kugeln eingeschrieben sind, die die Radien der Umlaufbahnen der entsprechenden Planeten des Sonnensystems bestimmen.
Phase A (Abb. 8) charakterisiert den Beginn der Entwicklung der monadischen Form. Daher ist diese Form sozusagen die einfachste (Kugel). Dann entsteht ein Tetraeder und so weiter. Der Würfel befindet sich in diesem Hexad gegenüber der Kugel und hat daher ähnliche Eigenschaften. Dann sollte die monadische Form, die sich in der Hexade gegenüber dem Tetraeder befindet, ähnliche Eigenschaften wie das Tetraeder haben. Das ist ein Ikosaeder. Die Formen des Dodekaeders müssen mit dem Oktaeder „verwandt“ sein. Und schließlich wird die letzte Form wieder zu einer Kugel. Der Letzte wird der Erste! Darüber hinaus sollte in der Hexade eine Kontinuität in der Entwicklung zweier benachbarter platonischer Körper bestehen. Und tatsächlich sind das Oktaeder und der Würfel, das Ikosaeder und das Dodekaeder wechselseitig. Wenn eines dieser Polyeder durch gerade Segmente mit den Mittelpunkten von Flächen verbunden wird, die eine gemeinsame Kante haben, erhält man ein weiteres Polyeder. In diesen Eigenschaften liegt ihr evolutionärer Ursprung voneinander. In der platonischen Hexade lassen sich zwei Triaden unterscheiden: „Kugel-Oktaeder-Ikosaeder“ und „Tetraeder-Würfel-Dodekaeder“, die den benachbarten Eckpunkten ihrer eigenen Triaden die Eigenschaften der Reziprozität verleihen.
Diese Zahlen haben noch eine weitere bemerkenswerte Qualität. Sie sind durch starke Bindungen mit der Fibonacci-Reihe verbunden -<1:1:2:3:5:8:13:21:...>, wobei jeder nachfolgende Term gleich der Summe der beiden vorherigen ist. Berechnen wir die Unterschiede zwischen den Mitgliedern der Fibbonacci-Reihe und der Anzahl der Eckpunkte in den platonischen Körpern:
· 2=2-A=2-2=0 (Null „Ladung“), · 3=3-V=3-4=-1 (negative „Ladung“), · 4=5-С=5-6=-1 (negative „Ladung“), · 5=8-D=8-8=0 (Null „Ladung“), · 6=13-E=13-12=1 (positive „Ladung“), · 7=21-F=21-20=1 (positive „Ladung“), Reis. 9Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass die „monadischen Ladungen“ der platonischen Körper sozusagen eine Diskrepanz zwischen Idealformen aus der Fibonacci-Reihe widerspiegeln. Wenn man jedoch bedenkt, dass platonische Körper ausgehend vom Würfel die Großen Grenzen (Great Limit) bilden können, wird deutlich, dass sich Dodekaeder und Ikosaeder spiegeln komplementär Die Entsprechung zwischen der Anzahl der Flächen und der Anzahl der Scheitelpunkte, gekennzeichnet durch die Zahlen 12 und 20, drückt tatsächlich das Verhältnis der 13. und 21. Fibonacci-Reihe aus. Schau wie es läuft RationierungFibonacci-Reihe. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... 12, 20, ..... 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 Die erste Zeile spiegelt den „normalen“ Algorithmus zur Generierung der Fibonacci-Reihe wider. Die zweite Zeile beginnt mit dem Ikosaeder, bei dem sich der 13. Scheitelpunkt als Mittelpunkt der Struktur herausstellte, was die Eigenschaften der GROSSEN GRENZE widerspiegelt. Auch das Dodekaeder hat eine ähnliche GROSSE GRENZE. Diese beiden Kristalle lassen eine neue Dimension entstehen – die normalisierte Monade „Ikosaeder-Dodekaeder“, die eine neue Runde der Fibonacci-Reihe zu bilden beginnt (dritte Zeile). Die ersten platonischen Körper scheinen die Phase der Analyse widerzuspiegeln, in der die Entfaltung der GROSSEN GRENZE aus der Monade (1,1) erfolgt. Die zweite Phase ist die Synthese einer neuen Monade und ihre Faltung in die GROSSE GRENZE. So entsteht aus der Fibonacci-Reihe der „Goldene Schnitt“, der für die Entstehung der Harmonie aller Dinge verantwortlich ist, daher werden die platonischen Körper auch die Eigenschaften aller materiellen Strukturen charakterisieren. Somit sind Atome immer mit den fünf platonischen Körpern verbunden. Selbst wenn man ein sehr komplexes Molekül auseinandernimmt, kann man darin einfachere Formen finden, die sich immer auf einen der fünf platonischen Körper zurückführen lassen – egal, wie dieser aufgebaut ist. Egal ob Metall, Kristall oder etwas anderes, die Struktur geht immer auf eine der fünf Urformen zurück. Folglich kommen wir zu dem Schluss, dass die Anzahl der von der Natur verwendeten ursprünglichen monadischen Formen begrenzt und geschlossen ist. Zu dem gleichen Schluss kam vor vielen Jahrhunderten Platon, der glaubte, dass komplexe Teilchen von Elementen die Form von Polyedern hätten; wenn sie zerdrückt werden, ergeben diese Polyeder Dreiecke, die die wahren Elemente der Welt sind. Nachdem sie die vollkommenste Form erreicht hat, nimmt die Natur diese Form als eine elementare Form und beginnt, nachfolgende Formen zu bilden, wobei sie diese als „Einheits“-Elemente verwendet. Daher müssen alle höheren Formen anorganischer, organischer, biologischer und Feldformen der Materie notwendigerweise mit einfacheren Monadenkristallen in Verbindung gebracht werden. Aus diesen Formen müssen die komplexesten Formen aufgebaut werden – die höchsten Formen des Höheren Geistes. Und diese Eigenschaften von Monadenkristallen sollten sich auf allen Ebenen der Hierarchie manifestieren: in der Struktur der Elementarteilchen, in der Struktur des Periodensystems der Elementarteilchen, in der Struktur der Atome, in der Struktur des Periodensystems der chemischen Elemente , usw. So können bei chemischen Elementen alle Unterschalen und Schalen in Form von Monadenkristallen dargestellt werden. Natürlich sollte sich die innere Struktur der Atome chemischer Elemente in der Struktur von Kristallen und Zellen lebender Organismen widerspiegeln. „Jede Form ist eine Ableitung eines der fünf platonischen Körper. Ohne Ausnahmen. Und es spielt keine Rolle, welche Struktur der Kristall hat, er basiert immer auf einem der platonischen Körper ...“ . Somit spiegeln die Eigenschaften der platonischen Körper die Harmonie des Goldenen Schnitts und die Mechanismen seiner Entstehung durch die Fibonacci-Reihe wider. Und wieder kommen wir zur grundlegendsten Eigenschaft des EINZIGEN GESETZES – der PERIODIZITÄT. Das biblische „UND DER LETZTE WIRD DER ERSTE“ spiegelt sich in allen Schöpfungen des Universums wider. Die folgende Abbildung zeigt ein Diagramm der chromatischen Tonleiter, in der die 13. Note jenseits der „Grenze der bewussten Welt“ liegt und jedes benachbarte Paar eine neue chromatische Tonleiter erzeugen kann (Gesetze des Absoluten).
Reis. 10
Diese Zeichnung spiegelt die Prinzipien wider, nach denen ein VEREINIGTES SELBSTKONSISTENTES HARMONIEFELD DES UNIVERSUMS gebildet wird.
5. Goldener Schnitt und Prinzipien der Selbstorganisation
5.1. SELBSTVERSORGUNG
PrinzipienSelbstorganisationen (Selbstgenügsamkeit, Selbstregulierung, Selbstreproduktion, Selbstentwicklung und Selbstrationierung) hängen sehr eng mit dem Goldenen Schnitt zusammen. Unter Berücksichtigung der Prinzipien der Selbstorganisation und der Prinzipien des neuen Denkens (On New Thinking, On Global Studies) wurde die Schlussfolgerung begründet, dass das Konzept Selbstversorgung definiertAktie der Beitrag der eigenen Zielfunktionen zur Gesamtzielfunktion eines bestimmten Objekts in der Umwelt. Wenn der eigene Beitragsanteil des Objekts zur allgemeinen Zielfunktion nicht weniger als 2/3 beträgt, dann hat ein solches Objekt einen „kontrollierenden Anteil“ an der Zielfunktion des Objekts und wird es daher auch sein selbständig, kein „Marionetten“-Objekt. Aber 2/3 = 0,66 ... und der goldene Anteil beträgt 0,618 ... Ein sehr enger Zufall, oder ...? Das ist es ODER! Daher mehr genauquantitativ BewertungSelbstversorgung kann als Anteil des Goldenen Schnitts angesehen werden. Allerdings für den praktischen Gebrauch ein Maß an Selbstständigkeit, definierenQualitätden Zustand des Objekts, ob es im Einklang mit der umgebenden Welt lebt oder nicht, eine Bewertung von 2/3 ist sogar vorzuziehen. Die tiefe Beziehung dieses Prinzips zum Goldenen Schnitt ist in Abb. dargestellt. 4, in dem die Hand des großen Meisters Leonardo da Vinci die bemerkenswertesten Eigenschaften des Goldenen Schnitts und ihre Beziehung zum EINZIGEN GESETZ zeigte. Und es ist schade, dass VIELE WISSENSCHAFTLER DIES AUCH HEUTE NICHT VERSTEHEN. EINE SCHANDE!!!5.2. SELBSTREPRODUKTION. SELBSTENTWICKLUNG.
Aus den Prinzipien der Konstruktion universeller Logik ( ) Daraus folgt, dass die unendlichdimensionale Logik im Rahmen der Entwicklung derselben Familie eine binäre Spirale bildet.
In diesem Schema charakterisieren die Knotenpunkte die Abwärtsspirale der Evolution der logischen Familie der binären Helix (rechte Schraube). Durch Induktion kann festgestellt werden, dass die linke Schraube die Aufwärtsspirale dieser Familie bestimmt. Diese evolutionäre binäre Spirale charakterisiert Selbstreproduktion UndSelbstentwicklunglogische Familie. Lassen Sie uns die anfängliche Logik haben< - ich ,-1 >. Wenn man dann die Achsen des komplexen Referenzsystems gemäß der Regel des Durchquerens des Tetraeders entlang des Kreuzes darstellt, kann die Entwicklung der Logik wie in Abb. 12 dargestellt dargestellt werden Reis. 12 Aus dem Diagramm geht hervor, dass bei jedem Übergang von einer Logik zur anderen in Richtung der Pfeile ein Spiegeleffekt auftritt selbstkopierend Logik. Und wenn wir den „Kreis der Evolution“ schließen, wird sich herausstellen, dass die letzte und die erste Logik einander entgegengesetzt sind. Der nächste Versuch führt zur Logik der binären Verdoppelung, denn die Zelle ist besetzt. Als Ergebnis entsteht eine Logik, die sich von der ersten im Maßstab unterscheidet< -i,-1>ein Paar wird geboren< -2 ich ,-2 >. Beachten Sie, dass das sequentielle Spiegelkopieren von Logiken zu deren Spiegelung entlang der Diagonalen führt. Ja, diagonal - ich ,+1 wir haben Logik <- ich ,-1> <+1,+ ich >. Aus den Regeln zum Durchqueren der Eckpunkte eines Tetraeders entlang eines Kreuzes erhalten wir, dass diese Logiken ein Kreuz im Tetraeder bilden, wenn die entsprechenden Kanten auf die Ebene projiziert werden. Püber die Diagonale-1,+ ich wir bekamen komplementär ein paar Logiken <-1,- ich > <+ ich ,+1> , ebenfalls ein Kreuz bildend. In Abb. In Abb. 11 sind die Seiten der Quadrate in Richtung der Taufe ausgerichtet. Daher sind die gegenüberliegenden Seiten dieses Quadrats die Querbalken des Kreuzes. Beachten Sie, dass es im Tetraeder auch ein drittes Kreuz gibt, das durch die Kanten gebildet wird <+ ich ,- ich > Und<-1,+1> . Aber dieses Kreuz trägt andere Funktionen, was an anderer Stelle besprochen wird. Aber das Diagramm in Abb. 6 rechtfertigt einfach Selbstreproduktion Logiker. Es kann eine mehrdimensionale Welt aus „Schwarz-Weiß“-Kopien entstehen, die nur durch unterschiedliche „Schattierungen“ charakterisiert werden können. In Übereinstimmung mit den Prinzipien der Selbstorganisation müssen Logiken vorhanden sein Möglichkeit zur Selbstentfaltung. Und diese Chance wird genutzt (Abb. 13). Reis. 13 Hier auf dem Platz IIpassiert zuerst selbstkopierend Die anfängliche Logik und im dritten Quadrat findet der Prozess statt Selbstentwicklung. Dabei werden zunächst das erste und das zweite Quadrat mit einer Verschiebung addiert und dann in einem Quadrat wiedergegeben III. Die resultierende Kette wird dann in ein Quadrat gespiegelt IV, wo der „Schließung“ der Kette erfolgt. Als Ergebnis entsteht ein Tetraeder mit vier Eckpunkten, d.h. Komplexe Logik entsteht. Also aus einem Paar<1,1>ein Paar wird geboren<2,2>. So entsteht die erste Periode des Periodensystems der logischen Elemente. Nehmen wir nun das zweite Paar, bestehend aus zwei logisch benachbarten Unterschalen –<1,2>. Wenn wir die Entwicklung dieses Paares nach den oben genannten Regeln quadrieren, erhalten wir ein Paar<3,3>. Befestigen Sie es an der Anfangskette<1,1,2>, wir werden bekommen<1,1,2,3>/ Dann die Entwicklung des Paares<2,3>wird ein Paar produzieren<5,5>und dementsprechend die Kette <1,1,3,5,>. Es ist nicht schwer zu erkennen, dass die Fibonacci-Reihe geboren ist , welches die Grundlage des Goldenen Schnitts ist. Und diese Serie ist auf natürliche Weise entstanden, sie basiert auf dem Einheitlichen Periodischen Gesetz der Evolution und den daraus resultierenden Prinzipien Selbstorganisation (Selbstversorgung, Selbstregulierung, Selbstreproduktion, Selbstentwicklung, Selbstrationierung).
Reis. elf
5.3. FIBONACCI-REIHE UND BINÄREIHE
Nehmen wir nun als logische Paare das Integralpaar<2,2>. Dieses Paar wird die quantitative Zusammensetzung der ersten logischen Hülle charakterisieren. Dann werden wir im Prozess seiner „Taufe“ das folgende binäre Paar erzeugen<4,4>. Dieses Paar wird in seiner Struktur einen Sterntetraeder (oder Würfel) mit acht Eckpunkten charakterisieren. Wir haben die erste Unterschale der zweiten Periode erhalten. Durch die Verdoppelung dieser Unterschalen entsteht ein Paar<8,8>, deren Entwicklung zu einem Paar führen wird<16,16>, und dann zum Paar<32,32>. Indem wir die resultierenden Binärpaare zu einer einzigen Kette verbinden, erhalten wir eine Reihe <2, 8,16,32>. Diese Reihenfolge charakterisiert die quantitative Zusammensetzung der Schalen des Periodensystems der chemischen Elemente. Auf diese Weise,Einheit der Fibonacci-Reihe und der binären Reihe ist eine unbestreitbare Tatsache. Es erweist sich, dass das Periodensystem der chemischen Elemente, die binäre Reihe, die Fibonacci-Reihe und der Goldene Schnitt eng miteinander verbunden sind.
Reis. 14
Aus dem letzten Diagramm geht hervor, dass die erzeugenden Funktionen dieser Reihen auch eng mit dem Newtonschen Binomial verknüpft sind
(1er) -N.
Es besteht auch ein direkter Zusammenhang zwischen der Fibonacci-Reihe und der binären Reihe (Abb. 4).
Reis. 15
Diese Abbildung zeigt, wie die gesamte Fibonacci-Reihe aus der anfänglichen Beziehung (1-1-2) unter Verwendung einer binären Reihe aufgebaut wird. Dieses Diagramm ist in seinem Buch von D. Melchisedek („Das alte Geheimnis der Blume des Lebens“, Bd. 2, S. 283) enthalten. Diese Zeichnung zeigt einen Stammbaum der Drohnenbienen. Melchisedek betont, dass die Fibonacci-Reihe (1-1-2-3-5-8-13-...) eine weibliche Reihe ist, während die binäre Reihe (1-2-4-8-16-32-...) eine weibliche Reihe ist. ) ist männlich. Und das ist richtig (Gengedächtnis, Information, Über die Zeit). Auf diesen Seiten wird die Begründung für die Wiederbelebung des Gengedächtnisses dargelegt Vergangenheit, oder synthetisierenZukunft,bildet genau eine binäre Reihe und genau nach dem in Abbildung 4 gezeigten Gesetz.6. ÜBER ANDERE EIGENSCHAFTEN DER FIBONACCI-SERIE
Jeder weiß, dass Rhythmen (Wellen) unser gesamtes Leben durchdringen. Daher muss die Universalität des Anteils des Goldenen Schnitts am Beispiel von Wellenschwingungen verdeutlicht werden. Betrachten wir den harmonischen Prozess von Saitenschwingungen ( http://ftp.decsy.ru/nanoworld/index.htm). Auf der Saite können stehende Wellen aus Grund- und höheren Harmonischen (Obertönen) erzeugt werden. Die Halbwellenlängen der harmonischen Reihe entsprechen der Funktion 1/ N, WoN- natürliche Zahl. Die Halbwellenlängen können als Prozentsatz der Halbwellenlänge der Grundharmonischen ausgedrückt werden: 100 %, 50 %, 33 %, 25 %, 20 % ... Wenn ein beliebiger Abschnitt der Saite betroffen ist, alle Oberwellen werden mit unterschiedlichen Amplitudenkoeffizienten angeregt, die von der Koordinatenfläche, der Breite der Fläche und den Zeit-Frequenz-Eigenschaften des Aufpralls abhängen. Unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Vorzeichen der Phasen gerader und ungerader Harmonischer können wir eine alternierende Funktion erhalten, die ungefähr so aussieht: Nimmt man den Verankerungspunkt als Bezugspunkt und die Mitte der Saite als 100 %, so beträgt die maximale Anfälligkeit für die 1. Harmonische 100 %, für die 2. Harmonische 50 %, für die 3. Harmonische 33 % usw . Mal sehen, wo unsere Funktion die x-Achse schneidet. 62%, 38%, 23.6%, 14.6%, 9%, 5.6%, 3.44%, 2.13%,1.31%, 0.81%, 0.5%, 0.31%, 0.19%, 0.12%, ... Dabei handelt es sich um den Anteil des Goldenen Wurfs, der als aufeinanderfolgende Reihe von Segmenten verstanden wird, wenn benachbarte Segmente im Verhältnis zum Goldenen Schnitt stehen. Jede nächste Zahl unterscheidet sich um das 0,618-fache von der vorherigen. Das Ergebnis ist folgendes: Die Erregung einer Saite an einem Punkt, der sie in Bezug auf den Goldenen Schnitt teilt, mit einer Frequenz nahe der Grundharmonischen verursacht keine Schwingungen der Saite, d. h. Der Punkt des Goldenen Schnitts ist der Punkt der Kompensation, Dämpfung. Für mehr Dämpfung hohe Frequenzen Beispielsweise muss bei der 4. Harmonischen der Kompensationspunkt am 4. Schnittpunkt der Funktion mit der Abszissenachse gewählt werden. Somit stellt sich heraus, dass die Periodizität der Änderungen der Eigenschaften der dualen Beziehung mit der Norm der Selbstgenügsamkeit, der Fibonacci-Reihe, sowie mit den Eigenschaften des Sterntetraeders verbunden ist, die das Prinzip einer aufsteigenden und absteigenden Spirale widerspiegeln . Deshalb können wir das sagen Die Geheimnisse des Goldenen Schnitts, die Geheimnisse der Fibonacci-Reihe, die Geheimnisse ihrer Universalität in der Welt der belebten und unbelebten Natur existieren nicht mehr. Der Goldene Schnitt und die Fibonacci-Reihe spiegeln das grundlegendste Muster der Hierarchie wider – das Muster der Dualität, und die Fibonacci-Reihe selbst spiegelt nicht nur eine der Hauptformen der Manifestation dieses Musters wider – die Einheit, sondern charakterisiert auch die Normen der Selbst- Hinlänglichkeit der dualen Beziehung im Prozess ihrer Entwicklung. 7. ÜBER EINE SCHWIERIGE BEZIEHUNG Die oben besprochenen Eigenschaften des Goldenen Schnitts und der Fibonacci-Reihe und ihre Wechselbeziehung erlauben es uns, einen Zusammenhang mit dem Einheitlichen Evolutionsgesetz der dualen Beziehung einer anderen bemerkenswerten Beziehung vorzuschlagen, die in der projektiven Geometrie als bekannt ist komplexe Beziehung von Punkten A B C D. Reis. 16 Diese Zahl hat die Eigenschaft, dass sie genau gleich ist. sowohl für das Bild als auch für das Original. Wenn Sie x berechnen müssen, spielt es keine Rolle, ob Sie den Abstand im Bild oder auf der Fläche selbst messen. Die Kamera kann täuschen. Es täuscht, wenn es gleiche Längen als ungleich und rechte Winkel als indirekt ausgibt. Das Einzige, was sie nicht verzerrt, ist der Ausdruck
ZnDie Bedeutung dieses Ausdrucks lässt sich direkt aus dem Foto entnehmen. Und alles, was anhand der fotografischen Beweise mit Sicherheit gesagt werden kann, kann in solchen Größen ausgedrückt werden.
Typischerweise wird das Symbol als Kurzschreibweise für eine komplexe Beziehung verwendet
A B C D.
Lassen Sie uns nun das Diagramm einer komplexen Beziehung in räumlicher Form neu zeichnen
Reis. 17
Es ist bekannt, dass der Goldene Schnitt durch die Proportion ausgedrückt wird
wobei der Zähler die kleinere Zahl ist, und Nenner-groß.
In Bezug auf Abbildung 17 wird der Goldene Schnitt im Dreieck widergespiegelt
ABC,
Zum Beispiel,Vektorsumme
AB=
B.C.+
C.A..
Wenn die Winkel zwischen den Schenkeln gleich Null sind, erhalten wir eine Teilung des Segments in zwei Hälften. Wenn der Winkel gleich ist
π
/
2,
dann erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten
1, F, F 0,5;
Daher haben wir die ursprüngliche Gleichung
Ф 2 -Ф=1,In Vektorform -g geschrieben, ist die Hypotenuse eine Einheit und die Schenkel sind orthogonal zueinander, was sich in der Gleichung des Goldenen Schnitts widerspiegelt.
In jedem anderen Winkel werden bestimmte geschlossene Räume beschrieben.
Ein Vergleich der Abbildungen 16 und 17 zeigt auch, dass die gerade Linie (Abbildung 16), die eine komplexe Beziehung erzeugt, in eine gestrichelte Linie umgewandelt wird und die komplexe Beziehung durch den Prozess erzeugt wird.
Umrundung des Kreuzes
".
DabeiDer letzte Gipfel
gestrichelten Linieschließt sich dem ersten an
.
Dadurch erhalten wir das, was wir bereits vom lebensspendenden Kreuz kennen
Die Hebelwirkungsregel lautet: „Man gewinnt an Stärke, man verliert an Distanz“: - Multiplizieren Sie die Querstangen und dividieren Sie sie durch die Länge der Schultern, die bestimmen Übergang von einer Querlatte zur anderen. Bei der Konstruktion dieser komplexeren Beziehungen muss berücksichtigt werden, dass bei der Bildung einer komplexen Beziehung, genau wie bei der Fibonacci-Reihe, nur zwei benachbarte Eckpunkte einer gestrichelten Linie beteiligt sind. Diese Hebelregel kann unter Verwendung des Goldenen Schnitts wie folgt geschrieben werden . Und jetzt können wir eine komplexe Beziehung auf dem Tetraeder konstruieren und dabei berücksichtigen, dass die Abstände von allen Spitzen der Pyramide zum Punkt O gleich sind.Reis. 18
Aus den Abbildungen 14-19 kann man auch die Prinzipien der Konstruktion komplexerer Beziehungen für Räume mit höherer Dimensionalität verstehen, d. h. Wir können das sagen N-dimensionalDie komplexe Beziehung spiegelt den Entstehungsprozess eines monadischen Kristalls wider N -Dimensionalität und deshalb „Übungen“ zum Aufbau komplexerer Beziehungen können von unabhängigem Interesse sein ( Schwierige Einstellung). Aber alle Bedeutungen einer komplexen Beziehung X, (1/X), (x-1)/ X, X/(x-1), 1/(1-x), (1-x), X,... sind Teile der Gleichung des Goldenen Schnitts x 2 - X - 1 =0 oder X(X -1) =1. 7. Das Gesetz zur Erhaltung des Goldenen Schnitts Die oben diskutierten Eigenschaften des Goldenen Schnitts und vor allem die Eigenschaften der komplexen Beziehung lassen uns sagen, dass der Goldene Schnitt das Hauptgesetz des Universums bildet und das Hauptgesetz der Erhaltung widerspiegelt ICH- Gesetz zur Erhaltung des Goldenen Schnitts . Verhältnisse X =0,618..., 1 / X =1,618, 1-1/ X =-0,618..., 1/(1-1/ X )=-1,618,.... bilden eine endlose Reihe, in der die ersten vier Werte ein Kreuz des Goldenen Schnitts bilden. Darüber hinaus gilt: Immer dann, wenn ein Wert größer als der Goldene Schnitt erreicht wird Normalisierung OBJEKT. Es sticht von ihm ab Einheit und der Evolutionsprozess geht weiter! Für den fünften und sechsten Wert erhalten wir jedoch die Werte „ -2,616 " Und " -0,382 ", woraufhin der Prozess von vorne beginnt. Die daraus resultierende endlose Wertereihe von 0,618 und 1,618 ist der Grund dafür, dass der Goldene Schnitt der Harmonie der Welt zugrunde liegt. Das Erhaltungsgesetz (Erhaltungsgesetze) des Goldenen Schnitts kann sein zeigen in einem rotierenden Kreuz (Hakenkreuz).Reis. 19
Unten wird auf der Seite, die die Geheimnisse der Information enthüllt (Information, Über die Zeit), gezeigt, dass der Goldene Schnitt und das Gengedächtnis dem eigentlichen Konzept der Information zugrunde liegen.
über die natürlichen Mechanismen der Evolution der Monade „IMAGE-SIMILITY“ in der ZEIT.
Das Wesentliche der Rationierung besteht also darin, die Proportionen des Goldenen Schnitts zu erhalten, d. h. Alle wunderbaren Eigenschaften der komplexen Beziehung von vier Punkten werden durch die Eigenschaften des lebensspendenden Kreuzes bestimmt, dessen komplexe Beziehung eng mit dem Goldenen Schnitt verbunden ist und das Gesetz der Erhaltung bildet
Goldener Schnitt.
ZUSAMMENFASSUNG
1. Niemand zweifelt daran, dass der Goldene Schnitt der Harmonie des Universums und der Serie zugrunde liegt
Fibonacci erzeugt diesen bemerkenswerten Anteil.
Neugierige Leser können sich auf der Website weiter über die Eigenschaften des Goldenen Schnitts informieren
www .
goldenesmuseum.
com
.
Dieses wahrhaft goldene Verhältnis hat so viele wunderbare Eigenschaften, dass die Entdeckung neuer Eigenschaften für niemanden mehr überraschend ist.
Der Aufsatz wurde von einer Schülerin der 8. Klasse des Gymnasiums Nr. 9 der städtischen Bildungseinrichtung, Veronica Vyushina, verfasst
Jekaterinburg
1. Einleitung. Anteil des Goldenen Schnitts. F und φ.
„Die Geometrie birgt zwei große Schätze. Der erste ist der Satz des Pythagoras, der zweite ist die Unterteilung eines Segments in extreme und mittlere Verhältnisse.“
Johannes Kepler
Regelmäßige Polygone erregten schon lange vor Archimedes die Aufmerksamkeit der antiken griechischen Wissenschaftler. Die Pythagoräer, die ein Pentagramm – einen fünfzackigen Stern – als Emblem ihrer Vereinigung wählten, legten großen Wert auf das Problem der Aufteilung eines Kreises in gleiche Teile, also der Konstruktion eines regelmäßigen eingeschriebenen Polygons. Albrecht Dürer (1471-1527), der zur Personifikation der Renaissance in Deutschland wurde, liefert eine theoretisch genaue Methode zur Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks, die Ptolemäus‘ großartigem Werk „Almagest“ entlehnt ist.
Dürers Interesse an der Konstruktion regelmäßiger Polygone spiegelt ihre Verwendung im Mittelalter in arabischen und gotischen Entwürfen und nach der Erfindung der Schusswaffen bei der Planung von Festungen wider.
Mittelalterliche Methoden zur Konstruktion regelmäßiger Polygone waren ungefähre Methoden, aber sie waren (oder konnten nicht anders) einfach: Es wurden Konstruktionsmethoden bevorzugt, die nicht einmal eine Änderung der Kompassöffnung erforderten. Leonardo da Vinci hat auch viel über Polygone geschrieben, aber es war Dürer, nicht Leonardo, der mittelalterliche Bauweisen an seine Nachkommen weitergab. Dürer war natürlich mit Euklids „Elementen“ vertraut, stellte jedoch in seinem „Handbuch zur Messung“ (über Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) nicht die von Euklid vorgeschlagene Methode zur Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks vor, die wie alle theoretisch korrekt war Euklidische Konstruktionen. Euklid versucht nicht, einen gegebenen Kreisbogen in drei gleiche Teile zu teilen, und Dürer wusste, dass dieses Problem unlösbar war, obwohl der Beweis erst im 19. Jahrhundert gefunden wurde.
Die von Euklid vorgeschlagene Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks beinhaltet die Aufteilung eines geraden Liniensegments in das Mittel- und Extremverhältnis, das später als Goldener Schnitt bezeichnet wurde und mehrere Jahrhunderte lang die Aufmerksamkeit von Künstlern und Architekten auf sich zog.
Punkt B teilt das Segment ABE im Durchschnitts- und Extremverhältnis oder bildet den Goldenen Schnitt, wenn das Verhältnis des größeren Teils des Segments zum kleineren gleich dem Verhältnis des gesamten Segments zum größeren Teil ist.
Der in der Form der Gleichheit der Verhältnisse geschriebene Goldene Schnitt hat die Form
AB/BE= AB/AE
Wenn wir AB=a und BE=a/F setzen, sodass der Goldene Schnitt gleich AB/BE=F ist, dann erhalten wir das Verhältnis
Das heißt, Ф erfüllt die Gleichung
Diese Gleichung hat eine positive Wurzel
Ф=(√5+1)/2=1,618034….
Beachten Sie, dass 1/Ф = (√5 -1)/2, da (√5-1)(√5+1) =5-1=4. 1/F gilt als φ=0,618034….
Ф und φ sind die Groß- und Kleinbuchstaben des griechischen Buchstabens „phi“.
Diese Bezeichnung wurde zu Ehren des antiken griechischen Bildhauers Phidias (5. Jahrhundert v. Chr.) angenommen. Phidias überwachte den Bau des Parthenon-Tempels in Athen. Die Zahl φ kommt in den Proportionen dieses Tempels immer wieder vor.
2.Geschichte des Goldenen Schnitts
Es ist allgemein anerkannt, dass das Konzept der goldenen Teilung von Pythagoras, einem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker (VI. Jahrhundert v. Chr.), in die wissenschaftliche Verwendung eingeführt wurde. Es wird vermutet, dass Pythagoras sein Wissen über die goldene Teilung von den Ägyptern und Babyloniern übernommen hat. Tatsächlich weisen die Proportionen der Cheops-Pyramide, der Tempel, Flachreliefs, Haushaltsgegenstände und des Schmucks aus dem Grab von Tutanchamun darauf hin, dass ägyptische Handwerker bei ihrer Herstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten. Der französische Architekt Le Corbusier stellte fest, dass im Relief aus dem Tempel des Pharaos Sethos I. in Abydos und im Relief mit der Darstellung des Pharaos Ramses die Proportionen der Figuren den Werten der goldenen Teilung entsprechen. Der Architekt Khesira, abgebildet auf einem Relief einer Holztafel aus einem nach ihm benannten Grab, hält in seinen Händen Messgeräte, in denen die Proportionen der goldenen Teilung aufgezeichnet sind.
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Die Griechen waren geschickte Geometer. Sie brachten ihren Kindern sogar das Rechnen mit geometrischen Figuren bei. Das pythagoräische Quadrat und die Diagonale dieses Quadrats waren die Grundlage für die Konstruktion dynamischer Rechtecke.
Auch Platon (427...347 v. Chr.) wusste von der Goldenen Teilung. Sein Dialog „Timaios“ widmet sich den mathematischen und ästhetischen Ansichten der pythagoräischen Schule und insbesondere den Fragen der Goldenen Teilung.
Der Parthenon hat 8 Säulen an den kurzen Seiten und 17 an den langen Seiten. Das Verhältnis der Gebäudehöhe zur Gebäudelänge beträgt 0,618. Wenn wir den Parthenon nach dem „Goldenen Schnitt“ teilen, erhalten wir bestimmte Vorsprünge der Fassade. Bei seinen Ausgrabungen wurden Kompasse entdeckt, die von Architekten und Bildhauern der Antike verwendet wurden. Auch der pompejanische Kompass (Museum in Neapel) enthält die Proportionen der goldenen Teilung.
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In der antiken Literatur, die uns überliefert ist, wurde die goldene Teilung erstmals in Euklids „Elementen“ erwähnt. Im 2. Buch der Elemente wird eine geometrische Konstruktion der goldenen Teilung gegeben. Nach Euklid untersuchten Hypsikles (2. Jahrhundert v. Chr.), Pappus (3. Jahrhundert n. Chr.) und andere die goldene Teilung. Im mittelalterlichen Europa lernten sie die goldene Teilung aus arabischen Übersetzungen von Euklids Elementen kennen. Der Übersetzer J. Campano aus Navarra (III. Jahrhundert) machte Kommentare zur Übersetzung. Die Geheimnisse der Goldenen Division wurden sorgfältig gehütet und streng geheim gehalten. Sie waren nur Eingeweihten bekannt.
Während der Renaissance wuchs das Interesse an der Goldenen Teilung bei Wissenschaftlern und Künstlern aufgrund ihrer Verwendung sowohl in der Geometrie als auch in der Kunst, insbesondere in der Architektur. Leonardo da Vinci, ein Künstler und Wissenschaftler, erkannte, dass italienische Künstler über viel empirische Erfahrung, aber einen Mangel an Wissen verfügten. Er konzipierte und begann ein Buch über Geometrie zu schreiben, doch zu dieser Zeit erschien ein Buch des Mönchs Luca Pacioli und Leonardo gab seine Idee auf. Zeitgenossen und Wissenschaftshistorikern zufolge war Luca Pacioli eine echte Koryphäe, der größte Mathematiker Italiens in der Zeit zwischen Fibonacci und Galileo.
Luca Pacioli verstand die Bedeutung der Wissenschaft für die Kunst perfekt. 1496 kam er auf Einladung des Herzogs von Moreau nach Mailand, wo er Vorlesungen über Mathematik hielt. Auch Leonardo da Vinci wirkte zu dieser Zeit in Mailand am Hof der Moro. Im Jahr 1509 erschien in Venedig das Buch „Die göttlichen Proportionen“ von Luca Pacioli mit brillant ausgeführten Illustrationen, weshalb angenommen wird, dass sie von Leonardo da Vinci stammen. Das Buch war eine begeisterte Hymne an den Goldenen Schnitt. Der Mönch Luca Pacioli versäumte es nicht, unter den vielen Vorteilen des goldenen Verhältnisses dessen „göttliche Essenz“ als Ausdruck der göttlichen Dreifaltigkeit zu nennen: Gott, der Sohn, Gott, der Vater, und Gott, der heilige Geist (es wurde angedeutet, dass das Kleine Das Segment ist die Personifikation von Gott, dem Sohn, das größere Segment ist der Gott des Vaters und das gesamte Segment ist der Gott des Heiligen Geistes.
Auch Leonardo da Vinci widmete der Erforschung der Goldenen Teilung große Aufmerksamkeit. Er fertigte Abschnitte eines stereometrischen Körpers an, der aus regelmäßigen Fünfecken bestand, und jedes Mal erhielt er Rechtecke mit Seitenverhältnissen in der goldenen Teilung. Deshalb gab er dieser Abteilung den Namen Goldener Schnitt. Daher bleibt es immer noch das beliebteste.
Zur gleichen Zeit arbeitete Albrecht Dürer im Norden Europas, in Deutschland, an denselben Problemen. Er skizziert die Einleitung zur ersten Fassung der Abhandlung über Proportionen. Dürer schreibt: „Es ist notwendig, dass jemand, der weiß, wie man etwas macht, es auch anderen beibringt, die es brauchen. Das habe ich mir zum Ziel gesetzt.“
Einem Brief Dürers zufolge traf er sich in Italien mit Luca Pacioli. Albrecht Dürer entwickelt ausführlich die Proportionslehre des menschlichen Körpers. Dürer wies dem Goldenen Schnitt einen wichtigen Platz in seinem Beziehungssystem zu. Die Körpergröße einer Person wird in goldenen Proportionen durch die Linie des Gürtels sowie durch eine Linie geteilt, die durch die Spitzen der Mittelfinger der gesenkten Hände, den unteren Teil des Gesichts durch den Mund usw. gezogen wird. Der Proportionalkompass von Dürer ist bekannt.
