اگر تعیین کننده یک ماتریس صفر باشد، پس معکوس آن وجود ندارد. ما به حل سیستم ها با استفاده از روش کرامر با هم ادامه می دهیم

یک سیستم N خطی معادلات جبری(SLAE) با مجهولاتی که ضرایب آن عناصر ماتریس و عبارات آزاد اعداد هستند.

اولین شاخص در کنار ضرایب نشان می دهد که ضریب در کدام معادله قرار دارد و دومی - در کدام یک از مجهولات یافت می شود.

اگر تعیین کننده ماتریس نباشد برابر با صفر

سپس سیستم معادلات جبری خطی دارد تنها تصمیم.

راه حل یک سیستم معادلات جبری خطی، مجموعه ای منظم از اعداد است که هر یک از معادلات سیستم را به یک برابری صحیح تبدیل می کند.

اگر ضلع سمت راست تمام معادلات سیستم برابر با صفر باشد، سیستم معادلات همگن نامیده می شود. در صورتی که برخی از آنها با صفر متفاوت باشند - ناهمگن

اگر سیستم معادلات جبری خطی حداقل یک راه حل داشته باشد، آن را ثابت می نامند در غیر این صورت- ناسازگار

اگر راه حل برای سیستم منحصر به فرد است، پس سیستم معادلات خطیقطعی نامیده می شود. در مواردی که راه حل یک سیستم مشترک منحصر به فرد نباشد، سیستم معادلات نامعین نامیده می شود.

دو سیستم معادلات خطی معادل (یا معادل) نامیده می شوند اگر همه راه حل های یک سیستم راه حل های دوم باشند و بالعکس. ما سیستم های معادل (یا معادل) را با استفاده از تبدیل های معادل به دست می آوریم.

تبدیل های معادل SLAE ها

1) تنظیم مجدد معادلات.

2) ضرب (یا تقسیم) معادلات بر یک عدد غیر صفر.

3) اضافه کردن یک معادله دیگر به یک معادله، ضرب در یک عدد دلخواه غیر صفر.

راه حل SLAE را می توان به روش های مختلفی پیدا کرد.

روش کرامر

قضیه کرامر اگر تعیین کننده یک سیستم معادلات جبری خطی با مجهولات غیر صفر باشد، این سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد که با استفاده از فرمول های کرامر پیدا می شود:

- تعیین‌کننده‌ها با جایگزینی ستون هفتم با ستونی از عبارت‌های آزاد تشکیل می‌شوند.

اگر، و حداقل یکی از آنها با صفر متفاوت باشد، SLAE هیچ راه حلی ندارد. اگر ، سپس SLAE راه حل های زیادی دارد. بیایید به مثال هایی با استفاده از روش کرامر نگاه کنیم.

—————————————————————

یک سیستم از سه معادله خطی با سه مجهول داده شده است. سیستم را با استفاده از روش کرامر حل کنید

بیایید تعیین کننده ماتریس ضریب مجهولات را پیدا کنیم

از آن به بعد سیستم داده شدهمعادلات سازگار است و راه حل منحصر به فردی دارد. بیایید عوامل تعیین کننده را محاسبه کنیم:

با استفاده از فرمول های کرامر مجهولات را پیدا می کنیم

بنابراین تنها راه حل برای سیستم

یک سیستم از چهار معادله جبری خطی داده شده است. سیستم را با استفاده از روش کرامر حل کنید.

بیایید تعیین کننده ماتریس ضریب مجهولات را پیدا کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید آن را در امتداد خط اول گسترش دهیم.

بیایید اجزای تعیین کننده را پیدا کنیم:

بیایید مقادیر یافت شده را با تعیین کننده جایگزین کنیم

تعیین کننده است، بنابراین سیستم معادلات سازگار است و یک راه حل منحصر به فرد دارد. بیایید تعیین کننده ها را با استفاده از فرمول های کرامر محاسبه کنیم:

اجازه دهید هر یک از عوامل تعیین کننده را به ستونی که در آن وجود دارد تجزیه کنیم صفرهای بیشتر.

با استفاده از فرمول های کرامر پیدا می کنیم

راه حل سیستم

این مثال قابل حل است ماشین حساب ریاضی YukhymCALC. بخشی از برنامه و نتایج محاسبات در زیر نشان داده شده است.

——————————

C R A M E R A روش

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= 10

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

مشاهده مواد:

(j نظرات در مورد)

که در مورد کلیقاعده برای محاسبه عوامل تعیین کننده ترتیب کاملاً دست و پا گیر است. برای تعیین مرتبه دوم و سوم وجود دارد راه های منطقیمحاسبات آنها

محاسبات تعیین کننده های مرتبه دوم

برای محاسبه تعیین کننده یک ماتریس مرتبه دوم، باید حاصل ضرب عناصر قطر ثانویه را از حاصل ضرب عناصر قطر اصلی کم کنید:

مثال

ورزش.تعیین کننده مرتبه دوم را محاسبه کنید

راه حل.

پاسخ.

روش های محاسبه دترمینال های مرتبه سوم

قوانین زیر برای محاسبه تعیین کننده های مرتبه سوم وجود دارد.

قانون مثلث

به طور شماتیک، این قانون را می توان به صورت زیر نشان داد:

حاصل ضرب عناصر در تعیین کننده اول که با خطوط مستقیم به هم متصل شده اند با علامت مثبت گرفته می شود. به طور مشابه، برای تعیین کننده دوم، محصولات مربوطه با علامت منفی گرفته می شوند، یعنی.

مثال

ورزش.تعیین کننده را محاسبه کنید با استفاده از روش مثلث

راه حل.

پاسخ.

حکومت ساروس

در سمت راست تعیین کننده، دو ستون اول اضافه شده و حاصل ضرب عناصر روی مورب اصلی و در مورب های موازی با آن با علامت مثبت گرفته می شود. و حاصل ضرب عناصر قطر ثانویه و مورب های موازی با آن با علامت منفی:

مثال

ورزش.تعیین کننده را محاسبه کنید با استفاده از قانون ساروس

راه حل.

پاسخ.

گسترش دترمینان بر اساس سطر یا ستون

تعیین کننده برابر با مجموعحاصل ضرب عناصر رشته تعیین کننده توسط مکمل های جبری آنها.

معمولاً سطر/ستونی که حاوی صفر است انتخاب می شود. سطر یا ستونی که در امتداد آن تجزیه انجام می شود با یک فلش نشان داده می شود.

مثال

ورزش.با گسترش در امتداد ردیف اول، تعیین کننده را محاسبه کنید

راه حل.

پاسخ.

این روش اجازه می دهد تا محاسبه دترمینان به محاسبه دترمینان درجه پایین تر تقلیل یابد.

مثال

ورزش.تعیین کننده را محاسبه کنید

راه حل.بیایید آن را انجام دهیم تحولات زیربالای خطوط تعیین کننده: از خط دوم، چهار عدد اول را کم می کنیم و از خط سوم، خط اول ضرب در هفت، در نتیجه با توجه به ویژگی های تعیین کننده، تعیین کننده ای برابر با داده شده به دست می آوریم.

تعیین کننده صفر است زیرا ردیف دوم و سوم متناسب هستند.

پاسخ.

برای محاسبه عوامل تعیین کننده مرتبه چهارمو بالاتر، یا تجزیه سطر/ستون یا کاهش به نمای مثلثییا با استفاده از قضیه لاپلاس.

تجزیه دترمینانت به عناصر یک سطر یا ستون

مثال

ورزش.تعیین کننده را محاسبه کنید ، آن را به عناصر یک ردیف یا چند ستون تجزیه می کند.

راه حل.اجازه دهید ابتدا تبدیل‌های ابتدایی را روی ردیف‌های تعیین‌کننده انجام دهیم و تا آنجا که ممکن است در سطر یا در ستون صفر ایجاد کنیم. برای این کار ابتدا نه سوم از خط اول، پنج سوم از خط دوم و سه سوم از خط چهارم کم می کنیم، به دست می آید:

اجازه دهید تعیین کننده حاصل را به عناصر ستون اول تجزیه کنیم:

ما همچنین تعیین کننده مرتبه سوم حاصل را به عناصر سطر و ستون گسترش می دهیم که قبلاً صفرها را به عنوان مثال در ستون اول به دست آورده ایم.

برای انجام این کار، دو خط دوم را از خط اول و دومی را از خط سوم کم کنید:

پاسخ.

اظهار نظر

تعیین کننده های آخر و ماقبل آخر را نمی توان محاسبه کرد، اما بلافاصله نتیجه می گیریم که آنها برابر با صفر هستند، زیرا دارای ردیف های متناسب هستند.

تقلیل دترمینان به شکل مثلثی

با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی روی ردیف‌ها یا ستون‌ها، دترمینان به شکل مثلثی کاهش می‌یابد و سپس مقدار آن، با توجه به ویژگی‌های تعیین‌کننده، برابر حاصلضرب عناصر روی قطر اصلی می‌شود.

مثال

ورزش.تعیین کننده را محاسبه کنید آن را به شکل مثلثی در می آورد.

راه حل.ابتدا در ستون اول زیر قطر اصلی صفر می سازیم.

4. خواص عوامل تعیین کننده. تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس ها.

اگر عنصر برابر با 1 باشد، انجام همه تبدیل‌ها آسان‌تر خواهد بود. برای این کار، ستون اول و دوم تعیین‌کننده را با هم عوض می‌کنیم که با توجه به ویژگی‌های تعیین‌کننده، باعث می‌شود علامت خود را به علامت تغییر دهد. مقابل:

بعد، در ستون دوم به جای عناصر زیر مورب اصلی، صفر می گیریم. مجدداً، اگر عنصر مورب برابر باشد، محاسبات ساده تر خواهد بود. برای انجام این کار، خط دوم و سوم را عوض می کنیم (و در همان زمان به آن تغییر می کنیم علامت مخالفتعیین کننده):

پاسخ.

قضیه لاپلاس

مثال

ورزش.با استفاده از قضیه لاپلاس، دترمینان را محاسبه کنید

راه حل.اجازه دهید دو ردیف را در این تعیین کننده مرتبه پنجم انتخاب کنیم - دوم و سوم، سپس به دست می آوریم (عباراتی را که برابر با صفر هستند حذف می کنیم):

پاسخ.

معادلات و نابرابری های خطی I

§ 31 مورد وقتی تعیین کننده اصلیسیستم معادلات برابر با صفر است و حداقل یکی از تعیین کننده های کمکی با صفر متفاوت است.

قضیه.اگر تعیین کننده اصلی سیستم معادلات

(1)

برابر با صفر است و حداقل یکی از تعیین کننده های کمکی با صفر متفاوت است، پس سیستم ناسازگار است.

از نظر صوری، اثبات این قضیه با تناقض دشوار نیست. فرض کنید سیستم معادلات (1) دارای جواب ( ایکس 0 , y 0). سپس، همانطور که در پاراگراف قبل نشان داده شد،

Δ ایکس 0 = Δ ایکس , Δ y 0 = Δ y (2)

اما با توجه به شرایط Δ = 0 و حداقل یکی از عوامل تعیین کننده Δ ایکس و Δ y متفاوت از صفر بنابراین، برابری های (2) نمی توانند به طور همزمان برآورده شوند. قضیه ثابت شده است.

با این حال، به نظر می رسد جالب است که با جزئیات بیشتر بدانیم که چرا سیستم معادلات (1) در مورد مورد بررسی ناسازگار است.

به این معنی که ضرایب مجهولات در سیستم معادلات (1) متناسب هستند. اجازه دهید، برای مثال،

آ 1 = کا 2 ، ب 1 = کیلوبایت 2 .

به این معنی است که ضرایب برای در و جمله های آزاد معادلات سیستم (1) متناسب نیستند. زیرا ب 1 = کیلوبایت 2، سپس ج 1 =/= kc 2 .

بنابراین، سیستم معادلات (1) را می توان به شکل زیر نوشت:

در این سیستم ضرایب مجهولات به ترتیب متناسب هستند اما ضرایب برای در (یا چه زمانی ایکس ) و شرایط آزاد متناسب نیستند. چنین سیستمی البته ناسازگار است. در واقع، اگر او راه حلی داشت ( ایکس 0 , y 0)، سپس برابری های عددی برقرار خواهند بود

ک (آ 2 ایکس 0 + ب 2 y 0) = ج 1

آ 2 ایکس 0 + ب 2 y 0 = ج 2 .

اما یکی از این برابری ها با دیگری در تضاد است: بالاخره، ج 1 =/= kc 2 .

ما فقط موردی را در نظر گرفتیم که Δ ایکس =/= 0. مورد را می توان به طور مشابه زمانی در نظر گرفت Δ y =/= 0."

قضیه اثبات شده را می توان به این صورت فرموله کرد.

اگر ضرایب برای مجهولات ایکسو دردر سیستم معادلات (1) متناسب هستند، اما ضرایب هر یک از این مجهولات و عبارات آزاد متناسب نیستند، پس این نظام معادلات ناسازگار است.

برای مثال، اطمینان از ناسازگاری هر یک از این سیستم‌ها آسان است:

روش کرامر برای حل سیستم های معادلات خطی

فرمول های کرامر

روش کرامر مبتنی بر استفاده از تعیین کننده ها در حل سیستم های معادلات خطی است. این به طور قابل توجهی روند حل را سرعت می بخشد.

از روش کرامر می توان برای حل یک سیستم معادلات خطی به تعداد مجهولات موجود در هر معادله استفاده کرد.

روش کرامر کاربرد برای سیستم های معادلات خطی

اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر نباشد، می توان از روش کرامر در حل استفاده کرد، اما اگر برابر با صفر باشد، نمی تواند. علاوه بر این، از روش کرامر می توان برای حل سیستم های معادلات خطی که راه حل منحصر به فردی دارند استفاده کرد.

تعریف. تعیین کننده ای که از ضرایب مجهول تشکیل شده است، تعیین کننده سیستم نامیده می شود و به آن (دلتا) نشان داده می شود.

عوامل تعیین کننده

با جایگزینی ضرایب مجهولات مربوطه با عبارت آزاد به دست می آیند:

;

.

قضیه کرامر. اگر تعیین کننده سیستم غیر صفر باشد، سیستم معادلات خطی یک جواب منحصر به فرد دارد و مجهول برابر با نسبت دترمینال ها است. مخرج شامل تعیین کننده سیستم است و صورت شامل تعیین کننده ای است که با جایگزینی ضرایب این مجهول با عبارات آزاد از تعیین کننده سیستم به دست می آید. این قضیه برای سیستم معادلات خطی از هر مرتبه صادق است.

مثال 1.حل یک سیستم معادلات خطی:

مطابق با قضیه کرامرما داریم:

بنابراین، راه حل سیستم (2):

سه مورد هنگام حل سیستم معادلات خطی

همانطور که مشخص است از قضیه کرامر، هنگام حل یک سیستم معادلات خطی، سه حالت می تواند رخ دهد:

حالت اول: یک سیستم معادلات خطی یک راه حل منحصر به فرد دارد

(سیستم منسجم و قطعی است)

*

حالت دوم: سیستم معادلات خطی بی نهایت جواب دارد

(سیستم ثابت و نامطمئن است)

**
,

آن ها ضرایب مجهولات و جمله های آزاد متناسب هستند.

حالت سوم: سیستم معادلات خطی هیچ جوابی ندارد

(سیستم ناسازگار است)

بنابراین سیستم مترمعادلات خطی با nمتغیر نامیده می شود غیر مشترک، اگر او یک راه حل واحد نداشته باشد، و مفصل، اگر حداقل یک راه حل داشته باشد. سیستم مشترکمعادلاتی که فقط یک جواب دارند نامیده می شود مسلم - قطعیو بیش از یک - نا معلوم.

نمونه هایی از حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش کرامر

بگذار سیستم داده شود

.

بر اساس قضیه کرامر

………….
,

جایی که
—

تعیین کننده سیستم با جایگزین کردن ستون با ضرایب متغیر مربوطه (ناشناخته) با عبارت‌های آزاد، تعیین‌کننده‌های باقی‌مانده را به‌دست می‌آوریم:

مثال 2.

.

بنابراین، سیستم قطعی است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده ها را محاسبه می کنیم

با استفاده از فرمول های کرامر متوجه می شویم:

بنابراین، (1؛ 0؛ -1) تنها راه حل برای سیستم است.

برای بررسی راه حل های سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4، می توانید از یک ماشین حساب آنلاین استفاده کنید. روش تعیین کنندهکرامر.

اگر در یک سیستم معادلات خطی هیچ متغیری در یک یا چند معادله وجود نداشته باشد، آنگاه در تعیین کننده عناصر مربوطه برابر با صفر هستند! این مثال بعدی است.

مثال 3.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر:

.

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

با دقت به سیستم معادلات و تعیین کننده سیستم نگاه کنید و پاسخ این سوال را تکرار کنید که در کدام موارد یک یا چند عنصر از تعیین کننده برابر با صفر است. بنابراین، تعیین برابر با صفر نیست، بنابراین سیستم معین است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده مجهولات را محاسبه می کنیم

با استفاده از فرمول های کرامر متوجه می شویم:

بنابراین، راه حل سیستم (2؛ -1؛ 1) است.

برای بررسی جواب های سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از ماشین حساب آنلاین با استفاده از روش حل کرامر استفاده کنید.

بالای صفحه

در تست سیستم معادلات خطی شرکت کنید

همانطور که قبلا ذکر شد، اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، و تعیین کننده مجهولات برابر با صفر نباشد، سیستم ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد. اجازه دهید با مثال زیر توضیح دهیم.

مثال 4.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر:

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

تعیین کننده سیستم برابر با صفر است، بنابراین، سیستم معادلات خطی یا ناسازگار و معین است یا ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد. برای روشن شدن، ما تعیین کننده ها را برای مجهولات محاسبه می کنیم

عوامل تعیین کننده مجهولات برابر با صفر نیستند، بنابراین، سیستم ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد.

برای بررسی جواب های سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از ماشین حساب آنلاین با استفاده از روش حل کرامر استفاده کنید.

در مسائل مربوط به سیستم معادلات خطی، مواردی نیز وجود دارد که علاوه بر حروف نشان دهنده متغیرها، حروف دیگری نیز وجود دارد. این حروف نشان دهنده یک عدد است که اغلب واقعی است. در عمل، مشکلات جستجو منجر به چنین معادلات و سیستم های معادلات می شود خواص عمومیهر پدیده یا شی یعنی آیا شما اختراع کرده اید مواد جدیدیا یک دستگاه، و برای توصیف ویژگی های آن، که صرف نظر از اندازه یا تعداد یک نمونه رایج است، باید یک سیستم معادلات خطی را حل کنید، که در آن به جای برخی ضرایب برای متغیرها حروف وجود دارد. برای مثال لازم نیست خیلی دور بگردید.

مثال زیر برای یک مسئله مشابه است، فقط تعداد معادلات، متغیرها و حروفی که یک عدد واقعی را نشان می دهند افزایش می یابد.

مثال 6.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر:

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

یافتن عوامل تعیین کننده برای مجهولات

با استفاده از فرمول های کرامر متوجه می شویم:

,

,

.

و در نهایت سیستم چهار نفرهمعادلات با چهار مجهول

مثال 7.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر:

.

توجه! روش های محاسبه دترمینال های مرتبه چهارم در اینجا توضیح داده نخواهد شد. برای این کار به قسمت مربوطه سایت بروید. اما نظرات کوچکی وجود خواهد داشت. راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

یک نظر کوچک در تعیین کننده اصلی، عناصر ردیف چهارم از عناصر ردیف دوم کم شده، عناصر ردیف چهارم، ضرب در 2، از عناصر ردیف سوم کم شده و عناصر ردیف اول، ضرب در 2، از عناصر ردیف چهارم تبدیل عوامل اصلی با سه اولناشناخته طبق همان طرح تولید شدند. یافتن عوامل تعیین کننده برای مجهولات

برای تبدیل تعیین کننده برای مجهول چهارم، عناصر ردیف چهارم از عناصر ردیف اول کم شدند.

با استفاده از فرمول های کرامر متوجه می شویم:

بنابراین، راه حل سیستم (1؛ 1؛ -1؛ -1) است.

برای بررسی جواب های سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4 می توانید از ماشین حساب آنلاین با استفاده از روش حل کرامر استفاده کنید.

احتمالاً کسانی که بیشترین دقت را داشتند متوجه شدند که مقاله حاوی نمونه هایی از راه حل ها نیست سیستم های نامشخصمعادلات خطی و همه به این دلیل که حل چنین سیستم هایی با استفاده از روش کرامر غیرممکن است. راه حل هایی برای چنین سیستم هایی با روش گاوس ارائه می شود.

آیا زمان برای بررسی راه حل ندارید؟ شما می توانید یک کار سفارش دهید!

بالای صفحه

در تست سیستم معادلات خطی شرکت کنید

موارد دیگر در مورد "سیستم های معادلات و نابرابری ها"

ماشین حساب - حل سیستم های معادلات آنلاین

پیاده سازی نرم افزار متد کرامر در سی پلاس پلاس

حل سیستم های معادلات خطی با روش های جایگزینی و جمع

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

شرط سازگاری برای یک سیستم معادلات خطی.

قضیه کرونکر-کاپلی

حل سیستم معادلات خطی روش ماتریسی (ماتریس معکوس)

سیستم های نابرابری های خطیو مجموعه های محدبنکته ها

شروع مبحث جبر خطی

عوامل تعیین کننده

در این مقاله با بسیار آشنا می شویم مفهوم مهماز بخش جبر خطی، که به آن تعیین کننده می گویند.

من می خواهم بلافاصله توجه داشته باشم نکته مهم: مفهوم دترمینان فقط برای ماتریس های مربع معتبر است (تعداد سطر = تعداد ستون)، ماتریس های دیگر آن را ندارند.

تعیین کننده ماتریس مربع (تعیین کننده) - مشخصه عددی ماتریس.

تعیین عوامل تعیین کننده: |A|، det A، ∆ آ.

تعیین کنندهدستور "n" نامیده می شود جمع جبریتمام محصولات ممکن از عناصر آن که شرایط زیر را برآورده می کند:

1) هر یک از این محصولات دقیقاً حاوی "n" عناصر است (یعنی یک تعیین کننده مرتبه دوم - 2 عنصر).

2) در هر محصول یک نماینده از هر سطر و هر ستون به عنوان یک عامل وجود دارد.

3) هر دو فاکتور در هر محصول نمی تواند متعلق به یک سطر یا ستون باشد.

علامت محصول با ترتیب تناوب اعداد ستون تعیین می شود، اگر عناصر موجود در محصول به ترتیب صعودی اعداد ردیف مرتب شوند.

بیایید چندین مثال برای یافتن تعیین کننده یک ماتریس در نظر بگیریم:

برای یک ماتریس مرتبه اول (یعنی

معادلات خطی حل سیستم معادلات خطی. روش کرامر

فقط 1 عنصر وجود دارد)، تعیین کننده برابر با این عنصر است:

2. یک ماتریس مربع مرتبه دوم را در نظر بگیرید:

3. یک ماتریس مربع مرتبه سوم (3×3) را در نظر بگیرید:

4. حال بیایید به مثال هایی با اعداد واقعی:

قانون مثلث.

قانون مثلث روشی برای محاسبه تعیین کننده یک ماتریس است که شامل یافتن آن بر اساس طرح زیر است:

همانطور که قبلاً فهمیدید ، این روش به دلیل این واقعیت است که عناصر ضرب شده ماتریس مثلث های عجیب و غریب را تشکیل می دهند ، قانون مثلث نامیده می شود.

برای درک بهتر این موضوع، اجازه دهید به یک مثال نگاه کنیم:

حالا بیایید به محاسبه تعیین کننده یک ماتریس با اعداد واقعی با استفاده از قانون مثلث نگاه کنیم:

برای ادغام مطالبی که پوشش داده ایم، بیایید مثال عملی دیگری را حل کنیم:

خواص عوامل تعیین کننده:

1. اگر عناصر یک سطر یا ستون برابر با صفر باشد، دترمینان برابر با صفر است.

2. اگر هر 2 سطر یا ستون جابجا شود، تعیین کننده علامت تغییر خواهد کرد. بیایید با یک مثال کوچک به این موضوع نگاه کنیم:

3. تعیین کننده یک ماتریس جابجا شده برابر با تعیین کنندهماتریس اصلی

4. اگر عناصر یک ردیف با عناصر مربوط به سطر دیگر (برای ستون ها نیز) برابر باشد، تعیین کننده برابر با صفر است. ساده ترین مثال از این خاصیت تعیین کننده ها عبارتند از:

5. اگر 2 سطر آن متناسب باشند (همچنین برای ستون ها) تعیین کننده برابر با صفر است. مثال (خطوط 1 و 2 متناسب هستند):

6. ضریب مشترک یک ردیف (ستون) را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد.

7) اگر عناصر متناظر یک سطر دیگر (ستون) به عناصر یک سطر (ستون)، ضرب در همان مقدار اضافه شوند، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد. بیایید با یک مثال به این موضوع نگاه کنیم:

جزئی و مکمل جبری

جمع و تفریق ماتریس ها با مثال

اقدامات با ماتریس

مفهوم "ماتریس"

بازدید: 57258

تعیین کننده (با نام مستعار دترمینان) فقط در ماتریس های مربع یافت می شود. تعیین کننده چیزی نیست جز مقداری که تمام عناصر ماتریس را با هم ترکیب می کند که هنگام جابجایی سطرها یا ستون ها حفظ می شود. می توان آن را به صورت det(A)، |A|، Δ(A)، Δ نشان داد، که در آن A می تواند یک ماتریس یا یک حرف نشان دهنده آن باشد. شما می توانید آن را با استفاده از روش های مختلف پیدا کنید:

تمام روش‌های پیشنهادی فوق بر روی ماتریس‌های اندازه سه و بالاتر تجزیه و تحلیل خواهند شد. تعیین کننده یک ماتریس دو بعدی با استفاده از سه پایه پیدا می شود عملیات ریاضیبنابراین، یافتن تعیین کننده یک ماتریس دو بعدی در هیچ یک از روش ها گنجانده نخواهد شد. خوب، به جز به عنوان یک افزودنی، اما در ادامه بیشتر در مورد آن.

بیایید تعیین کننده یک ماتریس 2x2 را پیدا کنیم:

برای اینکه تعیین کننده ماتریس خود را پیدا کنیم، باید حاصل ضرب اعداد یک مورب را از دیگری کم کنیم، یعنی:

نمونه هایی از یافتن تعیین کننده ماتریس های مرتبه دوم

تجزیه سطر/ستون

هر سطر یا ستونی را در ماتریس انتخاب کنید. هر عدد در خط انتخاب شده در (-1) i+j ضرب می شود که (i,j تعداد سطر، ستون آن عدد است) و با تعیین کننده مرتبه دوم که از عناصر باقی مانده پس از خط زدن تشکیل شده است ضرب می شود. ردیف i و ستون j. بیایید به ماتریس نگاه کنیم

1. یک سطر/ستون را انتخاب کنید

مثلاً خط دوم را در نظر بگیریم.

توجه داشته باشید: اگر به صراحت بیان نشده است که از کدام خط برای یافتن تعیین کننده استفاده کنید، خطی را انتخاب کنید که صفر دارد. محاسبات کمتری خواهد بود.

1. بیایید بیان کنیم

تعیین اینکه علامت یک عدد هر بار تغییر می کند کار دشواری نیست. بنابراین به جای واحدها می توانید از جدول زیر استفاده کنید:

1. بیایید علامت اعداد خود را تغییر دهیم

1. بیایید تعیین کننده های ماتریس های خود را پیدا کنیم

1. بیایید همه را بشماریم

راه حل را می توان به صورت زیر نوشت:

نمونه هایی از یافتن تعیین کننده با بسط سطر/ستون:

روش کاهش به شکل مثلثی (با استفاده از تبدیل های ابتدایی)

تعیین کننده با کاهش ماتریس به شکل مثلثی (مرحله ای) و ضرب عناصر در مورب اصلی پیدا می شود.

ماتریس مثلثی ماتریسی است که عناصر آن در یک طرف مورب برابر با صفر است.

هنگام ساخت ماتریس، باید سه قانون ساده را به خاطر بسپارید:

1. هر بار که ردیف ها با هم عوض می شوند، علامت تعیین کننده به علامت مقابل تغییر می کند.
2. هنگام ضرب/تقسیم یک رشته بر not عدد صفر، باید بر آن تقسیم شود (اگر ضرب شود) / ضرب شود (اگر تقسیم شود) یا این عمل با تعیین کننده حاصل انجام شود.
3. هنگامی که یک رشته ضرب شده در یک عدد به رشته دیگر اضافه می شود، تعیین کننده تغییر نمی کند (رشته ضرب شده مقدار اصلی خود را می گیرد).

بیایید سعی کنیم صفرها را در ستون اول و سپس در ستون دوم بدست آوریم.

بیایید نگاهی به ماتریس خود بیندازیم:

سوووو برای لذت بخش تر کردن محاسبات، می خواهم بیشترین مقدار را داشته باشم شماره بستندر بالا. شما می توانید آن را ترک کنید، اما این کار را نکنید. خوب، ما یک دو در خط دوم داریم و یک چهار در خط اول.

بیایید این دو خط را با هم عوض کنیم.

ما خطوط را عوض کردیم، حالا یا باید علامت یک خط را تغییر دهیم یا در آخر علامت تعیین کننده را تغییر دهیم.

عوامل تعیین کننده محاسبه عوامل تعیین کننده (صفحه 2)

ما بعداً این کار را انجام خواهیم داد.

حالا برای به دست آوردن صفر در خط اول، خط اول را در 2 ضرب کنید.

بیایید خط 1 را از خط دوم کم کنیم.

طبق قانون سوم خود، رشته اصلی را به موقعیت اولیه خود برمی گردانیم.

حالا بیایید در خط 3 یک صفر بسازیم. می‌توانیم خط اول را در 1.5 ضرب کنیم و از سوم کم کنیم، اما کار با کسرها لذت کمی به همراه دارد. بنابراین، بیایید عددی را پیدا کنیم که هر دو خط را می توان به آن کاهش داد - این 6 است.

خط 3 را در 2 ضرب کنید.

حالا بیایید خط اول را در 3 ضرب کنیم و از 3 کم کنیم.

بیایید ردیف 1 خود را برگردانیم.

فراموش نکنید که ما خط 3 را در 2 ضرب کردیم، پس تعیین کننده را بر 2 تقسیم می کنیم.

یک ستون وجود دارد. حالا برای به دست آوردن صفر در دوم - خط 1 را فراموش کنید - با خط 2 کار می کنیم. سطر دوم را در -3 ضرب می کنیم و به خط سوم اضافه می کنیم.

فراموش نکنید که خط دوم را برگردانید.

بنابراین ما یک ماتریس مثلثی ساخته ایم. چه چیزی برای ما باقی می ماند؟ تنها چیزی که باقی می ماند این است که اعداد روی قطر اصلی را ضرب کنیم، کاری که ما انجام خواهیم داد.

خوب، باید به یاد داشته باشیم که باید تعیین کننده خود را بر 2 تقسیم کنیم و علامت را تغییر دهیم.

قانون ساروس (قاعده مثلث ها)

قانون ساروس فقط برای ماتریس های مربع مرتبه سوم اعمال می شود.

تعیین کننده با جمع دو ستون اول در سمت راست ماتریس، ضرب عناصر قطرهای ماتریس و جمع آنها و کم کردن مجموع محاسبه می شود. مورب های مخالف. بنفش ها را از قطرهای نارنجی کم کنید.

قانون مثلث ها یکسان است، فقط تصویر متفاوت است.

قضیه لاپلاس را ببینید تجزیه سطر/ستون

سیستمی از m معادلات خطی با n مجهولسیستم فرم نامیده می شود

جایی که یک ijو b i (من=1,…,متر; ب=1,…,n) تعدادی اعداد شناخته شده هستند و x 1، …، x n- ناشناخته. در تعیین ضرایب یک ijشاخص اول مننشان دهنده عدد معادله و دومی است j- تعداد مجهولی که این ضریب در آن قرار دارد.

ضرایب مجهولات را به صورت ماتریس می نویسیم ، که ما با آن تماس خواهیم گرفت ماتریس سیستم.

اعداد سمت راست معادلات هستند b 1,…,b mنامیده می شوند اعضای رایگان

کلیت nشماره c 1,…,c nتماس گرفت تصمیم گیریاز یک سیستم معین، اگر هر معادله سیستم پس از جایگزینی اعداد به یک برابری تبدیل شود c 1,…,c nبه جای مجهولات مربوطه x 1، …، x n.

وظیفه ما یافتن راه حل برای سیستم خواهد بود. در این حالت سه حالت ممکن است پیش بیاید:

سیستم معادلات خطی که حداقل یک جواب داشته باشد نامیده می شود مفصل. در غیر این صورت، یعنی اگر سیستم راه حلی نداشته باشد، نامیده می شود غیر مشترک.

بیایید راه هایی را برای یافتن راه حل های سیستم در نظر بگیریم.

روش ماتریسی برای حل سیستم معادلات خطی

ماتریس ها امکان نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی را فراهم می کنند. اجازه دهید یک سیستم از 3 معادله با سه مجهول داده شود:

ماتریس سیستم را در نظر بگیرید و ستون های عبارت مجهول و مجهول را ماتریس می کند

بیا کار رو پیدا کنیم

آن ها در نتیجه حاصلضرب، سمت چپ معادلات این سیستم را بدست می آوریم. سپس با استفاده از تعریف برابری ماتریس این سیستمرا می توان در قالب نوشت

یا کوتاهتر آ∙X=B.

در اینجا ماتریس ها وجود دارد آو بشناخته شده اند، و ماتریس ایکسناشناخته. پیدا کردن آن ضروری است، زیرا ... عناصر آن راه حل این سیستم هستند. این معادله نامیده می شود معادله ماتریسی.

بگذارید تعیین کننده ماتریس با صفر | متفاوت باشد آ| ≠ 0. سپس معادله ماتریسیبه صورت زیر حل می شود. دو طرف معادله سمت چپ را در ماتریس ضرب کنید الف-1، معکوس ماتریس آ: . زیرا A -1 A = Eو E∙X = X، سپس جواب معادله ماتریس را به شکل به دست می آوریم X = A -1 B .

توجه داشته باشید که از آنجایی که ماتریس معکوس را فقط برای ماتریس های مربع می توان یافت، روش ماتریس فقط می تواند سیستم هایی را حل کند که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق است. با این حال، ثبت ماتریسی سیستم نیز در صورتی امکان پذیر است که تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر نباشد، ماتریس آمربع نخواهد بود و بنابراین یافتن راه حلی برای سیستم در قالب غیرممکن است X = A -1 B.

مثال ها.حل سیستم معادلات

قانون کرامر

سیستمی متشکل از 3 معادله خطی با سه مجهول را در نظر بگیرید:

تعیین کننده مرتبه سوم مربوط به ماتریس سیستم، یعنی. متشکل از ضرایب برای مجهولات،

تماس گرفت تعیین کننده سیستم.

بیایید سه تعیین کننده دیگر را به صورت زیر بسازیم: ستون های 1، 2 و 3 را به صورت متوالی در تعیین کننده D با ستونی از عبارت های آزاد جایگزین کنید.

سپس می توانیم نتیجه زیر را ثابت کنیم.

قضیه (قاعده کرامر).اگر تعیین کننده سیستم Δ≠ 0 باشد، آنگاه سیستم مورد بررسی یک و تنها یک راه حل دارد و

اثبات. بنابراین، بیایید یک سیستم 3 معادله با سه مجهول را در نظر بگیریم. بیایید معادله 1 سیستم را در متمم جبری ضرب کنیم یک 11عنصر یک 11، معادله 2 - روشن A 21و 3 - در A 31:

بیایید این معادلات را اضافه کنیم:

بیایید به هر یک از براکت ها و سمت راستاین معادله با قضیه بسط دترمینان در عناصر ستون 1

به طور مشابه، می توان نشان داد که و .

در نهایت، به راحتی می توان متوجه آن شد

بنابراین، برابری را بدست می آوریم: .

از این رو، .

برابری ها و به طور مشابه به دست می آیند که بیان قضیه از آنها حاصل می شود.

بنابراین، توجه می کنیم که اگر تعیین کننده سیستم Δ ≠ 0 باشد، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد و بالعکس. اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، آنگاه سیستم دارای یکی است مجموعه بی نهایتراه حل دارد، یا راه حلی ندارد، یعنی. ناسازگار

مثال ها.حل سیستم معادلات

روش گاوس

روش‌هایی که قبلاً بحث شد را می‌توان برای حل آن دسته از سیستم‌هایی استفاده کرد که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهول‌ها منطبق است و تعیین‌کننده سیستم باید با صفر متفاوت باشد. روش گاوس جهانی تر است و برای سیستم هایی با هر تعداد معادله مناسب است. این شامل حذف مداوم مجهولات از معادلات سیستم است.

دوباره سیستم از را در نظر بگیرید سه معادلهبا سه مجهول:

.

معادله اول را بدون تغییر می گذاریم و از 2 و 3 عبارات حاوی x 1. برای انجام این کار، معادله دوم را تقسیم بر آ 21 و ضرب در - آ 11 و سپس آن را به معادله 1 اضافه کنید. به همین ترتیب، معادله سوم را بر تقسیم می کنیم آ 31 و ضرب در – آ 11 و سپس آن را با اولی اضافه کنید. در نتیجه، سیستم اصلی به شکل زیر خواهد بود:

حال از آخرین معادله عبارت حاوی را حذف می کنیم x 2. برای انجام این کار، معادله سوم را بر تقسیم کرده، در آن ضرب کرده و با دومی جمع کنید. سپس ما یک سیستم معادلات خواهیم داشت:

از اینجا، از آخرین معادله پیدا کردن آن آسان است x 3، سپس از معادله 2 x 2و در نهایت، از 1 - x 1.

هنگام استفاده از روش گاوسی، در صورت لزوم می توان معادلات را تعویض کرد.

اغلب به جای نوشتن سیستم جدیدمعادلات، محدود به نوشتن ماتریس توسعه یافته سیستم هستند:

و سپس با استفاده از تبدیل های ابتدایی به شکل مثلثی یا مورب بیاورید.

به دگرگونی های ابتداییماتریس ها شامل تبدیل های زیر هستند:

1. تنظیم مجدد ردیف ها یا ستون ها؛
2. ضرب رشته در عددی غیر از صفر؛
3. اضافه کردن خطوط دیگر به یک خط

مثال ها:حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس.

بنابراین، سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.

روش کرامر مبتنی بر استفاده از تعیین کننده ها در حل سیستم های معادلات خطی است. این به طور قابل توجهی روند حل را سرعت می بخشد.

از روش کرامر می توان برای حل یک سیستم معادلات خطی به تعداد مجهولات موجود در هر معادله استفاده کرد. اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر نباشد، می توان از روش کرامر در حل استفاده کرد، اما اگر برابر با صفر باشد، نمی تواند. علاوه بر این، از روش کرامر می توان برای حل سیستم های معادلات خطی که راه حل منحصر به فردی دارند استفاده کرد.

تعریف. تعیین کننده ای که از ضرایب مجهول تشکیل شده است، تعیین کننده سیستم نامیده می شود و به آن (دلتا) نشان داده می شود.

عوامل تعیین کننده

با جایگزینی ضرایب مجهولات مربوطه با عبارت آزاد به دست می آیند:

;

.

قضیه کرامر. اگر تعیین کننده سیستم غیر صفر باشد، سیستم معادلات خطی یک جواب منحصر به فرد دارد و مجهول برابر با نسبت دترمینال ها است. مخرج شامل تعیین کننده سیستم است و صورت شامل تعیین کننده ای است که با جایگزینی ضرایب این مجهول با عبارات آزاد از تعیین کننده سیستم به دست می آید. این قضیه برای سیستم معادلات خطی از هر مرتبه صادق است.

مثال 1.حل یک سیستم معادلات خطی:

مطابق با قضیه کرامرما داریم:

بنابراین، راه حل سیستم (2):

ماشین حساب آنلاین، روش حل کرامر.

سه مورد هنگام حل سیستم معادلات خطی

همانطور که مشخص است از قضیه کرامر، هنگام حل یک سیستم معادلات خطی، سه حالت می تواند رخ دهد:

حالت اول: یک سیستم معادلات خطی یک راه حل منحصر به فرد دارد

(سیستم منسجم و قطعی است)

حالت دوم: سیستم معادلات خطی بی نهایت جواب دارد

(سیستم ثابت و نامطمئن است)

** ,

آن ها ضرایب مجهولات و جمله های آزاد متناسب هستند.

حالت سوم: سیستم معادلات خطی هیچ جوابی ندارد

(سیستم ناسازگار است)

بنابراین سیستم مترمعادلات خطی با nمتغیر نامیده می شود غیر مشترک، اگر او یک راه حل واحد نداشته باشد، و مفصل، اگر حداقل یک راه حل داشته باشد. سیستم معادلات همزمانی که فقط یک جواب دارد نامیده می شود مسلم - قطعیو بیش از یک - نا معلوم.

نمونه هایی از حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش کرامر

بگذار سیستم داده شود

.

بر اساس قضیه کرامر

………….
,

جایی که
-

تعیین کننده سیستم با جایگزین کردن ستون با ضرایب متغیر مربوطه (ناشناخته) با عبارت‌های آزاد، تعیین‌کننده‌های باقی‌مانده را به‌دست می‌آوریم:

مثال 2.

.

بنابراین، سیستم قطعی است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده ها را محاسبه می کنیم

با استفاده از فرمول های کرامر متوجه می شویم:

بنابراین، (1؛ 0؛ -1) تنها راه حل برای سیستم است.

برای بررسی راه حل های سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4، می توانید از یک ماشین حساب آنلاین با استفاده از روش حل کرامر استفاده کنید.

اگر در یک سیستم معادلات خطی هیچ متغیری در یک یا چند معادله وجود نداشته باشد، آنگاه در تعیین کننده عناصر مربوطه برابر با صفر هستند! این مثال بعدی است.

مثال 3.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر:

.

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

با دقت به سیستم معادلات و تعیین کننده سیستم نگاه کنید و پاسخ این سوال را تکرار کنید که در کدام موارد یک یا چند عنصر از تعیین کننده برابر با صفر است. بنابراین، تعیین برابر با صفر نیست، بنابراین سیستم معین است. برای یافتن جواب آن، تعیین کننده مجهولات را محاسبه می کنیم

با استفاده از فرمول های کرامر متوجه می شویم:

بنابراین، راه حل سیستم (2؛ -1؛ 1) است.

برای بررسی راه حل های سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4، می توانید از یک ماشین حساب آنلاین با استفاده از روش حل کرامر استفاده کنید.

بالای صفحه

ما به حل سیستم ها با استفاده از روش کرامر با هم ادامه می دهیم

همانطور که قبلا ذکر شد، اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، و تعیین کننده مجهولات برابر با صفر نباشد، سیستم ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد. اجازه دهید با مثال زیر توضیح دهیم.

مثال 6.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر:

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

تعیین کننده سیستم برابر با صفر است، بنابراین، سیستم معادلات خطی یا ناسازگار و معین است یا ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد. برای روشن شدن، ما تعیین کننده ها را برای مجهولات محاسبه می کنیم

عوامل تعیین کننده مجهولات برابر با صفر نیستند، بنابراین، سیستم ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد.

برای بررسی راه حل های سیستم های معادلات 3 X 3 و 4 X 4، می توانید از یک ماشین حساب آنلاین با استفاده از روش حل کرامر استفاده کنید.

در مسائل مربوط به سیستم معادلات خطی، مواردی نیز وجود دارد که علاوه بر حروف نشان دهنده متغیرها، حروف دیگری نیز وجود دارد. این حروف نشان دهنده یک عدد است که اغلب واقعی است. در عمل، این گونه معادلات و سیستم های معادلات با مشکلات جستجوی خصوصیات کلی هر پدیده یا شیء منتهی می شود. یعنی مواد یا وسیله جدیدی اختراع کرده اید و برای توصیف خواص آن که صرف نظر از اندازه یا کمیت نمونه رایج است، باید یک سیستم معادلات خطی را حل کنید که به جای ضرایب برای متغیرها وجود داشته باشد. نامه ها. برای مثال لازم نیست خیلی دور بگردید.

مثال زیر برای یک مسئله مشابه است، فقط تعداد معادلات، متغیرها و حروفی که یک عدد واقعی را نشان می دهند افزایش می یابد.

مثال 8.حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر:

راه حل. ما تعیین کننده سیستم را پیدا می کنیم:

یافتن عوامل تعیین کننده برای مجهولات

پاسخ: PROPERTY 1. اگر همه سطرهای آن با ستون جایگزین شوند و هر سطر با ستونی با همان عدد جایگزین شود، مقدار تعیین کننده تغییر نمی کند.

خاصیت 2. مرتب کردن مجدد دو ستون یا دو ردیف از یک تعیین کننده معادل ضرب آن در -1 است. مثلا،

خاصیت 3. اگر یک دترمینان دو ستون یا دو سطر یکسان داشته باشد، آنگاه برابر با صفر است. خاصیت 4. ضرب همه عناصر یک ستون یا یک سطر از دترمینان در هر عدد k معادل ضرب دترمینان در این است. شماره k مثلا،

خاصیت 5. اگر همه عناصر یک ستون یا یک ردیف خاص برابر با صفر باشند، خود تعیین کننده برابر با صفر است. این ملک است مورد خاصقبلی (برای k=0). تعیین کننده مجموع دو جمله است، سپس یک تعیین کننده را می توان به صورت مجموع دو تعیین کننده نشان داد که یکی از آنها ستون nیا بر این اساس در ردیف n ام اولی از اصطلاحات ذکر شده و دیگری دومی را دارد. عناصر ایستاده در مکان های باقی مانده برای نقاط عطف سه عامل تعیین کننده یکسان هستند. مثلا،

خاصیت 8. اگر به عناصر یک ستون خاص (یا یک ردیف) عناصر مربوط به یک ستون دیگر (یا ردیف دیگر) را اضافه کنیم، ضرب در هر ضریب مشترک، سپس مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد. مثلا،

.

خصوصیات بیشتر تعیین کننده ها به مفهوم مکمل جبری و جزئی مربوط می شود. جزئی برخی از عناصر، تعیین کننده به دست آمده از داده شده توسطبا خط زدن سطر و ستونی که این عنصر در محل تقاطع آنها قرار دارد، مکمل جبری هر عنصر تعیین کننده برابر است با جزئی این عنصر، در صورتی که مجموع اعداد ردیف و. ستونی که در تقاطع آن عنصر قرار دارد یک عدد زوج است و با علامت مخالفاگر این عدد فرد باشد، متمم جبری یک عنصر را با حرف بزرگی به همان نام و همان حرفی که خود عنصر را نشان می دهد، نشان می دهیم

برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر هر ستون (یا سطر) توسط مکمل های جبری آنها.

تعیین کننده. این یک چند جمله ای است که عناصر یک ماتریس مربع را به گونه ای ترکیب می کند که مقدار آن تحت جابجایی و ترکیبات خطی سطرها یا ستون ها حفظ می شود، یعنی تعیین کننده محتویات ماتریس را مشخص می کند. به طور خاص، اگر یک ماتریس دارای سطرها یا ستون های وابسته به خط باشد، تعیین کننده برابر با صفر است نقش کلیدیدر حل سیستم های معادلات خطی به صورت کلی، مفاهیم اساسی بر اساس آن معرفی می شوند ماتریس A به صورت: det(A)، | یا Δ(A).

5. ماتریس مفرد. ماتریس معکوس، خواص آن، محاسبه، قضیه وجود.

پاسخ: ماتریس مربع A را ماتریس منحط و خاص (مفرد) می گویند که تعیین کننده آن (Δ) برابر با صفر باشد. در غیر این صورت، ماتریس A غیرمفرد است.

بیایید مسئله تعریف عملیات معکوس ضرب ماتریس را در نظر بگیریم.

اجازه دهید یک ماتریس مربع از نظم باشد. ماتریسی که همراه با یک ماتریس معین، برابری های زیر را برآورده می کند:

معکوس نامیده می شود. یک ماتریس اگر معکوس برای آن وجود داشته باشد معکوس نامیده می شود، در غیر این صورت غیر قابل برگشت است.

از تعریف به دست می آید که اگر یک ماتریس معکوس وجود داشته باشد، آنگاه مربعی به همان ترتیب است. با این حال، هر ماتریس مربعی معکوس ندارد. اگر تعیین کننده یک ماتریس صفر باشد، هیچ معکوس برای آن وجود ندارد. در واقع، با اعمال قضیه بر تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس ها برای ماتریس هویت، تضاد بدست می آید.

از آنجایی که تعیین کننده ماتریس هویت برابر با 1 است. معلوم می شود که تعیین کننده غیر صفر یک ماتریس مربع تنها شرط وجود ماتریس معکوس است. به یاد بیاورید که ماتریس مربعی که دترمینان آن برابر با صفر است، مفرد (مفرد) نامیده می شود.

قضیه 4.1 در مورد وجود و منحصر به فرد بودن ماتریس معکوس. ماتریس مربعی که دترمینان آن غیر صفر است، ماتریس معکوس دارد و فقط یک:

کجا ماتریس برای ماتریسی متشکل از مکمل های جبری عناصر ماتریس جابجا می شود.

یک ماتریس با توجه به یک ماتریس یک ماتریس الحاقی نامیده می شود.

در واقع، ماتریس تحت شرایط وجود دارد. باید نشان داده شود که معکوس است، i.e. دو شرط را برآورده می کند:

بیایید برابری اول را ثابت کنیم. با توجه به بند 4 از تبصره 2.3، از ویژگی های تعیین کننده این است که . از همین رو

که باید نشان داده شود. برابری دوم نیز به روشی مشابه اثبات می شود. بنابراین، در شرایطی که ماتریس دارای معکوس است

ما منحصر به فرد بودن ماتریس معکوس را با تضاد اثبات خواهیم کرد. فرض کنید علاوه بر ماتریس، ماتریس معکوس دیگری نیز وجود دارد به طوری که. با ضرب هر دو طرف این تساوی از سمت چپ در ماتریس، به دست می آید . از این رو، که با این فرض در تضاد است. بنابراین، ماتریس معکوس منحصر به فرد است.

یادداشت 4.1

1. از تعریف به دست می آید که ماتریس ها قابل جابجایی هستند.

2. معکوس یک ماتریس مورب غیر منفرد نیز مورب است:

3. معکوس یک ماتریس مثلثی پایین (بالا) غیر مفرد، مثلث پایین (بالا) است.

4. ماتریس های ابتدایی دارای معکوس هستند که آنها نیز ابتدایی هستند (به بند 1 از تبصره های 1.11 مراجعه کنید).

ویژگی های یک ماتریس معکوس

عملیات وارونگی ماتریس دارای ویژگی های زیر است:

اگر عملیات مشخص شده در برابری های 1-4 منطقی باشد.

بیایید خاصیت 2 را ثابت کنیم: اگر حاصل ضرب ماتریس های مربع غیرمفرد هم ردیف ماتریس معکوس داشته باشد، پس.

در واقع، تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس ها برابر با صفر نیست، زیرا

بنابراین، ماتریس معکوس وجود دارد و منحصر به فرد است. اجازه دهید با تعریف نشان دهیم که یک ماتریس معکوس یک ماتریس است. واقعا:

منحصر به فرد بودن ماتریس معکوس حاکی از برابری است. خاصیت دوم ثابت شده است. خواص باقیمانده نیز به همین ترتیب ثابت می شوند.

یادداشت 4.2

1. برای یک ماتریس مختلط، تساوی مشابه با ویژگی 3 برقرار است:

عملیات صرف ماتریس کجاست.

2. عملیات وارونگی ماتریس به شما امکان می دهد کل را تعیین کنید درجه منفیماتریس ها برای یک ماتریس غیر مفرد و هر عدد طبیعی، تعریف می کنیم .

6. سیستم معادلات خطی. ضرایب برای اصطلاحات مجهول و مجهول. حل سیستم معادلات خطی. سازگاری یک سیستم معادلات خطی. سیستم خطی معادلات همگنو ویژگی های آن

پاسخ: سیستمی از معادلات جبری خطی حاوی m معادله و n مجهول را سیستمی از شکل می گویند.

جایی که اعداد a ij ضرایب سیستم نامیده می شوند، اعداد b i اصطلاحات آزاد نامیده می شوند. اعداد x n باید پیدا شوند.

نوشتن چنین سیستمی به شکل ماتریس فشرده راحت است

در اینجا A ماتریس ضرایب سیستم است که ماتریس اصلی نامیده می شود.

بردار ستون مجهولات x j .

بردار ستونی عبارت های آزاد b i .

حاصل ضرب ماتریس های A*X تعریف می شود، زیرا در ماتریس A به تعداد سطر در ماتریس X (n قطعه) ستون وجود دارد.

ماتریس توسعه یافته یک سیستم، ماتریس A سیستم است که با ستونی از عبارت های آزاد تکمیل می شود

راه حل سیستم n مقدار مجهولات x 1 = c 1، x 2 = c 2، ...، x n = c n است که با جایگزینی آن، تمام معادلات سیستم به برابری های واقعی تبدیل می شوند. هر راه حلی برای سیستم می تواند به عنوان یک ماتریس ستونی نوشته شود

سیستم معادلات اگر حداقل یک راه حل داشته باشد سازگار و اگر هیچ جوابی نداشته باشد ناسازگار نامیده می شود.

به یک سیستم ثابت گفته می شود که اگر یک راه حل داشته باشد معین است و اگر بیش از یک راه حل داشته باشد نامشخص است. در مورد اخیر، هر یک از راه حل های آن، یک راه حل خاص سیستم نامیده می شود. به مجموعه تمام راه حل های خاص، راه حل کلی می گویند.

حل یک سیستم به معنای یافتن سازگاری یا ناسازگاری آن است. اگر سیستم سازگار است، راه حل کلی آن را پیدا کنید.

دو سیستم اگر راه حل کلی یکسانی داشته باشند معادل (معادل) نامیده می شوند. به عبارت دیگر، سیستم ها در صورتی معادل هستند که هر راه حل یکی از آنها راه حل دیگری باشد و بالعکس.

سیستم‌های معادل به‌ویژه با تبدیل‌های ابتدایی سیستم به‌دست می‌آیند، مشروط بر اینکه تبدیل‌ها فقط روی ردیف‌های ماتریس انجام شوند.

یک سیستم معادلات خطی همگن نامیده می شود که تمام جمله های آزاد برابر با صفر باشند:

یک سیستم همگن همیشه سازگار است، زیرا x 1 = x 2 = x 3 =... = x n = 0 راه حلی برای سیستم است. این راه حل صفر یا بی اهمیت نامیده می شود.

4.2. حل سیستم معادلات خطی.

قضیه کرونکر-کاپلی

اجازه دهید یک سیستم دلخواه از n معادله خطی با n مجهول داده شود

پاسخ جامعی به سوال سازگاری این سیستم توسط قضیه کرونکر-کاپلی داده شده است.

قضیه 4.1. سیستم معادلات جبری خطی در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس توسعه یافته سیستم با رتبه ماتریس اصلی برابر باشد.

بیایید بدون مدرک بپذیریم.

قوانین جستجوی عملی برای همه راه‌حل‌های یک سیستم معادلات خطی همزمان از قضایای زیر ناشی می‌شوند.

قضیه 4.2. اگر رتبه یک سیستم مشترک برابر با تعداد مجهولات باشد، آنگاه سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

قضیه 4.3. اگر رتبه سیستم مشترک تعداد کمترمجهولات، پس سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.

قانون حل یک سیستم دلخواه معادلات خطی

1. رتبه های ماتریس های اصلی و توسعه یافته سیستم را بیابید. اگر r(A)≠r(A)، سیستم ناسازگار است.

2. اگر r(A)=r(A)=r، سیستم سازگار است. هر کدام را پیدا کنید جزئی اولیهدستور r (یادآوری: خرده‌ای که ترتیب آن رتبه ماتریس را تعیین می‌کند، پایه نامیده می‌شود). معادلات r را در نظر بگیرید که ضرایب آن پایه جزئی را تشکیل می دهند (معادلات باقی مانده را کنار بگذارید). مجهولاتی که ضرایب آنها در مبنا مینور قرار می گیرد، اصلی نامیده می شوند و در سمت چپ باقی می مانند و مجهولات n-r باقی مانده آزاد نامیده می شوند و به سمت راست معادلات منتقل می شوند.

3. عبارات مجهولات اصلی را بر حسب مجهولات آزاد بیابید. یک راه حل کلی از سیستم به دست می آید.

4. با دادن مقادیر دلخواه به مجهولات رایگان، مقادیر متناظر مجهولات اصلی را به دست می آوریم. به این ترتیب، راه حل های جزئی برای سیستم اصلی معادلات می توان یافت.

مثال 4.1.

4.3 حل سیستم های خطی غیر منحط. فرمول های کرامر

اجازه دهید یک سیستم از n معادله خطی با n مجهول داده شود

(4.1)

یا به صورت ماتریسی A*X=B.

ماتریس اصلی A چنین سیستمی مربع است. تعیین کننده این ماتریس

تعیین کننده سیستم نامیده می شود. اگر تعیین کننده سیستم با صفر متفاوت باشد، سیستم غیر منحط نامیده می شود.

اجازه دهید راه حل این سیستم معادلات را در حالت  پیدا کنیم

با ضرب دو طرف معادله A*X=B در سمت چپ در ماتریس A -1، به دست می آید.

A -1 *A*X=A -1 *B از آنجا که. A -1 *A=E و E*X=X، سپس

یافتن راه حل برای سیستم با استفاده از فرمول (4.1) روش ماتریسی حل سیستم نامیده می شود.

برابری ماتریس (4.1) را به شکل می نویسیم

نتیجه می شود که

اما تجزیه تعیین کننده وجود دارد

توسط عناصر ستون اول با جایگزینی ستون اول ضرایب با ستونی از جمله های ساختگی، تعیین کننده  از تعیین کننده به دست می آید. بنابراین،

به همین ترتیب:

که در آن 2 از  با جایگزینی ستون دوم ضرایب با ستونی از عبارت های ساختگی به دست می آید:

فرمول های کرامر نامیده می شوند.

بنابراین، یک سیستم غیر انحطاط از n معادله خطی با n مجهول راه حل منحصر به فردی دارد که می توان آن را با روش ماتریسی (4.1) یا با استفاده از فرمول های کرامر (4.2) پیدا کرد.

مثال 4.3.

4.4 حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوسی

یکی از جهانی ترین و مؤثرترین روش ها برای حل سیستم های جبری خطی، روش گاوس است که شامل حذف متوالی مجهولات است.

اجازه دهید یک سیستم معادلات داده شود

فرآیند حل گاوسی شامل دو مرحله است. در مرحله اول (سکته مغزی مستقیم)، سیستم به شکل پلکانی (به ویژه، مثلثی) کاهش می یابد.

سیستم زیر به صورت مرحله ای می باشد

ضرایب aii را عناصر اصلی سیستم می نامند.

در مرحله دوم (معکوس) یک تعیین متوالی مجهولات از این سیستم گام به گام وجود دارد.

اجازه دهید روش گاوس را با جزئیات بیشتری شرح دهیم.

اجازه دهید سیستم (4.3) را تبدیل کنیم و مجهول x1 را در همه معادلات به جز معادله اول حذف کنیم (با استفاده از تبدیل های ابتدایی سیستم). برای این کار هر دو طرف معادله اول را در ضرب می کنیم و ترم به ترم با معادله دوم سیستم جمع می کنیم. سپس دو طرف معادله اول را ضرب کرده و به معادله سوم سیستم اضافه می کنیم. با ادامه این روند، سیستم معادل را بدست می آوریم

در اینجا مقادیر جدید ضرایب و سمت راست آمده است که پس از مرحله اول به دست می آیند.

به همین ترتیب، با در نظر گرفتن عنصر اصلی، مجهول x 2 را از تمام معادلات سیستم، به استثنای اول و دوم و غیره حذف می کنیم. ما این روند را تا زمانی که ممکن است ادامه می دهیم.

اگر در فرآیند تقلیل سیستم (4.3) به یک فرم گام به گام، معادلات صفر ظاهر شوند، یعنی برابری های شکل 0 = 0، اگر معادله ای از فرم ظاهر شود، کنار گذاشته می شوند سپس این نشان دهنده ناسازگاری سیستم است.

مرحله دوم (معکوس) حل سیستم گام است. یک سیستم معادلات گام به گام، به طور کلی، دارای تعداد بی نهایت راه حل است. سپس مقدار x k را در معادله ماقبل آخر سیستم قرار می دهیم و x k-1 را از طریق (xk+ 1,…,xn) بیان می کنیم. ، سپس x k-2،…،x 1 را پیدا کنید. دادن مجهولات رایگان (x k+ 1,…,xn). مقادیر دلخواه، تعداد بی نهایت راه حل را برای سیستم به دست می آوریم.

یادداشت:

1. اگر سیستم پله مثلثی باشد، یعنی k=n، آنگاه سیستم اصلی یک راه حل منحصر به فرد دارد. از آخرین معادله، x n را از معادله ماقبل آخر x n-1 پیدا می کنیم، سپس از طریق سیستم بالا می رویم، همه مجهولات دیگر را می یابیم (x n-1،...، x 1).

2. در عمل، راحت تر است که با سیستم (4.3)، بلکه با ماتریس توسعه یافته آن کار کنید و تمام تبدیلات اولیه را در ردیف های آن انجام دهید. راحت است که ضریب a 11 برابر با 1 باشد (معادلات را دوباره مرتب کنید یا هر دو طرف معادله را بر 1111 تقسیم کنید).

مثال 4.4.

راه حل: در نتیجه تبدیل های اولیه بر روی ماتریس توسعه یافته سیستم

سیستم اصلی به یک سیستم گام به گام کاهش یافت:

بنابراین، راه حل کلی سیستم: x 2 = 5 x 4 -13 x 3 -3; x 1 = 5 x 4 -8 x 3 -1 اگر مثلاً x 3 = 0، x 4 = 0 قرار دهیم، آنگاه خواهیم داشت یکی از راه حل های خاص این سیستم را پیدا کنید x 1 =-1.x 2 =-3.x 3 =0.x 4 =0.

مثال 4.5.

حل سیستم با استفاده از روش گاوسی:

راه حل: اجازه دهید تبدیل های ابتدایی را روی خطوط ماتریس توسعه یافته سیستم انجام دهیم:

ماتریس حاصل با سیستم مطابقت دارد

با انجام حرکت معکوس، x 3 = 1، x 2 = 1، x 1 =1 را پیدا می کنیم.

4.5 سیستم معادلات همگن خطی

اجازه دهید سیستمی از معادلات همگن خطی داده شود

بدیهی است که یک سیستم همگن همیشه یک راه حل صفر (بی اهمیت) دارد.

یک سیستم همگن در چه شرایطی راه حل های غیر صفر دارد؟

قضیه 4.4. برای اینکه یک سیستم معادلات همگن جواب های غیر صفر داشته باشد، لازم و کافی است که رتبه r ماتریس اصلی آن کمتر از عدد n مجهولات باشد، یعنی r.

ضرورت.

از آنجایی که رتبه نمی تواند از اندازه ماتریس تجاوز کند، پس بدیهی است که r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующаясистема линейных уравнений имеет единственное решение:

این بدان معناست که هیچ راه حل دیگری جز راه حل های پیش پا افتاده وجود ندارد. بنابراین، اگر یک راه حل غیر پیش پا افتاده وجود دارد، آنگاه r

کفایت:

اجازه دهید r

قضیه 4.5. برای اینکه یک سیستم همگن از n معادله خطی با n مجهول دارای جواب غیر صفر باشد، لازم و کافی است که تعیین کننده  آن برابر با صفر باشد، یعنی =0.

اگر سیستم دارای راه حل های غیر صفر باشد، =0 است. زیرا در 0 سیستم فقط یک جواب منفرد و صفر دارد. اگر =0 باشد، رتبه r ماتریس اصلی سیستم کمتر از تعداد مجهولات است، یعنی. r

مثال 4.6.

سیستم را حل کنید

با قرار دادن x 3 = 0، یک راه حل خاص به دست می آوریم: x 1 = 0، x 2 = 0، x 3 = 0. با قرار دادن x 3 = 1، راه حل خاص دوم را به دست می آوریم: x 1 = 2، x 2 =3، x 3 =1، و غیره.

از آنجایی که برای یافتن ماتریس معکوس مهم است که آیا تعیین کننده ماتریس برابر با صفر است یا خیر، تعاریف زیر را معرفی می کنیم.

تعریف 14.9بیایید ماتریس مربع را صدا کنیم منحطیا ماتریس ویژه، اگر غیر منحطیا ماتریس غیر منفرد، اگر .

پیشنهاد 14.21 اگر ماتریس معکوس وجود داشته باشد، منحصر به فرد است.

اثبات. اجازه دهید دو ماتریس و معکوس ماتریس باشد. سپس

از این رو، .

قانون کرامر.

اجازه دهید معادله ماتریس AX = B

جایی که ؛ – تعیین کننده از تعیین کننده به دست می آید Dجایگزینی منستون امین ستون عبارت های آزاد ماتریس است ب:

اثباتقضایا به سه بخش تقسیم می شوند:

1. راه حل سیستم (1) وجود دارد و منحصر به فرد است.

2. تساوی (2) نتیجه معادله ماتریس (1) است.

3. معادلات (2) مستلزم معادله ماتریس (1) است.

از آنجا که، پس یک ماتریس معکوس منحصر به فرد وجود دارد.
با ضرب دو طرف معادله ماتریس (1) از سمت چپ، جواب این معادله را به دست می آوریم:

منحصر به فرد بودنماتریس معکوس قسمت اول قضیه را اثبات می کند.

بیایید به سراغ اثبات برویم مکاتبات یک به یکبین فرمول های (1) و (2).

با استفاده از فرمول (4)، عبارتی برای بدست می آوریم منعنصر ام برای این کار باید ضرب کنید منردیف -امین ماتریس

در هر ستون ب.

با توجه به اینکه منردیف سوم ماتریس الحاقی از مکمل های جبری تشکیل شده است، نتیجه زیر را به دست می آوریم:

استخراج فرمول های کرامر تکمیل شد. اجازه دهید اکنون نشان دهیم که عبارات

بیایید ترتیب جمع را در سمت راست عبارت حاصل تغییر دهیم:

نماد دلتای کرونکر کجاست.

با توجه به اینکه نماد دلتا جمع یکی از شاخص ها را حذف می کند، نتیجه لازم را به دست می آوریم:

اعداد مختلط: ایده این است که اشیاء جدید را با استفاده از موارد شناخته شده تعریف کنیم. اعداد واقعی روی یک خط قرار دارند. هنگام عبور از هواپیما اعداد مختلط را بدست می آوریم. تعریف: یک عدد مختلط یک جفت اعداد حقیقی z = (a,b) است. عدد a = Re z جزء حقیقی و b = Im z قسمت خیالی عدد مختلط z است.

عملیات روی اعداد مختلط:اعداد مختلط z1 z2 برابر است با Z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 & Im z1 = Im z2. اضافه شدن: Z=z1+z2. ⇔Re z=Re z1+Re z2 & Im z1+ Im z2. عدد (0,0) با 0 نشان داده می شود. این یک عنصر خنثی است. تأیید می شود که جمع اعداد مختلط دارای خواصی مشابه با جمع اعداد حقیقی است. (1. Z1+ z2 = z2 + z1 - جابه‌جایی؛ 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 - تداعی‌گرایی؛ 3. Z1 + 0 = z1 - وجود صفر (عنصر خنثی)؛ 4. z + (−z) = 0 - وجود عنصر مخالف). ضرب: z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1. اگر Imz = 0 باشد، عدد مختلط z روی محور واقعی قرار دارد. نتایج عملیات روی چنین اعدادی با نتایج عملیات روی اعداد واقعی معمولی منطبق است. ضرب اعداد مختلط دارای ویژگی های بسته بودن، جابجایی و ارتباط است. عدد (1,0) با 1 نشان داده می شود. اگر a∈ R، z ∈C باشد، آنگاه Re(az) = aRe z، Im(az) = a Imz است. تعریفعدد (0،1) با نشان داده می شود منو واحد خیالی نامیده می شود. با استفاده از این نماد، نمایشی از یک عدد مختلط را به شکل جبری به دست می آوریم: z = a + ib, a,b∈ R. i=-1.(a,b)=(a,0)+(0,b) ;(a,0)+b(0,1)=a+ib=z; (a1+ib)(a2+ib2)=a1a2+i(a1b2+1-a2b1)-b1b2; (a+ib)(1+0i)=a+ib; z(a,b), z(0+i0)=0; z!=0; a 2 +b 2 >0 (a+ib)(a-ib/a 2 +b 2)=1 مزدوجبه z اگر Re = Re z ; من هستم =- من z.

= + ; = ; z =(a+ib)(a-ib)=a 2 +b 2مدول عدد z یک عدد واقعی| است z |= . فرمول صحیح است| z| 2 = z از تعریف به دست می آید که z ≠ 0⇔| z|≠ 0. z -1 = /|ز| 2 (1)

شکل مثلثاتی یک عدد مختلط: a=r cos(t); b=r sin(t). Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t))(2) آرگومان t یک عدد مختلط. Z1=z2 =>|z1|=|z2|

arg(z1)-arg(z2)=2пk.

Z1=r1(cos(t1)+isin(t1)، Z2=r2(cos(t2)+isin(t2))، Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)( 1)

Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2)

Z!=0 z -1 = /|z| 2 =1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t))

R(cos(t)-isin(t))

تعریف:یک ریشه درجه n وحدت راه حلی برای معادله z n = 1 گزاره است. n ریشه مختلف درجه n وحدت وجود دارد. آنها به صورت z = cos (2 π k / n) + isin (2 π k / n)، k = 0،...، n -1 نوشته می شوند. قضیه.در مجموعه اعداد مختلط، معادله همیشه n راه حل دارد.Z=r(cos(t)+isin(t)); z n =r n (cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>z n =1 .Z-اعداد صحیح. K متعلق به Z. k=2=E 2 =E n-1 E n ; E n = 1; E n+p = E p. بنابراین، ثابت می شود که راه حل های معادله رئوس یک n-ضلعی منتظم هستند و یکی از رئوس منطبق بر 1 است.

ریشه n ام z 0. Z k =Z 0 ; Z 0 =0=>Z=0; Z 0 !=0;Z=r(cos(t)-isin(t)); Z 0 =r 0 (cos(t0)+isin(t0)); r0!=0; Z n =r n (cos(nt)+isin(nt))

r n =r 0، nt-t 0 =2пk; r= ; t=(2пk+t0)/n; z= (cos((2пk+t0)/n)+isin((2пk+t0)/n)= (cos t0/n+isin t0/n)(cos(2пk/n)+isin(2пk/n) )=Z 1 E k ;

ماتریس ها تعریف:یک ماتریس m × n یک جدول مستطیل شکل شامل m ردیف و n ستون است که عناصر آن اعداد واقعی یا مختلط هستند. عناصر ماتریس دارای اندیس های دوگانه هستند.

اگر m = n، آنگاه ماتریس مربعی از مرتبه m است و عناصر با شاخص های یکسان، قطر اصلی ماتریس را تشکیل می دهند.

عملیات ماتریس: تعریف:دو ماتریس A،B نامیده می شوند

اگر اندازه آنها منطبق باشد و A = B، 1≤ i ≤ m، 1≤ j ≤ n برابر باشد

اضافهماتریس های هم اندازه در نظر گرفته می شوند. تعریف:C = A + B ⇔ C = A + B، ∀i، j پیشنهاد. جمع ماتریس جابجایی، انجمنی است، یک عنصر خنثی و برای هر ماتریس یک عنصر مخالف وجود دارد.

عنصر خنثی ماتریس صفر است که همه عناصر آن برابر با 0 هستند. با Θ نشان داده می شود.

ضرب. m × n ماتریس A با Amn نشان داده می شود . تعریف: C mk =A mn B nk ó

C=توجه داشته باشید که به طور کلی ضرب تعویضی نیست. بستن برای یک ماتریس مربع با اندازه ثابت معتبر است. بگذارید سه ماتریس Amn، Bnk، Ckr داده شود. سپس (AB)C = A(BC). اگر حاصل ضرب 3 ماتریس وجود داشته باشد، آنگاه تداعی کننده است.

نماد کرونکر δij. اگر شاخص ها یکسان باشند برابر با 1 و در غیر این صورت 0 است. تعریف. ماتریس هویت I n یک ماتریس مربع از مرتبه n است که برابری های آن n I n [ i | j] = δ ij پیشنهاد.برابری های زیر درست است: I m A mn =A mn I n =A mn

جمع و ضرب ماتریس ها با قوانین توزیع مرتبط است. A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC؛(A(B+C)= = = +

جابجایی ماتریسماتریس جابه‌جایی، ماتریسی است که با جایگزین کردن سطرها با ستون‌ها، از ماتریس اصلی به دست می‌آید.

(A+B) T =A T +B T

(AB) T =B T A T;(AB) T =(AB)= = (B T A T)

ضرب یک ماتریس در یک عددحاصل ضرب عدد a و ماتریس A mn ماتریس جدید B=aA نامیده می شود

1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA;

A(BC)=(aB)C=B(aC); (ab)A=a(bA)=b(aA)

فضای خطی(L) روی یک میدان F مجموعه ای از بردارها است L=(α,β..)

1.α+β=β+α(تقویت پذیری) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ، (ab)α=a(bα)(تعاون پذیری) 3.α+θ=α، α∙1=α(وجود خنثی) 4.α+(-α)=θ (وجود مخالف)

a(α+β)=aα+aβ، (a+b)α=aα+bα. سند (|(a+b)α|=|a+b||α|، |aα|=|a||α|،|bα|=|b||α|، a و b>0، |a +b|=a+b،|a|=a،|b|=b.) aα+(-a)α=θ، (a+0)α=aα

نمونه ای از فضای خطی مجموعه ای از ماتریس های با اندازه ثابت با عملیات جمع و ضرب در یک عدد است.

سیستم بردارهای خطیتماس گرفت وابسته به خط, اگر 1.a 1 ,a 2 ..a n ≠0 2. a 1 α 1 ,a 2 α 2 ..a n α n =θ اگر سیستم به صورت خطی وابسته نباشد، آنگاه به صورت خطی مستقل است. 1 را در نظر بگیرید. n=1 α 1 بستگی دارد. a 1 ≠0، a 1 α 1 =θ، a 1 -1 (a 1 α 1) = a 1 -1∙ θ=θ، (a 1 -1 a 1)α 1 =1∙α 1 =α 1 ; 2. n=2 α 1 , α 2 بستگی دارد. a 1 ≠0 ,a 1 α 1 +a 2 α 2 =θ , α 1 = -a 1 -1 a 2 α 2 =b 2 α 2; 3.n≥2 α 1 ..α n بستگی دارد. a 1 ≠0، α 1 =Σ k = 2 n b k α k، 1α 1 - Σ k = 2 n b k α k =θ، (1،b 2 ..b n)≠0

پیشنهاد: سیستمی از بردارهای حاوی بیش از 1 بردار به صورت خطی وابسته است، سپس برخی از بردارهای سیستم ترکیبی خطی از بردارهای دیگر است.

اگر سیستمی از بردارها دارای یک زیرسیستم وابسته خطی باشد، کل سیستم به صورت خطی وابسته است.سند: (α 1 .. α n وابسته. سیستم: α ​​1 .. α n ; α n + 1 .. α m , a 1 α 1 +.. + a n α n + 0α n +1 +.. +0α m =θ, a 1 ..a n ,0..0≠0.) اگر سیستم دارای بردار صفر باشد، به صورت خطی وابسته است. قضیه فضاهای خطی: (بگذارید 2 سیستم از بردارهای α 1 ..α m , β 1 ..β n داده شود. اگر هر بردار α ترکیبی خطی باشد β α i = Σ k = 1 n a ik، سیستم بردارهای α از طریق β بیان می شود. β k، (α) ((β)، (β) ((γ)→ (α) ((γ)) قضیه:با توجه به 2 سیستم از بردارها، و α مستقل است و، (α) ((β)→m≤n اجازه دهید ثابت کنیم که α 1 ..α m +1 β 1 ..β m (α) ((β)→ α)وابسته (بیایید آن را با استقرا ثابت کنیم. m=1: α 1 =a 11 β 1 , α 2 =a 21 β 1 . a 11 =0→ α 1 =θ. a 11 α 2 – a 21 α 1 . = a 11 a 21 β 1 - a 21 a 11 β 1 =θ α 1 = a 11 β 1 + .. a 1 n -1 β n -1 .. α n = a n 1 β 1 + .. a nn. -1 β n - 1 اگر همه ضرایب =0 a 11 =a 12 =..=a 1 n -1 =0→ α 1 =θ→ کل سیستم به صورت خطی وابسته است a 1 n -1 ≠0 α 2 ′= α 2 –с 2 α 1 =b 21 β 1 +..+b 2 n -2 β n -2 ، c 2 =a 2 n -1 / a 1 n -1 ، α 3 ′= α 3 –с. 3 α 1 .. α n ′= α n –с n α 1. با استقرا قبلی مجموعه ای غیر صفر از اعداد d 2 ..d n وجود دارد: d 2 α 2 ′+d 3 α 3 ′+.. d n α n ′=θ , d 2 ( α 2 –с 2 α 1)+d 3 (α 3 –с 3 α 1)+.. d n (α n –с n α 1)=θ , (α) ( β)، m>n →(α) بستگی دارد اگر (α) مستقل → m≤n)

MLNP-max.lin.independent.subsystem. اجازه دهید سیستمی از بردارهای α 1 ..α n برخی از زیرسیستم ها داده شود. α i 1 ..α در MLNP نامیده می شود اگر 1. α 1 ..α n مستقل باشد.2. α i 1 ..α ir، α ij وابسته است. هر بردار سیستم ترکیبی خطی از بردارهای MLNP است. (α i 1 ..α ir، α ij بستگی دارد. a i 1 α i 1 +.. a ir α ir + a ij α ij =θ

a i 1 ..a ir, a ij ≠0 اگر a ij =0 → a i 1 α i 1 +.. a ir α ir =θ a i 1 ..a ir =0 تناقض a ij ≠0 α ij = a ij - 1 (-a i 1 α i 1 -.. a ir α ir) (α 1 ..α n) ( (α i 1 ..α ir)

نتیجه: هر 2 MLNP از یک سیستم برداری حاوی همان شمارهبردارها (α i 1 .. α ir) ( (α j 1 .. α jk) ، (α j 1 .. α jk) ( (α i 1 .. α ir) k≤r، r≤k →r= k تعداد بردارهای MLNP نامیده می شود رتبهسیستم اصلی در مورد فضای خطی (سیستمی از بردارها از تمام بردارهای موجود در فضا تشکیل شده است)، MLNP mb متناهی یا نامتناهی است. بیایید مورد نهایی را در نظر بگیریم. تعداد بردارها (رتبه) بعد فضای خطی است. پایه MLNP. فضای بخش های هدایت شده.دو بردار غیر خطیآرایش پایهدر فضای بردارها در هواپیما. α 3 = α 1 ′+ α 2 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 . 3 بردار وابسته خطی α 3 =a 1 α 1 + a 2 α 2 . همسطح بودن - 3 بردار موازی با یک صفحه هستند α 4 = α 4 '+ α 5 '، α 4 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2، α 5 ′= a 3 α 3، α 4 = a 1 α 1 + a 2 α 2 + a 3 α 3 . فضای رشته ها به طول n. α= پیشنهاد:فضای رشته هایی به طول n دارای بعد n است. (ξ 1 =<1…0>ξ 2 =<0,1…0>.. ξ n =<0…1>,a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 +.. a n ξ n =θ=<0,..0> → a 1 = a 2 = ..a n = 0 ( استقلال خطی) β= β= b 1 ξ 1 + b 2 ξ 2 +.. b n ξ n →فضای رشته هایی به طول n دارای بعد n است.

رتبه ماتریسی

اگر هر یک از بردارها، دو سیستم از بردارهای α و β معادل هستند

α(β(بیان شده) و β(α.

پیشنهاد.رتبه سیستم های معادل منطبق است.

α i 1 , α i 2 ,…, α ir – MLNP α , β i 1 , β i 2 ,…, β ik – MLNP β , α i 1 , α i 2 ,…, α ir< β < β i 1 , β i 2 ,…, β ik → r<=k

α و β را عوض کنید → r>=k >>> پس r=k.

تعریف. اجازه دهید ماتریس A=

α i =

رتبه ماتریسیو رتبه سیستم بردارهای α1, α2,…, αm که از این ماتریس تشکیل شده است >>rank(A)-rank نامیده می شود.

از تعریف مشخص است که وقتی ستون‌ها مرتب می‌شوند، رتبه تغییر نمی‌کند. اجازه دهید نشان دهیم که وقتی ستون‌ها مرتب می‌شوند، رتبه نیز تغییر نمی‌کند.

A'=

α'i=

وابسته خطی:

b 1 α 1 + b 2 α 2 +…+ b m α m =θ، b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0، b 1 α' 1 + b 2 α' 2 +…+ b m α' m , b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0

تایپ کنید