So subtrahieren Sie Zahlen mit negativen Vorzeichen. Die Regel zum Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Die Reihenfolge der Multiplikationsoperation

In dieser Lektion lernen wir, was eine negative Zahl ist und welche Zahlen als Gegensätze bezeichnet werden. Wir lernen auch, wie man negative und positive Zahlen (Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen) addiert und analysieren mehrere Beispiele für das Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.

Sehen Sie sich dieses Zahnrad an (siehe Abb. 1).

Reis. 1. Uhrwerk

Dabei handelt es sich nicht um einen Pfeil, der direkt die Uhrzeit anzeigt, und auch nicht um ein Ziffernblatt (siehe Abb. 2). Aber ohne dieses Detail funktioniert die Uhr nicht.

Reis. 2. Gang in der Uhr

Wofür steht der Buchstabe Y? Nichts als der Ton Y. Aber ohne sie „funktionieren“ viele Wörter nicht. Zum Beispiel das Wort „Maus“. Ebenso negative Zahlen: Sie zeigen keinen Betrag an, aber ohne sie wäre der Berechnungsmechanismus viel schwieriger.

Wir wissen, dass Addition und Subtraktion gleichwertige Operationen sind und in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden können. In direkter Reihenfolge können wir berechnen: , aber es gibt keine Möglichkeit, mit der Subtraktion zu beginnen, da wir uns noch nicht geeinigt haben, aber was ist .

Es ist klar, dass eine Erhöhung der Zahl um und dann eine Verringerung um im Ergebnis eine Verringerung um drei bedeutet. Warum nicht dieses Objekt bezeichnen und auf diese Weise zählen: Addieren ist Subtrahieren. Dann .

Die Zahl kann zum Beispiel Äpfel bedeuten. Die neue Zahl stellt keine reale Menge dar. An sich bedeutet es nichts, wie der Buchstabe Y. Es ist nur ein neues Tool zur Vereinfachung von Berechnungen.

Nennen wir neue Nummern Negativ. Jetzt können wir eine größere Zahl von einer kleineren Zahl subtrahieren. Technisch gesehen müssen Sie immer noch die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren, aber ein Minuszeichen in die Antwort einfügen: .

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: . Sie können alle Aktionen nacheinander ausführen:.

Es ist jedoch einfacher, die dritte Zahl von der ersten Zahl zu subtrahieren und dann die zweite Zahl zu addieren:

Negative Zahlen können auf andere Weise definiert werden.

Lassen Sie uns zum Beispiel für jede natürliche Zahl eine neue Zahl einführen, die wir bezeichnen, und feststellen, dass sie die folgende Eigenschaft hat: die Summe der Zahl und ist gleich : .

Die Zahl wird als negativ bezeichnet, und die Zahlen und - gegenüber. So haben wir unendlich viele neue Zahlen bekommen, zum Beispiel:

Das Gegenteil von Zahl ;

Das Gegenteil von ;

Das Gegenteil von ;

Das Gegenteil von ;

Subtrahiere die größere Zahl von der kleineren Zahl: Fügen wir zu diesem Ausdruck hinzu: . Wir haben null. Allerdings wird gemäß der Eigenschaft: eine Zahl, die sich zu fünf addiert, Null ergibt, minus fünf bezeichnet:. Daher kann der Ausdruck als bezeichnet werden.

Jede positive Zahl hat eine Zwillingszahl, die sich nur dadurch unterscheidet, dass ihr ein Minuszeichen vorangestellt ist.Solche Zahlen werden genannt Gegenteil(Siehe Abb. 3).

Reis. 3. Beispiele für Gegenzahlen

Eigenschaften von Gegenzahlen

1. Die Summe der entgegengesetzten Zahlen ist gleich Null:.

2. Wenn Sie eine positive Zahl von Null subtrahieren, ist das Ergebnis die entgegengesetzte negative Zahl: .

1. Beide Zahlen können positiv sein, und wir wissen bereits, wie man sie addiert: .

2. Beide Zahlen können negativ sein.

Wir haben die Addition solcher Zahlen bereits in der vorherigen Lektion behandelt, aber wir werden sicherstellen, dass wir verstehen, was mit ihnen zu tun ist. Zum Beispiel: .

Um diese Summe zu finden, addieren Sie entgegengesetzte positive Zahlen und setzen Sie ein Minuszeichen.

3. Eine Zahl kann positiv und eine andere negativ sein.

Wir können die Addition einer negativen Zahl, wenn es für uns bequem ist, durch die Subtraktion einer positiven ersetzen:.

Noch ein Beispiel: . Schreiben Sie die Summe wieder als Differenz. Sie können eine größere Zahl von einer kleineren Zahl subtrahieren, indem Sie eine kleinere Zahl von einer größeren subtrahieren, aber ein Minuszeichen setzen.

Die Begriffe können vertauscht werden: .

Ein weiteres ähnliches Beispiel: .

In allen Fällen ist das Ergebnis eine Subtraktion.

Um diese Regeln kurz zu formulieren, erinnern wir uns an einen anderen Begriff. Entgegengesetzte Zahlen sind natürlich nicht gleich. Aber es wäre seltsam, nicht zu bemerken, dass sie etwas gemeinsam haben. Diese Gemeinsamkeit haben wir angerufen Modul der Zahl. Der Modul der entgegengesetzten Zahlen ist derselbe: Für eine positive Zahl ist er gleich der Zahl selbst, und für eine negative ist er das Gegenteil, positiv. Zum Beispiel: , .

Um zwei negative Zahlen zu addieren, addieren Sie ihren Modulus und setzen Sie ein Minuszeichen:

Um eine negative und eine positive Zahl zu addieren, müssen Sie das kleinere Modul vom größeren Modul subtrahieren und das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Modul setzen:

Beide Zahlen sind negativ, addieren Sie daher ihre Module und setzen Sie ein Minuszeichen:

Zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, daher subtrahieren wir vom Modul der Zahl (größerer Modul) den Modul der Zahl und setzen ein Minuszeichen (das Vorzeichen der Zahl mit größerem Modul):

Zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, daher subtrahieren wir vom Modul der Zahl (größerer Modul) den Modul der Zahl und setzen ein Minuszeichen (das Vorzeichen der Zahl mit großem Modul): .

Zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen subtrahieren Sie also den Modul der Zahl vom Modul der Zahl (größerer Modul) und setzen Sie ein Pluszeichen (Vorzeichen der Zahl mit großem Modul): .

Positive und negative Zahlen haben historisch unterschiedliche Rollen.

Zuerst haben wir natürliche Zahlen zum Zählen von Objekten eingeführt:

Dann haben wir andere positive Zahlen eingeführt - Brüche, zum Zählen nicht ganzzahliger Mengen, Teile: .

Negative Zahlen erschienen als Hilfsmittel zur Vereinfachung von Berechnungen. Es gab im Leben keine Größen, die wir nicht zählen konnten, und wir erfanden negative Zahlen.

Das heißt, negative Zahlen stammen nicht aus der realen Welt. Sie erwiesen sich einfach als so praktisch, dass sie an einigen Stellen im Leben verwendet wurden. Wir hören zum Beispiel oft von Minustemperaturen. In diesem Fall begegnen wir niemals einer negativen Anzahl von Äpfeln. Was ist der Unterschied?

Der Unterschied besteht darin, dass im wirklichen Leben negative Werte nur zum Vergleich verwendet werden, nicht für Mengen. Wenn im Hotel ein Keller eingerichtet und dort ein Aufzug eingeführt wurde, kann ein Minus im ersten Stock erscheinen, um die übliche Nummerierung der gewöhnlichen Stockwerke zu verlassen. Dieses minus eins bedeutet nur eine Etage unter der Erdoberfläche (siehe Abb. 1).

Reis. 4. Minus der erste und minus der zweite Stock

Eine negative Temperatur ist nur im Vergleich zu Null negativ, was vom Autor der Skala, Anders Celsius, gewählt wurde. Es gibt andere Skalen, und die gleiche Temperatur darf dort nicht mehr negativ sein.

Gleichzeitig verstehen wir, dass es unmöglich ist, den Ausgangspunkt so zu ändern, dass es nicht fünf, sondern sechs Äpfel gibt. So werden im Leben positive Zahlen zur Mengenbestimmung (Äpfel, Kuchen) verwendet.

Wir verwenden sie auch anstelle von Namen. Jedem Telefon könnte ein eigener Name gegeben werden, aber die Anzahl der Namen ist begrenzt, und es gibt keine Nummern. Deshalb verwenden wir Telefonnummern. Auch zum Bestellen (Jahrhundert folgt Jahrhundert).

Negative Zahlen im Leben werden im letzten Sinne verwendet (abzüglich des ersten Stockwerks unter dem Null- und dem ersten Stockwerk).

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik 6. M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathematik Klasse 6. "Gymnasium", 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Hinter den Seiten eines Mathematiklehrbuchs. Moskau: Bildung, 1989.
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5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tschaikowsky K.G. Mathematik 5-6. Ein Leitfaden für Schüler der 6. Klasse der Fernschule MEPhI. M.: ZSh MEPHI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Mathematik: Lehrbuch-Gesprächspartner für die 5.-6. Klasse des Gymnasiums. M.: Pädagogik, Lehrerbibliothek Mathematik, 1989.

1. Math-prosto.ru ().
2. Youtube().
3. Schulassistent.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

Hausaufgaben

Unterrichtsplan:

I. Organisatorischer Moment

Überprüfung der einzelnen Hausaufgaben.

II. Aktualisierung des Grundwissens der Schüler

1. Gegenseitige Übung. Kontrollfragen (paarweise Organisationsform der Arbeit - gegenseitige Überprüfung).
2. Mündliche Arbeit mit Kommentierung (gruppenorganisatorische Arbeitsform).
3. Eigenständiges Arbeiten (individuelle Organisationsform der Arbeit, Selbstprüfung).

III. Nachricht zum Unterrichtsthema

Gruppenorganisatorische Arbeitsform, Hypothese aufstellen, Regel formulieren.

1. Erfüllung von Ausbildungsaufgaben nach Lehrbuch (gruppenorganisatorische Arbeitsform).
2. Die Arbeit starker Schüler an Karten (individuelle Organisationsform der Arbeit).

VI. Körperliche Pause

IX. Hausaufgaben.

Ziel: Bildung der Fähigkeit, Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu addieren.

Aufgaben:

• Formulieren Sie eine Regel zum Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.
• Üben Sie das Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.
• Logisches Denken entwickeln.
• Die Fähigkeit zur Paararbeit und gegenseitigen Respekt zu kultivieren.

Material für den Unterricht: Karten zum gemeinsamen Training, Tabellen mit Arbeitsergebnissen, individuelle Karten zur Wiederholung und Vertiefung des Stoffes, ein Motto für die Einzelarbeit, Karten mit Regel.

WÄHREND DER KLASSEN

ICH. Zeit organisieren

Beginnen wir den Unterricht mit der Überprüfung der einzelnen Hausaufgaben. Das Motto unseres Unterrichts werden die Worte von Jan Amos Kamensky sein. Zu Hause hättest du über seine Worte nachdenken sollen. Wie verstehen Sie es? („Betrachten Sie diesen Tag oder diese Stunde als unglücklich, in der Sie nichts Neues gelernt und Ihrer Ausbildung nichts hinzugefügt haben“)
– Wie verstehen Sie die Worte des Autors? (Wenn wir nichts Neues lernen, kein neues Wissen erhalten, kann dieser Tag als verloren oder unglücklich angesehen werden. Wir müssen uns bemühen, neues Wissen zu erwerben).
– Und heute werden wir nicht unglücklich, weil wir wieder etwas Neues lernen werden.

II. Aktualisierung des Grundwissens der Schüler

- Um neues Material zu lernen, musst du die Vergangenheit wiederholen.
Zu Hause gab es eine Aufgabe - die Regeln zu wiederholen, und jetzt zeigen Sie Ihr Wissen, indem Sie mit Kontrollfragen arbeiten.

(Testfragen zum Thema „Positive und negative Zahlen“)

Partnerarbeit. Gegenseitige Überprüfung. Die Ergebnisse der Arbeit sind in der Tabelle vermerkt)

Wie heißen die Zahlen rechts vom Ursprung?	Positiv
Was sind die Gegenzahlen?	Zwei Zahlen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, heißen Gegenzahlen.
Was ist der Modul einer Zahl?	Entfernung vom Punkt A(a) vor Beginn des Countdowns, also auf den Punkt O(0), heißt Modul einer Zahl
Was ist der Modul einer Zahl?	Klammern
Wie lautet die Regel zum Addieren negativer Zahlen?	Um zwei negative Zahlen zu addieren, müssen Sie ihren Modulus addieren und ein Minuszeichen setzen
Wie heißen die Zahlen links vom Ursprung?	Negativ
Was ist das Gegenteil von Null?	0
Kann der Absolutwert einer beliebigen Zahl negativ sein?	Nein. Distanz ist nie negativ
Nennen Sie die Regel zum Vergleichen negativer Zahlen	Von zwei negativen Zahlen ist diejenige größer, deren Modul kleiner und kleiner ist als die, deren Modul größer ist
Was ist die Summe der Gegenzahlen?	0

Antworten auf die Fragen "+" ist richtig, "-" ist falsch Bewertungskriterien: 5 - "5"; 4 - "4"; 3 - "3"

	1	2	3	4	5	Klasse
F/Fragen
Selbst / Arbeit
Ind./ Arbeit
Ergebnis

Welche Fragen waren die schwierigsten?
Was brauchen Sie, um die Testfragen erfolgreich zu bestehen? (Kenne die Regeln)

2. Mündliche Arbeit mit Kommentar

– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)

– Welche Kenntnisse brauchten Sie, um 1-5 Beispiele zu lösen?

3. Selbständiges Arbeiten

– 86, 52 + (– 6, 3) =	– 92,82
– 49/91 + (– 27/91) =	– 76/91
– 76 + (– 99) =	– 175
– 14 + (– 47) =	– 61
– 123,5 + (– 25, 18) =	– 148,68
6 + (– 10) =

(Selbsttest. Offen während Testantworten)

Warum hat Ihnen das letzte Beispiel das Leben schwer gemacht?
- Die Summe welcher Zahlen muss gefunden werden, und die Summe welcher Zahlen können wir finden?

III. Nachricht zum Unterrichtsthema

- Heute lernen wir in der Lektion die Regel zum Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Wir werden lernen, Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu addieren. Das Selbststudium am Ende der Lektion zeigt Ihren Fortschritt.

IV. Neues Material lernen

- Öffnen wir Notizbücher, notieren das Datum, Klassenarbeiten, das Thema der Lektion lautet "Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen".
- Was steht auf der Tafel? (Koordinatenlinie)

- Beweisen, dass dies eine Koordinatenlinie ist? (Es gibt einen Referenzpunkt, eine Referenzrichtung, ein einzelnes Segment)
- Jetzt lernen wir gemeinsam, Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen mithilfe einer Koordinatenlinie zu addieren.

(Erklärung der Schüler unter Anleitung eines Lehrers.)

- Suchen wir auf der Koordinatenlinie die Zahl 0. Die Zahl 6 muss zu 0 addiert werden. Wir gehen 6 Schritte nach rechts vom Ursprung, weil die Zahl 6 ist positiv (wir haben einen farbigen Magneten auf die resultierende Zahl 6 gelegt). Wir addieren die Zahl (-10) zu 6, machen 10 Schritte nach links vom Ursprung, weil (- 10) eine negative Zahl ist (legen Sie einen farbigen Magneten auf die resultierende Zahl (- 4).)
- Was war die Antwort? (- vier)
Wie hast du die Nummer 4 bekommen? (10 - 6)
Schlussfolgerung: Subtrahiere von der Zahl mit großem Modul die Zahl mit kleinerem Modul.
- Wie hast du das Minuszeichen in die Antwort bekommen?
Schlussfolgerung: Wir haben das Vorzeichen einer Zahl mit einem großen Modul genommen.
Lassen Sie uns ein Beispiel in ein Notizbuch schreiben:

6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (-3) = + (10 - 3) = 7 (ähnlich lösen)

Eintrag akzeptiert:

6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7

- Leute, Sie haben jetzt selbst die Regel zum Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen formuliert. Wir nennen Ihre Vermutungen Hypothese. Sie haben sehr wichtige intellektuelle Arbeit geleistet. Als hätten Wissenschaftler eine Hypothese aufgestellt und eine neue Regel entdeckt. Lassen Sie uns Ihre Hypothese mit der Regel überprüfen (das Blatt mit der gedruckten Regel liegt auf dem Schreibtisch). Lasst uns gemeinsam lesen Regel Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen addieren

- Die Regel ist sehr wichtig! Es ermöglicht Ihnen, Zahlen mit verschiedenen Zeichen ohne die Hilfe einer Koordinatenlinie hinzuzufügen.
- Was ist nicht klar?
- Wo kann man sich irren?
- Um Aufgaben mit positiven und negativen Zahlen korrekt und fehlerfrei berechnen zu können, müssen Sie die Regeln kennen.

V. Konsolidierung des studierten Materials

Findest du die Summe dieser Zahlen auf der Koordinatenlinie?
- Es ist schwierig, ein solches Beispiel mit Hilfe einer Koordinatenlinie zu lösen, daher verwenden wir die Regel, die Sie beim Lösen entdeckt haben.
Die Aufgabe wird an die Tafel geschrieben:
Lehrbuch - p. 45; Nr. 179 (c, d); Nr. 180 (a, b); Nr. 181 (b, c)
(Ein starker Schüler verstärkt dieses Thema mit einer zusätzlichen Karte.)

VI. Körperliche Pause(im Stehen ausführen)

- Eine Person hat positive und negative Eigenschaften. Verteilen Sie diese Eigenschaften auf der Koordinatenlinie.
(Positive Eigenschaften sind rechts vom Bezugspunkt, negative Eigenschaften sind links vom Bezugspunkt.)
- Wenn die Qualität negativ ist - einmal klatschen, positiv - zweimal. Seien Sie vorsichtig!
– Freundlichkeit, Wut, Gier , gegenseitige Unterstützung, Verständnis, Unhöflichkeit und natürlich Willenskraft und nach Sieg streben, die Sie jetzt brauchen werden, da Sie selbstständige Arbeit vor sich haben)
VII. Einzelarbeit mit anschließender Peer-Review

Variante 1	Option 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =

Einzelarbeit (z stark Studierende) mit anschließender gegenseitiger Prüfung

Variante 1	Option 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =
100 + (– 28) =	100 + (– 39) =
56 + (– 27) =	73 + (– 24) =
– 4,61 + (– 2,22) =	– 5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 68 =	– 43 + 39 =

VIII. Zusammenfassung der Lektion. Betrachtung

– Ich glaube, dass Sie aktiv und fleißig gearbeitet haben, an der Entdeckung neuer Erkenntnisse teilgenommen haben, Ihre Meinung geäußert haben, jetzt kann ich Ihre Arbeit bewerten.
- Sagen Sie mir, Leute, was ist effektiver: vorgefertigte Informationen zu erhalten oder selbst zu denken?
- Was haben wir im Unterricht gelernt? (Ich habe gelernt, wie man Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen addiert.)
Nennen Sie die Regel zum Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.
- Sag mir, unsere Lektion heute war nicht umsonst?
- Warum? (Neues Wissen erwerben.)
Kommen wir zurück zum Slogan. Jan Amos Kamensky hatte also recht, als er sagte: "Betrachten Sie den Tag oder die Stunde als unglücklich, in der Sie nichts Neues gelernt und Ihrer Ausbildung nichts hinzugefügt haben."

IX. Hausaufgaben

Lerne die Regel (Karte), S.45, Nr. 184.
Einzelaufgabe - wie versteht man die Worte von Roger Bacon: „Wer Mathematik nicht kennt, ist keiner anderen Wissenschaft fähig. Außerdem ist er nicht einmal in der Lage, das Ausmaß seiner Unwissenheit einzuschätzen?

In diesem Artikel werden wir uns detailliert ansehen, wie ganzzahlige Addition. Lassen Sie uns zunächst eine allgemeine Vorstellung von der Addition von ganzen Zahlen bilden und sehen, was die Addition von ganzen Zahlen auf einer Koordinatenlinie ist. Dieses Wissen wird uns helfen, die Regeln für die Addition positiver, negativer und ganzer Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu formulieren. Hier werden wir die Anwendung von Additionsregeln beim Lösen von Beispielen im Detail analysieren und lernen, die erhaltenen Ergebnisse zu überprüfen. Zum Abschluss des Artikels werden wir über die Addition von drei oder mehr ganzen Zahlen sprechen.

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Ganzzahlige Addition verstehen

Lassen Sie uns Beispiele für die Addition von ganzzahligen Gegenzahlen geben. Die Summe der Zahlen –5 und 5 ist Null, die Summe von 901+(–901) ist Null, und die Summe der entgegengesetzten ganzen Zahlen 1.567.893 und –1.567.893 ist ebenfalls Null.

Hinzufügen einer beliebigen Ganzzahl und Null

Verwenden wir die Koordinatenlinie, um zu verstehen, was das Ergebnis der Addition von zwei ganzen Zahlen ist, von denen eine gleich Null ist.

Das Addieren einer beliebigen Ganzzahl a zu Null bedeutet, Einheitssegmente vom Ursprung bis zu einer Entfernung a zu verschieben. Wir befinden uns also an einem Punkt mit der Koordinate a. Daher ist das Ergebnis der Addition von Null und einer beliebigen Ganzzahl die addierte Ganzzahl.

Andererseits bedeutet das Hinzufügen von Null zu einer beliebigen ganzen Zahl, sich von dem Punkt, dessen Koordinate durch die gegebene ganze Zahl gegeben ist, zu einer Entfernung von Null zu bewegen. Mit anderen Worten, wir bleiben am Ausgangspunkt. Daher ist das Ergebnis der Addition einer beliebigen Ganzzahl und Null die gegebene Ganzzahl.

So, Die Summe zweier ganzer Zahlen, von denen eine Null ist, ist gleich der anderen ganzen Zahl. Insbesondere Null plus Null ist Null.

Lassen Sie uns einige Beispiele geben. Die Summe der ganzen Zahlen 78 und 0 ist 78; das Ergebnis der Addition von Null und −903 ist −903 ; auch 0+0=0 .

Überprüfen des Additionsergebnisses

Nach dem Addieren von zwei ganzen Zahlen ist es sinnvoll, das Ergebnis zu überprüfen. Wir wissen bereits, dass Sie, um das Ergebnis der Addition zweier natürlicher Zahlen zu überprüfen, einen der Terme von der resultierenden Summe subtrahieren müssen und ein anderer Term erhalten werden sollte. Überprüfen des Ergebnisses der ganzzahligen Additionähnlich durchgeführt. Aber die Subtraktion von ganzen Zahlen reduziert sich darauf, dass zum Minuend die Zahl hinzugefügt wird, die der subtrahierten Zahl entgegengesetzt ist. Um also das Ergebnis der Addition zweier ganzer Zahlen zu überprüfen, müssen Sie die Zahl, die einem der Terme entgegengesetzt ist, zur resultierenden Summe addieren, und ein weiterer Term sollte erhalten werden.

Schauen wir uns Beispiele an, bei denen das Ergebnis der Addition zweier Ganzzahlen überprüft wird.

Beispiel.

Wenn Sie zwei ganze Zahlen 13 und −9 addieren, erhalten Sie die Zahl 4, überprüfen Sie das Ergebnis.

Lösung.

Lassen Sie uns zur resultierenden Summe 4 die Zahl -13 hinzufügen, das Gegenteil von 13, und sehen, ob wir einen weiteren Term -9 erhalten.

Berechnen wir also die Summe 4+(−13) . Dies ist die Summe ganzer Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen. Die Moduli der Terme sind 4 bzw. 13. Der Term, dessen Modul größer ist, hat ein Minuszeichen, woran wir uns erinnern. Jetzt subtrahieren wir vom größeren Modul das kleinere: 13−4=9 . Es bleibt, ein auswendig gelerntes Minuszeichen vor die resultierende Zahl zu setzen, wir haben -9.

Bei der Überprüfung haben wir eine Zahl erhalten, die einem anderen Begriff entspricht, daher wurde der ursprüngliche Betrag korrekt berechnet.-19 . Da wir eine Zahl gleich einem anderen Term erhalten haben, wurde die Addition der Zahlen −35 und −19 korrekt durchgeführt.

Addieren von drei oder mehr ganzen Zahlen

Bis zu diesem Punkt haben wir über das Addieren von zwei ganzen Zahlen gesprochen. Mit anderen Worten, wir haben Summen betrachtet, die aus zwei Termen bestehen. Die assoziative Eigenschaft des Addierens ganzer Zahlen ermöglicht es uns jedoch, die Summe von drei, vier oder mehr ganzen Zahlen eindeutig zu bestimmen.

Basierend auf den Eigenschaften der Addition ganzer Zahlen können wir behaupten, dass die Summe von drei, vier usw. Zahlen nicht von der Art und Weise abhängt, wie die Klammern gesetzt werden, die die Reihenfolge angeben, in der Aktionen ausgeführt werden, sowie von der Reihenfolge der Begriffe in der Summe. Wir haben diese Aussagen untermauert, als wir über die Addition von drei oder mehr natürlichen Zahlen sprachen. Bei Ganzzahlen sind alle Argumente völlig gleich, und wir werden uns nicht wiederholen. 0+(−101) +(−17)+5 . Wenn wir danach die Klammern auf eine beliebige zulässige Weise setzen, erhalten wir immer noch die Zahl −113 .

Antworten:

5+(−17)+0+(−101)=−113 .

Referenzliste.

• Wilenkin N.Ja. usw. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.

Addition negativer Zahlen.

Die Summe negativer Zahlen ist eine negative Zahl. Der Modul der Summe ist gleich der Summe der Module der Terme.

Mal sehen, warum die Summe negativer Zahlen auch eine negative Zahl sein wird. Dabei hilft uns die Koordinatenlinie, auf der wir die Addition der Zahlen -3 und -5 durchführen. Markieren wir einen Punkt auf der Koordinatenlinie, der der Zahl -3 entspricht.

Zu der Zahl -3 müssen wir die Zahl -5 hinzufügen. Wohin gehen wir von dem Punkt, der der Zahl -3 entspricht? Das ist richtig, nach links! Für 5 Einzelsegmente. Wir markieren den Punkt und schreiben die entsprechende Zahl. Diese Zahl ist -8.

Wenn wir also negative Zahlen mit einer Koordinatenlinie addieren, befinden wir uns immer links vom Bezugspunkt, daher ist klar, dass das Ergebnis der Addition negativer Zahlen auch eine negative Zahl ist.

Notiz. Wir haben die Zahlen -3 und -5 hinzugefügt, d.h. den Wert des Ausdrucks -3+(-5) gefunden. Wenn sie rationale Zahlen addieren, schreiben sie diese Zahlen normalerweise einfach mit ihren Vorzeichen auf, als ob sie alle Zahlen auflisten würden, die addiert werden müssen. Eine solche Notation wird algebraische Summe genannt. Apply (in unserem Beispiel) record: -3-5=-8.

Beispiel. Finden Sie die Summe negativer Zahlen: -23-42-54. (Stimmen Sie zu, dass dieser Eintrag kürzer und bequemer ist: -23+(-42)+(-54))?

Wir entscheiden nach der Additionsregel negativer Zahlen: Wir addieren die Module der Terme: 23+42+54=119. Das Ergebnis wird mit einem Minuszeichen angezeigt.

Sie schreiben es normalerweise so auf: -23-42-54 \u003d -119.

Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.

Die Summe zweier Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen hat das Vorzeichen des Summanden mit großem Betrag. Um den Modul der Summe zu finden, müssen Sie den kleineren Modul von dem größeren Modul subtrahieren.

Führen wir die Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen mithilfe der Koordinatenlinie durch.

1) -4+6. Es ist erforderlich, die Zahl -4 zur Zahl 6 hinzuzufügen. Wir markieren die Zahl -4 mit einem Punkt auf der Koordinatenlinie. Die Zahl 6 ist positiv, was bedeutet, dass wir vom Punkt mit der Koordinate -4 um 6 Einheitssegmente nach rechts gehen müssen. Wir landeten rechts vom Ursprung (von Null) um 2 Einheitssegmente.

Das Ergebnis der Summe der Zahlen -4 und 6 ist die positive Zahl 2:

— 4+6=2. Wie konntest du die Nummer 2 bekommen? Subtrahiere 4 von 6, d.h. den kleineren vom größeren abziehen. Das Ergebnis hat das gleiche Vorzeichen wie der Term mit großem Modul.

2) Lassen Sie uns berechnen: -7+3 mit der Koordinatenlinie. Wir markieren den Punkt, der der Zahl -7 entspricht. Wir gehen um 3 Einheitssegmente nach rechts und erhalten einen Punkt mit der Koordinate -4. Wir waren und blieben links vom Ursprung: Die Antwort ist eine negative Zahl.

— 7+3=-4. Wir könnten dieses Ergebnis wie folgt erhalten: Wir subtrahierten den kleineren vom größeren Modul, d.h. 7-3=4. Dadurch wurde das Vorzeichen des Terms mit größerem Modul gesetzt: |-7|>|3|.

Beispiele. Berechnung: a) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.

Anweisung

Es gibt vier Arten von mathematischen Operationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Daher wird es vier Arten von Beispielen geben. Negative Zahlen innerhalb des Beispiels sind hervorgehoben, um die mathematische Operation nicht zu verwirren. Zum Beispiel 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) oder 34:(-17).

Zusatz. Diese Aktion kann wie folgt aussehen: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Ersetzen der Aktion: Zuerst werden die Klammern geöffnet, das "+" -Zeichen wird umgekehrt, dann wird die kleinere "3" von der größeren (Modulo-) Zahl "6" subtrahiert, danach wird der Antwort das größere Zeichen zugewiesen, dh , "-".
2) -3+6=3. Dieser kann geschrieben werden als - ("6-3") oder nach dem Prinzip "das Kleinere vom Größeren subtrahieren und das Vorzeichen des Größeren der Antwort zuweisen."
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Beim Öffnen wird die Aktion Addition durch Subtraktion ersetzt, dann werden die Module aufsummiert und das Ergebnis mit einem Minuszeichen versehen.

Subtraktion.1) 8-(-5)=8+5=13. Die Klammern werden geöffnet, das Vorzeichen der Aktion umgekehrt und ein Additionsbeispiel erhalten.
2) -9-3=-12. Die Elemente des Beispiels werden addiert und mit einem gemeinsamen "-"-Zeichen versehen.
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Beim Öffnen der Klammern wechselt das Vorzeichen wieder auf „+“, dann wird die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahiert und das Vorzeichen der größeren Zahl aus der Antwort genommen.

Multiplikation und Division: Bei der Multiplikation oder Division hat das Vorzeichen keinen Einfluss auf die Operation selbst. Beim Multiplizieren oder Dividieren von Zahlen wird der Antwort ein Minuszeichen zugeordnet, bei Zahlen mit gleichem Vorzeichen hat das Ergebnis immer ein Pluszeichen 1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Quellen:

• Tabelle mit Nachteilen

Wie entscheiden Beispiele? Kinder wenden sich mit dieser Frage oft an ihre Eltern, wenn Hausaufgaben gemacht werden müssen. Wie kann man einem Kind die Lösung von Beispielen für die Addition und Subtraktion mehrstelliger Zahlen richtig erklären? Versuchen wir, das herauszufinden.

Du wirst brauchen

• 1. Lehrbuch der Mathematik.
• 2. Papier.
• 3. Griff.

Anweisung

Ließ das Beispiel. Dazu wird jeder Mehrwertig in Klassen eingeteilt. Zählen Sie vom Ende der Nummer ausgehend drei Ziffern ab und setzen Sie einen Punkt (23.867.567). Denken Sie daran, dass die ersten drei Ziffern vom Ende der Nummer Einheiten sind, die nächsten drei - der Klasse, dann gibt es Millionen. Wir lesen die Zahl: dreiundzwanzig acsiebenundsechzig.

Schreiben Sie ein Beispiel auf. Bitte beachten Sie, dass die Einheiten jeder Ziffer streng untereinander geschrieben werden: Einheiten unter Einer, Zehner unter Zehner, Hunderter unter Hunderter usw.

Führen Sie eine Addition oder Subtraktion durch. Beginnen Sie die Aktion mit Einheiten. Schreiben Sie das Ergebnis unter die Kategorie, mit der die Aktion durchgeführt wurde. Wenn sich herausstellt, dass es sich um eine Zahl () handelt, schreiben wir die Einheiten an die Stelle der Antwort und fügen die Zehnerzahl zu den Einheiten der Entladung hinzu. Wenn die Anzahl der Einheiten einer Ziffer im Minuend kleiner ist als im Subtrahend, nehmen wir 10 Einheiten der nächsten Ziffer und führen die Aktion aus.

Lesen Sie die Antwort.

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beachten Sie

Verbieten Sie Ihrem Kind, einen Taschenrechner zu benutzen, auch nicht, um die Lösung eines Beispiels zu überprüfen. Addition wird durch Subtraktion geprüft und Subtraktion wird durch Addition geprüft.

Nützlicher Rat

Wenn ein Kind die Techniken des schriftlichen Rechnens innerhalb von 1000 gut lernt, werden analog durchgeführte Aktionen mit mehrstelligen Zahlen keine Schwierigkeiten verursachen.
Veranstalten Sie einen Wettbewerb für Ihr Kind: Wie viele Beispiele kann es in 10 Minuten lösen? Ein solches Training wird dazu beitragen, Rechentechniken zu automatisieren.

Die Multiplikation ist eine der vier mathematischen Grundoperationen und die Grundlage für viele komplexere Funktionen. In diesem Fall basiert die Multiplikation tatsächlich auf der Additionsoperation: Wenn Sie diese kennen, können Sie jedes Beispiel richtig lösen.

Um das Wesen der Multiplikationsoperation zu verstehen, muss berücksichtigt werden, dass drei Hauptkomponenten daran beteiligt sind. Einer von ihnen wird als erster Faktor bezeichnet und stellt die Zahl dar, die der Multiplikationsoperation unterzogen wird. Aus diesem Grund hat es einen zweiten, etwas weniger gebräuchlichen Namen - "Multiplikator". Die zweite Komponente der Multiplikationsoperation wird zweiter Faktor genannt: Es ist die Zahl, mit der der Multiplikand multipliziert wird. Daher werden diese beiden Komponenten als Multiplikatoren bezeichnet, was ihre Gleichwertigkeit sowie die Tatsache, dass sie ausgetauscht werden können, unterstreicht: Das Ergebnis der Multiplikation ändert sich dadurch nicht. Die daraus resultierende dritte Komponente der Multiplikationsoperation schließlich heißt Produkt.

Die Reihenfolge der Multiplikationsoperation

Das Wesen der Multiplikationsoperation basiert auf einer einfacheren arithmetischen Operation -. Tatsächlich ist die Multiplikation die Summe des ersten Faktors oder Multiplikanden, so oft, wie es dem zweiten Faktor entspricht. Um beispielsweise 8 mit 4 zu multiplizieren, müssen Sie die Zahl 8 4 Mal addieren, was 32 ergibt. Diese Methode vermittelt nicht nur ein Verständnis für die Essenz der Multiplikationsoperation, sondern kann auch zur Überprüfung des erhaltenen Ergebnisses verwendet werden indem Sie das gewünschte Produkt berechnen. Es sollte beachtet werden, dass die Überprüfung notwendigerweise davon ausgeht, dass die an der Summierung beteiligten Terme dieselben sind und dem ersten Faktor entsprechen.

Multiplikationsbeispiele lösen

Somit kann es zum Lösen, verbunden mit der Notwendigkeit, eine Multiplikation durchzuführen, ausreichend sein, die erforderliche Anzahl von ersten Faktoren eine gegebene Anzahl von Malen zu addieren. Ein solches Verfahren kann praktisch sein, um fast alle Berechnungen durchzuführen, die mit dieser Operation verbunden sind. Gleichzeitig gibt es in der Mathematik häufig typische, an denen standardmäßige einstellige ganze Zahlen teilnehmen. Um ihre Berechnung zu erleichtern, wurde die sogenannte Multiplikation erstellt, die eine vollständige Liste von Produkten positiver ganzzahliger einstelliger Zahlen enthält, dh Zahlen von 1 bis 9. Sobald Sie also gelernt haben, können Sie erheblich vereinfachen der Prozess des Lösens von Multiplikationsbeispielen, basierend auf der Verwendung solcher Zahlen. Bei komplexeren Optionen müssen Sie diese mathematische Operation jedoch selbst durchführen.

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Quellen:

• Multiplikation im Jahr 2019

Die Multiplikation ist eine der vier Grundrechenarten, die sowohl in der Schule als auch im Alltag häufig verwendet wird. Wie kann man schnell zwei Zahlen multiplizieren?

Grundlage der komplexesten mathematischen Berechnungen sind vier Grundrechenarten: Subtraktion, Addition, Multiplikation und Division. Gleichzeitig erweisen sich diese Operationen trotz ihrer Unabhängigkeit bei näherer Betrachtung als miteinander verbunden. Eine solche Beziehung besteht beispielsweise zwischen Addition und Multiplikation.

Zahlenmultiplikationsoperation

An der Multiplikationsoperation sind drei Hauptelemente beteiligt. Der erste davon, der üblicherweise als erster Faktor oder Multiplikand bezeichnet wird, ist die Zahl, die der Multiplikationsoperation unterzogen wird. Der zweite, der zweite Faktor genannt wird, ist die Zahl, mit der der erste Faktor multipliziert wird. Schließlich wird das Ergebnis der durchgeführten Multiplikationsoperation am häufigsten als Produkt bezeichnet.

Es sei daran erinnert, dass das Wesen der Multiplikationsoperation tatsächlich auf Addition basiert: Für ihre Implementierung ist es erforderlich, eine bestimmte Anzahl erster Faktoren zu addieren, und die Anzahl der Terme in dieser Summe muss gleich dem zweiten Faktor sein. Neben der Berechnung des Produkts der beiden betrachteten Faktoren kann dieser Algorithmus auch zur Überprüfung des resultierenden Ergebnisses verwendet werden.

Ein Beispiel für das Lösen einer Multiplikationsaufgabe

Betrachten Sie Lösungen für das Multiplikationsproblem. Angenommen, gemäß den Bedingungen der Aufgabe muss das Produkt zweier Zahlen berechnet werden, von denen der erste Faktor 8 und der zweite 4 ist. Gemäß der Definition der Multiplikationsoperation bedeutet dies tatsächlich, dass Sie müssen Sie die Zahl 8 4 mal addieren.Das Ergebnis ist 32 - dies ist das Produkt betrachteter Zahlen, dh das Ergebnis ihrer Multiplikation.

Außerdem muss beachtet werden, dass für die Multiplikationsoperation das sogenannte Kommutativgesetz gilt, das festlegt, dass das Ändern der Stellen der Faktoren im ursprünglichen Beispiel das Ergebnis nicht ändert. So können Sie die Zahl 4 8 Mal addieren, was zu demselben Ergebnis führt - 32.

Multiplikationstabelle

Es ist klar, dass auf diese Weise zu lösen große Menge Beispiele des gleichen Typs ist eine ziemlich mühsame Aufgabe. Um diese Aufgabe zu erleichtern, wurde die sogenannte Multiplikation erfunden. Tatsächlich handelt es sich um eine Liste von Produkten ganzzahliger positiver einstelliger Zahlen. Einfach ausgedrückt ist eine Einmaleins-Tabelle eine Sammlung von Ergebnissen der Multiplikation untereinander von 1 bis 9. Wenn Sie diese Tabelle einmal gelernt haben, können Sie nicht mehr auf die Multiplikation zurückgreifen, wenn Sie ein Beispiel für solche Primzahlen lösen müssen, aber denken Sie einfach daran sein Ergebnis.

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