heim » Badezimmerdesign » Urnen mit 1. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Urnengestaltung: Auswahl ohne Rückgabe, unter Berücksichtigung der Bestellung

Urnen mit 1. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Urnengestaltung: Auswahl ohne Rückgabe, unter Berücksichtigung der Bestellung

Beispiel 1. In der ersten Urne: drei rote, eine weiße Kugel A. In der zweiten Urne: eine rote, drei weiße Kugeln. Eine Münze wird nach dem Zufallsprinzip geworfen: Handelt es sich um ein Wappen, wird es aus der ersten Urne ausgewählt. ansonsten- ab der zweiten.
Lösung:
a) die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel gezogen wurde
A – habe einen roten Ball bekommen
P 1 – das Wappen fiel, P 2 – sonst

b) Der rote Ball wird ausgewählt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es aus der ersten Urne aus der zweiten Urne entnommen wird.
B 1 – aus der ersten Urne, B 2 – aus der zweiten Urne
,

Beispiel 2. In einer Schachtel befinden sich 4 Bälle. Kann sein: nur Weiß, nur Schwarz oder Weiß und Schwarz. (Zusammensetzung unbekannt).
Lösung:
A – Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel erscheint
a) Ganz weiß:
(die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine der drei Optionen erhalten haben, bei denen es weiße gibt)
(Wahrscheinlichkeit, dass ein weißer Ball dort erscheint, wo alle weiß sind)

b) Herausgezogen, wo alle schwarz sind

c) habe die Option herausgezogen, bei der jeder weiß und/oder schwarz ist

- mindestens einer davon ist weiß

P a + P b + P c =

Beispiel 3. In einer Urne befinden sich 5 weiße und 4 schwarze Kugeln. Daraus werden 2 Bälle hintereinander entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind.
Lösung:
5 weiße, 4 schwarze Kugeln
P(A 1) – die weiße Kugel wurde herausgenommen

P(A 2) – Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel ebenfalls weiß ist

P(A) – weiße Kugeln, die in einer Reihe ausgewählt werden

Beispiel 3a. Die Packung enthält 2 gefälschte und 8 echte Banknoten. Es wurden 2 Geldscheine hintereinander aus der Packung gezogen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Fälschungen sind.
Lösung:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022

Beispiel 4. Es gibt 10 Behälter. Es gibt 9 Urnen mit 2 schwarzen und 2 weißen Kugeln. In einer Urne sind 5 Weiße und 1 Schwarzer. Aus einer zufällig ausgewählten Urne wurde eine Kugel gezogen.
Lösung:
P(A) - ? Aus einer Urne mit 5 weißen Kugeln wird eine weiße Kugel entnommen
B – Wahrscheinlichkeit, aus einer Urne mit 5 Weißen entnommen zu werden
, - von anderen herausgenommen
C 1 – Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel auf Stufe 9 erscheint.

C 2 – Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel erscheint, wenn es 5 davon gibt

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Beispiel 5. 20 zylindrische und 15 kegelförmige Rollen. Der Pflücker nimmt eine Walze und dann eine weitere.
Lösung:
a) beide Rollen sind zylindrisch
P(C 1)=; P(Ts 2)=
C 1 – erster Zylinder, C 2 – zweiter Zylinder
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) Mindestens ein Zylinder
K 1 – zunächst kegelförmig.
K 2 - zweiter kegelförmiger.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;

c) der erste Zylinder, aber nicht der zweite
P(C)=P(C 1)P(K 2)

e) Kein einziger Zylinder.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

e) Genau 1 Zylinder
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Beispiel 6. In einem Karton befinden sich 10 Standardteile und 5 defekte Teile.
Drei Teile werden zufällig gezogen
a) Einer davon ist defekt
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – Wahrscheinlichkeit fehlerhafter Produkte

q – Wahrscheinlichkeit von Standardteilen

n=3, drei Teile

b) zwei von drei Teilen sind defekt P(2)
c) mindestens ein Standard
P(0) – kein Defekt

P=P(0)+ P(1)+ P(2) – Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Teil Standard sein wird

Beispiel 7. Die 1. Urne enthält 3 weiße und schwarze Kugeln und die 2. Urne enthält 3 weiße und 4 schwarze Kugeln. Ohne hinzusehen werden 2 Kugeln von der 1. Urne in die 2. Urne übertragen und anschließend 2 Kugeln aus der 2. Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie verschiedene Farben?
Lösung:
Beim Verschieben von Kugeln aus der ersten Urne sind folgende Optionen möglich:
a) 2 weiße Kugeln hintereinander herausgenommen
P BB 1 =
Im zweiten Schritt wird es immer eine Kugel weniger geben, da im ersten Schritt bereits eine Kugel herausgenommen wurde.
b) nahm eine weiße und eine schwarze Kugel heraus
Die Situation, wenn zuerst die weiße Kugel gezogen wird und dann die schwarze
P Sprengkopf =
Die Situation, in der zuerst die schwarze Kugel gezogen wurde und dann die weiße
P BW =
Gesamt: P Gefechtskopf 1 =
c) 2 schwarze Kugeln hintereinander herausgenommen
P HH 1 =
Da 2 Kugeln von der ersten Urne in die zweite Urne übertragen wurden, beträgt die Gesamtzahl der Kugeln in der zweiten Urne 9 (7 + 2). Dementsprechend werden wir nach allen möglichen Optionen suchen:
a) Aus der zweiten Urne wurde zunächst eine weiße und dann eine schwarze Kugel entnommen

P BB 2 P BB 1 – bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine weiße Kugel gezogen wurde, dann eine schwarze Kugel, vorausgesetzt, dass aus der ersten Urne in Folge 2 weiße Kugeln gezogen wurden. Deshalb beträgt die Anzahl der weißen Kugeln in diesem Fall 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 – bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine weiße Kugel gezogen wurde, dann eine schwarze Kugel, vorausgesetzt, dass aus der ersten Urne weiße und schwarze Kugeln gezogen wurden. Deshalb beträgt die Anzahl der weißen Kugeln in diesem Fall 4 (3+1) und die Anzahl der schwarzen Kugeln fünf (4+1).
P BC 2 P BC 1 – bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine weiße Kugel gezogen wurde, dann eine schwarze Kugel, vorausgesetzt, dass beide schwarzen Kugeln aus der ersten Urne in Folge gezogen wurden. Deshalb beträgt die Anzahl der schwarzen Kugeln in diesem Fall 6 (4+2).

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei gezogene Kugeln unterschiedliche Farben haben, ist gleich:

Antwort: P = 0,54

Beispiel 7a. Aus der 1. Urne mit 5 weißen und 3 schwarzen Kugeln wurden 2 Kugeln zufällig in die 2. Urne mit 2 weißen und 6 schwarzen Kugeln übertragen. Dann wurde 1 Kugel zufällig aus der 2. Urne gezogen.
1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die aus der 2. Urne gezogene Kugel weiß ist?
2) Die Kugel aus der 2. Urne erwies sich als weiß. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Kugeln von der 1. Urne in die 2. Urne übertragen wurden verschiedene Farben.
Lösung.
1) Ereignis A – die aus der 2. Urne gezogene Kugel ist weiß. Betrachten wir die folgenden Optionen für das Eintreten dieses Ereignisses.
a) Zwei weiße Kugeln wurden aus der ersten Urne in die zweite gelegt: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
In der zweiten Urne befinden sich insgesamt 4 weiße Kugeln. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus der zweiten Urne zu ziehen, P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Weiße und schwarze Kugeln wurden aus der ersten Urne in die zweite gelegt: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
In der zweiten Urne befinden sich insgesamt 3 weiße Kugeln. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus der zweiten Urne zu ziehen, P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Zwei schwarze Kugeln wurden aus der ersten Urne in die zweite gelegt: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
In der zweiten Urne befinden sich insgesamt 2 weiße Kugeln. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus der zweiten Urne zu ziehen, P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die aus der 2. Urne gezogene Kugel weiß ist:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Die Kugel aus der 2. Urne erwies sich als weiß, d.h. Gesamtwahrscheinlichkeit ist gleich P(A)=13/32.
Wahrscheinlichkeit, dass Kugeln unterschiedlicher Farbe (schwarz und weiß) in die zweite Urne gelegt wurden und Weiß gewählt wurde: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Beispiel 7b. Die erste Urne enthält 8 weiße und 3 schwarze Kugeln, die zweite Urne enthält 5 weiße und 3 schwarze Kugeln. Aus der ersten wird zufällig eine Kugel ausgewählt, aus der zweiten zwei Kugeln. Danach wird aus den ausgewählten drei Bällen zufällig ein Ball genommen. Das letzter Ball stellte sich als schwarz heraus. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass aus der ersten Urne eine weiße Kugel gezogen wird.
Lösung.
Betrachten wir alle Varianten von Ereignis A – von drei Kugeln ist die gezogene Kugel schwarz. Wie konnte es passieren, dass unter den drei Kugeln eine schwarze war?
a) Aus der ersten Urne wurde eine schwarze Kugel entnommen, aus der zweiten Urne wurden zwei weiße Kugeln entnommen.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) Aus der ersten Urne wurde eine schwarze Kugel entnommen, aus der zweiten Urne wurden zwei schwarze Kugeln entnommen.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) Aus der ersten Urne wurde eine schwarze Kugel entnommen, aus der zweiten Urne eine weiße und eine schwarze Kugel.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Aus der ersten Urne wurde eine weiße Kugel entnommen, aus der zweiten Urne wurden zwei schwarze Kugeln entnommen.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Aus der ersten Urne wurde eine weiße Kugel entnommen, aus der zweiten Urne eine weiße und eine schwarze Kugel.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Die Wahrscheinlichkeit, dass aus einer weißen Urne eine weiße Kugel gezogen wird, beträgt:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus der ersten Urne eine weiße Kugel ausgewählt wurde, vorausgesetzt, dass aus drei Kugeln eine schwarze Kugel ausgewählt wurde, gleich:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Beispiel 7c. Die erste Urne enthält 12 weiße und 16 schwarze Kugeln, die zweite Urne enthält 8 weiße und 10 schwarze Kugeln. Gleichzeitig wird aus der 1. und 2. Urne eine Kugel gezogen, gemischt und in jede Urne zurückgelegt. Anschließend wird aus jeder Urne eine Kugel gezogen. Es stellte sich heraus, dass sie die gleiche Farbe hatten. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in der 1. Urne noch genauso viele weiße Kugeln übrig sind wie am Anfang.

Lösung.
Ereignis A – eine Kugel wird gleichzeitig aus der 1. und 2. Urne gezogen.
Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus der ersten Urne zu ziehen: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel aus der ersten Urne zu ziehen: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus der zweiten Urne zu ziehen: P2(B) = 8/18 = 4/9
Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel aus der zweiten Urne zu ziehen: P2(H) = 10/18 = 5/9

Ereignis A ist eingetreten. Ereignis B – aus jeder Urne wird eine Kugel gezogen. Nach dem Mischen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße oder schwarze Kugel in die Urne zurückkehrt, ½.
Betrachten wir die Optionen für Ereignis B – sie hatten die gleiche Farbe.

Für die erste Urne
1) Eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine weiße Kugel gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel gezogen wurde, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine weiße Kugel herausgezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel herausgezogen wurde, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze herausgezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel herausgezogen wurde, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze herausgezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel herausgezogen wurde, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) Eine schwarze Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine weiße Kugel gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel gezogen wurde, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) In die erste Urne wurde eine schwarze Kugel gelegt und eine weiße Kugel herausgezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel herausgezogen wurde, P1(BW/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) In die erste Urne wurde eine schwarze Kugel gelegt und eine schwarze herausgezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel herausgezogen wurde, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) Eine schwarze Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze herausgezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel gezogen wurde, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Für die zweite Urne
1) Eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine weiße Kugel gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel gezogen wurde, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine weiße Kugel herausgezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel herausgezogen wurde, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze herausgezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel herausgezogen wurde, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) eine weiße Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze herausgezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel herausgezogen wurde, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) In die erste Urne wurde eine schwarze Kugel gelegt und eine weiße Kugel herausgezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel herausgezogen wurde, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) In die erste Urne wurde eine schwarze Kugel gelegt und eine weiße Kugel herausgezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel herausgezogen wurde, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) In die erste Urne wurde eine schwarze Kugel gelegt und eine schwarze herausgezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine weiße Kugel herausgezogen wurde, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) Eine schwarze Kugel wurde in die erste Urne gelegt und eine schwarze gezogen, vorausgesetzt, dass zuvor eine schwarze Kugel gezogen worden war, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Es stellte sich heraus, dass die Kugeln die gleiche Farbe hatten:
ein weißer
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) schwarz
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Beispiel 7d. Die erste Box enthält 5 weiße und 4 blaue Kugeln, die zweite enthält 3 bzw. 1 und die dritte enthält 4 bzw. 5. Eine Kiste wurde zufällig ausgewählt und eine daraus gezogene Kugel erwies sich als blau. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball aus der zweiten Kiste stammt?

Lösung.
A – Ereignis des Ziehens einer blauen Kugel. Betrachten wir alle möglichen Ergebnisse eines solchen Ereignisses.
H1 – der aus der ersten Box gezogene Ball,
H2 – der Ball wurde aus der zweiten Box herausgezogen,
H3 – ein Ball, der aus der dritten Box gezogen wird.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Gemäß den Bedingungen des Problems sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten von Ereignis A gleich:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball aus der zweiten Box stammt, beträgt:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2

Beispiel 8. Fünf Kisten mit je 30 Kugeln enthalten 5 rote Kugeln (dies ist eine Kiste mit der Zusammensetzung H1), sechs weitere Kisten mit je 20 Kugeln enthalten 4 rote Kugeln (dies ist eine Kiste mit der Zusammensetzung H2). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte rote Kugel in einem der ersten fünf Kästchen enthalten ist.
Lösung: Das Problem besteht darin, die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel anzuwenden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass beliebig der genommene Ball ist in einer der ersten fünf Boxen enthalten:
P(H 1) = 5/11
Die Wahrscheinlichkeit, dass beliebig Der genommene Ball ist in einer von sechs Boxen enthalten:
P(H2) = 6/11
Das Ereignis geschah – der rote Ball wurde herausgezogen. Daher kann dies in zwei Fällen passieren:
a) aus den ersten fünf Kisten herausgezogen.
P 5 = 5 rote Kugeln * 5 Kisten / (30 Kugeln * 5 Kisten) = 1/6
P(P 5 /H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) aus sechs anderen Kisten herausgezogen.
P 6 = 4 rote Kugeln * 6 Kisten / (20 Kugeln * 6 Kisten) = 1/5
P(P 6 /H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Gesamt: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene rote Kugel in einem der ersten fünf Kästchen enthalten ist:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Beispiel 9. Die Urne enthält 2 weiße, 3 schwarze und 4 rote Kugeln. Es werden zufällig drei Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Kugeln die gleiche Farbe haben?
Lösung. Es gibt drei mögliche Ergebnisse:
a) Unter den drei gezogenen Kugeln befanden sich mindestens zwei weiße.
P b (2) = P 2b
Die Gesamtzahl der möglichen elementaren Ergebnisse für diese Tests entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, auf denen aus 9 Bällen 3 gewonnen werden können:

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass von den 3 ausgewählten Bällen 2 weiß sind.

Anzahl der Optionen zur Auswahl aus 2 weißen Kugeln:

Anzahl der Optionen zur Auswahl aus 7 weiteren Bällen dritter Ball:

b) Unter den drei gezogenen Kugeln befanden sich mindestens zwei schwarze (also entweder 2 schwarze oder 3 schwarze).
Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass von den ausgewählten 3 Bällen 2 schwarz sind.

Anzahl der Optionen zur Auswahl aus 3 schwarzen Bällen:

Anzahl der Optionen zur Auswahl aus 6 weiteren Bällen eines Balls:

P 2h = 0,214
Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass alle ausgewählten Bälle schwarz sind.

P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259

c) unter den drei gezogenen Bällen befanden sich mindestens zwei rote (also entweder 2 rote oder 3 rote).
Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass von den 3 ausgewählten Bällen 2 rot sind.

Anzahl der Optionen zur Auswahl aus 4 schwarzen Bällen:

Anzahl der Optionen zur Auswahl: 5 weiße Kugeln, übrig 1 weiße:

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass alle ausgewählten Bälle rot sind.

P zu (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Kugeln die gleiche Farbe haben, gleich: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138

Beispiel 10. Die erste Urne enthält 10 Kugeln, davon 7 weiß; Die zweite Urne enthält 20 Kugeln, davon 5 weiß. Aus jeder Urne wird eine Kugel nach dem Zufallsprinzip gezogen, und dann wird aus diesen beiden Kugeln nach dem Zufallsprinzip eine Kugel gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die weiße Kugel gezogen wird.
Lösung. Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der ersten Urne eine weiße Kugel gezogen wird, beträgt P(b)1 = 7/10. Dementsprechend beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, P(h)1 = 3/10.
Die Wahrscheinlichkeit, dass aus der zweiten Urne eine weiße Kugel gezogen wird, beträgt P(b)2 = 5/20 = 1/4. Dementsprechend beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Ereignis A – aus zwei Bällen wird ein weißer Ball genommen
Betrachten wir den möglichen Ausgang von Ereignis A.

Aus der ersten Urne wurde eine weiße Kugel gezogen, aus der zweiten Urne wurde eine weiße Kugel gezogen. Aus diesen beiden Kugeln wurde dann eine weiße Kugel gezogen. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
Aus der ersten Urne wurde eine weiße Kugel und aus der zweiten Urne eine schwarze Kugel gezogen. Aus diesen beiden Kugeln wurde dann eine weiße Kugel gezogen. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
Aus der ersten Urne wurde eine schwarze Kugel gezogen, aus der zweiten Urne eine weiße Kugel. Aus diesen beiden Kugeln wurde dann eine weiße Kugel gezogen. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

Somit kann die Wahrscheinlichkeit als Summe der oben genannten Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Beispiel 11. In Box Nr Tennisbälle. Davon wurden m gespielt. Beim ersten Spiel wurden zwei Bälle zufällig genommen und nach dem Spiel zurückgelegt. Auch für das zweite Spiel haben wir wahllos zwei Bälle genommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Spiel mit neuen Bällen gespielt wird?
Lösung. Betrachten Sie Ereignis A – das Spiel wurde zum zweiten Mal mit neuen Bällen gespielt. Mal sehen, welche Ereignisse dazu führen können.
Bezeichnen wir mit g = n-m die Anzahl der neuen Kugeln, bevor sie herausgezogen werden.
a) Für das erste Spiel wurden zwei neue Bälle herausgezogen.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) Beim ersten Spiel haben sie einen herausgezogen neuer Ball und einer hat schon gespielt.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2 mg/(n(n-1))
c) Für das erste Spiel wurden zwei gespielte Bälle herausgezogen.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Schauen wir uns die Ereignisse des zweiten Spiels an.
a) Es wurden zwei neue Bälle gezogen, unter Bedingung P1: Da bereits für das erste Spiel neue Bälle gezogen wurden, verringerte sich ihre Anzahl für das zweite Spiel um 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Es wurden zwei neue Bälle gezogen, unter der Bedingung P2: Da bereits für das erste Spiel ein neuer Ball gezogen worden war, verringerte sich ihre Anzahl für das zweite Spiel um 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Es wurden zwei neue Bälle gezogen, unter Bedingung P3: Da zuvor für das erste Spiel keine neuen Bälle verwendet wurden, änderte sich deren Anzahl für das zweite Spiel g nicht.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Gesamtwahrscheinlichkeit P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Antwort: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Beispiel 12. Die erste, zweite und dritte Box enthalten 2 weiße und 3 schwarze Kugeln, die vierte und fünfte Box enthalten 1 weiße und 1 schwarze Kugel. Ein Kästchen wird zufällig ausgewählt und eine Kugel daraus gezogen. Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das vierte oder fünfte Feld ausgewählt wird, wenn die gezogene Kugel weiß ist?
Lösung.
Die Wahrscheinlichkeit, jedes Kästchen auszuwählen, beträgt P(H) = 1/5.
Betrachten wir die bedingten Wahrscheinlichkeiten von Ereignis A – dem Ziehen der weißen Kugel.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Gesamtwahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das vierte Feld ausgewählt ist
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das fünfte Feld ausgewählt ist
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Insgesamt beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das vierte oder fünfte Kästchen ausgewählt wird
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546

Beispiel 13. In der Urne befanden sich 7 weiße und 4 rote Kugeln. Dann wurde eine weitere Kugel weißer, roter oder schwarzer Farbe in die Urne gegeben und nach dem Mischen eine Kugel herausgenommen. Es stellte sich heraus, dass es rot war. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) ein roter Ball platziert wurde? b) schwarzer Ball?
Lösung.
a) roter Ball
Ereignis A – die rote Kugel wird gezogen. Ereignis H – der rote Ball wird platziert. Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel in die Urne gelegt wurde P(H=K) = 1 / 3
Dann ist P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) schwarzer Ball
Ereignis A – die rote Kugel wird gezogen. Ereignis H – eine schwarze Kugel wird platziert.
Wahrscheinlichkeit, dass eine schwarze Kugel in die Urne gelegt wurde P(H=H) = 1/3
Dann ist P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111

Beispiel 14. Es gibt zwei Urnen mit Kugeln. Einer hat 10 rote und 5 blaue Kugeln, der zweite hat 5 rote und 7 blaue Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus der ersten Urne zufällig eine rote Kugel und aus der zweiten eine blaue Kugel gezogen wird?
Lösung. Das Ereignis A1 sei eine rote Kugel, die aus der ersten Urne gezogen wurde; A2 – Aus der zweiten Urne wird eine blaue Kugel gezogen:
,
Die Ereignisse A1 und A2 sind unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens der Ereignisse A1 und A2 ist gleich

Beispiel 15. Es gibt ein Kartenspiel (36 Stück). Es werden zwei Karten zufällig hintereinander gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Karten rot sind?
Lösung. Angenommen, Ereignis A 1 sei die erste gezogene rote Karte. Ereignis A 2 – die zweite gezogene rote Karte. B – beide herausgenommenen Karten sind rot. Da sowohl Ereignis A 1 als auch Ereignis A 2 eintreten müssen, gilt B = A 1 · A 2 . Die Ereignisse A 1 und A 2 sind abhängig, daher P(B) :
,
Von hier

Beispiel 16. Zwei Urnen enthalten Kugeln, die sich nur in der Farbe unterscheiden, und in der ersten Urne sind es 5 weiße Kugeln, 11 schwarze und 8 rote Kugeln, und in der zweiten sind es 10, 8 bzw. 6 Kugeln. Aus beiden Urnen wird zufällig eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln die gleiche Farbe haben?
Lösung. Lassen Sie Index 1 bedeuten weiße Farbe, Index 2 - schwarz; 3 - rote Farbe. Das Ereignis A i sei, dass eine Kugel der i-ten Farbe aus der ersten Urne gezogen wird; Ereignis B j – aus der zweiten Urne wird eine Kugel der Farbe j gezogen; Ereignis A – beide Kugeln haben die gleiche Farbe.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. Die Ereignisse A i und B j sind unabhängig und A i · B i und A j · B j sind inkompatibel für i ≠ j. Somit,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

Beispiel 17. Aus einer Urne mit 3 weißen und 2 schwarzen Kugeln werden nacheinander Kugeln gezogen, bis Schwarz erscheint. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Kugeln aus der Urne gezogen werden? 5 Bälle?
Lösung.
1) die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Kugeln aus der Urne gezogen werden (d. h. die dritte Kugel ist schwarz und die ersten beiden sind weiß).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Kugeln aus der Urne gezogen werden
Diese Situation ist nicht möglich, weil nur 3 weiße Kugeln.
P=0

11. Die Urne enthält nummerierte Kugeln mit Nummern von 1 bis 9. Die Kugeln werden einzeln entnommen, ohne ersetzt zu werden. Berücksichtigt werden folgende Ereignisse:
A– Die Nummern der Kugeln in der Reihenfolge ihres Eintreffens bilden die Folge 1,2,...,M.
IN
MIT– Es gibt keine einzige Übereinstimmung zwischen der Ballnummer und der Reihenfolge der Entnahme.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen A, B, C. Finden Sie die Grenzwerte der Wahrscheinlichkeiten bei .
Lösung:
1) Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ermitteln A.
Die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst die Kugel mit der Nummer 1 gezogen wird, ist gleich (da nur eine Kugel mit der Nummer 1 geeignet ist und es insgesamt 9 Kugeln gibt).
Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel von Nr. 2 gezogen wird, ist gleich , weil Es sind nur noch 8 Kugeln übrig, aber nur 1 passt.
Usw.
Mit dem Wahrscerhalten wir:

2) Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ermitteln IN.
IN– Die Nummer der Kugel und die Seriennummer der Entnahme stimmen mindestens einmal überein.
— das gegenteilige Ereignis, d.h. nie stimmt die Kugelnummer mit überein Seriennummer Extraktion.
— die Wahrscheinlichkeit, dass der erste gezogene Ball nicht der Ball mit der Nummer 1 ist, d. h. Insgesamt sind es 9 Bälle, davon passen 8 Stück hinein.

Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel Nummer 2 als Zweite gezogen wird.
Diese. Es sollte nicht zuerst entfernt und dann entfernt werden.
.
Dann ist nach dem Satz über die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite zu ziehende Kugel nicht die Kugel Nr. 2 ist:
.
Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass der dritte Ball den Ball mit der Nummer 3 zieht (d. h. er sollte beim ersten und zweiten Ziehen nicht entfernt werden und sollte beim dritten Ziehen entfernt werden):

Und die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball mit Nr. 3 beim dritten nicht gezogen wird:

Dasselbe gilt auch für andere Bälle. Wir haben herausgefunden, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Kugel in einer Reihenfolge gezogen wird, die nicht ihrer Nummer entspricht: .
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nummer der Kugel niemals mit der Ordnungszahl der Extraktion übereinstimmt:

Das heisst:
3)
Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C ermitteln – es gibt keinen einzigen Zufall zwischen der Nummer der Kugel und der Reihenfolge der Extraktion.
Ereignisse C und fallen zusammen, d.h.
4) Finden wir die Werte begrenzende Wahrscheinlichkeiten bei .

THEMA 1 . Klassische Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit.

Grundlegende Definitionen und Formeln:

Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersehbar ist, wird aufgerufen Zufallsexperiment(SE).

Ein Ereignis, das in einer bestimmten SE auftreten kann oder nicht, wird aufgerufen Zufälliges Ereignis.

Elementare Ergebnisse Veranstaltungen, die den Anforderungen entsprechen, heißen:

1. Bei jeder Implementierung von SE tritt ein und nur ein elementares Ergebnis auf;

2. Jedes Ereignis ist eine bestimmte Kombination, eine bestimmte Reihe elementarer Ergebnisse.

Die Menge aller möglichen Elementarergebnisse beschreibt die SE vollständig. Eine solche Menge wird üblicherweise aufgerufen Raum elementarer Ergebnisse(PEI). Die Wahl des PEI zur Beschreibung einer bestimmten SE ist nicht eindeutig und hängt vom zu lösenden Problem ab.

P(A) = n(A)/n,

wo n – Gesamtzahl gleich mögliche Ergebnisse,

n (A) – die Anzahl der Ergebnisse, die Ereignis A ausmachen, wie man auch sagt, die für Ereignis A günstig sind.

Die Wörter „zufällig“, „zufällig“, „ nach dem Zufallsprinzip„Gewährleisten Sie genau die gleiche Möglichkeit elementarer Ergebnisse.

Typische Beispiele lösen

Beispiel 1. Aus einer Urne mit 5 roten, 3 schwarzen und 2 weißen Kugeln werden zufällig 3 Kugeln gezogen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen:

A– „Alle gezogenen Kugeln sind rot“;

IN– „Alle gezogenen Kugeln haben die gleiche Farbe“;

MIT– „Unter den Entnommenen sind genau 2 Schwarze.“

Lösung:

Das elementare Ergebnis dieser SE ist ein Tripel (ungeordnet!) von Bällen. Daher ist die Gesamtzahl der Ergebnisse die Anzahl der Kombinationen: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Ereignis A besteht nur aus den Drillingen, die aus fünf roten Kugeln gezogen wurden, also n(A)==10.

Ereignis IN Günstig sind neben 10 roten Dreiern auch schwarze Dreier, deren Anzahl = 1 ist. Daher gilt: n (B)=10+1=11.

Ereignis MIT Bevorzugt werden jene Dreierbälle, die zwei schwarze und einen nicht schwarzen enthalten. Jede Methode zur Auswahl von zwei schwarzen Kugeln kann mit der Auswahl einer nicht schwarzen Kugel (von sieben) kombiniert werden. Daher: n (C) = = 3 * 7 = 21.

Also: P(A) = 10/120; P(B) = 11/120; R(S) = 21/120.

Beispiel 2. Unter den Bedingungen des vorherigen Problems gehen wir davon aus, dass die Kugeln jeder Farbe ihre eigene Nummerierung haben, beginnend mit 1. Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen:

D– „Die maximal extrahierte Zahl ist 4“;

E– „Die maximal extrahierte Anzahl beträgt 3.“

Lösung:

Um n(D) zu berechnen, können wir davon ausgehen, dass die Urne eine Kugel mit der Nummer 4, eine Kugel mit einer höheren Nummer und 8 Kugeln (3k+3h+2b) mit niedrigeren Nummern hat. Ereignis D Bevorzugt werden jene Kugeldreier, die zwangsläufig eine Kugel mit der Nummer 4 und 2 Kugeln mit niedrigeren Nummern enthalten. Daher gilt: n(D) =

P(D) = 28/120.

Zur Berechnung von n(E) berücksichtigen wir: In der Urne befinden sich zwei Kugeln mit der Nummer 3, zwei mit große Zahlen und sechs Bälle mit niedrigeren Zahlen (2k+2h+2b). Ereignis E besteht aus Drillingen zweier Arten:

1. eine Kugel mit der Nummer 3 und zwei mit niedrigeren Nummern;

2.Zwei Bälle mit der Nummer 3 und einer mit einer niedrigeren Nummer.

Daher gilt: n(E)=

P(E) = 36/120.

Beispiel 3. Jedes der M verschiedenen Teilchen wird zufällig in eine von N Zellen geworfen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen:

A– alle Partikel fielen in die zweite Zelle;

IN– alle Partikel fielen in eine Zelle;

MIT– jede Zelle enthält nicht mehr als ein Teilchen (M £ N);

D– alle Zellen sind belegt (M =N +1);

E– die zweite Zelle enthält genau Zu Partikel.

Lösung:

Für jedes Teilchen gibt es N Möglichkeiten, in eine bestimmte Zelle zu gelangen. Nach dem Grundprinzip der Kombinatorik gilt für M Teilchen N *N *N *…*N (M mal). Die Gesamtzahl der Ergebnisse in diesem SE ist also n = N M .

Für jedes Teilchen haben wir eine Möglichkeit, in die zweite Zelle zu gelangen, daher ist n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1 und P(A) = 1/ N M.

In eine Zelle zu gelangen (für alle Teilchen) bedeutet, alle in die erste oder alle in die zweite usw. zu bringen. alle in Nth. Aber jede dieser N Optionen kann auf eine Weise implementiert werden. Daher ist n (B)=1+1+…+1(N -mal)=N und Р(В)=N/N M.

Ereignis C bedeutet, dass jedes Partikel eine Anzahl an Platzierungsoptionen weniger hat als das vorherige Partikel und das erste in jede von N Zellen fallen kann. Deshalb:

n (C) = N *(N -1)*…*(N +M -1) und Р(С) =

Im besonderen Fall mit M =N: Р(С)=

Ereignis D bedeutet, dass eine der Zellen zwei Partikel enthält und jede der (N -1) verbleibenden Zellen ein Partikel enthält. Um n (D) zu finden, gehen wir folgendermaßen vor: Wählen Sie eine Zelle aus, in der sich zwei Teilchen befinden. Dies kann auf =N Arten erfolgen. Dann werden wir zwei Partikel für diese Zelle auswählen. Es gibt Möglichkeiten, dies zu tun. Danach verteilen wir die restlichen (N -1) Partikel einzeln in die restlichen (N -1) Zellen, dafür gibt es (N -1)! Wege.

Also n(D) =

Die Zahl n(E) lässt sich wie folgt berechnen: Zu Partikel für die zweite Zelle können auf verschiedene Weisen verteilt werden; die verbleibenden (M – K) Partikel werden zufällig auf M-K-Arten über die (N -1) Zelle (N -1) verteilt. Deshalb:

Urnenpläne

Es gibt eine Urne (also eine Kiste), die Folgendes enthält N nummerierte Objekte, die wir Kugeln nennen werden. Wir wählen aus dieser Urne k Bälle. Uns interessiert, wie viele Möglichkeiten wir wählen können k Bälle aus N, oder wie viele unterschiedliche Ergebnisse(d. h. Mengen bestehend aus k Bälle) wird es funktionieren.

Es ist unmöglich, eine eindeutige Antwort auf diese Frage zu geben, bis wir eine Entscheidung getroffen haben

– wie die Wahl organisiert ist (z. B. ob die Kugeln in die Urne zurückgegeben werden können) und

- mit dem, was gemeint ist verschieden Auswahlergebnisse.

Betrachten wir Folgendes als möglich Auswahlschemata:

1. Wahl Willkommen zurück: Jeder ausgewählte Ball wird in die Urne zurückgebracht, d. h. jeder k Bälle werden ausgewählt aus volle Urne. Im resultierenden Satz, bestehend aus k Anzahl der Bälle, es können gleiche Zahlen vorkommen ( Sampling mit Wiederholungen).

2. Auswahl ohne Rückgabe: Die ausgewählten Kugeln werden nicht in die Urne zurückgegeben und die gleichen Nummern können nicht in der resultierenden Menge erscheinen ( Probenahme ohne Wiederholung).

In beiden Fällen ist das Ergebnis der Auswahl eine Menge von k Ballzahlen. Man kann davon ausgehen, dass die Bälle immer nacheinander ausgewählt werden, einer nach dem anderen (mit oder ohne Rückgabe).

Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. Auswahl nach Reihenfolge: Zwei Ballnummernsätze gelten als unterschiedlich, wenn sie sich in der Zusammensetzung oder Reihenfolge der Nummern unterscheiden. Wenn man also drei Kugeln aus einer Urne mit 5 Kugeln auswählt, sind die Mengen (1,2,5), (2,5,1) (4,4,5) unterschiedlich, wenn Auswahl je nach Bestellung.

2. Auswahl ohne Rücksicht auf die Reihenfolge: Zwei Ballnummernsätze gelten als unterschiedlich, wenn sie sich in der Zusammensetzung unterscheiden. Mengen, die sich nur in der Reihenfolge ihrer Nummern unterscheiden, gelten als gleich. Im obigen Beispiel sind also die ersten beiden Mengen (1,2,5), (2,5,1) dasselbe Auswahlergebnis und die Menge (4,4,5) ist ein anderes Auswahlergebnis.

Zählen wir nun, wie viele unterschiedliche Ergebnisse für jedes der vier Schemata möglich sind (Wahl mit und ohne Rückgabe und in jedem dieser Fälle, ob wir die Reihenfolge berücksichtigen oder nicht).

Urnengestaltung: Auswahl ohne Rückgabe, unter Berücksichtigung der Bestellung

k Elemente aus N Keine Rückgabe und keine Rücksicht auf die Bestellung bestimmt die Anzahl der Kombinationen von n Elementen mit jeweils k Elementen:

Urnendesign: Auswahl mit Rückgabe und unter Berücksichtigung der Bestellung

Gesamtzahl der Proben im Auswahlschema k Elemente aus N mit Return und unter Berücksichtigung der Reihenfolge wird durch die Anzahl der Permutationen der Elemente bestimmt:

Urnengestaltung: Auswahl mit Rückgabe und ohne Rücksicht auf Bestellung

Betrachten Sie eine Urne mit zwei Kugeln und listen Sie die Ergebnisse der Auswahl von zwei Kugeln aus dieser Urne bei der Auswahl mit Rückgabe auf:

Den Auftrag gegeben	Ohne Rücksicht auf die Reihenfolge
(1, 1) (2, 2) (1, 2) (2, 1)	(1, 1) (2, 2) (1, 2)

Im Schema „ohne Berücksichtigung der Reihenfolge“ wurden drei unterschiedliche Ergebnisse erzielt, im Gegensatz zu vier im Schema „unter Berücksichtigung der Reihenfolge“. Dann gesamt Proben im Auswahlschema k Elemente aus N mit Rückkehr und ohne Rücksicht auf die Reihenfolge wird durch die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen bestimmt

Beachten Sie, dass auch die Anzahl der Stichproben unterschiedlich ist in Ordnung, V k! mal größer als die Anzahl der unterschiedlichen Proben nur nach Zusammensetzung.

2.1. Eine Karte wird aus einem Stapel mit 36 Karten gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dieser Karte um eine Pik-Karte handelt?

Antwort: a) 0,21; b) 0,23; c) 0,25; d) 0,30.

2.2. Das Deck enthält 36 Karten. Eine Karte wird zufällig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Karte ein Ass ist?

Antwort: a) 1/3; b) 1/6; c) 1/9; d) 1/12.

2.3. In einer Urne befinden sich 5 weiße und 10 schwarze Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel aus der Urne zu ziehen?

Antwort: a) 1/3; b) 2/3; in 1; d) 0.

2.4. Aus einer Urne mit 5 weißen, 10 roten und 6 schwarzen Kugeln wird zufällig eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er weiß ist?

Antwort: a) 5/16; b) 21.10.; c) 21.05.; d) 16.10.

2.5. Aus einer Urne mit Kugeln mit der Nummer 1; 5; 6; 7; 9; 12; 13; 15; 18; 20, ein Ball ist verschwunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl der fehlenden Kugel durch 4 teilbar ist?

Antwort: a) 0,2; b) 0,5; c) 0,8; d) 1.

2.6. Aus einem Buch mit 120 Seiten las der Schüler eine Seite vor, deren Zahl durch 4 teilbar ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig benannte Zahl die Zahl der gelesenen Seite ist?

Antwort: a) 1/10; b) 1/20; c) 1/30; d) 1/120.

2.7. Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Oberseiten Wird es insgesamt 8 Punkte geben?

Antwort: a) 2/3; b) 5/36; c) 1/6; d) 1/8.

2.8. Der Student nahm zwei Bücher aus der Bibliothek, jeweils 320 und 380 Seiten. Er las aus jedem Buch eine Seite vor. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gelesenen Seitenzahlen gleich sind?

Antwort: a) 1/60; b) 1/700; c) 1/320; d) 1/380.

2.9. Der Beutel enthält 10 identische Würfel mit Zahlen von 1 bis 10. Drei Würfel werden nach dem Zufallsprinzip entnommen und zurückgelegt (der entnommene Würfel kommt zurück in den Beutel). Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Würfel mit den Nummern 1, 2, 3 nacheinander erscheinen.

Antwort: a) 0,001; b) 0,01; c) 0,1; d) 0,3.

2.10. Zufällig geworfen Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens 5 Punkte erhalten?

Antwort: a) 1/2; b) 1/3; c) 1/4; d) 1/6.

2.11. Aus einer Urne mit 1 roten und 3 blauen Kugeln werden gleichzeitig 2 Kugeln gezogen. Was kann man zu den Ereignissen A – 2 blaue Kugeln werden gezogen und B – 1 blauer Ball und 1 roter Ball werden gezogen?

2.12. Sie werfen zwei Würfel. Was lässt sich über die Ereignisse A – eine Kombination aus fünf und sechs Punkten, die auf den oberen Seiten erscheinen, und B – eine Kombination aus fünf und sechs Punkten, die auf den oberen Seiten erscheinen – sagen?

Antwort: a) Ereignis A ist wahrscheinlicher; b) Ereignis B ist wahrscheinlicher; c) Ereignisse A und B sind gleich wahrscheinlich.

2.13. Aus einer Urne mit 2 roten und 3 blauen Kugeln werden gleichzeitig 3 Kugeln gezogen. Was kann man zu den Ereignissen A – 1 rote und 2 blaue Kugeln werden gezogen und B – 1 blaue und 2 rote Kugeln werden gezogen?

Antwort: a) Ereignis A ist wahrscheinlicher; b) Ereignis B ist wahrscheinlicher; c) Ereignisse A und B sind gleich wahrscheinlich.

2.14. Der Würfel wird geworfen. Was lässt sich über die Ereignisse A sagen – eine „1“ wird mindestens einmal gewürfelt und B – eine „1“ wird überhaupt nicht gewürfelt?

Antwort: a) Ereignis A ist wahrscheinlicher; b) Ereignis B ist wahrscheinlicher; c) Ereignisse A und B sind gleich wahrscheinlich.

2.15. 2 schwarze und 2 weiße Kugeln werden zufällig auf 2 Urnen verteilt. Folgende experimentelle Ergebnisse sind möglich:

– jede Urne enthält 1 weiße und 1 schwarze Kugel;

– in einer Urne sind 2 weiße Kugeln, in der zweiten Urne sind 2 schwarze Kugeln;

– In einer Urne befindet sich 1 weiße Kugel, in der zweiten Urne 1 weiße und 2 schwarze Kugeln;

– In einer Urne befindet sich 1 schwarze Kugel, in der zweiten Urne 1 schwarze und 2 weiße Kugeln.

Ereignis A besteht darin, dass eine weiße Kugel aus der Urne gezogen wird.

1) Unter welchem Ergebnis ist Ereignis A wahrscheinlicher?

Antwort: a) ; B) ; V) ; G) .

2) Welche Ergebnisse ergeben die gleiche Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von Ereignis A?

Antwort: a) und ; b) und ; in und ; d) und .

3) Unter welchen Ergebnissen ist Ereignis A weniger wahrscheinlich?

Antwort: a) ; b) und ; in und ; G) .

2.16. Ein Würfel, dessen Kanten alle bemalt sind, wurde in 27 Würfel zerschnitten gleiche Größe und gründlich vermischt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogener Würfel n farbige Flächen hat.

Antwort: a) 27.04.; b) 1/27; c) 1/9; d) 0.

Antwort: a) 1/27; b) 27.02.; c) 1/9; d) 2/9.

Antwort: a) 1/27; b) 4/9; c) 1/9; d) 27.04.

Antwort: a) 27.02.; b) 27.04.; c) 27.08.; d) 16/27.

Typ