Главная » Отделочные материалы » Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой

log a r b r =log a b или log a b = log a r b r

Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.

Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

Примеры.

1) Сравнить log 3 9 и log 9 81.

log 3 9=2, так как 3 2 =9;

log 9 81=2, так как 9 2 =81.

Значит, log 3 9=log 9 81.

Заметим, что основание второго логарифма равно квадрату основания первого логарифма: 9=3 2 , а число под знаком второго логарифма равно квадрату числа под знаком первого логарифма: 81=9 2 . Получается, что и число и основание первого логарифма log 3 9 были возведены во вторую степень, и значение логарифма от этого не изменилось:

Далее, так как извлечение корня n -й степени из числа а есть возведение числа а в степень ( 1 / n ), то из log 9 81 можно получить log 3 9 извлечением квадратного корня из числа и из основания логарифма:

2) Проверить равенство: log 4 25=log 0,5 0,2.

Рассмотрим первый логарифм. Извлечем квадратный корень из основания 4 и из числа 25 ; получаем: log 4 25=log 2 5.

Рассмотрим второй логарифм. Основание логарифма: 0,5= 1 / 2 . Число под знаком этого логарифма: 0,2= 1 / 5 . Возведем каждое из этих чисел в минус первую степень:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Таким образом, log 0,5 0,2=log 2 5. Вывод: данное равенство верно.

Решить уравнение:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Приведем логарифмы слева к основанию 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Извлекли квадратный корень из числа и из основания первого логарифма. Извлекли корень четвертой степени из числа и основания второго логарифма.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Преобразовали сумму логарифмов в логарифм произведения.

3x 2 =5x+2. Получили после потенцирования.

3x 2 -5x-2=0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле для полного квадратного уравнения:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.

Проверка.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b =(1/ n )∙ log a b

Логарифм числаb по основанию a n равен произведению дроби 1/ n на логарифм числа b по основанию a .

Найти: 1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , если известно, что log 2 3=b , log 5 2=c.

Решение.

Решить уравнения:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Решение.

Приведем данные логарифмы к основанию 2. Применим формулу: log a n b =(1/ n )∙ log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Приводим подобные слагаемые:

(1+0,5+0,25)·log 2 x=5,25;

1,75·log 2 x=5,25 |:1,75

log 2 x=3. По определению логарифма:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Решение. Логарифм по основанию 16 приведем к основанию 4.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. По определению логарифма:

x 2 -5x+4=0. По теореме Виета:

x 1 =1; x 2 =4. Первое значение х не подойдет, так как при х=1 логарифмы данного равенства не существуют, ведь под знаком логарифма могут находиться только положительные числа.

Проверим данное уравнение при х=4.

Проверка.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Логарифм числа b по основанию а равен логарифму числа b по новому основанию с , деленному на логарифм старого основания а по новому основанию с .

Примеры:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Вычислить:

1) log 5 7 , если известно, что lg7 ≈0,8451; lg5 ≈0,6990.