Finden Sie die Basiserweiterungsoption. Vektorkonzept. Lineare Operationen an Vektoren. Die einfachsten analytischen Darstellungen einer beliebigen elliptischen Funktion

Rn,
(MATHEMATIK IN DER WIRTSCHAFT)

Vektorzerlegung

Vektorzerlegung A in Komponenten - Vektorersetzungsoperation A mehrere andere Vektoren ab a2, a3 usw., die zusammen den Anfangsvektor bilden A; in diesem Fall werden die Vektoren db a2, a3 usw. als Komponenten des Vektors bezeichnet A. Mit anderen Worten, die Zersetzung jeglicher...
(PHYSIK)

Basis und Rang des Vektorsystems

Betrachten Sie das Vektorsystem (1.18) Maximal unabhängiges Subsystem des Vektorsystems(1.I8) ist eine Teilmenge von Vektoren dieses Systems, die zwei Bedingungen erfüllt: 1) die Vektoren dieser Menge sind linear unabhängig; 2) Jeder Vektor des Systems (1.18) wird linear durch die Vektoren dieser Menge ausgedrückt....
(MATHEMATIK IN DER WIRTSCHAFT)

Darstellung eines Vektors in verschiedenen Koordinatensystemen.

Betrachten wir zwei orthogonale geradlinige Koordinatensysteme mit Mengen von Einheitsvektoren (i, j, k) und (i j", k") und stellen wir darin den Vektor a dar. Nehmen wir konventionell an, dass die Einheitsvektoren mit Primzahlen dem neuen Koordinatensystem entsprechen und diejenigen ohne Primzahlen dem alten. Stellen wir uns den Vektor in Form einer Erweiterung entlang der Achsen des alten und des neuen Systems vor ...

Zerlegung eines Vektors in orthogonaler Basis

Betrachten Sie die Grundlage des Raums Rn, wobei jeder Vektor orthogonal zu den anderen Basisvektoren ist: Orthogonale Basen sind bekannt und in der Ebene und im Raum gut darstellbar (Abb. 1.6). Basen dieser Art sind vor allem deshalb praktisch, weil die Koordinaten der Entwicklung eines beliebigen Vektors bestimmt werden...
(MATHEMATIK IN DER WIRTSCHAFT)

Vektoren und ihre Darstellungen in Koordinatensystemen

Der Begriff eines Vektors ist mit bestimmten physikalischen Größen verbunden, die durch ihre Intensität (Größe) und Richtung im Raum gekennzeichnet sind. Solche Größen sind beispielsweise die auf einen materiellen Körper wirkende Kraft, die Geschwindigkeit eines bestimmten Punktes dieses Körpers, die Beschleunigung eines materiellen Teilchens...
(Kontinuumsmechanik: Spannungstheorie und Grundmodelle)

Die einfachsten analytischen Darstellungen einer beliebigen elliptischen Funktion

Darstellung einer elliptischen Funktion als Summe der einfachsten Elemente. Lassen / (z) ist eine elliptische Funktion der Ordnung s mit einfachen Polen jjt, $s, liegen in einem Periodenparallelogramm. Bezeichnen durch Bk Wenn wir die Funktion vom Pol subtrahieren, erhalten wir 2 ?l = 0 (§ 1, Absatz 3, Satz...
(EINFÜHRUNG IN DIE THEORIE DER FUNKTIONEN EINER KOMPLEXEN VARIABLEN)

Die Basis des Raumes Sie nennen ein solches Vektorsystem, in dem alle anderen Vektoren im Raum als lineare Kombination von in der Basis enthaltenen Vektoren dargestellt werden können.
In der Praxis lässt sich das alles ganz einfach umsetzen. Die Basis wird in der Regel in einer Ebene oder im Raum überprüft, und dazu müssen Sie die Determinante einer aus Vektorkoordinaten zusammengesetzten Matrix zweiter und dritter Ordnung finden. Unten sind schematisch geschrieben Bedingungen, unter denen Vektoren eine Basis bilden

Zu Erweitern Sie den Vektor b in Basisvektoren
e,e...,e[n] Es ist notwendig, die Koeffizienten x, ..., x[n] zu finden, für die die Linearkombination der Vektoren e,e...,e[n] gleich ist Vektor B:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Dazu sollte die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umgewandelt und Lösungen gefunden werden. Auch dies ist recht einfach umzusetzen.
Die gefundenen Koeffizienten x, ..., x[n] werden aufgerufen Koordinaten des Vektors b in der Basis e,e...,e[n].
Kommen wir zur praktischen Seite des Themas.

Zerlegung eines Vektors in Basisvektoren

Aufgabe 1. Prüfen Sie, ob die Vektoren a1, a2 eine Basis in der Ebene bilden

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Lösung: Wir bilden aus den Koordinaten der Vektoren eine Determinante und berechnen diese

Determinante ist nicht Null, somit Die Vektoren sind linear unabhängig, bilden also eine Basis.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Lösung: Wir berechnen die aus Vektoren bestehende Determinante

Die Determinante ist gleich 13 (ungleich Null) – daraus folgt, dass die Vektoren a1, a2 eine Basis in der Ebene sind.

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Schauen wir uns typische Beispiele aus dem MAUP-Programm in der Disziplin „Höhere Mathematik“ an.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass die Vektoren a1, a2, a3 die Basis eines dreidimensionalen Vektorraums bilden, und entwickeln Sie den Vektor b entsprechend dieser Basis (verwenden Sie die Cramer-Methode, wenn Sie ein System linearer algebraischer Gleichungen lösen).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Lösung: Betrachten Sie zunächst das Vektorsystem a1, a2, a3 und überprüfen Sie die Determinante der Matrix A

auf Vektoren ungleich Null aufgebaut. Die Matrix enthält ein Nullelement, daher ist es sinnvoller, die Determinante als Diagramm in der ersten Spalte oder dritten Zeile zu berechnen.

Als Ergebnis der Berechnungen haben wir festgestellt, dass die Determinante daher von Null verschieden ist Die Vektoren a1, a2, a3 sind linear unabhängig.
Per Definition bilden Vektoren eine Basis im R3. Schreiben wir den Zeitplan von Vektor b basierend auf auf

Vektoren sind gleich, wenn ihre entsprechenden Koordinaten gleich sind.
Daher erhalten wir aus der Vektorgleichung ein System linearer Gleichungen

Lassen Sie uns SLAE lösen Cramers Methode. Dazu schreiben wir das Gleichungssystem in die Form

Die Hauptdeterminante eines SLAE ist immer gleich der aus Basisvektoren zusammengesetzten Determinante

Daher kommt es in der Praxis nicht zu einer Doppelzählung. Um Hilfsdeterminanten zu finden, fügen wir anstelle jeder Spalte der Hauptdeterminante eine Spalte mit freien Termen ein. Determinanten werden nach der Dreiecksregel berechnet



Ersetzen wir die gefundenen Determinanten in Cramers Formel



Die Entwicklung des Vektors b in Bezug auf die Basis hat also die Form b=-4a1+3a2-a3. Die Koordinaten des Vektors b in der Basis a1, a2, a3 sind (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Lösung: Wir prüfen die Vektoren auf eine Basis – wir bilden aus den Koordinaten der Vektoren eine Determinante und berechnen diese

Die Determinante ist also ungleich Null Vektoren bilden eine Basis im Raum. Es bleibt weiterhin, den Zeitplan des Vektors b anhand dieser Basis zu finden. Dazu schreiben wir die Vektorgleichung

und in ein System linearer Gleichungen umwandeln

Wir schreiben die Matrixgleichung

Als nächstes finden wir für Cramers Formeln Hilfsdeterminanten



Wir wenden Cramers Formeln an



Ein gegebener Vektor b hat also einen Zeitplan durch zwei Basisvektoren b=-2a1+5a3, und seine Koordinaten in der Basis sind gleich b(-2,0, 5).

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren.
Basis von Vektoren. Affines Koordinatensystem

Im Auditorium gibt es einen Wagen mit Pralinen, und heute bekommt jeder Besucher ein süßes Paar – analytische Geometrie mit linearer Algebra. In diesem Artikel werden zwei Abschnitte der höheren Mathematik gleichzeitig behandelt, und wir werden sehen, wie sie in einem Umschlag nebeneinander existieren. Machen Sie eine Pause, essen Sie ein Twix! ...verdammt, was für ein Unsinn. Obwohl, okay, ich werde nicht punkten, am Ende sollte man eine positive Einstellung zum Lernen haben.

Lineare Abhängigkeit von Vektoren, lineare Vektorunabhängigkeit, Basis von Vektoren und andere Begriffe haben nicht nur eine geometrische Interpretation, sondern vor allem eine algebraische Bedeutung. Der Begriff „Vektor“ selbst ist aus Sicht der linearen Algebra nicht immer der „gewöhnliche“ Vektor, den wir auf einer Ebene oder im Raum darstellen können. Sie müssen nicht lange nach Beweisen suchen, sondern versuchen, einen Vektor eines fünfdimensionalen Raums zu zeichnen . Oder der Wettervektor, für den ich gerade zu Gismeteo gegangen bin: Temperatur bzw. Luftdruck. Das Beispiel ist aus Sicht der Eigenschaften des Vektorraums natürlich falsch, aber dennoch verbietet niemand die Formalisierung dieser Parameter als Vektor. Hauch des Herbstes...

Nein, ich werde Sie nicht mit der Theorie langweilen, lineare Vektorräume, die Aufgabe besteht darin verstehen Definitionen und Theoreme. Die neuen Begriffe (lineare Abhängigkeit, Unabhängigkeit, lineare Kombination, Basis usw.) gelten aus algebraischer Sicht für alle Vektoren, es werden jedoch geometrische Beispiele gegeben. Somit ist alles einfach, zugänglich und klar. Neben Problemen der analytischen Geometrie werden wir auch einige typische Algebraprobleme betrachten. Um den Stoff zu beherrschen, empfiehlt es sich, sich mit den Lektionen vertraut zu machen Vektoren für Dummies Und Wie berechnet man die Determinante?

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit ebener Vektoren.
Ebenenbasis und affines Koordinatensystem

Betrachten wir die Ebene Ihres Computertisches (nur ein Tisch, ein Nachttisch, ein Boden, eine Decke, was auch immer Sie möchten). Die Aufgabe besteht aus folgenden Aktionen:

1) Ebenenbasis auswählen. Grob gesagt hat eine Tischplatte eine Länge und eine Breite, daher ist es intuitiv, dass zwei Vektoren erforderlich sind, um die Basis zu konstruieren. Ein Vektor ist eindeutig nicht genug, drei Vektoren sind zu viel.

2) Basierend auf der ausgewählten Basis Koordinatensystem festlegen(Koordinatengitter), um allen Objekten auf dem Tisch Koordinaten zuzuweisen.

Seien Sie nicht überrascht, die Erklärungen werden zunächst auf der Hand liegen. Darüber hinaus bei Ihnen. Bitte platzieren linker Zeigefinger auf die Kante der Tischplatte legen, sodass er auf den Monitor schauen kann. Dies wird ein Vektor sein. Jetzt platzieren rechter kleiner Finger auf die gleiche Weise an der Tischkante anbringen – so dass es auf den Bildschirm gerichtet ist. Dies wird ein Vektor sein. Lächle, du siehst toll aus! Was können wir über Vektoren sagen? Datenvektoren kollinear, was bedeutet linear sich gegenseitig zum Ausdruck bringen:
, nun ja, oder umgekehrt: , wobei eine von Null verschiedene Zahl ist.

Ein Bild dieser Aktion können Sie im Unterricht sehen. Vektoren für Dummies, wo ich die Regel zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl erklärt habe.

Werden Ihre Finger die Basis auf der Ebene des Computertisches festlegen? Offensichtlich nicht. Kollineare Vektoren bewegen sich hin und her allein Richtung, und eine Ebene hat Länge und Breite.

Solche Vektoren heißen linear abhängig.

Referenz: Die Wörter „linear“, „linear“ bezeichnen die Tatsache, dass es in mathematischen Gleichungen und Ausdrücken keine Quadrate, Kubikzahlen, andere Potenzen, Logarithmen, Sinus usw. gibt. Es gibt nur lineare (1. Grad) Ausdrücke und Abhängigkeiten.

Zwei ebene Vektoren linear abhängig genau dann, wenn sie kollinear sind.

Kreuzen Sie Ihre Finger auf dem Tisch, sodass zwischen ihnen ein Winkel entsteht, der nicht 0 oder 180 Grad beträgt. Zwei ebene Vektorenlinear Nicht abhängig genau dann, wenn sie nicht kollinear sind. Damit ist die Basis erhalten. Es besteht kein Grund, sich zu schämen, dass sich herausstellte, dass die Basis mit nicht senkrechten Vektoren unterschiedlicher Länge „schief“ war. Sehr bald werden wir sehen, dass für seine Konstruktion nicht nur ein Winkel von 90 Grad geeignet ist und nicht nur Einheitsvektoren gleicher Länge

Beliebig Ebenenvektor der einzige Weg wird entsprechend der Basis erweitert:
, wo sind reelle Zahlen. Die Nummern werden aufgerufen Vektorkoordinaten auf dieser Grundlage.

Das wird auch gesagt Vektordargestellt als lineare Kombination Basisvektoren. Das heißt, der Ausdruck heißt Vektorzerlegungnach Basis oder lineare Kombination Basisvektoren.

Wir können beispielsweise sagen, dass der Vektor entlang einer Orthonormalbasis der Ebene zerlegt wird, oder wir können sagen, dass er als lineare Kombination von Vektoren dargestellt wird.

Lassen Sie uns formulieren Definition der Basis formal: Die Basis des Flugzeugs heißt ein Paar linear unabhängiger (nicht kollinearer) Vektoren, , dabei beliebig Ein Ebenenvektor ist eine lineare Kombination von Basisvektoren.

Ein wesentlicher Punkt der Definition ist die Tatsache, dass die Vektoren genommen werden in einer bestimmten Reihenfolge. Basen – das sind zwei völlig unterschiedliche Grundlagen! Wie man so schön sagt, kann man nicht den kleinen Finger der linken Hand durch den kleinen Finger der rechten Hand ersetzen.

Wir haben die Grundlage herausgefunden, aber es reicht nicht aus, ein Koordinatengitter festzulegen und jedem Gegenstand auf Ihrem Computertisch Koordinaten zuzuweisen. Warum reicht es nicht? Die Vektoren sind frei und wandern durch die gesamte Ebene. Wie ordnet man also den kleinen schmutzigen Stellen auf dem Tisch, die von einem wilden Wochenende übrig geblieben sind, Koordinaten zu? Es braucht einen Ausgangspunkt. Und ein solcher Orientierungspunkt ist ein jedem bekannter Punkt – der Ursprung der Koordinaten. Lassen Sie uns das Koordinatensystem verstehen:

Ich beginne mit dem „Schul“-System. Schon in der Einführungslektion Vektoren für Dummies Ich habe einige Unterschiede zwischen dem rechtwinkligen Koordinatensystem und der Orthonormalbasis hervorgehoben. Hier ist das Standardbild:

Wenn sie darüber reden rechteckiges Koordinatensystem, dann bedeuten sie meistens den Ursprung, die Koordinatenachsen und den Maßstab entlang der Achsen. Versuchen Sie, „rechteckiges Koordinatensystem“ in eine Suchmaschine einzugeben, und Sie werden sehen, dass viele Quellen Ihnen Informationen zu Koordinatenachsen geben, die Sie aus der 5. bis 6. Klasse kennen, und wie Sie Punkte auf einer Ebene zeichnen.

Andererseits scheint es, dass ein rechtwinkliges Koordinatensystem vollständig auf der Grundlage einer Orthonormalbasis definiert werden kann. Und das ist fast wahr. Der Wortlaut lautet wie folgt:

Herkunft, Und orthonormal Die Basis ist gelegt Kartesisches rechtwinkliges Ebenenkoordinatensystem . Das heißt, das rechteckige Koordinatensystem definitiv wird durch einen einzelnen Punkt und zwei orthogonale Einheitsvektoren definiert. Deshalb sehen Sie die Zeichnung, die ich oben gegeben habe – bei geometrischen Problemen werden oft (aber nicht immer) sowohl Vektoren als auch Koordinatenachsen gezeichnet.

Ich denke, jeder versteht, dass man einen Punkt (Ursprung) und eine Orthonormalbasis verwendet JEDER PUNKT im Flugzeug und JEDER VEKTOR im Flugzeug Koordinaten können zugewiesen werden. Bildlich gesprochen: „Alles im Flugzeug kann nummeriert werden.“

Müssen Koordinatenvektoren Einheiten sein? Nein, sie können eine beliebige Länge ungleich Null haben. Betrachten Sie einen Punkt und zwei orthogonale Vektoren beliebiger Länge ungleich Null:

Eine solche Basis heißt senkrecht. Der Ursprung von Koordinaten mit Vektoren wird durch ein Koordinatengitter definiert, und jeder Punkt auf der Ebene, jeder Vektor hat seine Koordinaten auf einer gegebenen Basis. Zum Beispiel, oder. Der offensichtliche Nachteil besteht darin, dass die Koordinatenvektoren Im Algemeinen haben unterschiedliche Längen außer Eins. Wenn die Längen gleich eins sind, erhält man die übliche Orthonormalbasis.

! Notiz : In der orthogonalen Basis sowie weiter unten in den affinen Basen von Ebene und Raum werden Einheiten entlang der Achsen berücksichtigt BEDINGT. Beispielsweise enthält eine Einheit entlang der x-Achse 4 cm und eine Einheit entlang der Ordinatenachse 2 cm. Diese Informationen reichen aus, um bei Bedarf „nicht standardmäßige“ Koordinaten in „unsere üblichen Zentimeter“ umzurechnen.

Und die zweite Frage, die eigentlich schon beantwortet wurde, ist, ob der Winkel zwischen den Basisvektoren gleich 90 Grad sein muss? Nein! Wie die Definition besagt, müssen die Basisvektoren sein nur nichtkollinear. Dementsprechend kann der Winkel alles außer 0 und 180 Grad betragen.

Ein Punkt auf der Ebene namens Herkunft, Und nichtkollinear Vektoren, , Satz affines Ebenenkoordinatensystem :

Manchmal wird ein solches Koordinatensystem aufgerufen schräg System. Die Zeichnung zeigt beispielhaft Punkte und Vektoren:

Wie Sie verstehen, ist das affine Koordinatensystem noch weniger praktisch; die Formeln für die Längen von Vektoren und Segmenten, die wir im zweiten Teil der Lektion besprochen haben, funktionieren darin nicht Vektoren für Dummies, viele köstliche Formeln im Zusammenhang mit Skalarprodukt von Vektoren. Aber die Regeln zum Addieren von Vektoren und zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl, Formeln zum Teilen eines Segments in dieser Beziehung sowie einige andere Arten von Problemen, die wir bald betrachten werden, sind gültig.

Und die Schlussfolgerung ist, dass der bequemste Sonderfall eines affinen Koordinatensystems das kartesische Rechtecksystem ist. Deshalb musst du sie am häufigsten sehen, meine Liebe. ...Allerdings ist alles in diesem Leben relativ - es gibt viele Situationen, in denen ein schiefer Winkel (oder ein anderer zum Beispiel) Polar-) Koordinatensystem. Und Humanoiden könnten solche Systeme gefallen =)

Kommen wir zum praktischen Teil. Alle Aufgaben dieser Lektion gelten sowohl für das rechtwinklige Koordinatensystem als auch für den allgemeinen affinen Fall. Hier gibt es nichts Kompliziertes, alle Materialien sind auch für ein Schulkind zugänglich.

Wie bestimmt man die Kollinearität von Ebenenvektoren?

Typische Sache. Damit gibt es zwei ebene Vektoren kollinear wären, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre entsprechenden Koordinaten proportional sind Im Wesentlichen handelt es sich dabei um eine Koordinaten-für-Koordinaten-Detaillierung der offensichtlichen Beziehung.

Beispiel 1

a) Überprüfen Sie, ob die Vektoren kollinear sind .
b) Bilden die Vektoren eine Basis? ?

Lösung:
a) Finden wir heraus, ob es Vektoren gibt Proportionalitätskoeffizient, so dass die Gleichheiten erfüllt sind:

Ich werde Ihnen auf jeden Fall von der „foppigen“ Variante der Anwendung dieser Regel erzählen, die in der Praxis recht gut funktioniert. Die Idee besteht darin, sofort das Verhältnis zu ermitteln und zu prüfen, ob es korrekt ist:

Machen wir einen Anteil aus den Verhältnissen der entsprechenden Koordinaten der Vektoren:

Kürzen wir:
, also sind die entsprechenden Koordinaten proportional, also

Die Beziehung könnte auch umgekehrt erfolgen; dies ist eine äquivalente Option:

Zum Selbsttest können Sie die Tatsache nutzen, dass kollineare Vektoren linear durcheinander ausgedrückt werden. In diesem Fall finden die Gleichheiten statt . Ihre Gültigkeit lässt sich leicht durch elementare Operationen mit Vektoren überprüfen:

b) Zwei Ebenenvektoren bilden eine Basis, wenn sie nicht kollinear (linear unabhängig) sind. Wir untersuchen Vektoren auf Kollinearität . Lassen Sie uns ein System erstellen:

Aus der ersten Gleichung folgt, dass, aus der zweiten Gleichung folgt, was bedeutet Das System ist inkonsistent(keine Lösungen). Somit sind die entsprechenden Koordinaten der Vektoren nicht proportional.

Abschluss: Die Vektoren sind linear unabhängig und bilden eine Basis.

Eine vereinfachte Version der Lösung sieht so aus:

Machen wir einen Anteil aus den entsprechenden Koordinaten der Vektoren :
, was bedeutet, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und eine Basis bilden.

Normalerweise wird diese Option von Gutachtern nicht abgelehnt, aber ein Problem entsteht in Fällen, in denen einige Koordinaten gleich Null sind. So: . Oder so: . Oder so: . Wie geht man hier mit den Proportionen um? (tatsächlich kann man nicht durch Null dividieren). Aus diesem Grund habe ich die vereinfachte Lösung als „foppish“ bezeichnet.

Antwort: a) , b) bilden.

Ein kleines kreatives Beispiel für Ihre eigene Lösung:

Beispiel 2

Auf welchem ​​Wert des Parameters liegen die Vektoren? Werden sie kollinear sein?

In der Beispiellösung wird der Parameter durch den Anteil ermittelt.

Es gibt eine elegante algebraische Möglichkeit, Vektoren auf Kollinearität zu überprüfen. Systematisieren wir unser Wissen und fügen es als fünften Punkt hinzu:

Für zwei ebene Vektoren sind die folgenden Aussagen äquivalent:

2) die Vektoren bilden eine Basis;
3) die Vektoren sind nicht kollinear;

+ 5) Die aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammengesetzte Determinante ist ungleich Null.

Jeweils, Die folgenden gegenteiligen Aussagen sind gleichwertig:
1) Vektoren sind linear abhängig;
2) Vektoren bilden keine Basis;
3) die Vektoren sind kollinear;
4) Vektoren können linear durcheinander ausgedrückt werden;
+ 5) Die aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammengesetzte Determinante ist gleich Null.

Das hoffe ich wirklich sehr dieser Moment Sie verstehen bereits alle Begriffe und Aussagen, die Ihnen begegnen.

Schauen wir uns den neuen, fünften Punkt genauer an: zwei ebene Vektoren sind genau dann kollinear, wenn die aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren zusammengesetzte Determinante gleich Null ist:. Um diese Funktion nutzen zu können, müssen Sie natürlich dazu in der Lage sein Determinanten finden.

Lass uns entscheiden Beispiel 1 auf die zweite Art:

a) Berechnen wir die Determinante, die aus den Koordinaten der Vektoren besteht :
, was bedeutet, dass diese Vektoren kollinear sind.

b) Zwei Ebenenvektoren bilden eine Basis, wenn sie nicht kollinear (linear unabhängig) sind. Berechnen wir die Determinante aus Vektorkoordinaten :
, was bedeutet, dass die Vektoren linear unabhängig sind und eine Basis bilden.

Antwort: a) , b) bilden.

Es sieht viel kompakter und hübscher aus als eine Lösung mit Proportionen.

Mit Hilfe des betrachteten Materials ist es möglich, nicht nur die Kollinearität von Vektoren festzustellen, sondern auch die Parallelität von Strecken und Geraden nachzuweisen. Betrachten wir einige Probleme mit bestimmten geometrischen Formen.

Beispiel 3

Die Eckpunkte eines Vierecks sind angegeben. Beweisen Sie, dass ein Viereck ein Parallelogramm ist.

Nachweisen: Es ist nicht erforderlich, im Problem eine Zeichnung zu erstellen, da die Lösung rein analytischer Natur ist. Erinnern wir uns an die Definition eines Parallelogramms:
Parallelogramm Ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind, heißt.

Somit ist zu beweisen:
1) Parallelität gegenüberliegender Seiten und;
2) Parallelität gegenüberliegender Seiten und.

Wir beweisen:

1) Finden Sie die Vektoren:

2) Finden Sie die Vektoren:

Das Ergebnis ist der gleiche Vektor („laut Schule“ – gleiche Vektoren). Kollinearität liegt auf der Hand, aber es ist besser, die Entscheidung klar und arrangiert zu formalisieren. Berechnen wir die Determinante aus Vektorkoordinaten:
, was bedeutet, dass diese Vektoren kollinear sind, und .

Abschluss: Die gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks sind paarweise parallel, es handelt sich also per Definition um ein Parallelogramm. Q.E.D.

Weitere gute und unterschiedliche Figuren:

Beispiel 4

Die Eckpunkte eines Vierecks sind angegeben. Beweisen Sie, dass ein Viereck ein Trapez ist.

Für eine genauere Formulierung des Beweises ist es natürlich besser, die Definition eines Trapezes zu erhalten, aber es reicht aus, sich einfach daran zu erinnern, wie es aussieht.

Dies ist eine Aufgabe, die Sie selbst lösen müssen. Vollständige Lösung am Ende der Lektion.

Und nun geht es langsam vom Flugzeug in den Weltraum:

Wie bestimmt man die Kollinearität von Raumvektoren?

Die Regel ist sehr ähnlich. Damit zwei Raumvektoren kollinear sind, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre entsprechenden Koordinaten proportional sind.

Beispiel 5

Finden Sie heraus, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:

A) ;
B)
V)

Lösung:
a) Prüfen wir, ob es einen Proportionalitätskoeffizienten für die entsprechenden Koordinaten der Vektoren gibt:

Das System hat keine Lösung, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind.

„Vereinfacht“ wird durch die Prüfung der Proportionen formalisiert. In diesem Fall:
– Die entsprechenden Koordinaten sind nicht proportional, das heißt, die Vektoren sind nicht kollinear.

Antwort: die Vektoren sind nicht kollinear.

b-c) Dies sind Punkte für eine unabhängige Entscheidung. Probieren Sie es auf zwei Arten aus.

Es gibt eine Methode zum Überprüfen räumlicher Vektoren auf Kollinearität mithilfe einer Determinante dritter Ordnung; diese Methode wird im Artikel behandelt Vektorprodukt von Vektoren.

Ähnlich wie im ebenen Fall kann mit den betrachteten Werkzeugen die Parallelität von Raumsegmenten und Geraden untersucht werden.

Willkommen zum zweiten Abschnitt:

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren im dreidimensionalen Raum.
Raumbasis und affines Koordinatensystem

Viele der Muster, die wir im Flugzeug untersucht haben, gelten auch für den Weltraum. Ich habe versucht, die theoretischen Anmerkungen zu minimieren, da der Löwenanteil der Informationen bereits gekaut wurde. Ich empfehle Ihnen jedoch, den Einführungsteil sorgfältig zu lesen, da neue Begriffe und Konzepte auftauchen.

Anstelle der Ebene des Computertisches erkunden wir nun den dreidimensionalen Raum. Lassen Sie uns zunächst die Grundlage schaffen. Jemand ist jetzt drinnen, jemand ist draußen, aber auf jeden Fall können wir uns drei Dimensionen nicht entziehen: Breite, Länge und Höhe. Um eine Basis zu konstruieren, sind daher drei räumliche Vektoren erforderlich. Ein oder zwei Vektoren reichen nicht aus, der vierte ist überflüssig.

Und wieder wärmen wir uns an den Fingern auf. Bitte heben Sie Ihre Hand und spreizen Sie sie in verschiedene Richtungen Daumen, Zeige- und Mittelfinger. Dabei handelt es sich um Vektoren, sie schauen in unterschiedliche Richtungen, haben unterschiedliche Längen und weisen untereinander unterschiedliche Winkel auf. Herzlichen Glückwunsch, die Basis des dreidimensionalen Raums ist fertig! Das muss man den Lehrern übrigens nicht demonstrieren, egal wie sehr man die Finger verdreht, aber vor Definitionen führt kein Weg =)

Stellen wir uns als Nächstes eine wichtige Frage: Bilden drei beliebige Vektoren eine Basis des dreidimensionalen Raums?? Bitte drücken Sie mit drei Fingern fest auf die Oberseite des Computertisches. Was ist passiert? Drei Vektoren liegen in derselben Ebene, und grob gesagt haben wir eine der Dimensionen verloren – die Höhe. Solche Vektoren sind koplanar und es ist ganz offensichtlich, dass die Grundlage des dreidimensionalen Raums nicht geschaffen ist.

Es ist zu beachten, dass koplanare Vektoren nicht in derselben Ebene liegen müssen, sondern in parallelen Ebenen liegen können (tun Sie dies nur nicht mit den Fingern, nur Salvador Dali hat dies getan =)).

Definition: Vektoren werden aufgerufen koplanar, wenn es eine Ebene gibt, zu der sie parallel sind. Es ist logisch, hier hinzuzufügen, dass die Vektoren nicht koplanar sind, wenn eine solche Ebene nicht existiert.

Drei koplanare Vektoren sind immer linear abhängig, das heißt, sie werden linear durcheinander ausgedrückt. Stellen wir uns der Einfachheit halber noch einmal vor, dass sie in derselben Ebene liegen. Erstens sind Vektoren nicht nur koplanar, sie können auch kollinear sein, sodass jeder Vektor durch jeden Vektor ausgedrückt werden kann. Im zweiten Fall, wenn beispielsweise die Vektoren nicht kollinear sind, wird der dritte Vektor auf einzigartige Weise durch sie ausgedrückt: (und warum, lässt sich anhand der Materialien im vorherigen Abschnitt leicht erraten).

Das Umgekehrte gilt auch: Drei nicht koplanare Vektoren sind immer linear unabhängig, das heißt, sie kommen in keiner Weise durcheinander zum Ausdruck. Und natürlich können nur solche Vektoren die Grundlage des dreidimensionalen Raums bilden.

Definition: Die Grundlage des dreidimensionalen Raums heißt ein Tripel linear unabhängiger (nicht koplanarer) Vektoren, in einer bestimmten Reihenfolge aufgenommen und jeder Raumvektor der einzige Weg wird über eine gegebene Basis zerlegt, wobei die Koordinaten des Vektors in dieser Basis sind

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir auch sagen können, dass der Vektor in der Form dargestellt wird lineare Kombination Basisvektoren.

Das Konzept eines Koordinatensystems wird genauso eingeführt wie für den ebenen Fall; ein Punkt und drei beliebige linear unabhängige Vektoren genügen:

Herkunft, Und nicht koplanar Vektoren, in einer bestimmten Reihenfolge aufgenommen, Satz affines Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums :

Natürlich ist das Koordinatengitter „schräg“ und unpraktisch, aber das konstruierte Koordinatensystem erlaubt es uns dennoch definitiv Bestimmen Sie die Koordinaten eines beliebigen Vektors und die Koordinaten eines beliebigen Punktes im Raum. Ähnlich wie bei einer Ebene funktionieren einige Formeln, die ich bereits erwähnt habe, im affinen Koordinatensystem des Raums nicht.

Der bekannteste und praktischste Sonderfall eines affinen Koordinatensystems ist, wie jeder vermutet rechteckiges Raumkoordinatensystem:

Ein Punkt im Raum namens Herkunft, Und orthonormal Die Basis ist gelegt Kartesisches rechteckiges Raumkoordinatensystem . Bekanntes Bild:

Bevor wir zu praktischen Aufgaben übergehen, systematisieren wir die Informationen noch einmal:

Für drei Raumvektoren sind die folgenden Aussagen äquivalent:
1) die Vektoren sind linear unabhängig;
2) die Vektoren bilden eine Basis;
3) die Vektoren sind nicht koplanar;
4) Vektoren können nicht linear durcheinander ausgedrückt werden;
5) Die Determinante, bestehend aus den Koordinaten dieser Vektoren, ist von Null verschieden.

Ich denke, die gegenteiligen Aussagen sind verständlich.

Die lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Raumvektoren wird traditionell anhand einer Determinante überprüft (Punkt 5). Die übrigen praktischen Aufgaben werden einen ausgeprägten algebraischen Charakter haben. Es ist Zeit, den Geometrie-Stick an den Nagel zu hängen und den Baseballschläger der linearen Algebra zu schwingen:

Drei Raumvektoren sind genau dann koplanar, wenn die aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren zusammengesetzte Determinante gleich Null ist: .

Ich möchte Sie auf eine kleine technische Nuance aufmerksam machen: Die Koordinaten von Vektoren können nicht nur in Spalten, sondern auch in Zeilen geschrieben werden (der Wert der Determinante ändert sich dadurch nicht - siehe Eigenschaften von Determinanten). Aber in Kolumnen ist es viel besser, da es für die Lösung einiger praktischer Probleme nützlicher ist.

Für diejenigen Leser, die die Methoden zur Berechnung von Determinanten ein wenig vergessen haben oder vielleicht überhaupt kein Verständnis dafür haben, empfehle ich eine meiner ältesten Lektionen: Wie berechnet man die Determinante?

Beispiel 6

Prüfen Sie, ob die folgenden Vektoren die Grundlage des dreidimensionalen Raums bilden:

Lösung: Tatsächlich besteht die gesamte Lösung darin, die Determinante zu berechnen.

a) Berechnen wir die Determinante aus Vektorkoordinaten (die Determinante wird in der ersten Zeile angezeigt):

, was bedeutet, dass die Vektoren linear unabhängig (nicht koplanar) sind und die Grundlage des dreidimensionalen Raums bilden.

Antwort: Diese Vektoren bilden eine Basis

b) Dies ist ein Punkt für eine unabhängige Entscheidung. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Es gibt auch kreative Aufgaben:

Beispiel 7

Bei welchem ​​Wert des Parameters sind die Vektoren koplanar?

Lösung: Vektoren sind genau dann koplanar, wenn die aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammengesetzte Determinante gleich Null ist:

Im Wesentlichen müssen Sie eine Gleichung mit einer Determinante lösen. Wir stürzen auf Nullen herab wie Drachen auf Springmäuse – am besten öffnet man die Determinante in der zweiten Zeile und entfernt sofort die Minuspunkte:

Wir nehmen weitere Vereinfachungen vor und reduzieren den Sachverhalt auf die einfachste lineare Gleichung:

Antwort: bei

Dies lässt sich leicht überprüfen. Dazu müssen Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Determinante einsetzen und sicherstellen, dass dies der Fall ist , es erneut öffnen.

Abschließend betrachten wir ein weiteres typisches Problem, das eher algebraischer Natur ist und traditionell in einem Kurs über lineare Algebra enthalten ist. Es kommt so häufig vor, dass es ein eigenes Thema verdient:

Beweisen Sie, dass 3 Vektoren die Grundlage des dreidimensionalen Raums bilden
und finden Sie die Koordinaten des 4. Vektors in dieser Basis

Beispiel 8

Es werden Vektoren angegeben. Zeigen Sie, dass Vektoren eine Basis im dreidimensionalen Raum bilden und ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors in dieser Basis.

Lösung: Befassen wir uns zunächst mit der Erkrankung. Durch die Bedingung sind vier Vektoren gegeben, und wie Sie sehen können, haben sie in gewisser Weise bereits Koordinaten. Was diese Grundlage ist, interessiert uns nicht. Und folgendes ist von Interesse: Drei Vektoren können durchaus eine neue Basis bilden. Und die erste Stufe stimmt vollständig mit der Lösung von Beispiel 6 überein; es muss überprüft werden, ob die Vektoren wirklich linear unabhängig sind:

Berechnen wir die Determinante aus Vektorkoordinaten:

, was bedeutet, dass die Vektoren linear unabhängig sind und die Grundlage des dreidimensionalen Raums bilden.

! Wichtig : Vektorkoordinaten Notwendig aufschreiben in Spalten Determinante, nicht in Strings. Andernfalls kommt es zu Verwirrung im weiteren Lösungsalgorithmus.

In der Vektorrechnung und ihren Anwendungen ist das Zerlegungsproblem von großer Bedeutung, das darin besteht, einen gegebenen Vektor als Summe mehrerer Vektoren darzustellen, die Komponenten eines gegebenen Vektors genannt werden.

Vektor. Dieses Problem, das im Allgemeinen unendlich viele Lösungen hat, wird vollständig definiert, wenn wir einige Elemente der Komponentenvektoren angeben.

2. Beispiele für Zersetzung.

Betrachten wir einige sehr häufige Zersetzungsfälle.

1. Zerlegen Sie einen gegebenen Vektor c in zwei Komponentenvektoren, von denen einer, zum Beispiel a, in Betrag und Richtung angegeben ist.

Das Problem besteht darin, die Differenz zwischen zwei Vektoren zu bestimmen. Wenn die Vektoren tatsächlich Komponenten des Vektors c sind, muss die Gleichheit erfüllt sein

Von hier aus wird der zweite Komponentenvektor bestimmt

2. Zerlegen Sie den gegebenen Vektor c in zwei Komponenten, von denen eine in einer gegebenen Ebene und die zweite auf einer gegebenen Geraden a liegen muss.

Um die Komponentenvektoren zu bestimmen, verschieben wir den Vektor c so, dass sein Anfang mit dem Schnittpunkt der gegebenen Geraden mit der Ebene zusammenfällt (Punkt O – siehe Abb. 18). Vom Ende des Vektors c (Punkt C) zeichnen wir eine gerade Linie nach

Schnittpunkt mit der Ebene (B ist der Schnittpunkt), und dann zeichnen wir von Punkt C aus eine gerade Linie parallel

Die Vektoren und werden die gewünschten sein, d.h. Natürlich ist die angegebene Entwicklung möglich, wenn die Gerade a und die Ebene nicht parallel sind.

3. Gegeben sind drei koplanare Vektoren a, b und c, und die Vektoren sind nicht kollinear. Es ist erforderlich, den Vektor c in Vektoren zu zerlegen

Bringen wir alle drei gegebenen Vektoren zu einem Punkt O. Dann liegen sie aufgrund ihrer Koplanarität in derselben Ebene. Mit diesem Vektor c als Diagonale konstruieren wir ein Parallelogramm, dessen Seiten parallel zu den Wirkungslinien der Vektoren sind (Abb. 19). Diese Konstruktion ist immer möglich (es sei denn, die Vektoren sind kollinear) und eindeutig. Aus Abb. 19 Das ist klar

Basis(altgriechisch βασις, Basis) – eine Menge von Vektoren in einem Vektorraum, sodass jeder Vektor in diesem Raum eindeutig als lineare Kombination von Vektoren aus dieser Menge dargestellt werden kann – Basisvektoren

Eine Basis im Raum Rn ist jedes System aus N-linear unabhängige Vektoren. Jeder Vektor von R n, der nicht in der Basis enthalten ist, kann als lineare Kombination von Basisvektoren dargestellt werden, d.h. über die Basis verteilen.
Sei die Basis des Raumes R n und . Dann gibt es Zahlen λ 1, λ 2, …, λ n so dass .
Die Erweiterungskoeffizienten λ 1, λ 2, ..., λ n heißen Vektorkoordinaten in Basis B. Ist die Basis gegeben, dann sind die Vektorkoeffizienten eindeutig bestimmt.

Kommentar. In jedem N Im -dimensionalen Vektorraum kann man unendlich viele verschiedene Basen wählen. In verschiedenen Basen hat derselbe Vektor unterschiedliche Koordinaten, die jedoch in der gewählten Basis eindeutig sind. Beispiel. Erweitern Sie den Vektor in seine Basis.
Lösung. . Ersetzen wir die Koordinaten aller Vektoren und führen Aktionen für sie aus:

Durch Gleichsetzung der Koordinaten erhalten wir ein Gleichungssystem:

Lass es uns lösen: .
Somit erhalten wir die Zerlegung: .
In der Basis hat der Vektor Koordinaten.

Feierabend -

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Vektorkonzept. Lineare Operationen an Vektoren

Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment mit einer bestimmten Länge, d. h. ein Segment mit einer bestimmten Länge, das einen seiner Grenzpunkte hat. Die Länge eines Vektors wird als sein Modul bezeichnet und mit dem Symbol Vektormodul bezeichnet. Ein Vektor ist heißt Null; es wird bezeichnet, wenn Anfang und Ende zusammenfallen; ein Nullvektor hat keinen bestimmten Vektor.

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