Wirf 2 Würfel, um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln. Würfelwahrscheinlichkeit. Zwei Würfel, Wahrscheinlichkeit

Gleichungen und Ungleichungen mit Modul lösen bereitet oft Schwierigkeiten. Wenn Sie jedoch gut verstehen, was es ist der absolute Wert einer Zahl, Und wie man Ausdrücke, die ein Modulzeichen enthalten, korrekt erweitert, dann die Präsenz in der Gleichung Ausdruck unter dem Modulzeichen, stellt kein Hindernis mehr für seine Lösung dar.

Eine kleine Theorie. Jede Zahl hat zwei Eigenschaften: Absolutwert Zahl und ihr Vorzeichen.

Beispielsweise hat die Zahl +5, oder einfach 5, ein „+“-Zeichen und einen absoluten Wert von 5.

Die Zahl -5 hat ein „-“-Zeichen und einen absoluten Wert von 5.

Die absoluten Werte der Zahlen 5 und -5 sind 5.

Der Absolutwert einer Zahl x wird Modul der Zahl genannt und mit |x| bezeichnet.

Wie wir sehen, ist der Modul einer Zahl gleich der Zahl selbst, wenn diese Zahl größer oder gleich Null ist und diese Zahl mit entgegengesetztem Vorzeichen, wenn diese Zahl negativ ist.

Das Gleiche gilt für alle Ausdrücke, die unter dem Modulzeichen stehen.

Die Modulerweiterungsregel sieht folgendermaßen aus:

|f(x)|= f(x) wenn f(x) ≥ 0, und

|f(x)|= - f(x), wenn f(x)< 0

Zum Beispiel |x-3|=x-3, wenn x-3≥0 und |x-3|=-(x-3)=3-x, wenn x-3<0.

Um eine Gleichung zu lösen, die einen Ausdruck unter dem Modulzeichen enthält, müssen Sie zuerst Erweitern Sie ein Modul gemäß der Modulerweiterungsregel.

Dann wird unsere Gleichung oder Ungleichung in zwei verschiedene Gleichungen, die auf zwei verschiedenen numerischen Intervallen existieren.

Eine Gleichung existiert in einem numerischen Intervall, in dem der Ausdruck unter dem Modulzeichen nicht negativ ist.

Und die zweite Gleichung existiert in dem Intervall, in dem der Ausdruck unter dem Modulzeichen negativ ist.

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an.

Lösen wir die Gleichung:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Öffnen wir das Modul.

|x-3|=x-3, wenn x-3≥0, d.h. wenn x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x wenn x-3<0, т.е. если х<3

2. Wir haben zwei numerische Intervalle erhalten: x≥3 und x<3.

Betrachten wir, in welche Gleichungen die ursprüngliche Gleichung in jedem Intervall umgewandelt wird:

A) Für x≥3 |x-3|=x-3 und unsere Verwundung hat die Form:

Aufmerksamkeit! Diese Gleichung existiert nur auf dem Intervall x≥3!

Öffnen wir die Klammern und präsentieren wir ähnliche Begriffe:

und löse diese Gleichung.

Diese Gleichung hat Wurzeln:

x 1 =0, x 2 =3

Aufmerksamkeit! Da die Gleichung x-3=-x 2 +4x-3 nur auf dem Intervall x≥3 existiert, interessieren uns nur die Wurzeln, die zu diesem Intervall gehören. Diese Bedingung wird nur von x 2 =3 erfüllt.

B) Bei x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Aufmerksamkeit! Diese Gleichung existiert nur auf dem Intervall x<3!

Öffnen wir die Klammern und präsentieren wir ähnliche Begriffe. Wir erhalten die Gleichung:

x 1 =2, x 2 =3

Aufmerksamkeit! da die Gleichung 3-x=-x 2 +4x-3 nur auf dem Intervall x existiert<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Also: Aus dem ersten Intervall nehmen wir nur die Wurzel x=3, aus dem zweiten - die Wurzel x=2.

Quadratische Gleichungen.

Quadratische Gleichung- algebraische Gleichung Gesamtansicht

wobei x eine freie Variable ist,

a, b, c sind Koeffizienten und

Ausdruck wird als quadratisches Trinom bezeichnet.

Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen.

1. METHODE : Faktorisierung der linken Seite der Gleichung.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 + 10x - 24 = 0. Lassen Sie uns die linke Seite faktorisieren:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Daher kann die Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

(x + 12)(x - 2) = 0

Da das Produkt Null ist, ist mindestens einer seiner Faktoren Null. Daher wird die linke Seite der Gleichung bei null x = 2, und auch wann x = - 12. Dies bedeutet, dass die Zahl 2 Und - 12 sind die Wurzeln der Gleichung x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METHODE : Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 + 6x - 7 = 0. Wählen Sie auf der linken Seite ein vollständiges Quadrat aus.

Dazu schreiben wir den Ausdruck x 2 + 6x in folgender Form:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Im resultierenden Ausdruck ist der erste Term das Quadrat der Zahl x und der zweite das Doppelprodukt von x mit 3. Um ein vollständiges Quadrat zu erhalten, müssen Sie daher 3 2 addieren, da

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Lassen Sie uns nun die linke Seite der Gleichung transformieren

x 2 + 6x - 7 = 0,

addieren und subtrahieren 3 2. Wir haben:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Somit kann diese Gleichung wie folgt geschrieben werden:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Somit, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 oder x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METHODE :Quadratische Gleichungen mit der Formel lösen.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung multiplizieren

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

auf 4a und nacheinander haben wir:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Beispiele.

A) Lösen wir die Gleichung: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, zwei verschiedene Wurzeln;

Im Falle einer positiven Diskriminante, d.h. bei

b 2 - 4ac >0, Die gleichung Axt 2 + bx + c = 0 hat zwei verschiedene Wurzeln.

B) Lösen wir die Gleichung: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, eine Wurzel;

Wenn also die Diskriminante Null ist, d. h. b 2 - 4ac = 0, dann die Gleichung

Axt 2 + bx + c = 0 hat eine einzelne Wurzel

V) Lösen wir die Gleichung: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Diese Gleichung hat keine Wurzeln.

Wenn also die Diskriminante negativ ist, d. h. b 2 - 4ac< 0 , Die gleichung

Axt 2 + bx + c = 0 hat keine Wurzeln.

Formel (1) Wurzeln quadratische Gleichung Axt 2 + bx + c = 0 ermöglicht es Ihnen, Wurzeln zu finden beliebig quadratische Gleichung (falls vorhanden), einschließlich reduzierter und unvollständiger. Formel (1) wird verbal wie folgt ausgedrückt: die Wurzeln einer quadratischen Gleichung sind gleich einem Bruch, dessen Zähler gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen plus minus der Quadratwurzel des Quadrats dieses Koeffizienten ist, ohne das Produkt des ersten Koeffizienten mit dem freien Term zu vervierfachen, und Der Nenner ist das Doppelte des ersten Koeffizienten.

4. METHODE: Gleichungen mit dem Satz von Vieta lösen.

Bekanntlich hat die reduzierte quadratische Gleichung die Form

x 2 + px + c = 0.(1)

Seine Wurzeln erfüllen den Satz von Vieta, der, wann a =1 sieht aus wie

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Daraus können wir folgende Schlussfolgerungen ziehen (aus den Koeffizienten p und q können wir die Vorzeichen der Wurzeln vorhersagen).

a) Wenn das Halbmitglied Q gegebene Gleichung (1) ist positiv ( q > 0), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln mit gleichem Vorzeichen und dies hängt vom zweiten Koeffizienten ab P. Wenn R< 0 , dann sind beide Wurzeln negativ, wenn R< 0 , dann sind beide Wurzeln positiv.

Zum Beispiel,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 Und x 2 = 1, als q = 2 > 0 Und p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 Und x 2 = - 1, als q = 7 > 0 Und p= 8 > 0.

b) Wenn Sie ein kostenloses Mitglied sind Q gegebene Gleichung (1) ist negativ ( Q< 0 ), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln mit unterschiedlichem Vorzeichen und die größere Wurzel ist positiv, wenn P< 0 , oder negativ wenn p > 0 .

Zum Beispiel,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 Und x 2 = 1, als q= - 5< 0 Und p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 Und x 2 = - 1, als q = - 9< 0 Und p = - 8< 0.

Beispiele.

1) Lassen Sie uns die Gleichung lösen 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Lösung. Als a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Das

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Antwort 1; -208/345.

2) Lösen Sie die Gleichung 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Lösung. Als a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Das

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Antwort 1; 115/132.

B. Wenn der zweite Koeffizient b = 2k– gerade Zahl, dann die Wurzelformel

Beispiel.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen 3x2 - 14x + 16 = 0.

Lösung. Wir haben: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, zwei verschiedene Wurzeln;

Antwort: 2; 8/3

IN. Reduzierte Gleichung

x 2 + px + q= 0

stimmt mit einer allgemeinen Gleichung überein, in der a = 1, b = p Und c = q. Daher lautet die Wurzelformel für die reduzierte quadratische Gleichung

Nimmt die Form an:

Formel (3) ist besonders praktisch, wenn R- gerade Zahl.

Beispiel. Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 – 14x – 15 = 0.

Lösung. Wir haben: x 1,2 =7±

Antwort: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. METHODE: Gleichungen grafisch lösen.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung x2 - 2x - 3 = 0.

Zeichnen wir die Funktion y = x2 - 2x - 3

1) Wir haben: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Das bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Parabel der Punkt (1; -4) und die Achse der Parabel die Gerade x = 1 ist.

2) Nehmen Sie zwei Punkte auf der x-Achse, die symmetrisch zur Achse der Parabel sind, zum Beispiel die Punkte x = -1 und x = 3.

Wir haben f(-1) = f(3) = 0. Bauen wir weiter auf Koordinatenebene Punkte (-1; 0) und (3; 0).

3) Durch die Punkte (-1; 0), (1; -4), (3; 0) zeichnen wir eine Parabel (Abb. 68).

Die Wurzeln der Gleichung x2 - 2x - 3 = 0 sind die Abszissen der Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse; Das bedeutet, dass die Wurzeln der Gleichung sind: x1 = - 1, x2 - 3.