Der natürliche Logarithmus ist gleich 1. Den natürlichen Logarithmus verstehen

Nimm oft eine Nummer e = 2,718281828 . Auf dieser Basis basierende Logarithmen werden aufgerufen natürlich. Bei Berechnungen mit natürlichen Logarithmen wird üblicherweise mit dem Vorzeichen gearbeitet lN, und nicht Protokoll; während die Zahl 2,718281828 , die die Basis definieren, sind nicht angegeben.

Mit anderen Worten, die Formulierung sieht so aus: natürlicher Logarithmus Zahlen X- Dies ist ein Exponent, auf den eine Zahl erhöht werden muss e, um zu bekommen X.

Also, ln(7.389...)= 2, da e 2 =7,389... . Natürlicher Logarithmus der Zahl selbst e= 1 weil e 1 =e, und der natürliche Logarithmus der Einheit ist seitdem Null e 0 = 1.

Die Nummer selbst e definiert den Grenzwert einer monotonen begrenzten Folge

habe das berechnet e = 2,7182818284... .

Um eine Zahl im Gedächtnis zu fixieren, werden die Ziffern der benötigten Zahl häufig mit einem ausstehenden Datum verknüpft. Geschwindigkeit beim Auswendiglernen der ersten neun Ziffern einer Zahl e Nachkomma wird erhöht, wenn Sie beachten, dass 1828 das Geburtsjahr von Leo Tolstoi ist!

Heutzutage gibt es ziemlich vollständige Tabellen natürlicher Logarithmen.

Natürliches Logarithmusdiagramm(Funktionen y =ln x) ist eine Folge davon, dass der Exponentengraph ein Spiegelbild der Geraden ist y = x und hat die Form:

Der natürliche Logarithmus lässt sich für jede positive reelle Zahl ermitteln A als Fläche unter der Kurve j = 1/X aus 1 Vor A.

Der elementare Charakter dieser Formulierung, der mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, in denen der natürliche Logarithmus eine Rolle spielt, war der Grund für die Namensbildung „natürlich“.

Wenn Sie analysieren natürlicher Logarithmus, als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann wirkt es Umkehrfunktion zu einer Exponentialfunktion, die sich auf die Identitäten reduziert:

e ln(a) =a (a>0)

ln(ea) =a

Analog zu allen Logarithmen wandelt der natürliche Logarithmus Multiplikation in Addition und Division in Subtraktion um:

ln(xy) = ln(X) + ln(j)

ln(x/y)= lnx - lny

Der Logarithmus kann für jede positive Basis ungleich eins gefunden werden, nicht nur für e, aber Logarithmen für andere Basen unterscheiden sich vom natürlichen Logarithmus nur um einen konstanten Faktor und werden normalerweise anhand des natürlichen Logarithmus definiert.

Nach der Analyse natürlicher Logarithmus-Graph, Wir stellen fest, dass es für positive Werte der Variablen existiert X. Es wächst in seinem Definitionsbereich monoton.

Bei X → 0 der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich ( -∞ ).Bei x → +∞ der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist plus unendlich ( + ∞ ). Im Großen und Ganzen X Der Logarithmus steigt recht langsam an. Jede Leistungsfunktion xa mit positivem Exponenten A steigt schneller als der Logarithmus. Der natürliche Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion und weist daher keine Extrema auf.

Verwendung natürliche Logarithmen sehr rational beim Bestehen höherer Mathematik. Daher ist die Verwendung des Logarithmus praktisch, um die Antwort auf Gleichungen zu finden, in denen Unbekannte als Exponenten auftreten. Die Verwendung natürlicher Logarithmen in Berechnungen ermöglicht eine erhebliche Vereinfachung große Menge mathematische Formeln. Logarithmen zur Basis e sind bei der Lösung einer erheblichen Anzahl physikalischer Probleme beteiligt und fließen selbstverständlich in die mathematische Beschreibung einzelner chemischer, biologischer und anderer Prozesse ein. Daher werden Logarithmen verwendet, um die Zerfallskonstante für eine bekannte Halbwertszeit zu berechnen oder um die Zerfallszeit bei der Lösung von Radioaktivitätsproblemen zu berechnen. Sie spielen in vielen Bereichen der Mathematik und der praktischen Wissenschaften eine führende Rolle; im Finanzbereich werden sie zur Lösung einer Vielzahl von Problemen eingesetzt, darunter auch bei der Berechnung von Zinseszinsen.

Gar nicht schlecht, oder? Während Mathematiker nach Wörtern suchen, um Ihnen eine lange, verwirrende Definition zu geben, schauen wir uns diese einfache und klare Definition genauer an.

Die Zahl e bedeutet Wachstum

Die Zahl e bedeutet kontinuierliches Wachstum. Wie wir im vorherigen Beispiel gesehen haben, ermöglicht uns e x, Zinsen und Zeit zu verknüpfen: 3 Jahre bei 100 % Wachstum sind dasselbe wie 1 Jahr bei 300 %, unter der Annahme eines „Zinseszinses“.

Sie können beliebige Prozent- und Zeitwerte ersetzen (50 % für 4 Jahre), aber der Einfachheit halber ist es besser, den Prozentsatz auf 100 % festzulegen (es ergibt 100 % für 2 Jahre). Durch den Übergang zu 100 % können wir uns ausschließlich auf die Zeitkomponente konzentrieren:

e x = e Prozent * Zeit = e 1,0 * Zeit = e Zeit

Offensichtlich bedeutet e x:

• Wie stark wird mein Beitrag nach x Zeiteinheiten wachsen (unter der Annahme eines kontinuierlichen Wachstums von 100 %)?
• zum Beispiel erhalte ich nach 3 Zeitintervallen e 3 = 20,08 mal mehr „Dinge“.

e x ist ein Skalierungsfaktor, der angibt, auf welches Niveau wir in x Zeitspanne wachsen werden.

Natürlicher Logarithmus bedeutet Zeit

Der natürliche Logarithmus ist der Kehrwert von e, ein schicker Begriff für Gegenteil. Apropos Macken; im Lateinischen heißt es logarithmus naturali, daher die Abkürzung ln.

Und was bedeutet diese Umkehrung oder das Gegenteil?

• e x ermöglicht es uns, Zeit zu ersetzen und Wachstum zu erzielen.
• ln(x) ermöglicht es uns, Wachstum oder Einkommen zu ermitteln und herauszufinden, wie lange es dauert, es zu generieren.

Zum Beispiel:

• e 3 entspricht 20,08. Nach drei Zeiträumen werden wir 20,08-mal mehr haben als zu Beginn.
• ln(08/20) wäre ungefähr 3. Wenn Sie an einem Wachstum um das 20,08-fache interessiert sind, benötigen Sie 3 Zeiträume (wiederum unter der Annahme eines kontinuierlichen Wachstums von 100 %).

Liest noch? Der natürliche Logarithmus zeigt die Zeit an, die benötigt wird, um das gewünschte Niveau zu erreichen.

Diese nicht standardmäßige logarithmische Zählung

Haben Sie Logarithmen durchgearbeitet? Es sind seltsame Kreaturen. Wie haben sie es geschafft, die Multiplikation in eine Addition umzuwandeln? Wie wäre es mit der Division durch Subtraktion? Werfen wir einen Blick darauf.

Was ist ln(1) gleich? Intuitiv stellt sich die Frage: Wie lange sollte ich warten, bis ich 1x mehr bekomme, als ich habe?

Null. Null. Gar nicht. Du hast es schon einmal. Es dauert nicht lange, von Level 1 auf Level 1 zu gelangen.

• ln(1) = 0

Okay, was ist mit dem Bruchwert? Wie lange wird es dauern, bis wir noch die Hälfte der verfügbaren Menge haben? Wir wissen, dass ln(2) bei 100 % kontinuierlichem Wachstum die Zeit bedeutet, die zur Verdoppelung benötigt wird. Wenn wir Lasst uns die Zeit zurückdrehen(d. h. eine negative Zeitspanne warten), dann erhalten wir die Hälfte von dem, was wir haben.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logisch, oder? Wenn wir auf 0,693 Sekunden zurückgehen (Zeit zurück), finden wir die Hälfte der verfügbaren Menge. Im Allgemeinen können Sie den Bruch umdrehen und einen negativen Wert annehmen: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Das heißt, wenn wir in der Zeit zurück zum 1,09-fachen gehen, werden wir nur ein Drittel der aktuellen Zahl finden.

Okay, was ist mit dem Logarithmus einer negativen Zahl? Wie lange dauert es, eine Bakterienkolonie von 1 auf -3 zu „züchten“?

Es ist unmöglich! Eine negative Bakterienzahl kann man doch nicht bekommen, oder? Sie können ein Maximum (ähm...Minimum) von Null erreichen, aber es gibt keine Möglichkeit, von diesen kleinen Kreaturen eine negative Zahl zu erhalten. Eine negative Bakterienzahl macht einfach keinen Sinn.

• ln(negative Zahl) = undefiniert

„Undefiniert“ bedeutet, dass nicht lange gewartet werden muss, bis ein negativer Wert angezeigt wird.

Die logarithmische Multiplikation ist einfach urkomisch

Wie lange wird es dauern, bis wir uns vervierfachen? Natürlich können Sie auch einfach ln(4) nehmen. Aber das ist zu einfach, wir gehen den anderen Weg.

Sie können sich das vierfache Wachstum als eine Verdoppelung (die ln(2) Zeiteinheiten erfordert) und eine anschließende erneute Verdoppelung (die weitere ln(2) Zeiteinheiten erfordert) vorstellen:

• Zeit zum 4-fachen Wachstum = ln(4) = Zeit zum Verdoppeln und dann wieder Verdoppeln = ln(2) + ln(2)

Interessant. Jede Wachstumsrate, sagen wir 20, kann direkt nach einer 10-fachen Steigerung als Verdoppelung betrachtet werden. Oder Wachstum um das Vierfache und dann um das Fünffache. Oder verdreifachen und dann um das 6,666-fache erhöhen. Sehen Sie das Muster?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Der Logarithmus von A mal B ist log(A) + log(B). Diese Beziehung macht sofort Sinn, wenn man sie im Hinblick auf das Wachstum betrachtet.

Wenn Sie an einem 30-fachen Wachstum interessiert sind, können Sie ln(30) in einer Sitzung warten oder ln(3) auf die Verdreifachung warten und dann noch einmal ln(10) auf das 10-fache. Das Endergebnis ist dasselbe, daher muss die Zeit natürlich konstant bleiben (und das tut sie auch).

Was ist mit der Teilung? Konkret bedeutet ln(5/3): Wie lange dauert es, um das Fünffache zu wachsen und dann 1/3 davon zu erhalten?

Großartig, Wachstum um das Fünffache ist ln(5). Eine Erhöhung um das 1/3-fache dauert -ln(3) Zeiteinheiten. Also,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Das bedeutet: Lassen Sie es um das Fünffache wachsen und gehen Sie dann „in der Zeit zurück“, bis nur noch ein Drittel dieser Menge übrig ist, sodass Sie ein 5/3-Wachstum erhalten. Im Allgemeinen stellt sich heraus

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Ich hoffe, dass die seltsame Arithmetik der Logarithmen für Sie allmählich einen Sinn ergibt: Das Multiplizieren von Wachstumsraten wird zum Addieren von Wachstumszeiteinheiten, und das Dividieren wird zum Subtrahieren von Zeiteinheiten. Sie müssen sich die Regeln nicht merken, sondern versuchen, sie zu verstehen.

Verwendung des natürlichen Logarithmus für willkürliches Wachstum

„Na klar“, sagen Sie, „das ist alles gut, wenn das Wachstum 100 % beträgt, aber was ist mit den 5 %, die ich erhalte?“

Kein Problem. Die „Zeit“, die wir mit ln() berechnen, ist eigentlich eine Kombination aus Zinssatz und Zeit, das gleiche X aus der e x-Gleichung. Der Einfachheit halber haben wir uns entschieden, den Prozentsatz auf 100 % zu setzen, es steht uns jedoch frei, beliebige Zahlen zu verwenden.

Nehmen wir an, wir wollen ein 30-faches Wachstum erreichen: Nehmen Sie ln(30) und erhalten Sie 3,4. Das bedeutet:

• e x = Höhe
• e 3,4 = 30

Offensichtlich bedeutet diese Gleichung: „100 % Rendite über 3,4 Jahre ergeben ein 30-faches Wachstum.“ Wir können diese Gleichung wie folgt schreiben:

• e x = e Rate*Zeit
• e 100 % * 3,4 Jahre = 30

Wir können die Werte von „Einsatz“ und „Zeit“ ändern, solange der Einsatz * Zeit 3,4 bleibt. Wenn wir beispielsweise an einem 30-fachen Wachstum interessiert sind, wie lange müssen wir dann bei einem Zinssatz von 5 % warten?

• ln(30) = 3,4
• Rate * Zeit = 3,4
• 0,05 * Zeit = 3,4
• Zeit = 3,4 / 0,05 = 68 Jahre

Ich argumentiere so: „ln(30) = 3,4, also dauert es bei 100 % Wachstum 3,4 Jahre. Wenn ich die Wachstumsrate verdopple, halbiert sich die benötigte Zeit.“

• 100 % für 3,4 Jahre = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200 % in 1,7 Jahren = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50 % für 6,8 Jahre = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5 % über 68 Jahre = 0,05 * 68 = 3,4.

Großartig, oder? Der natürliche Logarithmus kann für jeden Zinssatz und jede Zeit verwendet werden, da ihr Produkt konstant bleibt. Sie können Variablenwerte beliebig verschieben.

Cooles Beispiel: Regel von zweiundsiebzig

Die Zweiundsiebzig-Regel ist eine mathematische Technik, mit der Sie abschätzen können, wie lange es dauern wird, bis sich Ihr Geld verdoppelt. Jetzt werden wir es ableiten (ja!) und darüber hinaus versuchen, sein Wesen zu verstehen.

Wie lange wird es dauern, Ihr Geld bei 100 % jährlicher Verzinsung zu verdoppeln?

Hoppla. Wir haben den natürlichen Logarithmus für den Fall des kontinuierlichen Wachstums verwendet, und jetzt sprechen Sie von der jährlichen Aufzinsung? Wäre diese Formel für einen solchen Fall nicht ungeeignet? Ja, das wird es, aber bei Realzinsen von 5 %, 6 % oder sogar 15 % wird der Unterschied zwischen jährlicher Aufzinsung und kontinuierlichem Wachstum gering sein. Die grobe Schätzung funktioniert also, ähm, ungefähr, wir gehen also davon aus, dass wir eine völlig kontinuierliche Rückstellung haben.

Die Frage ist nun einfach: Wie schnell können Sie Ihr Wachstum bei 100 % verdoppeln? ln(2) = 0,693. Es dauert 0,693 Zeiteinheiten (in unserem Fall Jahre), um unsere Menge bei einer kontinuierlichen Steigerung von 100 % zu verdoppeln.

Was also, wenn der Zinssatz nicht 100 %, sondern sagen wir 5 % oder 10 % beträgt?

Leicht! Da Einsatz * Zeit = 0,693, verdoppeln wir den Betrag:

• Rate * Zeit = 0,693
• Zeit = 0,693 / Einsatz

Es stellt sich heraus, dass es bei einem Wachstum von 10 % 0,693 / 0,10 = 6,93 Jahre dauern wird, bis es sich verdoppelt.

Um die Berechnungen zu vereinfachen, multiplizieren wir beide Seiten mit 100, dann können wir „10“ statt „0,10“ sagen:

• Zeit zum Verdoppeln = 69,3 / Einsatz, wobei der Einsatz als Prozentsatz ausgedrückt wird.

Jetzt ist es an der Zeit, sich mit einer Rate von 5 % zu verdoppeln, 69,3 / 5 = 13,86 Jahre. Allerdings ist 69,3 nicht die günstigste Dividende. Wählen wir eine naheliegende Zahl, 72, die sich bequem durch 2, 3, 4, 6, 8 und andere Zahlen dividieren lässt.

• Zeit zum Verdoppeln = 72 / Einsatz

Das ist die Regel von zweiundsiebzig. Alles ist abgedeckt.

Wenn Sie die Zeit zum Verdreifachen finden müssen, können Sie ln(3) ~ 109,8 verwenden und erhalten

• Zeit zum Verdreifachen = 110 / Einsatz

Das ist eine weitere nützliche Regel. Die „Regel von 72“ gilt für das Wachstum der Zinssätze, das Bevölkerungswachstum, Bakterienkulturen und alles, was exponentiell wächst.

Was weiter?

Hoffentlich macht der natürliche Logarithmus für Sie jetzt Sinn – er zeigt die Zeit an, die eine beliebige Zahl benötigt, um exponentiell zu wachsen. Ich denke, man nennt es „natürlich“, weil e ein universelles Maß für das Wachstum ist und ln daher als universelle Methode zur Bestimmung der Wachstumsdauer angesehen werden kann.

Denken Sie jedes Mal, wenn Sie ln(x) sehen, an „die Zeit, die benötigt wird, um um das X-fache zu wachsen“. In einem kommenden Artikel werde ich e und ln in Verbindung beschreiben, damit der frische Duft der Mathematik die Luft erfüllt.

Nachtrag: Natürlicher Logarithmus von e

Kurzes Quiz: Was ist ln(e)?

• Ein Mathe-Roboter wird sagen: Da sie als Umkehrung zueinander definiert sind, ist es offensichtlich, dass ln(e) = 1.
• Verständnisvolle Person: ln(e) ist die Anzahl der Male, die nötig sind, um „e“-mal zu wachsen (ungefähr 2,718). Allerdings ist die Zahl e selbst ein Maß für das Wachstum um den Faktor 1, also ist ln(e) = 1.

Klar denken.

9. September 2013

Natürlicher Logarithmus

Diagramm der natürlichen Logarithmusfunktion. Die Funktion nähert sich mit zunehmender Größe langsam der positiven Unendlichkeit X und nähert sich schnell der negativen Unendlichkeit, wenn X tendiert gegen 0 („langsam“ und „schnell“ im Vergleich zu jeder Potenzfunktion von X).

Natürlicher Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis , Wo e- eine irrationale Konstante, die ungefähr 2,718281 828 entspricht. Der natürliche Logarithmus wird normalerweise als ln( geschrieben X), Protokoll e (X) oder manchmal einfach log( X), wenn die Basis e impliziert.

Natürlicher Logarithmus einer Zahl X(geschrieben als ln(x)) ist der Exponent, auf den die Zahl erhöht werden muss e, um zu bekommen X. Zum Beispiel, ln(7.389...) gleich 2, weil e 2 =7,389... . Natürlicher Logarithmus der Zahl selbst e (ln(e)) ist gleich 1, weil e 1 = e, und der natürliche Logarithmus ist 1 ( ln(1)) ist gleich 0, weil e 0 = 1.

Der natürliche Logarithmus kann für jede positive reelle Zahl definiert werden A als Fläche unter der Kurve j = 1/X von 1 bis A. Die Einfachheit dieser Definition, die mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, die den natürlichen Logarithmus verwenden, führte zu der Bezeichnung „natürlich“. Diese Definition kann auf komplexe Zahlen erweitert werden, wie unten erläutert.

Betrachten wir den natürlichen Logarithmus als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann ist er die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, die zu den Identitäten führt:

Wie alle Logarithmen bildet der natürliche Logarithmus die Multiplikation auf die Addition ab:

Somit ist die logarithmische Funktion ein Isomorphismus der Gruppe positiver reeller Zahlen bezüglich der Multiplikation mit der Gruppe reeller Zahlen bezüglich der Addition, der als Funktion dargestellt werden kann:

Der Logarithmus kann für jede positive Basis außer 1 definiert werden, nicht nur e, aber Logarithmen für andere Basen unterscheiden sich vom natürlichen Logarithmus nur um einen konstanten Faktor und werden normalerweise anhand des natürlichen Logarithmus definiert. Logarithmen eignen sich zum Lösen von Gleichungen, die Unbekannte als Exponenten enthalten. Beispielsweise werden Logarithmen verwendet, um die Zerfallskonstante für eine bekannte Halbwertszeit zu ermitteln oder um die Zerfallszeit bei der Lösung von Radioaktivitätsproblemen zu ermitteln. Sie spielen in vielen Bereichen der Mathematik und der angewandten Wissenschaften eine wichtige Rolle und werden im Finanzwesen zur Lösung zahlreicher Probleme eingesetzt, unter anderem zur Ermittlung des Zinseszinses.

Geschichte

Die erste Erwähnung des natürlichen Logarithmus erfolgte durch Nicholas Mercator in seinem Werk Logarithmotechnik, veröffentlicht im Jahr 1668, obwohl der Mathematiklehrer John Spidell bereits 1619 eine Tabelle mit natürlichen Logarithmen erstellte. Früher wurde er hyperbolischer Logarithmus genannt, weil er der Fläche unter der Hyperbel entspricht. Er wird manchmal als Napier-Logarithmus bezeichnet, obwohl die ursprüngliche Bedeutung dieses Begriffs etwas anders war.

Bezeichnungskonventionen

Der natürliche Logarithmus wird normalerweise mit „ln( X)“, Logarithmus zur Basis 10 – über „lg( X)“ und andere Gründe werden in der Regel explizit mit dem Symbol „log“ gekennzeichnet.

In vielen Werken zur diskreten Mathematik, Kybernetik und Informatik verwenden Autoren die Notation „log( X)“ für Logarithmen zur Basis 2, aber diese Konvention wird nicht allgemein akzeptiert und bedarf einer Klarstellung entweder in der Liste der verwendeten Notationen oder (falls eine solche Liste nicht vorhanden ist) durch eine Fußnote oder einen Kommentar bei der ersten Verwendung.

Klammern um das Argument von Logarithmen werden normalerweise weggelassen (sofern dies nicht zu einer falschen Lesart der Formel führt) und bei der Potenzierung eines Logarithmus wird der Exponent direkt dem Vorzeichen des Logarithmus zugewiesen: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Angloamerikanisches System

Mathematiker, Statistiker und einige Ingenieure verwenden normalerweise den natürlichen Logarithmus oder „log( X)“ oder „ln( X)“, und um den Logarithmus zur Basis 10 zu bezeichnen – „log 10 ( X)».

Manche Ingenieure, Biologen und andere Spezialisten schreiben immer „ln( X)“ (oder gelegentlich „log e ( X)“), wenn sie den natürlichen Logarithmus meinen, und die Notation „log( X)" sie meinen log 10 ( X).

Protokoll e ist ein „natürlicher“ Logarithmus, da er automatisch auftritt und in der Mathematik sehr häufig vorkommt. Betrachten Sie zum Beispiel das Problem der Ableitung einer logarithmischen Funktion:

Wenn die Basis B gleicht e, dann ist die Ableitung einfach 1/ X, und wann X= 1 ist diese Ableitung gleich 1. Ein weiterer Grund, warum die Basis e Das Natürlichste am Logarithmus ist, dass er ganz einfach als einfaches Integral oder als Taylor-Reihe definiert werden kann, was bei anderen Logarithmen nicht der Fall ist.

Weitere Begründungen für Natürlichkeit beziehen sich nicht auf die Notation. Beispielsweise gibt es mehrere einfache Reihen mit natürlichen Logarithmen. Pietro Mengoli und Nicholas Mercator nannten sie Logarithmus naturalis mehrere Jahrzehnte, bis Newton und Leibniz die Differential- und Integralrechnung entwickelten.

Definition

Formal ln( A) kann als Fläche unter der Kurve des Diagramms 1/ definiert werden X von 1 bis A, also als Integral:

Es handelt sich tatsächlich um einen Logarithmus, da er die Grundeigenschaft des Logarithmus erfüllt:

Dies kann durch folgende Annahme nachgewiesen werden:

Numerischer Wert

Um den numerischen Wert des natürlichen Logarithmus einer Zahl zu berechnen, können Sie die Taylor-Reihenentwicklung in der Form verwenden:

Um eine bessere Konvergenzrate zu erhalten, können Sie die folgende Identität verwenden:

unter der Vorraussetzung, dass j = (X−1)/(X+1) und X > 0.

Für ln( X), Wo X> 1, desto näher liegt der Wert X auf 1, desto schneller ist die Konvergenzrate. Die mit dem Logarithmus verbundenen Identitäten können verwendet werden, um das Ziel zu erreichen:

Diese Methoden wurden bereits vor dem Aufkommen von Taschenrechnern verwendet, für die numerische Tabellen verwendet und ähnliche Manipulationen wie oben beschrieben durchgeführt wurden.

Hohe Genauigkeit

Für die Berechnung des natürlichen Logarithmus mit einer großen Anzahl von Präzisionsstellen ist die Taylor-Reihe nicht effizient, da ihre Konvergenz langsam ist. Eine Alternative besteht darin, die Newton-Methode zur Invertierung in eine Exponentialfunktion zu verwenden, deren Reihe schneller konvergiert.

Eine Alternative für eine sehr hohe Berechnungsgenauigkeit ist die Formel:

Wo M bezeichnet den arithmetisch-geometrischen Mittelwert von 1 und 4/s, und

M so gewählt, dass P Genauigkeitsmerkmale erreicht werden. (In den meisten Fällen ist ein Wert von 8 für m ausreichend.) Wenn diese Methode verwendet wird, kann tatsächlich die Newtonsche Umkehrung des natürlichen Logarithmus angewendet werden, um die Exponentialfunktion effizient zu berechnen. (Die Konstanten ln 2 und pi können mithilfe einer der bekannten schnell konvergenten Reihen mit der gewünschten Genauigkeit vorberechnet werden.)

Rechenkomplexität

Die Rechenkomplexität natürlicher Logarithmen (unter Verwendung des arithmetisch-geometrischen Mittels) beträgt O( M(N)ln N). Hier N ist die Anzahl der Genauigkeitsstellen, für die der natürliche Logarithmus ausgewertet werden muss, und M(N) ist die rechnerische Komplexität der Multiplikation von zwei N-stellige Zahlen.

Fortsetzungsbrüche

Obwohl es keine einfachen Kettenbrüche zur Darstellung eines Logarithmus gibt, können mehrere verallgemeinerte Kettenbrüche verwendet werden, darunter:

Komplexe Logarithmen

Die Exponentialfunktion kann zu einer Funktion erweitert werden, die eine komplexe Zahl der Form angibt e X für jede beliebige komplexe Zahl X, in diesem Fall eine unendliche Reihe mit komplexem X. Diese Exponentialfunktion kann invertiert werden, um einen komplexen Logarithmus zu bilden, der die meisten Eigenschaften gewöhnlicher Logarithmen aufweist. Es gibt jedoch zwei Schwierigkeiten: Es gibt keine X, wofür e X= 0, und es stellt sich heraus, dass e 2πi = 1 = e 0 . Da die Multiplikativitätseigenschaft dann für eine komplexe Exponentialfunktion gilt e z = e z+2nπi für alle Komplexen z und ganz N.

Der Logarithmus kann nicht über die gesamte komplexe Ebene definiert werden und ist dennoch mehrwertig – jeder komplexe Logarithmus kann durch Addition eines beliebigen ganzzahligen Vielfachen von 2 durch einen „äquivalenten“ Logarithmus ersetzt werden πi. Der komplexe Logarithmus kann nur auf einem Ausschnitt der komplexen Ebene einwertig sein. Zum Beispiel, ln ich = 1/2 πi oder 5/2 πi oder −3/2 πi usw. und obwohl ich 4 = 1,4 log ich kann als 2 definiert werden πi, oder 10 πi oder −6 πi, usw.

siehe auch

• John Napier – Erfinder der Logarithmen

Anmerkungen

1. Mathematik für physikalische Chemie. - 3. – Academic Press, 2005. – S. 9. – ISBN 0-125-08347-5,Auszug aus Seite 9
2. J J O"Connor und E F Robertson Die Zahl e. Das MacTutor History of Mathematics-Archiv (September 2001). Archiviert
3. Cajori Florian Eine Geschichte der Mathematik, 5. Auflage. – AMS Bookstore, 1991. – S. 152. – ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Schätzen von Integralen mithilfe von Polynomen. Archiviert vom Original am 12. Februar 2012.