علائم افزایش و کاهش توابع. نشانه های ثبات، افزایش و کاهش عملکردها. شرط لازم برای افراط

نشانه ها افزایش محلیو عملکرد کاهشی

یکی از وظایف اصلی مطالعه یک تابع، یافتن فواصل افزایش و کاهش آن است. انجام چنین مطالعه ای با استفاده از مشتق آسان است. اجازه دهید اظهارات مربوطه را فرموله کنیم.

معیار کافی برای افزایش عملکرد. اگر f'(x) > 0 در هر نقطه از بازه I، تابع f به میزان I افزایش می یابد.

یک معیار کافی برای کاهش یک تابع. اگر f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

اثبات این ویژگی ها بر اساس فرمول لاگرانژ انجام می شود (به بخش 19 مراجعه کنید). هر دو عدد x را بگیرید 1 و x2 از فاصله اجازه دهید x 1 یک عدد с∈(х 1، x 2)، به طوری که

(1)

عدد c متعلق به بازه I است، زیرا نقاط x 1 و x2 متعلق به I. اگر f"(x)> 0 برای x∈I، پس f'(с)> 0، و بنابراین F(x 1 )) - این از فرمول (1) نتیجه می شود، زیرا x 2-x1 > 0. این ثابت می کند که تابع f در I افزایش می یابد. اگر f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )> f (x 2 ) از فرمول (1) ناشی می شود، زیرا x 2-x1 > 0. ثابت می کنیم که تابع f روی I کاهش می یابد.

معنای بصری نشانه ها از استدلال فیزیکی مشخص است (برای قطعیت، علامت افزایش را در نظر بگیرید).

بگذارید نقطه ای که در امتداد محور y در زمان t حرکت می کند دارای y-ordinate y = f(t) باشد. سپس سرعت این نقطه در زمان t برابر با f "(t) است (شکل 2 را ببینید.سرعت فوری ). اگر f’ (t)> 0 در هر لحظه از بازه t، آنگاه نقطه در جهت مثبت محور y حرکت می کند، یعنی اگر t 1 ). این بدان معناست که تابع f در بازه I در حال افزایش است.

تبصره 1.

اگر تابع f در هر یک از انتهای بازه افزایش (کاهش) پیوسته باشد، این نقطه به این بازه متصل می شود.

تبصره 2.

برای حل نابرابری های f "(x)> 0 و f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

شرایط لازم و کافی برای وجود یک تابع در یک نقطه.

شرط لازم برای افراط

تابع g(x) در یک نقطه دارای حداکثر (حداکثر یا حداقل) است اگر تابع در یک همسایگی دو طرفه نقطه و برای تمام نقاط x یک ناحیه تعریف شده باشد: به ترتیب، نابرابری

(در مورد حداکثر) یا (در مورد حداقل).

حداکثر تابع را می توان از شرط پیدا کرد: اگر مشتق وجود داشته باشد، i.e. اولین مشتق تابع را با صفر برابر کنید.

شرایط اکسترومی کافی

1) شرط اول کافی:

الف) f(x) یک تابع پیوسته است و در همسایگی یک نقطه تعریف می شود به طوری که اولین مشتق در نقطه داده شده برابر با صفر است یا وجود ندارد.

ب) f(x) یک مشتق محدود در مجاورت مشخصات و تداوم تابع دارد.

ج) مشتق علامت خاصی را در سمت راست نقطه و سمت چپ همان نقطه حفظ می کند، سپس نقطه را می توان به صورت زیر مشخص کرد.

این شرط خیلی راحت نیست، زیرا باید شرایط زیادی را بررسی کنید و جدول را به خاطر بسپارید، اما اگر در مورد مشتقات مرتبه بالاتر چیزی گفته نشود، این تنها راه برای یافتن حداکثر تابع است.

2) شرط کافی دوم

اگر تابع g(x) مشتق دوم داشته باشد و در نقطه ای مشتق اول برابر با صفر و مشتق دوم غیر صفر باشد. سپس نکته عملکرد افراطی g(x)، و اگر، نقطه حداکثر است. اگر، پس نقطه حداقل است.

افزایش و کاهش بازه ها اطلاعات بسیار مهمی در مورد رفتار یک تابع ارائه می دهد. یافتن آنها بخشی از فرآیند کاوش و رسم تابع است. علاوه بر این، هنگام یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع در یک بازه زمانی مشخص، نقاط اکستروموم که در آنها تغییر از افزایش به کاهش یا کاهش به افزایش وجود دارد، مورد توجه ویژه قرار می گیرند.

در این مقاله با ارائه تعاریف لازم، آزمون کافی برای افزایش و کاهش یک تابع در یک بازه و شرایط کافی برای وجود یک اکستروم را تدوین می کنیم و کل این نظریه را در حل مثال ها و مسائل به کار می گیریم.

پیمایش صفحه.

افزایش و کاهش عملکرد در یک بازه.

تعریف تابع افزایشی

تابع y=f(x) در بازه X در صورت وجود و افزایش می یابد نابرابری ارضا شده است. به عبارت دیگر، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتر تابع مطابقت دارد.

کاهش تعریف تابع

تابع y=f(x) در بازه X در صورت وجود و کاهش می یابد نابرابری . به عبارت دیگر، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتر تابع مطابقت دارد.

نکته: اگر تابع در انتهای بازه افزایش یا کاهش (a;b) یعنی در x=a و x=b تعریف و پیوسته باشد، این نقاط در بازه افزایش یا کاهش قرار می‌گیرند. این با تعاریف یک تابع افزایش و کاهش در بازه X در تضاد نیست.

به عنوان مثال، از ویژگی های توابع ابتدایی پایه، می دانیم که y=sinx برای تمام مقادیر واقعی آرگومان تعریف شده و پیوسته است. بنابراین، از افزایش تابع سینوس در بازه، می‌توانیم افزایش در بازه را ادعا کنیم.

نقاط افراطی، عملکرد فوق العاده.

نقطه نامیده می شود حداکثر امتیازتابع y=f(x) اگر نابرابری برای همه x از همسایگی آن صادق باشد. مقدار تابع در نقطه حداکثر نامیده می شود حداکثر عملکردو دلالت کنند .

نقطه نامیده می شود حداقل امتیازتابع y=f(x) اگر نابرابری برای همه x از همسایگی آن صادق باشد. مقدار تابع در نقطه حداقل نامیده می شود حداقل عملکردو دلالت کنند .

همسایگی یک نقطه به عنوان فاصله درک می شود ، جایی که یک عدد مثبت به اندازه کافی کوچک است.

حداقل و حداکثر امتیاز نامیده می شود نقاط افراطی، و مقادیر تابع مربوط به نقاط انتهایی فراخوانی می شوند عملکرد افراطی.

افراط های تابع را با مقادیر حداکثر و حداقل تابع اشتباه نگیرید.

در شکل اول حداکثر مقدار تابع روی پاره در نقطه ماکزیمم و برابر با حداکثر تابع است و در شکل دوم حداکثر مقدار تابع در نقطه x=b به دست آمده است. ، که حداکثر امتیاز نیست.

شرایط کافی برای افزایش و کاهش توابع.

بر اساس شرایط (علائم) کافی برای افزایش و کاهش تابع، فواصل افزایش و کاهش تابع پیدا می شود.

در اینجا فرمولاسیون علائم افزایش و کاهش توابع در بازه وجود دارد:

• اگر مشتق تابع y=f(x) برای هر x از بازه X مثبت باشد، آنگاه تابع X افزایش می یابد.
• اگر مشتق تابع y=f(x) برای هر x از بازه X منفی باشد، آنگاه تابع روی X کاهش می یابد.

بنابراین، برای تعیین فواصل افزایش و کاهش یک تابع، لازم است:

مثالی از یافتن فواصل توابع افزایش و کاهش را برای روشن شدن الگوریتم در نظر بگیرید.

مثال.

فواصل افزایش و کاهش تابع را پیدا کنید.

راه حل.

اولین قدم این است که محدوده تابع را پیدا کنید. در مثال ما، عبارت در مخرج نباید ناپدید شود، بنابراین، .

بیایید به یافتن مشتق تابع برویم:

برای تعیین فواصل افزایش و کاهش یک تابع با معیار کافی، نابرابری ها را و در حوزه تعریف حل می کنیم. اجازه دهید از تعمیم روش فاصله استفاده کنیم. تنها ریشه واقعی صورت‌گر x=2 است و مخرج در x=0 ناپدید می‌شود. این نقاط دامنه تعریف را به فواصل زمانی تقسیم می کنند که در آن مشتق تابع علامت خود را حفظ می کند. بیایید این نقاط را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم. با مثبت و منفی، ما به طور مشروط فواصلی را نشان می دهیم که مشتق در آنها مثبت یا منفی است. فلش های زیر به صورت شماتیک افزایش یا کاهش تابع را در بازه مربوطه نشان می دهد.

به این ترتیب، و .

در نقطه x=2 تابع تعریف شده و پیوسته است، بنابراین باید به هر دو بازه صعودی و نزولی اضافه شود. در نقطه x=0 تابع تعریف نشده است، بنابراین این نقطه در بازه های مورد نیاز لحاظ نمی شود.

نمودار تابع را ارائه می کنیم تا نتایج به دست آمده را با آن مقایسه کنیم.

پاسخ:

تابع در افزایش می یابد ، در بازه (0;2] کاهش می یابد.

شرایط کافی برای حداکثر یک تابع.

برای یافتن ماکزیمم و مینیمم یک تابع، می‌توانید از هر یک از سه علامت اکسترموم استفاده کنید، البته اگر تابع شرایط آنها را برآورده کند. رایج ترین و راحت ترین اولین آنها است.

اولین شرط کافی برای افراط.

اجازه دهید تابع y=f(x) در یک همسایگی نقطه متمایز باشد و در خود نقطه پیوسته باشد.

به عبارت دیگر:

الگوریتم یافتن نقاط انتهایی با علامت اول تابع امتداد.

• یافتن محدوده تابع.
• مشتق تابع را در حوزه تعریف پیدا می کنیم.
• ما صفرهای صورت، صفرهای مخرج مشتق و نقاط حوزه ای را که مشتق در آنها وجود ندارد تعیین می کنیم (همه نقاط ذکر شده نامیده می شوند. نقاط افراطی احتمالیبا عبور از این نقاط، مشتق فقط می تواند علامت خود را تغییر دهد).
• این نقاط دامنه تابع را به فواصل زمانی تقسیم می کنند که مشتق علامت خود را حفظ می کند. نشانه های مشتق را در هر یک از بازه ها تعیین می کنیم (مثلاً با محاسبه مقدار مشتق تابع در هر نقطه از یک بازه واحد).
• ما نقاطی را انتخاب می کنیم که در آنها تابع پیوسته است و با عبور از آنها، مشتق علامت تغییر می کند - آنها نقاط منتهی هستند.

کلمات بسیار زیاد است، بیایید چند مثال از یافتن نقاط اکستروم و اکسترموم یک تابع با استفاده از اولین شرط کافی برای اکستروم یک تابع در نظر بگیریم.

مثال.

منتهی الیه تابع را پیدا کنید.

راه حل.

دامنه تابع کل مجموعه اعداد واقعی است، به جز x=2.

مشتق را پیدا می کنیم:

صفرهای صورتگر نقاط x=-1 و x=5 هستند، مخرج در x=2 به صفر می رسد. این نقاط را روی خط اعداد علامت بزنید

نشانه های مشتق را در هر بازه تعیین می کنیم، برای این کار مقدار مشتق را در هر یک از نقاط هر بازه محاسبه می کنیم، به عنوان مثال، در نقاط x=-2، x=0، x=3 و x= 6 .

بنابراین، مشتق در بازه مثبت است (در شکل ما علامت مثبت را روی این بازه قرار می دهیم). به همین ترتیب

بنابراین، یک منهای را روی بازه دوم، یک منفی روی سوم و یک مثبت را روی چهارم قرار می دهیم.

باقی مانده است که نقاطی را انتخاب کنیم که تابع پیوسته است و مشتق آن علامت را تغییر می دهد. اینها نقاط افراطی هستند.

در نقطه x=-1 تابع پیوسته است و مشتق علامت مثبت به منفی را تغییر می‌دهد، بنابراین با توجه به علامت اول انتها، x=-1 حداکثر نقطه است، با حداکثر تابع مطابقت دارد. .

در نقطه x=5 تابع پیوسته است و مشتق علامت منفی به مثبت را تغییر می دهد، بنابراین، x=-1 نقطه حداقل است، با حداقل تابع مطابقت دارد. .

تصویر گرافیکی.

پاسخ:

لطفاً توجه داشته باشید: اولین علامت کافی از یک اکسترموم نیازی به تمایز تابع در خود نقطه ندارد.

مثال.

نقاط افراطی و منتهی الیه یک تابع را پیدا کنید .

راه حل.

دامنه تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است. خود تابع را می توان به صورت زیر نوشت:

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

در نقطه x=0 مشتق وجود ندارد، زیرا زمانی که آرگومان به سمت صفر می‌رود، مقادیر محدودیت‌های یک طرفه منطبق نمی‌شوند:

در عین حال، تابع اصلی در نقطه x=0 پیوسته است (به بخش بررسی یک تابع برای تداوم مراجعه کنید):

مقادیر آرگومان را که در آن مشتق ناپدید می شود، بیابید:

تمام نقاط به دست آمده را روی خط واقعی علامت گذاری می کنیم و علامت مشتق را روی هر یک از بازه ها مشخص می کنیم. برای انجام این کار، مقادیر مشتق را در نقاط دلخواه هر بازه محاسبه می کنیم، به عنوان مثال، زمانی که x=-6، x=-4، x=-1، x=1، x=4، x=6.

به این معنا که،

بنابراین، با توجه به اولین علامت یک افراط، حداقل امتیاز است ، حداکثر امتیاز هستند .

ما حداقل های مربوط به تابع را محاسبه می کنیم

ماکزیمم مربوط به تابع را محاسبه می کنیم

تصویر گرافیکی.

پاسخ:

.

دومین علامت افراطی تابع.

همانطور که می بینید، این علامت از حد فاصل تابع مستلزم وجود یک مشتق حداقل تا مرتبه دوم در نقطه است.