Poisson-Gleichung in sphärischen Koordinaten. Die Poisson-Gleichung und die mathematische Problemstellung in der Elektrostatik

Das Studium der Laplace- und Poisson-Gleichungen führt zur Betrachtung von Problemen eines stationären Prozesses: Dies sind Probleme der Hydrodynamik, Diffusion, Temperaturverteilung, Elektrostatik usw.

Diese Gleichungen sind vom elliptischen Typ.

Diejenigen Probleme, die zu zeithaltigen Gleichungen führen, werden in der mathematischen Physik als instationäre oder dynamische Probleme bezeichnet; Probleme, die zu Gleichungen führen, die keine Zeit enthalten, werden als stationär oder statisch bezeichnet.

Wie gezeigt wurde, haben die Gleichungen der mathematischen Physik eine unendliche Anzahl von Lösungen, die von zwei beliebigen Funktionen abhängen (wir sprechen von Gleichungen zweiter Ordnung für eine Funktion zweier Variablen). Um aus einer Menge von Lösungen eine bestimmte, den Prozess charakterisierende Lösung herauszugreifen, ist es notwendig, der gewünschten Funktion zusätzliche Bedingungen aufzuerlegen, die durch physikalische Überlegungen vorgegeben werden. Solche Bedingungen für partielle Differentialgleichungen sind meist Anfangs- und Randbedingungen. Randbedingungen sind die Bedingungen, die an der Grenze des betrachteten Mediums herrschen; Anfangsbedingungen sind Bedingungen, die sich auf einen bestimmten Zeitpunkt beziehen, ab dem die Untersuchung eines bestimmten physikalischen Phänomens beginnt. Zusätzliche Bedingungen sowie die Differentialgleichung selbst werden auf der Grundlage physikalischer Überlegungen zum Prozess selbst abgeleitet. Gleichzeitig müssen zusätzliche Bedingungen so sein, dass die Auswahl einer einzelnen Lösung aus der Gesamtheit der Lösungen gewährleistet ist. Die Anzahl der Rand- und Anfangsbedingungen wird durch die Art der Gleichung bestimmt, und ihre Form wird durch den gegebenen Anfangszustand an der Grenze des Objekts und der Umgebung bestimmt. Für die Gleichungen, die wir betrachten, ist die Anzahl der Anfangsbedingungen gleich der Ordnung der höchsten Ableitung nach der Zeit, die in der Gleichung enthalten ist, und die Anzahl der Randbedingungen ist gleich der Ordnung der höchsten Ableitung nach der Koordinate .

Die Menge einer Differentialgleichung und zusätzlicher Bedingungen ist eine mathematische Formulierung eines physikalischen Problems und wird als Problem der mathematischen Physik bezeichnet.

Die Aufgabe der mathematischen Physik besteht also darin, Lösungen für partielle Differentialgleichungen zu finden, die einige zusätzliche Bedingungen erfüllen, beispielsweise Rand- und Anfangsbedingungen.

Das Problem der mathematischen Physik gilt als richtig formuliert, wenn die Lösung des Problems, die alle seine Bedingungen erfüllt, existiert, eindeutig und stabil ist.

Saitenvibrationen. Rand- und Anfangsbedingungen. Darstellung von Randwertproblemen

Lassen Sie die Saite unter einer starken Vorspannung stehen. Wenn eine Saite aus dem Gleichgewicht gerät und einer Kraft ausgesetzt wird, beginnt die Saite zu schwingen. Der Schwingungsvorgang kann durch eine einzige Funktion beschrieben werden, die die vertikale Bewegung der Saite (Abweichung von der Gleichgewichtslage (Abb. 2.2)) charakterisiert. Für jeden festen Wert gibt der Graph der Funktion in der Ebene die Form der Zeichenfolge zu diesem Zeitpunkt an.

Die Funktion erfüllt die Gleichung

beschreibt die freien Schwingungen einer Saite ohne Einwirkung äußerer Kräfte.

Gleichung (2.69) ist die einfachste Gleichung vom hyperbolischen Typ und zugleich eine der wichtigsten Gleichungen der mathematischen Physik.

Eine Bewegungsgleichung (2.69) oder (2.70) reicht zur mathematischen Beschreibung des physikalischen Prozesses nicht aus. Bei der Betrachtung des Problems der Saitenschwingungen können zusätzliche Bedingungen zweier Art sein: Anfangs- und Grenzbedingungen (Grenze).

Da der Prozess der Saitenschwingungen von seiner anfänglichen Form und Geschwindigkeitsverteilung abhängt, sollten die Anfangsbedingungen festgelegt werden:

Wir werden über drei Arten von Randbedingungen sprechen:

wo sind die bekannten Funktionen,

und bekannte Konstanten.

Die oben genannten Bedingungen werden als Randbedingungen erster, zweiter und dritter Art bezeichnet. Bedingungen I liegen vor, wenn sich die Enden des Objekts (Schnur, Stab usw.) nach einem vorgegebenen Gesetz bewegen; Bedingungen II – wenn die angegebenen Kräfte auf die Enden ausgeübt werden; Bedingungen III – bei elastischer Befestigung der Enden.

Sind die auf der rechten Seite der Gleichung angegebenen Funktionen gleich Null, so heißen die Randbedingungen homogen. Somit sind die Randbedingungen (2.72) homogen. Durch die Kombination der verschiedenen aufgeführten Arten von Randbedingungen erhalten wir sechs Arten der einfachsten Randwertprobleme.

Für den Fall, dass der Modus an den Enden keinen wesentlichen Einfluss auf den Teil der Saite hat, der weit genug von ihnen entfernt ist, wird die Saite als unendlich betrachtet. Aus diesem Grund stellen sie anstelle eines vollständigen Randwertproblems ein Grenzproblem dar – das Kosh-Problem: eine Lösung der Gleichung (2.69) zu finden, die die Anfangsbedingungen erfüllt

Wenn wir einen Prozess in der Nähe einer Grenze untersuchen und der Einfluss des Grenzregimes auf die zweite Grenze während des für uns interessanten Zeitintervalls nicht signifikant ist, dann kommen wir zur Formulierung des Problems auf einer halbbeschränkten Geraden. Dabei werden die Anfangsbedingungen und eine der Randbedingungen I – III bei angegeben.

Beispiele für Problemlösungen

BEISPIEL 2.42. Eine gleichmäßig lange Saite führt kleine Querschwingungen aus. Stellen Sie das Problem, die Abweichungen der Saitenpunkte von der geradlinigen Ruheposition zu bestimmen, wenn die Saite im Moment die Form () hatte und die Geschwindigkeit jedes ihrer Punkte durch eine Funktion gegeben ist. Betrachten Sie Fälle:

• a) die Enden der Saite sind fixiert;
• b) die Enden der Saite sind frei;

c) auf die Enden der Saite und ab dem Moment werden Querkräfte bzw. ausgeübt;

d) die Enden der Saite sind elastisch fixiert, d.h. Jedes Ende erfährt einen Widerstand, der proportional zur Auslenkung des Endes ist.

Lösung. Bekanntlich erfüllen die Abweichungen der Saitenpunkte von der Gleichgewichtslage in Abwesenheit einer wirkenden äußeren Kraft die Gleichung der freien Schwingungen (2.70)

Hier Spannung, lineare Dichte, weil Saite ist einheitlich.

Die Anfangsbedingungen sehen so aus:

Lassen Sie uns die Randbedingungen ableiten.

Fall a). Da die Enden der Saite fest sind, müssen ihre Abweichungen an den Punkten und für jeden gleich Null sein, d.h.

Das physikalische Problem der Schwingungen einer an den Enden befestigten Saite wurde also auf das folgende mathematische Problem reduziert: eine Funktion zu finden, die definiert ist und die eine Lösung der Gleichung darstellt

und Erfüllung der Randbedingungen

und Anfangsbedingungen

DEFINITION

Beschreibt einen adiabatischen Prozess, der in auftritt. Ein adiabatischer Prozess ist ein Prozess, bei dem kein Wärmeaustausch zwischen dem betrachteten System und der Umgebung stattfindet: .

Die Poisson-Gleichung hat die Form:

Hier ist das vom Gas eingenommene Volumen, sein Wert, und der Wert wird als adiabatischer Exponent bezeichnet.

Adiabatischer Exponent in der Poisson-Gleichung

Bei praktischen Berechnungen ist es sinnvoll, sich daran zu erinnern, dass der adiabatische Exponent für ein ideales Gas , für ein zweiatomiges Gas und für ein dreiatomiges Gas ist.

Was ist mit realen Gasen, wenn die Wechselwirkungskräfte zwischen Molekülen eine wichtige Rolle spielen? In diesem Fall kann der adiabatische Exponent für jedes untersuchte Gas experimentell ermittelt werden. Eine solche Methode wurde 1819 von Clement und Desormes vorgeschlagen. Wir füllen den Ballon mit kaltem Gas, bis der Druck darin erreicht ist. Dann öffnen wir das Ventil, das Gas beginnt sich adiabatisch auszudehnen und der Druck im Zylinder sinkt auf Atmosphärendruck. Nachdem das Gas isochor auf Umgebungstemperatur erhitzt wurde, steigt der Druck im Zylinder auf . Dann kann der adiabatische Exponent mit der Formel berechnet werden:

Der adiabatische Exponent ist immer größer als 1. Wenn also ein Gas adiabatisch komprimiert wird – sowohl ideal als auch real – auf ein kleineres Volumen, steigt die Gastemperatur immer an, und wenn sich das Gas ausdehnt, kühlt es ab. Diese Eigenschaft eines adiabatischen Prozesses, der als pneumatischer Feuerstein bezeichnet wird, wird in Dieselmotoren genutzt, bei denen das brennbare Gemisch in einem Zylinder komprimiert und durch hohe Temperatur gezündet wird. Erinnern Sie sich an den ersten Hauptsatz der Thermodynamik: , wo - , und A - die daran geleistete Arbeit. Denn die vom Gas verrichtete Arbeit dient lediglich der Veränderung seiner inneren Energie – und damit der Temperatur. Aus der Poisson-Gleichung können Sie eine Formel zur Berechnung der Arbeit eines Gases in einem adiabatischen Prozess erhalten:

Dabei ist n die Gasmenge in Mol, R die universelle Gaskonstante und T die absolute Temperatur des Gases.

Die Poisson-Gleichung für einen adiabatischen Prozess wird nicht nur bei der Berechnung von Verbrennungsmotoren, sondern auch bei der Konstruktion von Kältemaschinen verwendet.

Es sei daran erinnert, dass die Poisson-Gleichung nur einen adiabatischen Gleichgewichtsprozess, der aus sich kontinuierlich ändernden Gleichgewichtszuständen besteht, genau beschreibt. Wenn wir in der Realität das Ventil im Zylinder öffnen, sodass sich das Gas adiabatisch ausdehnt, kommt es zu einem instationären Übergangsprozess mit Gasturbulenzen, die durch makroskopische Reibung zum Erliegen kommen.

Beispiele für Problemlösungen

BEISPIEL 1

Übung	Ein einatomiges ideales Gas wird adiabatisch komprimiert, sodass sich sein Volumen verdoppelt. Wie ändert sich der Gasdruck?
Lösung	Der adiabatische Exponent für ein einatomiges Gas ist . Sie lässt sich aber auch nach folgender Formel berechnen: Dabei ist R die universelle Gaskonstante und i der Freiheitsgrad des Gasmoleküls. Für ein einatomiges Gas beträgt der Freiheitsgrad 3: Das bedeutet, dass das Zentrum des Moleküls translatorische Bewegungen entlang dreier Koordinatenachsen ausführen kann. Der adiabatische Exponent ist also: Stellen wir die Gaszustände zu Beginn und am Ende des adiabatischen Prozesses durch die Poisson-Gleichung dar:
Antworten	Der Druck wird um das 3,175-fache sinken.

BEISPIEL 2

Übung	100 Mol eines zweiatomigen idealen Gases wurden bei einer Temperatur von 300 K adiabatisch komprimiert. Dabei erhöhte sich der Gasdruck um das Dreifache. Wie hat sich die Gasarbeit verändert?
Lösung	Der Freiheitsgrad eines zweiatomigen Moleküls, da sich das Molekül translatorisch entlang dreier Koordinatenachsen bewegen und um zwei Achsen drehen kann.

Der Satz von Gauß ist nur für Körper einfacher Konfiguration anwendbar. Mit der Poisson-Laplace-Gleichung können Sie viel komplexere Probleme lösen. Diese Gleichungen werden in allen stationären Feldern verwendet, sowohl elektrischen als auch magnetischen.

Nehmen wir das „-“-Zeichen für das Divergenzzeichen heraus:

.

Lasst uns ersetzen div Und grad An :

.

ist die Poisson-Gleichung;

– Laplace-Gleichung;

- Laplace.

Im kartesischen Koordinatensystem:

– Laplace-Gleichung;

ist die Poisson-Gleichung.

Wenn hängt nur von der 1. Koordinate ab, dann wird das Problem durch 2-fache Integration über diese Koordinate gelöst, bei 2 oder mehr Koordinaten gibt es spezielle Methoden zur Lösung der Gleichung: die Gittermethode, die numerische Berechnungsmethode.

Satz der Eindeutigkeit der Lösung

Die Poisson-Laplace-Gleichung, die das elektrische Feld beschreibt, ist eine partielle Differentialgleichung. Daher gibt es viele voneinander unabhängige Lösungen.

Für die Lösung gibt es einen Eindeutigkeitssatz:

Von allen Funktionen, die die Poisson-Laplace-Gleichung erfüllen, gibt es nur eine, die die Randbedingungen erfüllt.

Daraus ergeben sich zwei Konsequenzen:

Das Feld in einem Teil des Raums ändert sich nicht, wenn die Ladungen auf der anderen Seite der Grenzfläche zwischen zwei Medien neu verteilt werden, sodass sich die Randbedingungen nicht ändern

Eine Äquipotentialfläche kann durch eine Metallfläche ersetzt werden, indem man dieser etwas Potenzial verleiht.

Spiegelbildmethode

Befinden sich elektrische Ladungen in der Nähe der Grenze zweier unterschiedlicher Medien, kann der Feldvektor durch Anwendung einer künstlichen Berechnungsmethode, der sogenannten Spiegelbildmethode, bestimmt werden.

Die Idee der Methode besteht darin, dass anstelle eines inhomogenen Mediums ein homogenes Medium betrachtet wird, der Einfluss der Inhomogenität durch die Einführung fiktiver Ladungen berücksichtigt wird, die Randbedingungen des Hauptproblems aufgeschrieben werden und anhand dieser die benötigten Feldvektoren werden gefunden. Diese Methode eignet sich am besten zur Berechnung der Grenzfläche zwischen zwei Medien regelmäßiger Form.

Berechnung an der Schnittstelle zwischen zwei Medien

Das Feld einer geladenen Achse in der Nähe einer leitenden Ebene

(Dielektrikum – Leiter)

Die geladene Achse liegt im Dielektrikum parallel zur Oberfläche des leitenden Mediums. Es ist erforderlich, die Art des Feldes in der oberen Halbebene (Dielektrikum) zu bestimmen.

Durch elektrostatische Induktion entstehen Ladungen auf der Oberfläche eines leitenden Körpers. Ihre Dichte ändert sich mit einer Änderung der Koordinate X. Diese Ladungen wirken sich auf das Feld aus und ihr Einfluss muss berücksichtigt werden. Es ist sehr schwierig, den Einfluss von Ladungen zu berücksichtigen, die aufgrund elektrostatischer Induktion auf der Oberfläche eines leitenden Körpers entstanden sind, da das Gesetz ihrer Verteilung über die Oberfläche eines leitenden Körpers bekannt sein muss. Mit der Spiegelbildmethode lässt sich dieses Problem leicht lösen. Gemäß der Methode wird der Einfluss von Ladungen, die sich auf der Oberfläche eines leitenden Körpers befinden, durch die Einführung einer fiktiven konzentrierten Ladung berücksichtigt, die sich spiegelbildlich zur Grenze befindet, wobei angenommen wird, dass der gesamte Raum mit einem Dielektrikum gefüllt ist . Die fiktive Gebühr ist betragsmäßig gleich der realen und hat das entgegengesetzte Vorzeichen.

Lass es uns beweisen. Feldstärke aus zwei Ladungen
Und
An jedem Punkt des Feldes gibt es nur eine Komponente senkrecht zur Grenze (die Randbedingung).
). Das Potenzial jeder Achse erfüllt die Laplace-Gleichung
(die Ableitung des Kontos. Bessonov TOE S. 42 (die Formel für das Potential der geladenen Achse wird in die Laplace-Gleichung in einem zylindrischen Koordinatensystem eingesetzt)). Basierend auf dem Eindeutigkeitssatz für die Lösung ist die resultierende Lösung wahr.

Die geladene Achse liegt im Dielektrikum parallel zur Oberfläche des leitenden Mediums. Es ist erforderlich, die Stärke des elektrostatischen Feldes und das Potential am Punkt A zu bestimmen.

Wir wenden die Methode der Spiegelbilder an. Und wir werden die Feldstärke und das Potenzial am Punkt A mithilfe der Überlagerungsmethode ermitteln

;

;

;
.

für Punkt
:
.

Bestimmen Sie die Anziehungskraft des Drahtes auf die leitende Oberfläche:

.

Das Feld einer geladenen Achse in der Nähe einer flachen Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika mit unterschiedlichen Permittivitäten

(Dielektrikum - Dielektrikum)

In diesem Fall beeinflussen die an der Grenzfläche induzierten unkompensierten gebundenen Ladungen das Feld in beiden Sphären; zwei fiktive Ladungen werden eingeführt, um sie zu erklären. Bei diesem Problem müssen zwei Randbedingungen erfüllt sein.

a) Befinden sich der reale Draht und der zu untersuchende Punkt im selben Medium, dann wird das Feld aus zwei Ladungen berechnet: real , der gesamte Raum ist mit einem Dielektrikum gefüllt, in dem sich der untersuchte Punkt befindet.

b) Befinden sich der reale Draht und der untersuchte Punkt in unterschiedlichen Medien, dann ist das Feld an jedem Punkt des unteren Halbraums als das Feld einer zusätzlichen Ladung definiert . Der gesamte Raum ist mit dem Dielektrikum des Mediums gefüllt, in dem sich der untersuchte Punkt befindet.

Aus der Bedingung der Gleichheit der Tangentialkomponenten der Feldstärke:

.

Aus der Bedingung der Gleichheit der Normalkomponenten des elektrischen Verschiebungsvektors:

.

.

Wenn wir es gemeinsam lösen, erhalten wir:

;

;
.

Zeichen wird mit übereinstimmen Wenn
.

Zeichen wird immer so sein .

Die geladene Achse liegt im Dielektrikum parallel zur Oberfläche eines anderen Dielektrikums. Es ist erforderlich, die Stärke des elektrostatischen Feldes und das Potential an den Punkten A und B zu bestimmen
.

Betrachten Sie Punkt A. Er liegt im selben Medium mit einer geladenen Achse. Wir verwenden die Methode der Spiegelreflexionen. Wir füllen alles mit einem Medium mit einer Dielektrizitätskonstanten . Das Feld wird aus zwei Ladungen berechnet: real und gespiegelte fiktive Anklage . Wir wenden die Methode der Spiegelbilder an. Wir ermitteln die Feldstärke und das Potenzial am Punkt A mithilfe der Superpositionsmethode:

;

;

;
.

Nehmen wir einen Punkt mit Nullpotential an der Schnittstelle unter einem der Drähte

.

Betrachten Sie Punkt B. Er liegt in verschiedenen Medien mit einer geladenen Achse. Wir verwenden die Methode der Spiegelreflexionen. Wir füllen alles mit einem Medium mit einer Dielektrizitätskonstanten . Das Feld wird aus einer fiktiven Gebühr berechnet , befindet sich an der gleichen Stelle, an der sich die eigentliche Ladung befand .

;

.

Hinweis: Wenn der zu untersuchende Punkt auf der Oberfläche des Drahtes liegt, entspricht der Abstand vom Draht zum zu untersuchenden Punkt dem Radius des Drahtes.

Punktladung nahe der Grenze

Dielektrikum – Leiter und Dielektrikum – Dielektrikum

Wird das Feld nicht durch eine geladene Achse, sondern durch eine Punktladung erzeugt, bleibt der gesamte Berechnungsvorgang erhalten.

Eine Punktladung liegt in der Nähe der Grenzfläche zwischen Dielektrikum und Leiter. Finden Sie die Feldstärke und das Potenzial am Punkt A.

Zu Bildungszwecken möchte ich über die Gleichungen sprechen, die bei der Ableitung der Debye-Hückel-Gleichung verwendet wurden. Dies ist die Poisson-Gleichung und die Boltzmann-Verteilung.

Poisson-Gleichung

Wir fanden heraus, dass das Plasma im Gleichgewichtszustand quasi neutral ist und dass unter der Wirkung eines elektrischen Feldes aus bewegten Ladungen geladene Teilchen um die Debye-Länge verschoben werden und das Feld innerhalb dieser Länge abklingt. In der Elektrostatik wird die Wechselwirkung geladener Teilchen durch die Coulomb-Gleichung beschrieben:

Wo sind die Werte der interagierenden Punktladungen, ist das Quadrat des Abstands zwischen den Ladungen. Der Koeffizient k ist eine Konstante. Wenn wir das System in elektrostatischen CGS-Einheiten verwenden, bezeichnet als CGSEq, dann ist k = 1. Wenn das SI-System verwendet wird, dann ist , wobei die Dielektrizitätskonstante des Mediums, in dem sich die Ladungen befinden, eine elektrische Konstante von 8,86 ∙ ist .

In der Physik wird Kraft nicht direkt genutzt, sondern das Konzept eines elektrostatischen Feldes verteilter Ladungen eingeführt und das Feld anhand seiner Größe gemessen elektrische Feldstärke. Dazu wird gedanklich an jedem Punkt des Feldes eine einzelne Testladung platziert und die Kraft gemessen, mit der das Ladungsfeld auf die Testladung einwirkt:

Wenn wir also die Coulomb-Kraft in diese Gleichung einsetzen, erhalten wir:
Doch auch hierauf sind Physiker nicht beschränkt, um das elektrische Feld vollständig zu beschreiben. Stellen Sie sich eine Einheitsladung vor, die in einem elektrostatischen Feld platziert wird. Das Feld erledigt die Aufgabe, diese Ladung um eine Elementardistanz ds von Punkt P1 zu Punkt P2 zu bewegen:
Der Wert wird Potentialdifferenz oder Spannung genannt. Die Spannung wird in Volt gemessen. Das Minuszeichen sagt uns, dass das Feld selbst Arbeit leistet, um eine Einheit positiver Ladung zu transportieren. Die Kräfte, die Ladungen bewegen, sind konservativ, da die auf einem geschlossenen Weg verrichtete Arbeit immer Null ist, unabhängig davon, auf welchem ​​Weg sich die Ladung bewegt.

Daraus ergibt sich die tiefe Bedeutung der Potentialdifferenz. Wenn wir den Punkt P1 fixieren und die Ladung zum variablen Punkt P2 bewegen, hängt die Arbeit nur von der Position des zweiten Punktes P2 ab. Somit können wir den Begriff des Potenzials einführen. Das Potenzial ist eine Kraftfunktion, die angibt, wie viel Arbeit das Feld leisten muss, um die Ladung vom Unendlichen zu einem bestimmten Punkt P2 zu bewegen, wo das Potenzial im Unendlichen bedingt als Null angenommen wird.

Um die Poisson-Gleichung zu verstehen, müssen Sie die „spezielle“ Vektormathematik verstehen. Ich werde kurz auf Konzepte wie Feldgradient und Divergenz eingehen (es wird davon ausgegangen, dass der Leser mit mathematischer Analyse vertraut ist).
Sei f(x,y,z) eine stetig differenzierbare Koordinatenfunktion. Wenn Sie seine partiellen Ableitungen an jedem Punkt im Raum kennen, können Sie einen Vektor konstruieren, dessen Komponenten x, y, z gleich den entsprechenden partiellen Ableitungen sind:

wo sind die Einheitsvektoren der entsprechenden Achsen x, y, z. Das Symbol lautet „nabla“ und ist ein Differentialoperator
Dieser Operator wurde von Hamilton in die Mathematik eingeführt. Mit nabla können Sie gängige mathematische Operationen wie das gemeinsame Produkt, das Skalarprodukt, das Kreuzprodukt usw. durchführen.

Kehren wir nun zum elektrostatischen Feld E zurück. Einerseits hat die Potentialänderung beim Übergang von einem Punkt zum anderen die folgende Form:

Andererseits gilt nach der Formel (*)
Unter Anwendung des soeben eingeführten Konzepts des Gradienten wird diese Formel wie folgt umgewandelt:
Befassen wir uns nun mit einem Konzept wie der Felddivergenz. Betrachten Sie ein endliches geschlossenes Volumen V beliebiger Form (siehe Abbildung unten). Bezeichnen wir die Fläche dieser Oberfläche mit S. Der Gesamtfluss des Vektors F, der aus diesem Volumen kommt, ist per Definition gleich
, wobei da ein infinitesimaler Vektor ist, dessen Größe gleich der Fläche eines kleinen Elements der Oberfläche S ist und dessen Richtung mit der Außennormalen zu diesem Element übereinstimmt.
Nehmen wir diesen Fluss des Vektors F, dividieren ihn durch das Volumen und ermitteln den Grenzwert, da dieser gegen Null tendiert, d. h. Wir werden das Volumen auf einen unendlich kleinen Punkt zusammenziehen.

Wir sind zum Konzept der Divergenz gekommen. Die Divergenz wird mit dem Symbol div bezeichnet und ist das Verhältnis des Flusses des Vektors F zum Volumen V, wobei V gegen Null tendiert.

Bevor wir zeigen, wie die Poisson-Gleichung erhalten wird, ist es wichtig, das Gaußsche Gesetz und den Gaußschen Satz zu kennen. Stellen Sie sich eine Kugel mit einer Ladung q im Inneren vor. Die Ladung erzeugt um sich herum ein elektrisches Feld der Intensität E. Nehmen Sie den Fluss des Vektors E

wobei S die Fläche unserer Kugel gleich ist. Somit
Dies ist das Gaußsche Gesetz, das besagt, dass der Fluss des elektrischen Feldes E durch jede geschlossene Oberfläche gleich dem Produkt der von der Oberfläche bedeckten Gesamtladung ist:
Wo ist die Raumladungsdichte, d.h. der Wert der elektrischen Ladung pro Volumeneinheit und ist das in unserem geschlossenen Volumen verteilte Elementarvolumen.

Der Satz von Gauß (der vollständige Name ist der Satz von Gauß-Ostrogradsky) ist ein rein mathematischer Divergenzsatz. Schreiben wir den Gesamtfluss des Vektors F wie folgt um:

Im Grenzfall, wenn N → ∞, →0, wird der Wert in Klammern zu einer Divergenz und die Summe geht in ein Volumenintegral über:
Dies ist der Satz von Gauß und tatsächlich die wichtigste Formel der Feldtheorie. Wenden wir diesen Satz auf ein elektrostatisches Feld an. Einerseits nach dem Gaußschen Gesetz
Und andererseits nach dem Gauß-Theorem (verwechseln Sie den Satz nur nicht mit dem Gauß-Gesetz):
Wenn wir die letzten beiden Gleichungen kombinieren, erhalten wir:
Erinnern Sie sich an die Formel (**) und ersetzen Sie hier anstelle von E das Potential des Feldes
Die Gradientendivergenz ist ein neuer Operator, der in der Mathematik Laplace-Operator oder kurz Laplace-Operator genannt wird. Der Laplace-Operator wird wie folgt durch das Nabla-Symbol gekennzeichnet und ist gleich
Schreiben wir die vorherige Formel in Form des Laplace-Operators um:
Schließlich haben wir die Poisson-Gleichung. Im ersten Artikel hatte diese Gleichung eine etwas andere Form, unter Berücksichtigung der Dielektrizitätskonstante des Mediums. Denken Sie an die Coulomb-Kraft im SI-System, es gibt eine Konstante. Dementsprechend wird es im Gaußschen Gesetz keinen, sondern einen Koeffizienten geben. Somit erhalten wir die Poisson-Gleichung in der im vorherigen Artikel dargestellten Form
Somit ist die Poisson-Gleichung im Wesentlichen das Coulombsche Gesetz (oder vielmehr das Gaußsche Gesetz), das in einer anderen Form, in der Notation der Vektordifferentialanalyse, umgeschrieben wurde.

In analysieren wir eine wichtige Verteilung aus der mathematischen Statistik – die Boltzmann-Verteilung.

Stichworte:

• Physik
• Elektrostatik

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