So finden Sie den größten mehrfachen Teiler. Finden von Knoten von drei oder mehr Zahlen. Fraktionsreduktion. Größter gemeinsamer Teiler

Wie man die Oberfläche eines Zylinders berechnet, ist das Thema dieses Artikels. Bei jedem Matheproblem Sie müssen mit der Dateneingabe beginnen, bestimmen, was bekannt ist und was in Zukunft betrieben werden soll, und erst dann direkt mit der Berechnung fortfahren.

Gegeben 3D-Körper repräsentiert geometrische Figur zylindrisch, oben und unten durch zwei begrenzt parallele Ebenen. Mit etwas Fantasie sieht man das geometrischer Körper wird gebildet, indem ein Rechteck um eine Achse gedreht wird, wobei die Achse eine seiner Seiten ist.

Daraus folgt, dass die beschriebene Kurve über und unter dem Zylinder ein Kreis ist, dessen Hauptindikator der Radius oder Durchmesser ist.

Zylinderoberfläche - Online-Rechner

Diese Funktion erleichtert schließlich den Berechnungsprozess, und es läuft alles auf eine automatische Substitution hinaus Sollwerte die Höhe und der Radius (Durchmesser) der Basis der Figur. Das Einzige, was erforderlich ist, ist, die Daten genau zu bestimmen und bei der Eingabe von Zahlen keine Fehler zu machen.

Zylinderseitenfläche

Zuerst müssen Sie sich vorstellen, wie der Sweep im zweidimensionalen Raum aussieht.

Das ist nichts anderes als ein Rechteck, dessen eine Seite gleich dem Umfang ist. Seine Formel ist seit jeher bekannt - 2π *r, wo r ist der Radius des Kreises. Die andere Seite des Rechtecks ​​entspricht der Höhe h. Es wird nicht schwer sein, das zu finden, wonach Sie suchen.

SSeite= 2π *r*h,

wo Zahl π = 3,14.

Vollständige Oberfläche eines Zylinders

Um die Gesamtfläche des Zylinders zu finden, müssen Sie erhalten S-Seite Addiere die Flächen zweier Kreise, der oberen und unteren des Zylinders, die durch die Formel berechnet werden So =2π*r2.

Endgültige Formel folgendermaßen:

SBoden\u003d 2π * r 2+ 2π*r*h.

Zylinderfläche - Formel in Bezug auf den Durchmesser

Um Berechnungen zu erleichtern, ist es manchmal erforderlich, Berechnungen über den Durchmesser durchzuführen. Beispielsweise gibt es ein Stück eines Hohlrohrs mit bekanntem Durchmesser.

Ohne uns mit unnötigen Berechnungen herumzuärgern, haben wir eine fertige Formel. Algebra für die 5. Klasse kommt zur Rettung.

SGeschlecht = 2π*r 2 + 2 π*r*h= 2 π*d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π*d 2 /2 + π *d*h,

Anstatt von r in volle Formel Sie müssen einen Wert einfügen r=d/2.

Beispiele für die Berechnung der Fläche eines Zylinders

Bewaffnet mit Wissen, machen wir uns an die Praxis.

Beispiel 1 Es ist notwendig, die Fläche eines abgeschnittenen Rohrstücks, dh eines Zylinders, zu berechnen.

Wir haben r = 24 mm, h = 100 mm. Sie müssen die Formel in Bezug auf den Radius verwenden:

S-Boden \u003d 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 \u003d 3617,28 + 15072 \u003d 18689,28 (mm 2).

Wir übersetzen in das übliche m 2 und erhalten 0,01868928, ungefähr 0,02 m 2.

Beispiel 2 Es ist erforderlich, die Fläche der Innenfläche des Asbestofenrohrs zu ermitteln, dessen Wände mit feuerfesten Steinen ausgekleidet sind.

Die Daten sind wie folgt: Durchmesser 0,2 m; Höhe 2 m. Wir verwenden die Formel durch den Durchmesser:

S-Boden \u003d 3,14 * 0,2 2 / 2 + 3,14 * 0,2 * 2 \u003d 0,0628 + 1,256 \u003d 1,3188 m 2.

Beispiel 3 So finden Sie heraus, wie viel Material zum Nähen einer Tasche benötigt wird, r \u003d 1 m und eine Höhe von 1 m.

Einen Moment, es gibt eine Formel:

S-Seite \u003d 2 * 3,14 * 1 * 1 \u003d 6,28 m 2.

Fazit

Am Ende des Artikels stellte sich die Frage: Sind all diese Berechnungen und Übersetzungen von einem Wert in einen anderen wirklich notwendig? Warum ist das alles nötig und vor allem für wen? Aber nicht vernachlässigen und vergessen einfache Formeln von der High School.

Die Welt stand und wird auf elementarem Wissen stehen, einschließlich Mathematik. Und ab jedem wichtige Arbeit, ist es nie überflüssig, die Berechnungsdaten im Speicher aufzufrischen, indem man sie in der Praxis anwendet tolle Wirkung. Genauigkeit - die Höflichkeit der Könige.

Zylinderradiusformel:
wo V das Volumen des Zylinders ist, h ist die Höhe

Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper, der durch Drehung eines Rechtecks ​​um seine Seite entsteht. Ein Zylinder ist auch ein Körper, der von einer zylindrischen Oberfläche und zwei parallelen Ebenen, die sie schneiden, begrenzt wird. Diese Fläche entsteht, wenn sich eine Gerade parallel zu sich selbst bewegt. In diesem Fall bewegt sich der ausgewählte Punkt der Geraden entlang einer bestimmten flachen Kurve (Führung). Diese Linie wird als Erzeugende bezeichnet. zylindrische Oberfläche.
Zylinderradiusformel:
wo Sb - Seitenfläche, h - Höhe

Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper, der durch Drehung eines Rechtecks ​​um seine Seite entsteht. Ein Zylinder ist auch ein Körper, der von einer zylindrischen Oberfläche und zwei parallelen Ebenen, die sie schneiden, begrenzt wird. Diese Fläche entsteht, wenn sich eine Gerade parallel zu sich selbst bewegt. In diesem Fall bewegt sich der ausgewählte Punkt der Geraden entlang einer bestimmten flachen Kurve (Führung). Diese Gerade wird als Erzeugende der Zylinderfläche bezeichnet.
Zylinderradiusformel:
wobei S die Fläche ist volle Oberfläche, h - Höhe

Die Fläche jeder Basis des Zylinders ist π r 2 ist die Fläche beider Basen 2π r 2 (Abb.).

Die Fläche der Seitenfläche eines Zylinders ist gleich der Fläche eines Rechtecks, dessen Basis 2π ist r, und die Höhe ist gleich der Höhe des Zylinders h, also 2π rechts.

Die Gesamtfläche des Zylinders beträgt: 2π r 2+2π rechts= 2π r(r+ h).

Der Bereich der Mantelfläche des Zylinders wird genommen Sweep-Bereich seine Seitenfläche.

Daher ist die Mantelfläche eine Gerade runder Zylinder gleich der Fläche des entsprechenden Rechtecks ​​​​(Abb.) und wird nach der Formel berechnet

S v. Chr. = 2πRH, (1)

Wenn wir die Fläche der beiden Grundflächen des Zylinders zur Fläche der Mantelfläche des Zylinders addieren, erhalten wir die Gesamtfläche des Zylinders

S voll \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R).

Gerades Zylindervolumen

Satz. Volumen gerader Zylinder ist gleich dem Produkt die Fläche seiner Basis zu seiner Höhe , d.h.

wobei Q die Grundfläche und H die Höhe des Zylinders ist.

Da die Grundfläche des Zylinders Q ist, gibt es Folgen von umschriebenen und einbeschriebenen Polygonen mit Flächen Q n und Q' n so dass

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= Q.

Wir konstruieren Folgen von Prismen, deren Basen die oben beschriebenen und einbeschriebenen Polygone sind, und Seitenrippen sind parallel zur Erzeugenden des gegebenen Zylinders und haben die Länge H. Diese Prismen sind umschrieben und für den gegebenen Zylinder einbeschrieben. Ihre Volumina werden durch die Formeln gefunden

v n= Q n H und V' n= Q' n H.

Folglich,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n H = QH.

Folge.
Das Volumen eines geraden Kreiszylinders wird nach der Formel berechnet

V = π R 2 H

wobei R der Radius der Basis und H die Höhe des Zylinders ist.

Da die Basis eines Kreiszylinders ein Kreis mit dem Radius R ist, ist Q \u003d π R 2 und daher

Finden Sie den Bereich Axialschnitt, senkrecht zu den Basen Zylinder. Eine der Seiten dieses Rechtecks ​​ist gleich der Höhe des Zylinders, die andere gleich dem Durchmesser des Grundkreises. Dementsprechend ist die Querschnittsfläche in diesem Fall gleich dem Produkt der Seiten des Rechtecks. S=2R*h, wobei S die Querschnittsfläche ist, R der Radius des Grundkreises ist, der durch die Bedingungen des Problems gegeben ist, und h auch die Höhe des Zylinders ist gegebenen Bedingungen Aufgaben.

Wenn der Schnitt senkrecht zu den Basen ist, aber nicht durch die Rotationsachse verläuft, entspricht das Rechteck nicht dem Durchmesser des Kreises. Es muss berechnet werden. Dazu muss die Aufgabe angeben, in welchem ​​Abstand von der Rotationsachse die Schnittebene verläuft. Konstruieren Sie zur Vereinfachung der Berechnungen einen Kreis der Basis des Zylinders, zeichnen Sie einen Radius und legen Sie darauf den Abstand fest, in dem sich der Abschnitt vom Mittelpunkt des Kreises befindet. Zeichnen Sie von diesem Punkt aus zu den Senkrechten, bis sie sich mit dem Kreis schneiden. Verbinden Sie die Schnittpunkte mit der Mitte. Sie müssen Akkorde finden. Finden Sie die Größe einer halben Sehne mit dem Satz des Pythagoras. Es wird gleich Quadratwurzel aus der Differenz der Quadrate des Kreisradius vom Mittelpunkt zur Schnittlinie. a2=R2-b2. Der gesamte Akkord wird jeweils gleich 2a sein. Berechnen Sie die Querschnittsfläche, die gleich dem Produkt der Seiten des Rechtecks ​​ist, also S=2a*h.

Der Zylinder kann präpariert werden, ohne durch die Ebene der Basis zu gehen. Wenn der Querschnitt senkrecht zur Rotationsachse ist, dann ist es ein Kreis. Seine Fläche ist in diesem Fall gleich der Fläche der Basen, dh sie wird nach der Formel S \u003d πR2 berechnet.

Nützlicher Rat

Um sich den Schnitt genauer vorzustellen, erstellen Sie eine Zeichnung und zusätzliche Konstruktionen.

Quellen:

• Querschnittsfläche des Zylinders

Die Schnittlinie einer Fläche mit einer Ebene gehört sowohl zur Fläche als auch zur Sekantenebene. Die Schnittlinie einer zylindrischen Fläche mit einer Sekantenebene parallel zur geraden Erzeugenden ist eine gerade Linie. Wenn die Schnittebene senkrecht zur Achse der Rotationsfläche ist, hat der Schnitt einen Kreis. BEI Allgemeiner Fall Die Schnittlinie einer zylindrischen Fläche mit einer Schnittebene ist eine gekrümmte Linie.

Du wirst brauchen

• Bleistift, Lineal, Dreieck, Muster, Zirkel, Messinstrument.

Anweisung

Auf der Frontalebene Projektionen P₂ fällt die Schnittlinie mit der Projektion der Sekantenebene Σ₂ in Form einer Geraden zusammen.
Bezeichne die Schnittpunkte der Mantellinien des Zylinders mit der Projektion Σ₂ 1₂, 2₂ usw. zu den Punkten 10₂ und 11₂.

Auf der Ebene P₁ liegt ein Kreis. Punkte 1₂ , 2₂ markiert auf der Schnittebene Σ₂ usw. Mit Hilfe einer Projektionslinie werden die Verbindungen auf den Umriss dieses Kreises projiziert. Bezeichnen Sie ihre horizontalen Projektionen symmetrisch um die horizontale Achse des Kreises.

Somit sind die Projektionen des gewünschten Abschnitts definiert: auf der Ebene P&sub2; - eine gerade Linie (Punkte 1&sub2;, 2&sub2; ... 10&sub2;); auf der Ebene P₁ - ein Kreis (Punkte 1₁, 2₁ ... 10₁).

Konstruieren Sie durch zwei die natürliche Größe des Abschnitts des gegebenen Zylinders durch die nach vorne projizierende Ebene Σ. Verwenden Sie dazu die Projektionsmethode.

Zeichnen Sie die Ebene P₄ parallel zur Projektion der Ebene Σ₂. Markieren Sie auf dieser neuen x₂₄-Achse den Punkt 1₀. Abstände zwischen den Punkten 1₂ - 2₂, 2₂ - 4₂ usw. Mit Frontprojektion legen Sie die Abschnitte auf der x₂₄-Achse beiseite, zeichnen Sie dünne Linien der Projektionsverbindung senkrecht zur x₂₄-Achse.

BEI diese Methode die Ebene P₄ wird durch die Ebene P₁ ersetzt, daher mit horizontale ProjektionÜbertrage die Maße von der Achse auf die Punkte auf die Achse der P₄-Ebene.

Zum Beispiel ist dies auf P₁ für die Punkte 2 und 3 der Abstand von 2₁ und 3₁ zur Achse (Punkt A) usw.

Nachdem Sie die angegebenen Abstände von der horizontalen Projektion verschoben haben, erhalten Sie die Punkte 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Dann für größere Genauigkeit Konstruktion werden die verbleibenden Zwischenpunkte bestimmt.

Indem Sie alle Punkte mit einer gekrümmten Kurve verbinden, erhalten Sie die gewünschte natürliche Größe des Querschnitts des Zylinders durch die nach vorne ragende Ebene.

Quellen:

• wie Flugzeug ersetzen

Tipp 3: So finden Sie die Fläche des Axialschnitts eines Kegelstumpfs

Lösen diese Aufgabe, muss man sich merken, was ein Kegelstumpf ist und welche Eigenschaften er hat. Unbedingt zeichnen. Dadurch wird bestimmt, welche geometrische Figur ein Schnitt ist. Gut möglich, dass Ihnen danach die Lösung des Problems nicht mehr schwer fällt.

Anweisung

Ein runder Kegel ist ein Körper, der durch Drehen eines Dreiecks um einen seiner Schenkel entsteht. Von oben kommen gerade Linien Zapfen und seine Basis schneiden, werden Generatoren genannt. Wenn alle Generatoren gleich sind, dann ist der Kegel gerade. An der Basis der Runde Zapfen liegt ein Kreis. Die von oben auf die Basis fallende Senkrechte ist die Höhe Zapfen. An der runden Geraden Zapfen Höhe fällt mit seiner Achse zusammen. Die Achse ist eine gerade Linie, die mit der Mitte der Basis verbunden ist. Wenn die horizontale Schnittebene des Rundschreibens Zapfen, dann ist seine obere Basis ein Kreis.

Da es in der Bedingung des Problems nicht angegeben ist, ist es der Kegel, der angegeben wird dieser Fall, können wir schließen, dass es sich um einen geraden Kegelstumpf handelt, dessen horizontaler Abschnitt parallel zur Basis verläuft. Sein Axialschnitt, d.h. vertikale Ebene, die durch die Achse eines Kreises Zapfen, ist ein gleichschenkliges Trapez. Alles axial Abschnitte rund gerade Zapfen sind einander gleich. Daher zu finden Quadrat axial Abschnitte, es ist erforderlich, um zu finden Quadrat Trapez, dessen Basen die Durchmesser der Basen des Stumpfes sind Zapfen, a Seiten sind seine Generatoren. Abgeschnittene Höhe Zapfen ist auch die Höhe des Trapezes.

Die Fläche eines Trapezes wird durch die Formel bestimmt: S = ½(a+b) h, wobei S ist Quadrat Trapez; a - Wert untere Basis Trapez; b - der Wert seiner oberen Basis; h - die Höhe des Trapezes.

Da die Bedingung nicht angibt, welche gegeben sind, ist es möglich, dass die Durchmesser beider Basen des abgeschnittenen Zapfen bekannt: AD = d1 ist der Durchmesser der unteren Basis des abgeschnittenen Zapfen;BC = d2 ist der Durchmesser seiner oberen Basis; EH = h1 - Höhe Zapfen.Auf diese Weise, Quadrat axial Abschnitte gekürzt Zapfen definiert: S1 = ½ (d1+d2) h1

Quellen:

• Kegelstumpfbereich

Der Zylinder ist räumliche Figur und besteht aus zwei gleiche Gründe, die Kreise und eine Seitenfläche sind, die Linien verbinden, die die Basen begrenzen. Berechnen Quadrat Zylinder, finde die Flächeninhalte aller ihrer Flächen und addiere sie.

Es ist ein geometrischer Körper, der von zwei parallelen Ebenen und einer zylindrischen Oberfläche begrenzt wird.

Der Zylinder besteht aus einer Seitenfläche und zwei Böden. Die Formel für die Oberfläche eines Zylinders beinhaltet eine separate Berechnung der Fläche der Basen und der Mantelfläche. Da die Basen im Zylinder gleich sind, wird seine Gesamtfläche nach folgender Formel berechnet:

Wir werden ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Zylinders betrachten, nachdem wir alles wissen notwendige Formeln. Zuerst brauchen wir die Formel für die Grundfläche eines Zylinders. Da die Basis des Zylinders ein Kreis ist, müssen wir anwenden:
Wir erinnern uns, dass diese Berechnungen eine konstante Zahl Π = 3,1415926 verwenden, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser berechnet wird. Diese Nummer ist mathematische Konstante. Wir werden auch etwas später ein Beispiel für die Berechnung der Fläche der Basis eines Zylinders betrachten.

Zylinderseitenfläche

Die Formel für die Fläche der Mantelfläche eines Zylinders ist das Produkt aus der Länge der Grundfläche und ihrer Höhe:

Betrachten wir nun ein Problem, bei dem wir rechnen müssen Gesamtfläche Zylinder. BEI angegebene Figur Höhe h = 4 cm, r = 2 cm Finden Sie die Gesamtfläche des Zylinders.
Lassen Sie uns zuerst die Fläche der Basen berechnen:
Betrachten Sie nun ein Beispiel für die Berechnung der Mantelfläche eines Zylinders. Aufgeklappt ist es ein Rechteck. Seine Fläche wird mit der obigen Formel berechnet. Ersetzen Sie alle Daten darin:
Die Gesamtfläche eines Kreises ist die Summe doppelt quadratisch Basis und Seite:

So konnten wir unter Verwendung der Formeln für die Fläche der Basen und der Seitenfläche der Figur die Gesamtfläche des Zylinders ermitteln.
Der axiale Querschnitt des Zylinders ist ein Rechteck, dessen Seiten gleich der Höhe und dem Durchmesser des Zylinders sind.

Die Formel für die Fläche des Axialschnitts eines Zylinders ergibt sich aus der Berechnungsformel: